专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） ：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） ：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） ：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） ：根据这个相等关系列出方程。 （5） ：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） ：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） ：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，、分别在数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为20． (1)请写出__________； (2)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点对应的数； (3)若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度在数轴上匀速运动，同时另一只电子蚂蚊恰好从点出发，以2单位/秒的速度在数轴上匀速运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时．求第二天乙车返回B地花了多长时间． 3．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【经典例题二 配套问题】 【例2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 1、（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 2．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 3．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【经典例题三 工程问题】 【例3】9．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 1．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别足140元/吨和150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨和80元/吨，本次运水泥总运费需要25900元. (1)设甲仓库运到A工地的水泥为x吨，请在下面表格中用x表示出其它未知量： 甲仓库 乙仓库 A工地 x B工地 (2)用含x的式子表示运送甲仓库100吨水泥的运费为__________元（写出化简后的结果）； (3)求甲仓库运到A工地的水泥的吨数. 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 1．（2024·广东·模拟预测）为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个． (1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示) (2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）世界杯期间某文具店用14400元购进了甲、乙两款足球，一共200个．两款足球的进价和标价如下表： 类别 甲款足球 乙款足球 进价/（元/个） 标价/（元/个） (1)求该文具店的甲、乙两款足球分别购进多少个？ (2)该文具店为了加快销售，回笼资金，决定对甲款足球打8折销售，乙款足球打9折销售，若所购的足球全部售出，则该文具店能获利多少元？ 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）某百货商场经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，乙种服装每件进价800元． (1)若该商场同时购进甲、乙两种服装共30件，总进价为21000元，求商场购进甲、乙两种服装各多少件？ (2)若该商场对（1）中所购进的甲、乙两种服装进行销售，其中甲种服装每件售价800元，乙种服装每件盈利，则该商场销售完这批服装一共能盈利_______元； (3)该商场元旦当天对所有商品实行“满1000元减300元的优惠”（比如：某顾客购物3200元，满三个1000元，则可优惠900元，只需付款2300元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减300元”的活动． 张先生元旦购买甲、乙两种服装各一件，标价合计2000元．后来他发现按照晚上八点后的优惠方式付款，竟然比不打折直接参与“满1000元减300元”的活动多付100元钱．问该商场晚上八点后推出的活动是先打几折？ 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（2023七年级上·江苏·专题练习）表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛过程中没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 8 4 20 C 12 7 5 19 D 11 5 6 16 E 10 … … 15 (1)观察积分榜，请写出球队胜一场积 　　分，负一场积 　　分． (2)根据积分规则，请求出E队已经进行的10场比赛中，胜、负各是多少场？ (3)若此次篮球比赛每个球队各有16场比赛，D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 1．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 2．（22-23七年级上·广东广州·期末）某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，答错倒扣分．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 23 2 88 D 19 6 64 E 15 10 40 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣______分． (2)参赛者F说他得76分，他答对了多少道题？ (3)参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么？ 3．（22-23七年级上·广东广州·期末）某中学举行“我爱祖国”知识竞答比赛，规定每个选手共要答20道题，每答对一题得5分，不答或答错一题扣2分． (1)设选手小明答对x题，则小明不答或答错共___________题（用含x的代数式表示）； (2)若小明最终的成绩为65分，求小明答对了多少道题？ 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 2．（2024·湖南长沙·二模）我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于人，票价每张元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：人以上的团体票有两种优惠方案可选： 方案一：全体人员打折； 方案二：打折，有人可以免票． (1)若一班有人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱； (2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？ 3．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）下表是中国移动两种套餐计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月租费（元） 主叫通活（分钟） 上网流量（G） 接听 主叫超时部分（元/分钟） 超出流量部分（元/G） 套餐一 38 200 3 免费 0.20 10 套餐二 60 300 6 免费 0.10 8 (1)若某月小张主叫通话时间为240分钟，上网流量为，则他按套餐一计费需 元，按套餐二计费需 元； (2)若某月小张接套餐二计费需82元，主叫通话时间为360分钟，则小张该月上网流量为多少G？ (3)若某月小张上网流量为，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按套餐一和套餐二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（2024·河北唐山·三模）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； (3)淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）观察下列三列数： 、、、+、、、…① -3、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第个数是 ，第②行第个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和正好为，求的值． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）将正整数1至2022按照一定规律排成下表： 记表示第i行第j个数，如表示第1行第4个数是4． (1)直接写出 ， ， ； (2)若，那么i＝ ，j＝ ； (3)将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和能否等于2027？若能，求出这5个数中的最小数．若不能，请说明理由． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）阅读材料，解答以下问题： 幻方历史悠久，最早出现在夏禹时代的“洛书”，即现在的三阶幻方．例如图1就是一个幻方，它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都为15，这个和称为幻方和，正中间的数5称为中心数． (1)如图1，幻方和是中心数的________倍； (2)如图2，已知幻方和是18，，，请利用（1）的结论，直接写出的值； (3)如图3，，，，，，是含字母的整式，且，．    ①若，求整式（用含的式子表示）； ②若，幻方和是，且，均为常数，求和的值． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）图①所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题： (1)将下表填写完整； 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 三角形个数 (2)在第个图形中有______个三角形；（用含的式子表示） (3)按照上述方法，能否得到个三角形？如果能，请求出；如果不能，请简述理由． 1．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 2．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形，已知，最小正方形的边长为．    (1)用的代数式表示，的长； (2)若阴影部分的周长与长方形的周长比为，求的值． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为24，边长为4． (1)数轴上点A表示的数为 ． (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积记为． ①当恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为 　　． ②设点的移动距离． ．当时，　　； ．为线段的中点，点在线段上，且；当点，所表示的数互为相反数时，求的值． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）中国2019年国际专利申请量居全世界第一．