专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项与移项解一元一次方程 题型二 去括号解一元一次方程 题型三 去分母解一元一次方程 题型四 解一元一次方程的拓展问题 题型五 一元一次方程的同解问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的含参问题 题型八 一元一次方程中的错看、错解问题 题型九 一元一次方程的遮挡问题 题型十 一元一次方程中的新定义问题 题型十一 含绝对值计算的一元一次方程 题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点一、解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例1】（22·23七年级上·河南开封·期中）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（22·23七年级上·湖南长沙·期末）如果单项式与是同类项，那么（   ） A． B． C． D． 2．（22·23下·哈尔滨·开学考试）当x的值为时，代数式的值是，则当时，这个代数式的值为 ． 3．（23·24上·全国·课堂例题）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题二 去括号解一元一次方程】 【例2】（22·23七年级上·天津南开·期末）四位同学解方程，去分母分别得到下面的四个方程： ①；                ②； ③；            ④． 其中解法有错误的是（    ）． A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 1．（22·23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去分母得 C．由，去括号得 D．把中的分母化为整数得 2、（22·23上·盐城·阶段练习）当 时，式子与的值相等． 3．（23·24上·广州·期中）解方程 (1) (2) 【经典例题三 去分母解一元一次方程】 【例3】1．（22·23上·福州·阶段练习）已知是方程的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 1．（22·23下·长治·阶段练习）小明同学在解方程去分母时，由于方程的右边的忘记了乘以15，因而他求得的解为，该方程的正确的解为（    ） A． B． C． D． 2．（22·23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值 ． 3．（22·23上·十堰·期中）解方程 (1) (2) 【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】 【例4】（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 3．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【经典例题五 一元一次方程的同解问题】 【例5】（23-24七年级下·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 1．（23-24七年级下·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 2．（23-24七年级下·全国·期中）已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 【例6】（23-24七年级下·四川内江·期末）若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24七年级上·四川成都·期末）若关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为（    ） A．1 B．2 C．3或4 D．0或1 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）若关于 的方程的解为整数，则整数 ． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对______； (2)若有理数对，则______； (3)当满足等式的是整数时，求整数的值． 【经典例题七 一元一次方程的含参问题】 【例7】（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 1．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（22-23七年级上·浙江宁波·阶段练习）若关于的方程的解是，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·河南漯河·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值． 【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例8】（23-24七年级上·山东滨州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为(   ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）同学小明在解关于的方程（　　）时，把（　　）处的数看错，得错解，则小明把（　　）处看成了 ． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：   ① ② ③ ④ ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误． (1)请你指出他错在______（填编号），该方程正确的解是：______； (2)请你自己细心地解下面的方程：． 【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】 【例9】（23-24七年级下·山西晋城·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24七年级下·山西临汾·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（21-22七年级上·河北唐山·期末）嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 3．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】 【例10】（23-24七年级下·湖南·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）定义运算“*”为，若，则x为（    ） A． B．1 C． D．5 2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】 【例11】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 3．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 【例12】（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（2022七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 2．（22·23七年级上·江苏常州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．（22·23七年级下·吉林长春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m　 　． (2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为　 　． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 1．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）若代数式和的值相同，则x的值是（   ） A．9 B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 6．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若，则的值为 ． 7．（23-24七年级上·北京·阶段练习）定义新运算：表示 a，b 的差（大减小）的两倍，例如：，若，则 x 的值是 ． 8．（23-24七年级下·全国·期中）如果方程的解是，则的值是 ． 9．（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 10．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 11．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 13．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）设，． (1)求：； (2)若，且，求a的值． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为，且，则方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项与移项解一元一次方程 题型二 去括号解一元一次方程 题型三 去分母解一元一次方程 题型四 解一元一次方程的拓展问题 题型五 一元一次方程的同解问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的含参问题 题型八 一元一次方程中的错看、错解问题 题型九 一元一次方程的遮挡问题 题型十 一元一次方程中的新定义问题 题型十一 含绝对值计算的一元一次方程 题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点一、解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例1】（22·23七年级上·河南开封·期中）如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项得定义，分别得到关于a和关于b的一元一次方程，解之，代入方程，解关于x的一元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， 把代入，得， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和同类项，正确掌握同类项得定义和解一元一次方程的方法是解题的关键． 