广西南宁市第十四中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

南宁市第十四巾学2023级高二上学期9月月考出题人，罩籽路审周人：陈元菊 南宁市第十四中学高二（上）9月月考数学卷 (时间：120分钟 满分150分) 班级： 姓名： 学号： 一、单项选择题：本题共8小题，年小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知向量ā=(-1,3,2)，5=(2,6，z),若a∥8，则z=（) A.-4 B.4 c. D. 2.直线x+y-√5=0的倾斜角等于() A.45 B.90 C.120 D.135 3.与向量ā=(3,0,4)共线的单位向量可以为() a（aB.（0 c.（o喝到 p.（ 4.如图，在平行大面体ABCD-BCD中，点E,F分别为AB,DD的中点，则EF=( 人号而+号4而 B.西++而 c.丽+号+而 D.西+片+号而 5.已知同=1，同=2，且a⊥(a+),则ā在万上的投影向量为（) A.-B B.B c.18 D. 6.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA=PC=4,平面PAC⊥ 平面ABC,D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为() A号 D.返 4 4 7.如图，二面角a-1-B等于120°，A、B是棱I上两点，BDAC分别在半平 面kB内，AC⊥1，BD⊥I,且AB=AC=BD=2,则CD的长等于（) A,2W5 B.25 C.4 D.2 第1页共4而 南宁市第十四中学2023级高二上学粉9月月考出愿人：罩舒路市题人：陈元菊 &.如图，在直三棱柱MBC-4BG中，∠BMC=子，MB=AC=M=l,已知G与E分别为4码和CC的中 点，D与F分别为线AC和AB上的动点（不包括端点），若CD⊥EF、则线段 DF长度的取值范围为() A【S)B【号 45 D.【2N3] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在年小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分逸对的得部分分，有选错的得0分 9.若向量ā=(-1,1，-2)与b=(（1,x,2)的夹角为锐角，则实数x的值可能为↓). A.4 B.5 C.6 D.7 10.下列命题是真命题的有（ A直线1的方向向量为a=0-12),直线m的方向向量为5=2,1-》 则1与m垂直 B.直线1的方向向量为a=(0,1,-),平面a的法向量为i=(L,-1,-),则1⊥a C.平面a,B的法向量分别为元=(0，l,3),m2=1,0,2),则ap D.平面a经过三点AL,0,-),B(0,10),C(-1,2,0),向量i=(1,,)是平面a的法向量，则4+t=1 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-ARGD中，E,F分别为棱AD,A4的中点，G为线段BC上的动点 则() A,三棱锥A一EFG的体积为定值 E G B.存在点G,使得B,D⊥平面EFG C.G为BC中点时，直线EG与BC所成角最小 0 D,点F到直线BG距离的最小值为 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知向量a=(1,0,),万=（山1,2），则向量a与万的夹角为 13.已知空间向量a=(6,2,1),b=(2x,-3),若(a-2b)1a,则x= 第2页共4页 南宁市第十四中学2023级高二上学期9月月考出题人：罩籽略审愿人：陈元菊 14.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，E为BC的中点，点P在底面 ABCD上（包括边界）移动，且满足BP⊥DE,则点P在底面ABCD上运动形成 的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步隳 15(13分).已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3), (I)求过点C且与边AB平行的直线： 2)求AB边上的高所在的直线方程. 16(15分).在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,be,且bsin(4+8)-csin4牛C=0 2 (I)求B: (2)若b-5,a+c=8,求VABC的面积 17(15分).在正四棱柱ABCD-ARGD中，A4=2AB=4,点E在线段CC上，且CC=4C2,点F为BD 中点 (I)求点D到直线EF的距离； (2)求证：4C⊥面BDE, 第3页共4而 南宁市第十四中学2023级高二上学期9月月考出题人：罩舒晗市题人：陈元菊 18(I7分).