其中，国内企业高度重视高新技术的研发．在单独的企业申请专利排行榜中，我国的华为以4411份申请排在了全球第一位，比美国的高通申请专利数量的2倍多157份．美国的高通申请专利数是多少份？ (1)把上边的线段图补画完整； (2)列式或方程解答． 1．（23-24七年级上·天津宁河·期中）已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄比红红的年龄的 还多1岁． (1)用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）元旦，是世界多数国家通称的“新年”．元，谓“始”，凡数之始称为“元”；旦，谓“日”；“元旦”即“初始之日”的意思．为迎接元旦，活动课中，某班级安排了部分学生在教室打扫卫生，剩余学生全部到礼堂帮助汇演布置，已知该班级男生有20人，女生人数比男生人数多20%． (1)该班级共有多少学生？ (2)统计发现该班级在礼堂的学生数是在教室学生数的2倍少4人，求在礼堂的学生数． 3．（23-24七年级上·江苏·周测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有6人，在乙处植树的有10人，在丙处植树的有8人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为．设支援后在甲处植树的总人数有人． (1)根据信息填表： 甲处 乙处 丙处 支援后的总人数 支援的人数 (2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍，求支援甲、乙、丙三处各有多少人？ 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费_______元；若该户居民3月份用水，则应收水费__________元． (2)若该户居民5月份的水费为36元，则5月份的用水量是多少立方米？ 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下： 一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米） 第档 不超过立方米的部分 第档 立方米以上至立方米（含）部分 第档 立方米以上的部分 (1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元． (2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）． (3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？ 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（20-21六年级下·上海·期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 1．（20-21七年级上·湖南永州·期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？ 2．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 3．（20-21七年级上·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 1．（21-22七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 1．（23-24·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 3．（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 1．（24-25七年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为，16，（规定数轴上两点A、B之间的距离记为）．若点C在A，B两点之间，且满足，则点C对应的数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（   ） A．不赚不赔 B．无法比较 C．赔18元 D．赚18元 3．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）2024年春节期间，某商场打出促销广告，如表所示． 优惠 条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠 办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠，超过500元部分按八折优惠 春节的某一天，小雅妈妈在该商场购买了一些商品，经过商场打折优惠后支付了522元，则小雅妈妈比原价节省了（    ）元 A．58元 B．68元 C．130.5元 D．78元 6．（21-22九年级下·上海·自主招生）某城市按以下规定收取煤气：（1）每月所用煤气按整立方米数计算：（2）若每月用煤气不超过立方米，按每立方米元收费；若超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某户人家某月的煤气费平均每立方米元，则这户人家需要交煤气费 元． 7．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是、5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 8．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）客、货两车同时从A、B两地相向而行，在距A地100千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地60千米处第二次相遇．A、B两地相距 千米． 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）（多选）如图，在中，，，，点E是的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿运动，若设点P运动的时间是，当的面积等于时，则t的值是 ．（填序号） ①   ②   ③   ④ 11．（24-25七年级上·湖南长沙·开学考试）李师傅三天完成一批零件的加工任务，第一天加工的零件数与总零件数的比是，第二天加工了180个零件，前二天加工的零件数正好占总零件数的．李师傅第一天加工了多少个零件？ 12．（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 13．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）如图所示为某种产品的表面展开图，长为． (1)求这个产品的体积； (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此包装纸箱的表面积． 14．（22-23七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： (1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 15．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点A，B在数轴上（点A在点B左侧），A，B两点表示的数分别为a和b，满足，点A，B之间的距离记为．数轴上有另一点C，满足． (1)求a，b的值，和线段的长度； (2)求点C所表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度在数轴匀速运动，设运动时间为，当时，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 【答案】，两地之间的距离是千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设，两地之间的距离是千米，根据题意列出方程，然后求解即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设，两地之间的距离是千米， 根据题意得：， 解得：， 答：，两地之间的距离是千米． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，、分别在数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为20． (1)请写出__________； (2)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点对应的数； (3)若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度在数轴上匀速运动，同时另一只电子蚂蚊恰好从点出发，以2单位/秒的速度在数轴上匀速运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 【答案】(1) (2)8 (3)或或或1． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求出答案； （2）设运动时间为t秒，先表示出点P、Q表示的数，再列方程解答； （3）题干未指明运动方向，需要分不同情况讨论，表示出点P、Q的表达式，再列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：∵A 点对应的数为，B点对应的数为20． ∴AB 两点间的距离为， 故答案为：； （2）设运动时间为t秒， 点Q表示的数是，点P表示的数是， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； （3）设运动t秒， ①若电子蚂蚊从点出发，向右运动，电子蚂蚊从点出发，向左运动， 则点P表示的数是，点Q表示的数是， 依题意得：，解得：或（不合题意舍去） ②若电子蚂蚊从点出发，向右运动，电子蚂蚊从点出发，向右运动， 则点P表示的数是，点Q表示的数是， 依题意得：，解得：或（不合题意舍去） ③若电子蚂蚊从点出发，向左运动，电子蚂蚊从点出发，向左运动， 则点P表示的数是，点Q表示的数是， 依题意得：，解得：或（不合题意舍去） ④若电子蚂蚊从点出发，向左运动，电子蚂蚊从点出发，向右运动， 则点P表示的数是，点Q表示的数是， 依题意得：，解得：或（不合题意舍去） 综上所述：或或或1． 【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，列一元一次方程解动点问题，数轴上动点问题，正确理解动点问题是解题的关键． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时．求第二天乙车返回B地花了多长时间． 【答案】第二天乙车返回B地花了3小时 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，找出等量关系建立方程是解题的关键． 设第一天乙车从B地到C地行驶的时间为小时，则甲车从A地到C地行驶的时间为小时，根据第二天在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时建立方程 ，求解即可． 【详解】解：设第一天乙车从B地到C地行驶的时间为小时，则甲车从A地到C地行驶的时间为小时，根据题意，得 解得： A、B两地的路程是：（千米）， 第二天乙车返回B地花的时间为：（小时）． 答：第二天乙车返回B地花了3小时． 3．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1) (2)①5秒；②运动1秒或9秒． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用， （1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点分情况列出方程求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为， 故答案为：； （2）解：①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 【答案】安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件 【分析】本题考查是一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确找出合适的等量关系，列出方程，继而求解． 