1．（22·23七年级上·湖南长沙·期末）如果单项式与是同类项，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据同类项的定义可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了同类项、一元一次方程的应用，解题的关键是熟记同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项． 2．（22·23下·哈尔滨·开学考试）当x的值为时，代数式的值是，则当时，这个代数式的值为 ． 【答案】 【分析】将代入到代数式，得到，再将代入到代数式，再计算即可． 【详解】解：当时，代数式的值为， ， ∴， 当时，代数式得： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的应用，解题的关键是灵活运用整体思想，并正确计算． 3．（23·24上·全国·课堂例题）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解； （3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解； （4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解； （5）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ； （5）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤． 【经典例题二 去括号解一元一次方程】 【例2】（22·23七年级上·天津南开·期末）四位同学解方程，去分母分别得到下面的四个方程： ①；                ②； ③；            ④． 其中解法有错误的是（    ）． A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据去分母的规则，对选项逐个判断即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以6，可得：，可知，③正确，④错误， 去括号可得：，可知，①错误，②正确， 错误的是：①④ 故选：D 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，去分母和去括号，解题的关键是熟练掌握去分母和去括号的规则． 1．（22·23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去分母得 C．由，去括号得 D．把中的分母化为整数得 【答案】D 【分析】运用解一元一次方程的步骤逐项判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，原选项不符合题意； B、由，去分母得，原选项不符合题意； C、由，去括号得：，原选项不符合题意； D、由，则，原选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的去分母和去括号是解本题的关键． 2、（22·23上·盐城·阶段练习）当 时，式子与的值相等． 【答案】3 【分析】根据两个代数式的值相等列方程即可求解. 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， 即当时，式子与的值相等， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了代数式的值相等的问题，根据相等关系构成一元一次方程是解题关键，比较简单. 3．（23·24上·广州·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为即可； （）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为即可． 【详解】（1） 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，; （2） 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【经典例题三 去分母解一元一次方程】 【例3】1．（22·23上·福州·阶段练习）已知是方程的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值和解一元一次方程是解题的关键． 1．（22·23下·长治·阶段练习）小明同学在解方程去分母时，由于方程的右边的忘记了乘以15，因而他求得的解为，该方程的正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据错误的结果，确定出的值，进而求出正确的解即可． 【详解】解：根据小明的错误解法， 去分母得：， 去括号得：， 把代入得：， 解得； 将代入原方程得正确方程为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得， 解得， 所以原方程正确的解为． 故选：A． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，注意错误解题的位置，根据错误解，先求出字母的值；再根据正确的方程进行解方程． 2．（22·23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值 ． 【答案】5 【分析】先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程， 得：， 把代入方程， 得：， 解得：, 故答案为：． 【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键． 3．（22·23上·十堰·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）先将方程整理，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， ∴， 即方程的解为：； （2）解：， 方程整理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 即方程的解为． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1． 【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】 【例4】（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据第一个方程的解是得出关于的一元一次方程中，再求出即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中， 解得：， 即关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，根据已知条件得出方程，求出方程的解即可，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 解得：， 故选：． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代入法、一元一次方程的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．首先把根代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据方程与k无关的应满足的条件求出a、b的值，最后求出结果即可． 【详解】解：把代入原方程并整理得， 整理得：， 要使等式不论k取什么数均成立，只有， 解得：，， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于的方程，再求解； （3）由关于的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵关于的方程与方程是“美好方程” ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为，其中一个解为， ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于的一元一次方程的解为： ∴关于的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 【经典例题五 一元一次方程的同解问题】 【例5】（23-24七年级下·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，首先解出x的值，再代入方程求出a的值即可． 【详解】解：解方程，得：， 方程与关于的方程的解相同， 将代入方程中， 得到， 解得：， 故选：A． 1．（23-24七年级下·全国·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（      ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、以及两个方程同解的问题．先通过移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解，再将x的值代入方程可得一个关于m的方程，求解即可． 