如图，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,ABIICD,PQIICD,AD=CD=DP=2P2=2AB=2,点E,F,M 分别为AP,CD,BQ的中点. (I)求证：EF∥平面CPM: (②)求平面2PM与平面CPM夹角的正弦值： (S)若N为线段C2上的点，且直线DN与平面2PM所成的角为二，求N到平 6 面CPM的距离. I9(17分).如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,AB⊥MD,PA=PD,AB=1, AD=2,AC=CD=5. (I)求证：PD⊥平面PAB. p (②)求直线PB与平籤PCD所成角的正弦值. )在棱PA上是香存在点M,使得Mm平面P0D若存在，求出岩的值： 若不存在，请说明理由。 第4页共4页 高二上9月月考数学卷答案 愿号 2 3 4 6 6 8 9 10 11 答案 A D D A D A CD AD AB 12.号 139 14.V5 8.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则0》c2设点D坐标为(m@0,F0%0,0<m<10<n<1, 故压(1%》而-%- 因为GD⊥EF, 故可得F.历。-m-宁+片=0，则-2m+l,由eQ可得m0,》) 又丽-n,0,故5--二}行 故当m=号时，D取得最小值；又当m=0时，D-1,但无法取到m=0,则无法取到1， 综上，线段DF长度的取值范围 [利A 11.【详解】 如图，以点D为坐标原点，空立空间直角坐标系。 则D(0,0,0),4(20,0),4(2,0,2),F(2,0,1),D(0,0,2),E1,0,2),C(0,2,0), R(2,2,2),B(2,2,0),G(0,2,2). 对于A项，在正方体中，平面ADDA∥平面BB,CC,B,Cc平面BB,CC, 由面面平行的性质可得，B,C∥平面A4EF,由点G在线段B,C上， 则G到平面AEF的距离，即点B到平面4EF的距离等于48。 因为54=方11片所以e分w×4一时2=时则队n=w是个定值，故A项正确： 对于B项，假设存在点G,使得BD⊥平面EFG设6=10(0s1s. D=（-2,-2,-2),乎=(1,0，-)，C=(（-2,0,-2),丽=(1,2,0)， 则元=丽+B,G=(1,2,04(2,0,-21-212,-21).所以D.丽=-2x1-2×←1片0， D.西=-2-222x2-22181-6=0,所以1-子，满足条件。 此时有B,D⊥EF,B,D⊥EG,EFC平面EFG,EGC平面EFG,EF∩EG=E, 所以，存在点G,使得B,D⊥平面EFG,故B项正确： 容案第1页，共4页 第3贝共4贝 对于C项，设直线EG与BC所成角为6，因为EG=(1-21,2,-22),BC=(-2,0,2), 所以cosEG,C= EG.8C--20-22)+0+222)5 o同0-2ny+4+(-2x2反-之×8-4+5' 所以eas0=号因为-4以+5=8a-+号 2V82-42+5 所以当1=二时，有最小值，显然有0<cos日<1，则cos8有最大值， 根据余弦函数的单调性可知，当BG=二BC时，g有最小值，故C项错误： 4 对于D项，因为EF=(（1,0,-1),E元=(1-21,2，-2)， F.G」1-2+2A 1 所以，E示在EG方向上投影向量的长度为 ECW82-4+5V8-4+5 由c知，当=时，82-4以+5=8-+号有摄小好则735有最大值为号，网-5， 所以点F到直线EG距离的最小值为 4 故D项错误.故选：AB. 3 14.【详解】由正方体ABCD-ABGD梭长为2，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD为x,y,z轴建立如下图所示 的空间直角坐标系；设P(x,y,0)且0≤x≤2,0≤y≤2， 易知D(0,0,2),E1,2,0),8(2,2,2),可得BP=(x-2y-2,-2),D,E=02-2), 由BP⊥DE可知BP.D,E=0,即x-2+2(y-2)+4=0, 即y=-+l05xs2). 当x=0时，y=1,即图中DC的中点F(0,1):当y=0时，x=2,即图中A点A(2,0): 即可得点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为线段AF,易知AF=√5故答案为：√ 5,【详解1(D因为k。=二2-6，由直线的点斜式方程可得y-3=60x-4),化简可得y=6s-2孔 （2)由《1)可知，点。-6，则B边上的高所在的直线斜率为k=-名》 由直线的点斜式方程可得y-3-“-),化楂可得y=-之x+当 x+ 3 16.