设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件，然后列方程计算即可． 【详解】解：设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件， 根据题意得：， 解得：， ， 答：安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件． 1、（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母 (2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母． 解得 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． （2）设安排y小时生产螺柱． 解得． ． 根据实际意义取13090． 根据实际意义螺柱取， 则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母， 另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套． 2．（22-23七年级上·广西南宁·阶段练习）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)调入6名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读㯵题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得， ∴调入6名工人； （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 3．（23-24七年级上·安徽·期末）某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 【经典例题三 工程问题】 【例3】9．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 【答案】乙中途休息了1天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键． 设乙中途休息了x天，则乙施工了天，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设乙中途休息了x天， 由题意可得：， 解得：． 答：乙中途休息了1天． 1．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲仓库有水泥100吨，乙仓库有水泥80吨，要全部运到A、B两工地，已知A工地需要70吨，B工地需要110吨，甲仓库运到A、B两工地的运费分别足140元/吨和150元/吨，乙仓库运到A、B两工地的运费分别是200元/吨和80元/吨，本次运水泥总运费需要25900元. (1)设甲仓库运到A工地的水泥为x吨，请在下面表格中用x表示出其它未知量： 甲仓库 乙仓库 A工地 x B工地 (2)用含x的式子表示运送甲仓库100吨水泥的运费为__________元（写出化简后的结果）； (3)求甲仓库运到A工地的水泥的吨数. 【答案】(1)； (2) (3)30吨 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式加减运算，弄清题意找到相等关系是解本题的关键． （1）根据题意填写表格即可； （2）根据表格中的数据，以及已知的运费表示出总运费即可； （3）根据本次运送水泥总运费需要25900元列方程化简即可． 【详解】（1）解：（1）设甲仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 乙仓库运到工地水泥的吨数为吨，则运到地水泥的吨数为吨， 补全表格如下： 甲仓库 乙仓库 工地 工地 故答案为：；； （2）解：运送甲仓库100吨水泥的运费为； 故答案为：； （3）解：， 整理得：． 解得 答：甲仓库运到工地水泥的吨数是30吨． 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 【答案】(1) (2)店长说法正确 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）根据销售额等于卖出个摆件的销售额加上卖出个毛线玩具的销售额，即可代数式； （2）设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据利润为1400元，列出方程求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据题意得： ，即， 解得：， 是正整数， （不符合实际）， 店长说法正确． 1．（2024·广东·模拟预测）为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个． (1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示) (2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 【答案】(1)， (2)该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键正确分析等量关系． （1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）（元），（元） ∴该企业第一次捐赠元，第二次捐赠（元）； （2）根据题意得， 解得 （个）． ∴该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）世界杯期间某文具店用14400元购进了甲、乙两款足球，一共200个．两款足球的进价和标价如下表： 类别 甲款足球 乙款足球 进价/（元/个） 标价/（元/个） (1)求该文具店的甲、乙两款足球分别购进多少个？ (2)该文具店为了加快销售，回笼资金，决定对甲款足球打8折销售，乙款足球打9折销售，若所购的足球全部售出，则该文具店能获利多少元？ 【答案】(1)该文具店甲款足球购进120个，乙款足球购进80个 (2)所购的足球全部售出，则该文具店能获利3600元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式或方程，准确计算． （1）设甲款足球购进了x个，则乙款足球购进了个，根据两种足球总共花费为14400元，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：设甲款足球购进了x个，则乙款足球购进了个， 根据题意得：， 解得：， 则（个）， 答：该文具店甲款足球购进120个，乙款足球购进80个． （2）解：（元）， 答：所购的足球全部售出，则该文具店能获利3600元． 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）某百货商场经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，乙种服装每件进价800元． (1)若该商场同时购进甲、乙两种服装共30件，总进价为21000元，求商场购进甲、乙两种服装各多少件？ (2)若该商场对（1）中所购进的甲、乙两种服装进行销售，其中甲种服装每件售价800元，乙种服装每件盈利，则该商场销售完这批服装一共能盈利_______元； (3)该商场元旦当天对所有商品实行“满1000元减300元的优惠”（比如：某顾客购物3200元，满三个1000元，则可优惠900元，只需付款2300元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减300元”的活动． 张先生元旦购买甲、乙两种服装各一件，标价合计2000元．后来他发现按照晚上八点后的优惠方式付款，竟然比不打折直接参与“满1000元减300元”的活动多付100元钱．问该商场晚上八点后推出的活动是先打几折？ 【答案】(1)商场购进甲、乙两种服装各10、20件 (2)11000 (3)该商场晚上八点后推出的活动是先打九折 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数混合运算的应用，读懂题意并根据题意建立方程求解是解题的关键． （1）由题意设购进甲服装x件，乙服装件，建立方程求解即可得出答案； （2）根据题意将甲、乙两种服装各自盈利相加即可得到答案； （3）由题意先得出晚上八点后的优惠方式付款的价钱，进而设该商场晚上八点后推出的活动是先打y折建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进甲服装x件，乙服装件， 由题意可得：， 解得：， （件）， 答：商场购进甲、乙两种服装各10、20件． （2）解：由题意得：该商场销售完这批服装一共能盈利： （元）， 故答案为：． （3）解：由题意得：不打折直接参与“满1000元减300元” 付款： （元）， 晚上八点后的优惠方式付款元， 设该商场晚上八点后推出的活动是先打y折， 可得：， 解得：， 答：该商场晚上八点后推出的活动是先打九折． 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（2023七年级上·江苏·专题练习）表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛过程中没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 8 4 20 C 12 7 5 19 D 11 5 6 16 E 10 … … 15 (1)观察积分榜，请写出球队胜一场积 　　分，负一场积 　　分． (2)根据积分规则，请求出E队已经进行的10场比赛中，胜、负各是多少场？ (3)若此次篮球比赛每个球队各有16场比赛，D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2，1 (2)E队胜了5场，负了5场 (3)D队的最终积分不可能达到28分，理由见解析 【分析】（1）观察积分榜即可求解； （2）设E队胜x场，则负场，根据等量关系：E队积分是15分列出方程求解即可； （3）设后5场比赛全胜，求出最终积分即可得出答案． 【详解】（1）观察积分榜得，球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2，1； （2）设E队胜x场，则负场， ， 解得， 所以E队负了（场）． 答：E队胜了5场，负了5场； （3）不可能实现． 理由如下： 因为由积分榜可知，D队已经进行了11场比赛， 所以还剩下（场）比赛， 若剩下的5场比赛全胜，则可积10分， 因为（分）， 所以D队的最终积分不会超过26分， 所以D队的最终积分不可能达到28分． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与负场的和． 1．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分； (2)． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列一元一次方程即可求解. 【详解】（1）解：由题意得(分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； （2）解：由题意得， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 2．（22-23七年级上·广东广州·期末）某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，答错倒扣分．下表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 23 2 88 D 19 6 64 E 15 10 40 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣______分． (2)参赛者F说他得76分，他答对了多少道题？ (3)参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)4； (2)参赛者F答对了21道题； (3)参赛者G不可能得80分． 