专题01 从问题到方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 从问题到方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 一元一次方程的定义 题型四 方程的解集 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【经典例题二 列方程】 【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 1．（23-24七年级上·全国·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 3．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为 ．   3．（23-24六年级上·山东威海·期末）已知是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若方程的解为，求此时的值． 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 3．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】（23-24七年级上·云南红河·期末）已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 2．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）若，则下列式子中正确的是（填序号） ． ①，②，③，④． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 1．（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·四川广安·阶段练习）已知x满足，则 ． 3．（2024六年级上·上海·专题练习）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（2023·山东临沂·模拟预测）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 3．（21-22七年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 1、（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 2、（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 3、（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 1、（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 2、（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 3、（2023秋·七年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（23-24七年级下·重庆黔江·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则实数的取值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 6．（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 7．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ． 8．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于的方程的解，则代数式的值为 ． 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 10．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 12．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 14．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，求的值． 15．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 从问题到方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 一元一次方程的定义 题型四 方程的解集 题型五 根据方程的解求值 题型六 根据等式的性质判断变形是否正确 题型七 利用等式的性质解方程 题型八 利用等式的性质比较大小 题型九 根据等式的性质检验方程的根 题型十 有规律的方程的解 知识点一、方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 知识点二、一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 知识点三、方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 知识点四、等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 【详解】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【答案】②③④⑥ 【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 【详解】解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；①和⑤分母中含未知数，是分式方程． 故答案为：②③④⑥． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【经典例题二 列方程】 【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 1．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可 【详解】解：由题意可得：， 故选：C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系． 2．（22-23七年级下·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    (1)用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； (2)请根据题意列出关于的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，列代数式； （1）长方体盒子底面的宽为，则长为；容积=长×宽×高； （2）令(1)代数式表示出的容积=15即可． 【详解】（1）长方体盒子底面的宽为，则长为． 容积为； （2）根据题意，得 【经典例题三 一元一次方程的定义】 【例3】（2024七年级上·北京·专题练习）如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 1．（23-24七年级上·全国·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义及解绝对值方程，掌握一元一次方程的未知数的次数为1是解题的关键，同时关注一次项系数不为0．依据一元一次方程的未知数的次数为1且系数不为零求解即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， 且， ， 解得：， 故选：A． 2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是掌握一元一次方程的概念，只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程． 根据一元一次方程的概念，可得且，求解即可． 【详解】解：由题意可得且， 由可得， 由可得或 综上： 故答案为： 3．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解． （1）根据一元一次方程的定义可得，，求解即可； （2）把代入方程，求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且 ∴； （2）由（1）得，该一元一次方程为， ∵是该方程的解， ∴， ∴． 【经典例题四 方程的解集】 【例4】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，熟知方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得， ， ∴， 故选：． 1．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第个方程和方程的解，列出关于的方程，求出，从而求出即可．解题关键是根据已知条件找出规律． 【详解】解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为：， 方程的解为：， ∵第n个方程的解为， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为 ．   【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识，根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为， 故答案为：． 3．（23-24六年级上·山东威海·期末）已知是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若方程的解为，求此时的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一元一次方程的定义进行求解即可； （）先由求出方程，再把代入即可； 本题考查一元一次方程的定义和一元一次方程的解，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式，方程的解的概念及应用． 【详解】（1）解：由题意得且， ∴或且． ∴； （2）把代入方程得：， 当时，得， 解得． 【经典例题五 根据方程的解求值】 【例5】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】把代入方程得，， 解得：， 故选：． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键； 根据题意得出关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 一元一次方程无解， ， ． 3．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【经典例题六 根据等式的性质判断变形是否正确】 【例6】（23-24七年级上·云南红河·期末）已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项错误，符合题意； 、由，可得，原选项正确，不符合题意； 故选：． 1．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：变形得，选项A错误，不符合题意； 变形得，选项B错误，不符合题意； 变形得，选项C错误，不符合题意； 变形得，选项D正确，符合题意； 故选D． 2．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）若，则下列式子中正确的是（填序号） ． ①，②，③，④． 【答案】①③④ 【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：根据等式性质1，两边都减2，即可得到，故①正确； 根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故②错误； 根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故③正确； 根据等式性质2，两边都乘，5，即可得到，再根据等式性质1，两边都减1，可得，故④正确； 故正确的是①③④． 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了等式的性质，等式的性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．熟知等式的两条性质是解题关键． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 【答案】(1)两边同时减去， (2)两边同时除以5； (3)见解析 【分析】本题考查了等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （1）根据等式的性质1可得到答案； （2）根据等式的性质2可得到答案； （3）根据等式的性质2可得到答案； 【详解】（1）解：两边同时减去， 等式得到； （2）解：两边同时除以5， 等式得到； （3）解：两边同时乘以8， 等式得到． 【经典例题七 利用等式的性质解方程】 【例7】（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 1．