【详解】解： ， 关于x的方程与的解相同， ，即， 解得：， 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·期中）已知方程和方程有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程， 首先根据一元一次方程的解法求出方程的解； 然后把x的值代入方程，求解m的值即可,解题的关键是能够求解关于的方程，要正确理解方程解的含义． 【详解】解： ， ，代入得： ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 【例6】（23-24七年级下·四川内江·期末）若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 先解方程可得，再根据关于的方程有整数解，为整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， ∴， ∵关于的方程有整数解，为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴满足条件的整数的取值个数是， 故选：C． 1．（23-24七年级上·四川成都·期末）若关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为（    ） A．1 B．2 C．3或4 D．0或1 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解含字母系数的一元一次方程，掌握方程的解即是正整数和是整数的两个条件是解题的关键． 首先求出关于的方程的解，解得，再根据方程的解为正整数，为整数，分类讨论即可求出的值． 【详解】解：由题可知，， 解得：， 方程的解为正整数，为整数， 或， 或， 故选：D． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）若关于 的方程的解为整数，则整数 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解求参数，先解一元一次方程，得到，根据一元一次方程的解为整数且为整数，可得或或或，据此即可求解，掌握求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， ∴， ∵关于 的方程的解为整数，且为整数， ∴或或或， ∴或或或， 故答案为：或或或． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对______； (2)若有理数对，则______； (3)当满足等式的是整数时，求整数的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出的值； （3）原式利用题中的新定义计算，求出整数的值即可． 【详解】（1）根据题意得：原式； 故答案为：13； （2）根据题意化简得：， 解得：； 故答案为：； （3）等式的是整数， ， ， ， 是整数， 或， ． 【经典例题七 一元一次方程的含参问题】 【例7】（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 则的值为． 故选：A． 1．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·阶段练习）若关于的方程的解是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入方程，再解关于的一元一次方程即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南漯河·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“乘解方程”．例知：的解为，且，则方程是“乘解方程”，请回答下列问题， (1)判断是不是“乘解方程”，并说明理由； (2)若关于的一元一次方程是“乘解方程”，求的值． 【答案】(1)是“乘解方程”，理由见解析； (2)的值为． 【分析】（）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可； （）根据“乘解方程”的概念，列出关于的一元一次方程，然后解方程即可； 本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：是“乘解方程”，理由： 由解得：， ∵， ∴方程是“乘解方程”； （2）解：由解得：， ∵关于的一元一次方程是“乘解方程”， ∴， 解得：， ∴的值为． 【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例8】（23-24七年级上·山东滨州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（    ）处为，则原式为，把代入解得，即可作答． 【详解】解：依题意，先设（    ）处为， 则原式为， 把代入，得 解得， 故选：C 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的概念，正确解一元一次方程是关键；由题意知是方程的解，把解代入此方程则可求得a的值；再a的值代入中并解方程即可． 【详解】解：由题意知，是方程的解， 所以， 解得：， 把代入，得， 解得：； 故选：C． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）同学小明在解关于的方程（　　）时，把（　　）处的数看错，得错解，则小明把（　　）处看成了 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元一次方程和方程的解．可设（ ）内的数为，则错解得方程为，将代入即可． 【详解】解：设（ ）内的数为，则错解的方程为， 依题将代入得： 解得：． 故答案为：9． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：   ① ② ③ ④ ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误． (1)请你指出他错在______（填编号），该方程正确的解是：______； (2)请你自己细心地解下面的方程：． 【答案】(1)①； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算． （1）根据小明的解题过程进行判断即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1． 【详解】（1）解：小明在第①步去分母时，1漏乘了12； ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 故答案为：①；． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】 【例9】（23-24七年级下·山西晋城·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程成立的未知数的值，代入进行计算即可求解，比较简单． 把方程的解代入方程进行计算即可求解． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得． 故选C． 1．（23-24七年级下·山西临汾·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解得定义以及一元一次方程的解法．设被污染的数字为a，将代入，得到关于a的方程，从而可求得a的值． 【详解】解：设被污染的数字为a． 将代入得：． 解得：． 故选：C． 2．（21-22七年级上·河北唐山·期末）嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 【答案】-7 【分析】设■处的数字为a，把x=2代入方程 得出 ，再求出方程的解即可． 【详解】解：设■处的数字为a， 把x=2代入方程得：， 解得：a=-7， 即■处的数字为-7， 故答案为：-7． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 3．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】 【例10】（23-24七年级下·湖南·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，由题意可得，解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 移项得， 系数化为得，， 故选：． 1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）定义运算“*”为，若，则x为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程，根据将定义将变形为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选D． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由题意得出，即可得出关于x的方程，解方程即可得出答案，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】 【例11】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，倒数和绝对值的定义，代数式求值，根据绝对值的定义得到，解方程可得或；根据倒数的定义可得，解得，据此代值计算即可． 【详解】解；∵的绝对值是2， ∴， ∴或， ∴或； ∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴或 故选：C． 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 【答案】C 【分析】根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或， ∴或， ∴x的相反数是或1． 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意列得方程是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据当时，取到最小值为0，据此求解即可． 