【分析】（1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设答对x道题，则答错道题，根据得分为76分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据得分为80分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 【详解】（1）解：（分）， （分）， 答：每答对一道题得4分，每答错一道题扣2分， 故答案为：4；； （2）解：设答对x道题，则答错道题， 依题意，得：， 解得：． 答：参赛者F答对了21道题； （3）解：不可能，理由如下： 设答对y道题，则答错道题， 依题意，得：， 解得：， ∵不为整数， ∴参赛者G不可能得80分． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（22-23七年级上·广东广州·期末）某中学举行“我爱祖国”知识竞答比赛，规定每个选手共要答20道题，每答对一题得5分，不答或答错一题扣2分． (1)设选手小明答对x题，则小明不答或答错共___________题（用含x的代数式表示）； (2)若小明最终的成绩为65分，求小明答对了多少道题？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小明不答或答错题目数等于共要答20道题减去小明答对x题； （2）小明最终的成绩为65分等于答对题目数减去答错题目数，列一元一次方程即可求解． 【详解】（1）共要答20道题，选手小明答对x题，则小明不答或答错共题 （2）由题意得： 答：小明答对了道题． 【点睛】本题考查用代数式的表示及一元一次方程解决实际问题，解题的关键是读懂题意，列出方程． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 【答案】(1)购买方案②费用较省，理由见解析 (2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件 【分析】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题关键． （1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可； （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． 分当时，当时，两种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为（元）， 购买方案②所需费用为（元）． ∵， ∴购买方案②费用较省． （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． ①当时，， 解得：， ∵， ∴不合题意，舍去； ②时，， 解得：， ∴． 答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件． 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 【答案】方案二获利最多，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，先分别求出两种方案的获利多少，然后进行比较即可． 【详解】解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售， 则其利润为：（元）； 方案二：设生产x天奶片，则生产天酸奶， 根据题意得：， 解得：， 3天生产酸奶，加工的鲜奶（吨）， 则利润为：（元）； ∵， ∴第二种方案获利最多． 2．（2024·湖南长沙·二模）我校九年级学生准备观看电影《长津湖》．由各班班长负责买票，每班人数都多于人，票价每张元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：人以上的团体票有两种优惠方案可选： 方案一：全体人员打折； 方案二：打折，有人可以免票． (1)若一班有人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱； (2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？ 【答案】(1)， (2)一班有人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据题意和题目中的数据，可以分别求出两种方案下的花费情况即可． （2）根据一班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】（1）方案一：由题意可得需付（元）， 方案二：由题意可得需付（元）， 故答案为，． （2）设二班有人，根据题意得方案一和方案二需要付的钱数一样， 故可列方程， 解得， 答：一班有人． 3．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）下表是中国移动两种套餐计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月租费（元） 主叫通活（分钟） 上网流量（G） 接听 主叫超时部分（元/分钟） 超出流量部分（元/G） 套餐一 38 200 3 免费 0.20 10 套餐二 60 300 6 免费 0.10 8 (1)若某月小张主叫通话时间为240分钟，上网流量为，则他按套餐一计费需 元，按套餐二计费需 元； (2)若某月小张接套餐二计费需82元，主叫通话时间为360分钟，则小张该月上网流量为多少G？ (3)若某月小张上网流量为，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按套餐一和套餐二的计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)56，60； (2)小张该月上网流量为； (3)存在，t的值为210 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，正确理解两种计费方式是解题关键． （1）根据套餐一和套餐二的计费方式分别列式计算即可； （2）设小张该月上网流量为，根据套餐二的计费方式列一元一次方程求解即可； （3）分两种情况讨论：和，根据两种计费方式分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：若主叫通话时间为240分钟，上网流量为4G， 则按套餐一计费需（元）， 按套餐二计费需元， 故答案为：56，60； （2）解：设小张该月上网流量为， 由题意得：， 解得：， 即小张该月上网流量为； （3）解：存在，理由如下： 当时，， 解得： 当时，， 解得：（舍） 综上所述，t的值为210． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（2024·河北唐山·三模）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； (3)淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【答案】(1) (2)嘉嘉把“8”错写成了3 (3)淇淇的计算结果比原题的正确结果大10 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程或算式，准确计算． （1）根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x，列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据题意求出淇淇的计算结果，然后再列式求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：设嘉嘉把“8”错写成了x， 根据题意，得：， 解得， 即嘉嘉把“8”错写成了3； （3）解：淇淇的结果为：， ， 淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）观察下列三列数： 、、、+、、、…① -3、、、、、、…② 、、、、、、…③ (1)第①行第个数是 ，第②行第个数是 ； (2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和正好为，求的值． 【答案】(1)， (2)不存在，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，关键是找出数字规律． （1）根据规律进行计算即可； （2）设三个连续整数为，，，根据题意分为奇数和偶数分别列出方程，根据方程的解的情况进行判断即可； （3）分为奇数和偶数，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第个数是； 第②行第个数是； 故答案为：；． （2）解：不存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第个数是， 设三个连续整数为，，， 当为奇数时，则， 化简得，， 解得，（舍） 当为偶数时，则， 化简得，， 解得，（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为． （3）解：当为奇数时，根据题意得， ， 解得，， 当为偶数时，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上，． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）将正整数1至2022按照一定规律排成下表： 记表示第i行第j个数，如表示第1行第4个数是4． (1)直接写出 ， ， ； (2)若，那么i＝ ，j＝ ； (3)将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和能否等于2027？若能，求出这5个数中的最小数．若不能，请说明理由． 【答案】(1)18，31，37 (2)253，6 (3)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数字类变化规律，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）观察表格中的数据，根据数据的变化即可求解； （2）根据表格中数据的变化，找出2022所在的位置即可求解； （3）设这5个数中的最小数为x，则其余4个数可表示为，假设这5个数的和为2027，列方程求解，继而得到397是第50行的第5个数，而此时是第51行的第1个数，与397不在同一行，即可得出答案． 【详解】（1）根据表格可以得出， ∵前面4行一共有个数， ∴第5行的第1个数为33，则第5行的第5个数为37，即， 故答案为：18，31，37； （2）∵， ∴2018是第253行的第6个数， ∴． 故答案为：253，6； （3）设这5个数中的最小数为x，则其余4个数可表示为， 根据题意，得， 解得． ∵， ∴397是第50行的第5个数， 而此时是第51行的第1个数，与397不在同一行， ∴将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和不能等于2027． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）阅读材料，解答以下问题： 幻方历史悠久，最早出现在夏禹时代的“洛书”，即现在的三阶幻方．例如图1就是一个幻方，它的每行，每列，每条对角线上的三个数之和都为15，这个和称为幻方和，正中间的数5称为中心数． (1)如图1，幻方和是中心数的________倍； (2)如图2，已知幻方和是18，，，请利用（1）的结论，直接写出的值； (3)如图3，，，，，，是含字母的整式，且，．    ①若，求整式（用含的式子表示）； ②若，幻方和是，且，均为常数，求和的值． 【答案】(1)3 (2)2 (3)①；②， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律求解是解题的关键． （1）任取一列或一行对角线三个数字相加，然后除以中心数即可； （2）先求出中心数，然后根据每行，每列的三个数之和相等求解即可； （3）①利用（1）的结论，用即可求解；②根据，结合，均为常数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴幻方和是中心数的3倍， 故答案为：3； （2）解：由（1）知：图2的中心数为， 根据题意，得， ∴； （3）解：①根据题意，得 ； ②∵，，幻方和是， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，均为常数， ∴，， ∴，． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）图①所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题： (1)将下表填写完整； 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 三角形个数 (2)在第个图形中有______个三角形；（用含的式子表示） (3)按照上述方法，能否得到个三角形？如果能，请求出；如果不能，请简述理由． 【答案】(1)填空表见解析 (2) (3)能得到个三角形，此时 【分析】本题考查图形的变化规律，一元一次方程的应用， （1）结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的倍少个三角形由此可计算出答案； （2）根据（1）中的规律可直接写出答案； （3）根据（2）的结论得到关于的一元一次方程，求解即可； 解题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的运算规律解决问题． 【详解】（1）解：填表如下： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 三角形个数 （2）由（1）知： 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， …… ∴第个图形的三角形个数为（个）， 故答案为：； （3）依题意，得：， 解得：， ∴按照上述方法，能得到个三角形，此时． 1．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形，第2个图案有6个正方形，第3个图案有8个正方形，… 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有________个正方形； （2）第n个图案有________个正方形（用含n的代数式表示）； 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完）？若可以，请求出n的值；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）；（3）可以组成第n个图案， 【分析】本题考查图形类规律探究，从已有图形，抽象出相应的规律，是解题的关键． （1）从已有图形中，得到第n个图案有个正方形，进而求出第5个图案即可； （2）由（1）即可得出结果； （3）令，进行求解即可． 【详解】解：（1）第1个图案有：个正方形； 第2个图案有：个正方形； 第3个图案有：个正方形； ， ∴第n个图案有个正方形， ∴第5个图案有个正方形， 故答案为：12； （2）由（1）可知：第n个图案有个正方形， 故答案为：； （3）可以， 当时，． 2．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形，已知，最小正方形的边长为．    (1)用的代数式表示，的长； (2)若阴影部分的周长与长方形的周长比为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）由线段的和差关系可求解； （2）先分别求出阴影部分的周长与长方形的周长，列出方程可求解． 【详解】（1）解：；； （2）长方形的周长， 阴影部分的周长． 阴影部分的周长与长方形的周长比为， ， 解得， 答：的值为3． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为24，边长为4． (1)数轴上点A表示的数为 ． (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积记为． ①当恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为 　　． ②设点的移动距离． ．当时，　　； ．为线段的中点，点在线段上，且；当点，所表示的数互为相反数时，求的值． 【答案】(1)6； (2)①3或9； ②．；．． 【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键． （1）由矩形的面积即可表示点； （2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移； ②．； ．由点、所表示的数互为相反数，判断出正方形向左平移，点表示的数是，点表示的数是，根据已知关系能够得到； 【详解】（1）解：长方形的面积为24，边长为4． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）①当恰好等于原长方形面积的一半时， 当向左移动时， ， 移动后的表示3； 当向右移动时， ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②．， ， ， 故答案为：； ．点、所表示的数互为相反数， 正方形向左平移， ，是的中点， 点表示的数是， 点表示的数是， ， ， ， ， ． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）中国2019年国际专利申请量居全世界第一．其中，国内企业高度重视高新技术的研发．在单独的企业申请专利排行榜中，我国的华为以4411份申请排在了全球第一位，比美国的高通申请专利数量的2倍多157份．美国的高通申请专利数是多少份？ (1)把上边的线段图补画完整； (2)列式或方程解答． 【答案】(1)见详解 (2)美国的高通申请专利数是2127份 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式． （1）根据题意画图即可； （2）设美国申请份，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：设美国申请份， ， 解得：(份) ． 答：美国的高通申请专利数是2127份． 1．（23-24七年级上·天津宁河·期中）已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄比红红的年龄的 还多1岁． (1)用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和； (2)若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄． 【答案】(1)红红的年龄为岁；元元的年龄为岁；这三人的年龄和为岁； (2)明明的年龄是10岁，红红的年龄是16岁，元元的年龄是9岁 【分析】（1）根据题意分别列出红红、元元的年龄，再合并同类项，即可求出这三名同学的年龄的和； （2）根据题意可得关于m的方程，解方程求出m的值，再分别求出各自的年龄即可． 本题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用等，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1）∵明明的年龄是m岁，根据题意得， 红红的年龄为岁， 元元的年龄为岁；； 这三人的年龄和为岁； （2）根据题意得 解得 此时，， 答：明明的年龄是10岁，红红的年龄是16岁，元元的年龄是9岁． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）元旦，是世界多数国家通称的“新年”．元，谓“始”，凡数之始称为“元”；旦，谓“日”；“元旦”即“初始之日”的意思．为迎接元旦，活动课中，某班级安排了部分学生在教室打扫卫生，剩余学生全部到礼堂帮助汇演布置，已知该班级男生有20人，女生人数比男生人数多20%． (1)该班级共有多少学生？ (2)统计发现该班级在礼堂的学生数是在教室学生数的2倍少4人，求在礼堂的学生数． 【答案】(1)44人 (2)28人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式计算等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）女生的人数为，班级人数为：人； （2）设在礼堂的学生数为x人，则在教室的学生数为人，然后列方程计算即可． 【详解】（1）解：（人）， 答：该班级共有学生44人． （2）解：设在礼堂的学生数为x人，则在教室的学生数为人， 由题意可得：，解得：． 答：在礼堂的学生数为28人． 3．（23-24七年级上·江苏·周测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有6人，在乙处植树的有10人，在丙处植树的有8人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为．设支援后在甲处植树的总人数有人． (1)根据信息填表： 甲处 乙处 丙处 支援后的总人数 支援的人数 (2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍，求支援甲、乙、丙三处各有多少人？ 【答案】(1)见解析 (2)支援甲、乙、丙三处各有6人，8人，16人 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确根据题意表示出甲、乙、丙三处支援的人数，进而建立方程求解是解题的关键． （1）根据甲、乙、丙三处植树的总人数之比为得到支援后乙处和丙处指数的总人数分别有人，人，再用支援后的人数减去支援前的人数，即可求出支援三处的人数； （2）根据（1）所求结合支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设支援后在甲处植树的总人数有人，则支援后乙处和丙处指数的总人数分别有人，人， ∴乙处支援的人数为人，丙处支援的人数人， 填表如下： 甲处 乙处 丙处 支援后的总人数 支援的人数 （2）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴支援甲、乙、丙三处各有6人，8人，16人． 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 【答案】(1)小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； (2)，； (3)千瓦时 【分析】本题考查的是列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解题的关键是明确用电量是属于哪一个范围的．（1）小虎家三月份用电千瓦时，在千瓦时以内，用元乘以用电的千瓦时即可得应交电费；丽丽家三月份用电千瓦时，在0千瓦时之间，200千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费； （2）聪聪家五月份用电量为千瓦时，若x在之间时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费；若时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时不超过千瓦时的用电量乘以元，超过千瓦时的用电量乘元，三者相加即可得应交电费； （3）通过计算先判断出该超市的用电量超过了千瓦时，再代入（2）中相应的代数式计算即可． 【详解】（1）解：小虎家三月份应交电费 元)， 丽丽家三月份，应电费；元)， 答：小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； （2）解：聪聪家五月份用电量为x千瓦时， 若在之间时，应交电费元， 若时，应交电费元， 故答案为：，； （3）当用电量为200千瓦时，应交电费元)， 当用电量为千瓦时，应交电费元)， ， 所以该超市的用电量超过千瓦时， 令，解得：， 答：该超市三月份用电千瓦时． 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】(1)①；② (2)（元） (3)本月用电344度 【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． ②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． (2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论． （3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于元；根据分档计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）①根据时，每千瓦·时 元， 故， 故答案为：． ②根据时，每千瓦·时 元， 故 ， 故答案为：． （2）根据时，每千瓦·时 元， 故， 由， 故当时， (元)． 