（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识．根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解． 【详解】解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为． 故选：A． 2．（22-23九年级上·四川广安·阶段练习）已知x满足，则 ． 【答案】7 【分析】根据等式的性质计算，得到答案．本题考查的是等式的性质以及已知式子的值求代数式的值，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， （等式两边同时除以，等式仍成立）， ， 故答案为：7． 3．（2024六年级上·上海·专题练习）用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． （1）根据等式的性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】（1）解：两边都加4， 得； （2）两边都减2， 得， 两边都乘以2， 得； （3）两边都减1， 得， 两边都除以3， 得； （4）两边都加2， 得， 两边都除以4， 得． 【经典例题八 利用等式的性质比较大小】 【例8】（2023·山东临沂·模拟预测）设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 【答案】D 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由图（1）可知，2个〇的质量大于1个〇加1个□的质量， ∴〇的质量大于□的质量， 由图（2）可知，3个△的质量等于1个△加1个□的质量， ∴2个△的质量等于1个□的质量， 即□的质量大于△的质量， ∴“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为△□〇， 故选：D． 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质，求出的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：， 所以， 所以， 所以， 所以； 故选A． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断. 【详解】解：等式两边同时乘以4得：， 整理得：， ， 则． 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 3．（21-22七年级上·全国·课后作业）若，利用等式的性质，比较a与b的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断即可． 【详解】解：等式两边同减去，得： ， 等式两边同减去，得： ， 等式两边再同时加上1，得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，熟练运用等式的性质进行变形是解决本题的关键． 【经典例题九 根据等式的性质检验方程的根】 【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 1 9 6 3 0 则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质把变形为；再根据表格中的数据求解即可． 【详解】解：关于x的方程变形为， 由表格中的数据可知，当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解． 1、（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分别代入各选项左边代数式求值，然后比较判定即可； 【详解】解：A.当x=-2时，，故不符合题意； B. 当x=-2时，，故不符合题意； C. 当x=-2时， ，故不符合题意； D. 当x=-2时，，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 2、（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 3、（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解． 【答案】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由见解析. 【分析】x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由为：由x=2为已知方程的解，把x=2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可． 【详解】x=3不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解，理由为： ∵x=2是方程ax﹣4=0的解， ∴把x=2代入得：2a﹣4=0， 解得：a=2， 将a=2代入方程2ax﹣5=3x﹣4a，得4x﹣5=3x﹣8， 将x=3代入该方程左边，则左边=7， 代入右边，则右边=1， 左边≠右边， 则x=3不是方程4x﹣5=3x﹣8的解． 【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【经典例题十 有规律的方程的解】 【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2； ＝1的解是x＝3； ＝1的解是x＝4； … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程： ． 【答案】 【分析】先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律写出方程即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为x=20的方程为： ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律，是解题的关键． 1、（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+=3，解为x=2；第2个方程是+=5，解为x=6；第3个方程是+=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是 +=21，解为 ． 【答案】x=110 【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为=2n+1，其解为n(n+1),将n=10带入即可得到答案． 【详解】解：第1个方程是x+=3，解为x=2×1=2； 第2个方程是=5，解为x=2×3=6； 第3个方程是=7，解为x=3×4=12； … 可以发现,第n个方程为=2n+1， 解为n(n+1) ． ∴第10个方程=21的解为：x=10×11=110． 故答案为x=110． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，关键在于通过观察题干中给出的一系列方程，总结归纳出规律，然后用含n的式子表示出来.此题难度适中，属于中档题． 2、（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程的解是 ；方程的解是；方程的解是…… 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：的解，并进行检验再推广到一般情形. 【答案】见解析 【详解】试题分析： 我们分析题中的几个例子可得：上述方程的结构符合：“，其中为正整数”，而其解为：. 试题解析： （1）猜想得：的解为，验证如下： 当时，原方程左边==方程是右边，∴是原方程的解； 当时，原方程左边==方程右边， ∴是原方程的解；即猜想是正确的； （2）一般情形：方程的解为. 3、（2023秋·七年级单元测试）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴，即， ∴． 故选A． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．据此进行解答即可． 【详解】解：A、若，则，变形正确，不符合题意； B、若，则，变形正确，不符合题意； C、若，则，变形正确，不符合题意； D、若，当时，无意义，变形错误，符合题意； 故选：D． 3．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：解：A、由5，得，原变形正确，故此选项符合题意； B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意； D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C 4．（23-24七年级下·重庆黔江·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是熟知一元一次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数的项的次数是一次的方程．根据一元一次方程的定义即可判断． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、方程中，左边不是整式，故不是一元一次方程，不符合题意； C、方程中含有两个未知数，故不是一元一次方程，不符合题意； D、方程中未知数的次数是二次的，故不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则实数的取值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ， 由①得， 由②得， 综上，． 故选：B． 6．（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是关于的方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解决问题的关键． 先根据一元一次方程的解求出与的关系，再代入求解即可； 【详解】解： 是关于的方程的解， 即， ， ， 故答案为： 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 10．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义和代数式求值，根据一元一次方程的定义即可求出的值，再将的值代入即可求解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 则原式 ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键 （1）等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案； （3）等式两边同时加上，之后等式两边同时加上，最后等式两边同时除以即可得到答案； （4）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去得，最后等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】（1）解：等式两边同时除以得，； （2）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，； （3）解：等式两边同时加上得，， 等式两边同时加上得，， 等式两边同时除以得，； （4）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是方程的解法，等式的基本性质的应用； （1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去7，再同时减去，最后同时除以2即可； （2）先按照比例的基本性质变为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时乘以3，再同时减去2即可； （3）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去60，再在方程两边同时减去，最后在方程两边同时除以即可； （4）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可． 【详解】（1）解：， 化简，得， 两边同时减去7，得， 即， 两边同时减去，得， 即， 两边同时除以2，得， 即； （2）解：， ∴， 即， 两边同时乘3，得， 即， 两边同时减去2，得， 即； （3）解： 化简，得， 两边同时减去60，得， 即， 两边同时减去，得 即， 两边同时除以，得， 即； （4）解：， 两边同时乘以6，得， 化简，得， 两边同时加上12，得， 两边同时减去x，得， 两边同时除以5，得． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 14．（21-22七年级上·陕西渭南·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义、代数式求值、有理数的乘方，根据一元一次方程的定义可得，即，再代入求值即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， 把代入得，． 15．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$