【详解】(1)因为bsin(4+B)-csin4牛C=0,所以ininC-si血ceo3号 0 2 因为血Ct0,所以山-c0心号因为0c号受所以osc号+0，所以自血B-2油号0号 B 1 2 ，得 22 答案第2页，共4页 因为0<B<K,所以B=子 (2)由余弦定理知b2=d2+d2-2 accos.B=(a+g2-2ac-2aaco8五 因为b=50+c=8B-学所以5=-3ac,所以ac=1B,故yC的面积5c-血B=135 2 17.【详解】(1) 如图，以D为原点，以D元DC,D万分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱ABCD-ARGD,L4=2AB=4,CC=4CE,F为BD中点， ∴D(0,0,40,B(0,21)F01,0)D=0,-2,3)E丽=6-1，-1) 则点D到直线EF的距离为：d ED·EF ED 14 3 (2)由(1)可得C0,2,0),B(2,2,0),4(2,0,4),则4C=（-2,2,-4),D丽=2,2,0)D丽=0,21)， 由ACD丽=-2x2+2x2=0可得AC⊥DB,又由AC,DE=2×2+(-4x1=0可得4C⊥DE, 又DBODE=D,故AC⊥面BDB. 18.【详解】(1)连接EM,因为AB/CD,P2/CD,所以AB1/PQ,又因为AB=P2,所以PABQ为平行四边形 由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM I/AB且EM=AB, 因为AB/ICD,CD=2AB,F为CD的中点，所以CF/IAB且CF=AB; 可得M/ICF且EM=CF,即四边形EFCM为平行四边形， 所以EF /IMC,又EF文平面PC,CMc平面MPC,所以EFI/平面MPC, (2)因为PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,可以建立以D为原点，分别以DADC,D丽的方向为x轴，y轴，z轴的正 方向的空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(21,0),C(0,2,0), P(0,0,2),2(01,2),M（11,1) PM=(11,-,P=(0,10),C(1,-1,P(0,2,-9, 设=(x,y,z)为平面PMQ的法向量， 元·PM=0 x+y-z=0 P项=0' 即y=0，不纺设云=1，可得示-4,0，， 设乃=（名，，名）为平面MPC的法向盘， G0丽0即/2%-240 %P℃=0 -男+名=0不妨设石=，可得店=0,1，. 答案第3页，共4页 cos, 弱宁是血作动-号=AQ--G省王纳 2 (3)设0=0C(0s1≤1)，即丽=2C=(0,1,-22),则N(0,1+1,2-2), 从而D丽=(0,1+1,2-22).由(2)知平面PMg的法向量为元=(1,0,1)， 由题意，-kos(o丽， Dm.同 2-2 即2 a++(2-2y反' 整理得3-101+3=0，解得=兮或=3，因为0≤≤1所以=宁，所以丽=c台元-号C=子0，l 则N到平面CPM的距高为d= c阿x5 3V23 19.【详解】(1)，平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD, 且AB⊥AD,ABC平面ABCD,,AB⊥平面PAD,,PDc平面PAD,AB⊥PD, 又PD⊥PA,且PA∩AB=A,PA,ABc平面PAB,PD⊥平面PAB: (2)取AD中点为O,连接CO,PO,又：PA=PD,.P0⊥AD,则A0=P0-1, ,CD=AC=√5，.C0⊥AD,则C0=√AC-0F=√5可=2， 以O为坐标原点，分别以OC,OA,OP所在直线为，y,x轴逸立如图所示的空间直角坐标系O-y, 则P(0,0,0,B11,0),D(0,-1,0),C(20,0), 则PB=4,1,-1),PD=(0,-l,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0), 设元=(x,y,z)为平面PCD的一个法向量， 则由 8亿g山-6-以 1-1-1 设PB与平面PCD的夹角为0，则sin8=cosm,P可 2+1+1x√3 (3)假设在棱PA上存在点M点，使得BM∥平面PCD, 设M=亚，1∈[0,1，由(2)知，4A01,0),B01,0),P0,0,),则亚=(0，-1)，=-10,0， BM=BA+AM=BA+P=←1,0,0r(0,-,{1,-,), 由2)知平面QD的一个法向量-侵-- 若BMW平面PcD,则8Mn=-++=2n-0, 2 2 解得元-子，又BMc平面PCD,放在棱PA上存在点M点，使得MW平面PCD,此时以= 答宝第4页，共4页