答：应交电费元． （3）根据题意，当时，最多费用为元； 当时，最多费用为元； 当时，费用大于元； ∵， ∴用电量满足， 设用电x度，根据题意，得， 解得， 答：本月用电344度． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，表示立方米）： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 8元 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费_______元；若该户居民3月份用水，则应收水费__________元． (2)若该户居民5月份的水费为36元，则5月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)8，20 (2)该户居民5月份的用水量为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出代数式以及方程． （1）2月份用水量不超出，用第一阶段的水费进行求解即可，3月份用水量超出不超出，根据题意列式计算即可； （2）由题意可得，该户居民5月份的用水量超过，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得2月份水费为（元）， 3月份水费为（元）， 故答案为：8，20； （2）解：∵， ∴该户居民5月份的用水量超过， 设该户居民5月份的用水量为， 根据题意，得， 解得， 答：该户居民5月份的用水量为． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）目前，某市市区居民用管道天然气继续执行阶梯价格制度．各阶梯价格水平如下： 一户居民一年用气量（单位：立方米） 电价（单位：元/立方米） 第档 不超过立方米的部分 第档 立方米以上至立方米（含）部分 第档 立方米以上的部分 (1)小明家年用气立方米，小明家年应缴费___________元． (2)若某户年用气量为立方米，当时，则应缴费___________元（用含的代数式表示）． (3)按照此方案结算，某户年实际缴纳燃气费元，求该户年实际用气量为多少立方米？ 【答案】(1) (2) (3)立方米 【分析】本题考查一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法的应用， （1）根据第档的价格列式计算即可； （2）根据，结合各阶梯价格列式计算即可； （3）设该户年用气量为立方米，根据“实际缴纳天然气费元”确定的范围，然后列方程求解即可； 正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵小明家年用气立方米，且， ∴小明家年应缴费：（元）， 故答案为：； （2）∵某户年用气量为立方米，且， ∴应缴费：（元）， 故答案为：； （3）解：当用天然气立方米时，费用为：（元）， 当用天然气立方米时，费用为：（元）， ∵， ∴缴纳天然气费元，使用量大于且小于立方米， 设该户年用气量为立方米， 依题意，得：， 解得：， ∴该户年实际用气量为立方米． 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（20-21六年级下·上海·期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 【答案】从六年级抽出64人，从七年级抽出69 【分析】总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133-x）， 由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1， 即（192-x）：x=2：1， 解得：x=64， ∴133-64=69（人）． 答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人． 【点睛】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解． 1．（20-21七年级上·湖南永州·期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？ 【答案】甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元 【分析】设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意列出一元一次方程求解即可； 【详解】解：设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得， 3x+4x+5x=216， 解得，x=18． 所以3x=54，4x=72，5x=90； 答：甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键． 2．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 【答案】12人 【分析】设现在全组人数为x人，则现在男生有人，然后根据再增加6名男生，那么男生人数将占全组人数的列方程，再解方程即可． 【详解】设现在全组人数为x人，则现在男生有人， 根据题意得：， 解得：人． 答：这个课外活动小组现在的人数为12人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知数为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 3．（20-21七年级上·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【答案】万元；万元；万元 【分析】根据题意，设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元，列出方程求解． 【详解】解:， 设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元， 解得， ， 答:甲可以分得万元，乙可以分得万元，丙可以分得万元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据比例关系列出方程进行求解． 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 【答案】(1)153 (2)方框中的9个数是方框正中心的数的9倍 (3)第62行，第4列 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，理清中间数与周围8个数的关系是解答本题的关键． （1）根据表格列式求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍． （3）解：设方框正中心数为， 由题意，得， ∴， ∵第1行最后一个数是， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， …， ∴第n行最后一个数是， ∴第61行最后一个数是， ∴370落在第62行，第4列． 1．（21-22七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，106；②15，16，17，18 (2)能等于222，最小数为10，不能等于246，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的特点是解题的关键． （1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，，，那么这4个数的和为，然后解方程求出的值，进而求出其他三个数； （2）设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知，分别等于222和246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点． 【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为 从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106． ②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为，由题意可知 解得 那么这4个数分别为15，16，17，18． （2）解：设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知 解得： 从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27； ∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是10， 不能等于246，理由如下： 当 解得： 从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【答案】(1)十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍 (2)十字框中间的数是 (3)十字框框出的个数之和可以是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题意列式计算，即可找出相应关系； （2）根据“十字框框出的个数之和为”列方程求解即可； （3）根据“十字框框出的个数之和是”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 答：十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍； （2）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 答：十字框中间的数是； （3）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 且， 十字框框出的个数之和可以是， 答：十字框框出的个数之和可以是． 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【答案】（1）；（2），，，；（3）；（4）；（5）①和是中间的数的9倍；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握日历或数表上的相邻数间的关键是解题的关键． （1）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （2）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （3）设中间的数是，其他的数为，，，，列式求解即可； （4）设最后一个星期日是，，，，，列式求解即可； （5）①先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，求和可得和是中间的数的9倍； ②利用和是中间的数的9倍列式求解即可； ③利用和是中间的数的9倍列式求解即可． 【详解】解：（1）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， 故答案为：； （2）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， ，， 故答案：，，，； （3）设中间的数是， 则其他的数为，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （4）设最后一个星期日是，，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （5）①设中间的数是，其他的数为，，，，，，，， 则和为， 故答案为：和是中间的数的9倍； ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：； ③设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 【答案】绳索长为20尺，竿长15尺． 