【详解】解：当时，取到最小值为0．则的最小值是5； 当时，式子取到最大值， ∴， 解得， 故答案为：5；． 3．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【答案】(1)；或 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值； （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据题意对去绝对值即可求解； （3）分数的点位于的左边或的右边两种情况讨论，再分别计算即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或； （2）解：数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：； （3）解：， 数的点位于的左边或的右边， 当数的点位于的左边时，则， 解得； 数的点位于的右边，则， 解得； 综上，或． 【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 【例12】（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， 即的解是， ∴ ∴， ∴， 即 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 1．（2022七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的整体替换即可解得． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为 ∴关于y的一元一次方程中， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的的解，解题的关键是会用整体替换的思想． 2．（22·23七年级上·江苏常州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为：， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 3．（22·23七年级下·吉林长春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m　 　． (2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为　 　． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解； 【详解】（1）解：∵方程的解为， 方程的解为， 而方程与是“友好方程”， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为， 依题意得或， 解得或， 故k的值为或； （3）解：方程的解为， ∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”， ∴关于x的方程的解为， ∵关于y的一元一次方程变形得， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 1．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，换元法解方程．理解把关于y的方程中的比作关于x的方程中的x是解题关键．关于y的方程可变形为，结合题意可得出，解出y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解为． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）若代数式和的值相同，则x的值是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程．根据题意得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：C． 2．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 3．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据第一个方程的解是得出关于的一元一次方程中，再求出即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中， 解得：， 即关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程的解，根据新定义得到关于m的方程是解题的关键．利用题中的新定义化简，然后解一元一次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：， 即， 解得：， 故选：D． 5．（23-24七年级下·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，首先解出x的值，再代入方程求出a的值即可． 【详解】解：解方程，得：， 方程与关于的方程的解相同， 将代入方程中， 得到， 解得：， 故选：A． 6．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查的是绝对值，熟知互为相反数的两个数绝对值相等是解题的关键．先去绝对值符号，再求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 故答案为：或5． 7．（23-24七年级上·北京·阶段练习）定义新运算：表示 a，b 的差（大减小）的两倍，例如：，若，则 x 的值是 ． 【答案】2或28/2或82 【分析】此题主要考查了新定义的运算及解一元一次方程，要熟练掌握新定义的运算是解决本题的关键．根据，得，或，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：， ，或， ，或， ，或， 解得或28． 故答案为：2或28． 8．（23-24七年级下·全国·期中）如果方程的解是，则的值是 ． 【答案】30 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，代数式求值，将代入方程，得到关于a的一元一次方程，求解出a的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：，即， 解得：， ， 故答案为：30． 9．（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代入法、一元一次方程的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．首先把根代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据方程与k无关的应满足的条件求出a、b的值，最后求出结果即可． 【详解】解：把代入原方程并整理得， 整理得：， 要使等式不论k取什么数均成立，只有， 解得：，， ∴． 故答案为：． 10．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的解的定义，是解题的关键． 先求出的解，再把x的值代入，求解即可． 【详解】解：∵的解是：， 又∵方程和有相同的解， ∴把，代入，得， 解得：． 则， 故答案是：． 11．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）利用比的性质先整理，再将未知数系数化为1即可； （2）先移项、合并同类项，然后再将未知数系数化为1即可； （3）将百分数化为小数，合并同类项，然后再将未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解决此题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化1即可； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化1即可； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可 （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式和方程是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则，将和代入计算即可； （2）根据新定义的运算规则，将和x代入可得关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）设，． (1)求：； (2)若，且，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，非负数的性质，解一元一次方程等知识，关键是熟练进行整式加减运算． （1）去括号，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质求得x、y的值，再把两个值代入等式中即可求得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，且， ∴， ∴； ∵， ∴； 把代入上式中，得：， 解得：． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为，且，则方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否是差解方程； (2)若关于的一元一次方程是差解方程，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的应用， （1）求出方程的解，再根据差解方程的意义得出即可； （2）根据差解方程得出关于的方程，求出方程的解即可； 能理解差解方程的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴是差解方程； （2）∵关于的一元一次方程， 解得：， 又∵关于的一元一次方程是差解方程， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$