【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可． 【详解】解∶设绳索长尺，则竿长为尺． 根据题意可得， 解得 （尺）， 答：绳索长为20尺，竿长15尺． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关键． 1．（23-24·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】39人，15辆车 【分析】设一共有x人，分别表示两种方式的车辆数，根据车辆数相等建立方程求解即可． 【详解】设一共有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：一共有39人，15辆车． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 3．（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 【答案】(1)售出成人票650张，学生票350张； (2)学生票打5折． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设售出成人票x张，则售出学生票张，根据一共筹得票款34750元列出方程求解即可； （2）设学生票打a折，分别计算出打折后学生票和成人票的票款，然后根据总票款为元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设售出成人票x张，则售出学生票张． 根据题意，得， 解得． ∴． 答：售出成人票650张，学生票350张； （2）解：设学生票打a折， 根据题意，得． 解得． 答：学生票打5折． 1．（24-25七年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 【答案】(1) (2)元 (3)次 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用， （1）由表格可知：每乘一次车，就用去元，进一步利用总金额减去乘车消费的钱数即可； （2）把代入（1）中的代数式得出答案即可； （3）由（1）中的代数式，令余额为，建立方程求得即可； 根据题意，得出余额的表示方法是解题的关键． 【详解】（1）解：用乘车的次数表示余额的式子为； （2）解：当时，（元）， ∴余额为元； （3）解：依题意得：， 解得：， ∵乘车的次数是非负整数， ∴小华最多乘坐次． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查图形规律题， （1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）探究规律，利用规律即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题； 解题的关键是学会并掌握从特殊到一般的探究规律的方法．也考查了一元一次方程的应用． 【详解】（1）解：∵第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， ∴第次可得正方形：（个）， 第次可得正方形：（个）， 故答案为：； （2）由（1）得：第次可得个正方形， 故答案为：； （3）不能， 理由：依题意得：， 解得：， ∵是正整数， ∴当时不符合题意， ∴不能将正方形划分成个正方形的图形． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【答案】(1)或； (2)一张卡片克，一根吸管克； (3)成立，卡片4张． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式表达式： （1）根据记录1和2，天平平衡，则天平左右两边的重量相同，据此列式求解即可； （2）由（1）得一根吸管重克或克，列式进行计算，即可作答． （3）先设卡片的数量是张，则吸管的数量是根，由（2）得出一张卡片克，一根吸管克，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由记录1得4张卡个砝码等于16根吸管，且设一张卡片重x克， ∴根吸管， ∴一根吸管重克； 由记录2得8张卡根吸管等于5根吸管个砝码， ∴根吸管根吸管， ∴一根吸管重克； 则一根吸管重克或克； （2）解：由（1）得一根吸管重克或克， ∴， 解得， 把代入， 得（克） ∴一张卡片克，一根吸管克； （3）解：成立，过程如下： 设卡片的数量是张，则吸管的数量是根， 由（2）得出一张卡片克，一根吸管克； ∴卡片重克，吸管重（克）， ∵为正整数， ∴， ∴把卡片与砝码一同放入天平左边，吸管放入天平右边， ∴， 解得， ∴假设成立，卡片4张． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 【答案】(1)，，； (2)当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； (3)当或秒时，线段的长度等于的两倍． 【分析】本题考查非负性的应用，解一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）由，得到，，则点表示的数是，点表示的数是，由两点对应的数的平均数直接求出、的中点表示的数； （2）根据点的运动速度和方向，直接表示出点、所表示的数，再根据、相遇时所表示的数相等列出方程求解即可； （3）先利用中点坐标公式求出，的坐标，再用两点间的距离公式列出绝对值方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴线段的中点表示的数为：， 故答案为：，，； （2）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，则、表示的数相等， 解得： ∴当时，、相遇， 此时，， ∴相遇点表示的数为， ∴当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）解：∵秒后，点表示的数，点表示的数为 ， ∵点表示的数为，点表示的数为， ， 依题意得，， 或， 解得：或， ∴当或秒时，线段的长度等于的两倍． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键． 2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 【答案】(1)3，5 (2)1或 (3)6 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值及一元一次方程的应用． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解答； （2）利用两点间距离公式列出关于a的方程，即可求解； （3）根据表示数a到点与2两点的距离的和即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； （2）解：根据题意得：， 则， 或， 的值为或； （3）解：若数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【答案】(1)或2 (2)当经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心” 【分析】（1）根据定义，得到点C表示的数为或，解答即可． （2）设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为，分类思考如下： 当点Q在点B的右侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次． 本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分类思想，熟练掌握定义，正确分类是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得点C表示的数为或即或， 故答案为：或2． （2）解：设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为， 当点Q在点B的右侧时，此时，， 根据定义，得到：， 解得； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，， 根据定义，得到， 解得． 故经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心”． 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)270 (2)1050 (3)10人；40人 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 【答案】(1)新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为 (2)用新工艺加工一个月的食品总量是 (3)销往大庆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为，依题意得，，可求，根据用新工艺加工一个月的食品总量是，计算求解即可； （3）设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为，依题意得，，可求，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为，设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品，根据获利总价材料费污水处理费运费（销往大庆和销往齐齐哈尔），列方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为， 依题意得，， 解得，， ∴新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为； （2）解：设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴用新工艺加工一个月的食品总量是； （3）解：设大庆到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为， 依题意得，， 解得，， ∴大庆到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为， 设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品， 依题意得，， 解得，， ∴销往大庆吨食品． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 【答案】(1)，8 (2)或 (3)，，或6 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，弄清点运动的方向、速度和时间是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解； （2）根据相遇前和相遇后，列方程求解即可； （3）根据点到达点前和返回后，点在的左右两侧，根据找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 故答案为：，8； （2）解：，． 表示的数是，表示的数是8， ， 点、、是线段的四等分点， ， 又四边形，，是正方形， ， 若，相遇前，则有，， 解得，； 若，相遇后，则有， 解得，， 综上，线段时，或， （3）解：点从到运动时间为（秒， 点从点运动到点所需时间为：（秒，从点到点所需时间为（秒， 则点第二次到达点所需时间为（秒， 故点运动总时间为（秒， ①当点向运动时，点在左侧时，则有． 解得，； ②当点向运动时，点在右侧时，则有， 解得，； ③当点从向运动时，点在右侧时，则有， 解得，， ④当点从向运动时，点在左侧时，则有， 解得，， 综上，线段时的值为，，或6． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为，16，（规定数轴上两点A、B之间的距离记为）．若点C在A，B两点之间，且满足，则点C对应的数是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，设点C对应的数是，表示出和，再结合列方程求解即可． 【详解】解：设点C对应的数是， ∵点A、B表示的数分别为，16，点C在A，B两点之间 ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴点C对应的数是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（   ） A．不赚不赔 B．无法比较 C．赔18元 D．赚18元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设盈利的上衣的进价为x元，亏损的上衣的进价为y元，根据利润销售收入成本，即可得出一元一次方程，解之即可得出两件上衣的成本，再利用总利润两件上衣的总售价两件上衣的总成本即可求出结论． 【详解】解：设在这次买卖中盈利的上衣的原价是x元，根据题意得 ， 解得：， 设亏本的上衣的原价为y元， 则可列方程：， 解得：， ∵（元）， ∴两件相比则一共赔了18元． 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（　　） A． B． C．或 D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积公式的运用以及一元一次方程的应用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键，同时要注意分类讨论．分当点在上时，当点在上时，两种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：，点是的中点， ， ①如图1，当点在上，， ，的面积等于， ， 解得：； ②如图2，当点在上时，， ， ， 解得：t； 综上所述，值是或， 故选：C． 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程应用，涉及有理数的加法，根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，列方程即可求出a的值，从而得到答案． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故选：B． 5．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）2024年春节期间，某商场打出促销广告，如表所示． 优惠 条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠 办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠，超过500元部分按八折优惠 春节的某一天，小雅妈妈在该商场购买了一些商品，经过商场打折优惠后支付了522元，则小雅妈妈比原价节省了（    ）元 A．58元 B．68元 C．130.5元 D．78元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题知可推出小雅妈妈在该商场一次性购物超过500元，设小雅妈妈原价为元，根据“经过商场打折优惠后支付了522元”建立等式求解得到原价，再利用原价减去打折优惠后的价格，即可解题． 【详解】解：（元）， ， 小雅妈妈在该商场一次性购物超过500元， 设小雅妈妈原价为元， ， 解得， （元）， 故选：B． 6．（21-22九年级下·上海·自主招生）某城市按以下规定收取煤气：（1）每月所用煤气按整立方米数计算：（2）若每月用煤气不超过立方米，按每立方米元收费；若超过立方米，超过部分按每立方米元收费．已知某户人家某月的煤气费平均每立方米元，则这户人家需要交煤气费 元． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，准确找出等量关系是解题的关键． 设4月份用了煤气x立方米，4月份的煤气费平均每立方米元，那么煤气一定超过立方米，根据题意，找出等量关系，再把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以即为煤气费． 【详解】解：设4月份用了煤气立方米， 由题意得，， 解得：， 则煤气费为：（元）， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是、5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴和一元一次方程的知识，解题的关键是根据数轴的性质，列出方程，求解方程．设点C表示的数为x，根据，列出方程，解出，即可． 【详解】解：点C表示的数为x， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列方程是解题的关键． 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数即可求解． 【详解】解：∵，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2， ∴， ∴， ∴内圈上空缺的数为：， 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 即的值为或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）客、货两车同时从A、B两地相向而行，在距A地100千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地60千米处第二次相遇．A、B两地相距 千米． 【答案】240 【分析】本题考查行程问题，设A ，B 两地相距千米，根据客车走的路程进行列方程，解方程即可． 【详解】解：设A，B 两地相距千米，第一次相遇时客货两车走过一个x，其中客车走过100千米，第二次相遇时俩车共走过，其中客车走过千米，同时可知客车走过的路程为千米， 则 解得， 即A，B 两地相距千米， 故答案为：240． 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）（多选）如图，在中，，，，点E是的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿运动，若设点P运动的时间是，当的面积等于时，则t的值是 ．（填序号） ①   ②   ③   ④ 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，动点问题，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：点在上时和点在上时，分别表示出的面积，求出的值即可． 【详解】解：，点是的中点， ， 当点在上时，此时， 由题意可知，， ， 解得：； 当点在上时，此时， 由题意可知，， ， ， 解得：， 综上可知，当的面积等于时，则的值是或． 故答案为：①④． 11．（24-25七年级上·湖南长沙·开学考试）李师傅三天完成一批零件的加工任务，第一天加工的零件数与总零件数的比是，第二天加工了180个零件，前二天加工的零件数正好占总零件数的．李师傅第一天加工了多少个零件？ 【答案】90个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量的关系是解题关键．设总零件数为个，则第一天加工的零件数为个，前二天加工的零件数为个，据此列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设总零件数为个，则前二天加工的零件数为个， 根据题意，第一天加工的零件数与总零件数的比是 即第一天加工的零件数为个， 则有，解得（个）， 所以，（个）． 答：李师傅第一天加工了90个零件． 12．（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 【答案】(1)售出成人票650张，学生票350张； (2)学生票打5折． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设售出成人票x张，则售出学生票张，根据一共筹得票款34750元列出方程求解即可； （2）设学生票打a折，分别计算出打折后学生票和成人票的票款，然后根据总票款为元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设售出成人票x张，则售出学生票张． 根据题意，得， 解得． ∴． 答：售出成人票650张，学生票350张； （2）解：设学生票打a折， 根据题意，得． 解得． 答：学生票打5折． 13．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）如图所示为某种产品的表面展开图，长为． (1)求这个产品的体积； (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此包装纸箱的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，长方体表面积和体积计算： （1）设高为，则宽为，根据题意可得方程，解方程求出高和宽，再根据长方体体积计算公式求解即可； （2）要使纸箱的表面积尽可能小，则该产品的这个面要重合在一起，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设高为，则宽为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴高为，宽为， 根据题意可知，这个产品的形状是一个长方体， ∴这个产品的体积为 ； （2）解：∵要使纸箱的表面积尽可能小， ∴该产品的这个面要重合在一起， ∴此包装纸箱的表面积为． 14．（22-23七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： (1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 【答案】(1) (2)购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样 (3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解． （1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可； （2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案； （3）先用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤． 【详解】（1）解：根据题意得， 故按方案一，购买裤子和T恤共需付款； （2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款， 根据题意得，， 解得， 答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样； （3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款 （元）， 共需付款3400元． 15．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点A，B在数轴上（点A在点B左侧），A，B两点表示的数分别为a和b，满足，点A，B之间的距离记为．数轴上有另一点C，满足． (1)求a，b的值，和线段的长度； (2)求点C所表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度在数轴匀速运动，设运动时间为，当时，求t的值． 【答案】(1)；3；6 (2)或 (3)． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，非负数的性质以及绝对值，正确表示出数轴的点所表示的数是解题关键． （1）由，得出且，解方程求出，，从而求出； （2）根据，得出，再由点表示的数是，可得出点表示的数； （3）由题意得由题意得，，分两种情况讨论：当点P向左运动时，当点P向右运动时，若点P运动到与点重合时，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵，， ∴， ∵点表示的数是 ∴点表示的数是或 （3）由题意得，， 当点P向左运动时，由可得： ， 解得：， 当点P向右运动时， 若点P运动到与点重合时，则，则 ， 解得：， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$