精品解析： 重庆市巴蜀中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

数学 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 5. 如图，等腰中，，，为上一点，，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 学校组织劳技社会实践活动，甲乙两班同时参加了陶艺制作项目．活动结束后，两个班统计了制作陶艺品的总数，结果发现甲乙两班陶艺品的总数比为，甲班制作的陶艺品总数的2倍比乙班陶艺品的总数3倍少30个．设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个，根据题意所列的方程组应为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别、，则的长为(　　) A. B. C. D. 9. 若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（ ） A. 21 B. 19 C. 21或 D. 或19 10. 杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 在学习完《整式乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（ ） A. B. C. 8 D. 6 12. 在整式，，的前面添加“”或“”．先求和，再求和的绝对值的操作，称为“和绝对”操作，将操作后的化简结果记为．例如：，则，下列说法正确的个数为（ ） ①把、、进行“和绝对”操作所得结果化简，共有8种不同的结果； ②把、、进行“和绝对”操作所得结果化简，将每次操作化简结果的最小值记为，则的最小值为； ③把、进行“和绝对”操作所得结果化简，将第一次操作得到的不同化简结果再次进行“和绝对”操作，此时至少存在一种操作使得化简的结果为0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 13. 计算：_______． 14. 如图，将沿向右平移至，若，，则的长为________． 15. 如图，在中，，点D在上，连接，若，，则度数为 ________ ． 16. 若结果不含关于的一次项和二次项，则的值为________． 17. 如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为_____． 18. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 19. 如图，等边中，，点、分别在、上，且，连接、交于点，连接，若，则长为_____． 20. 对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为，，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为，，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若是“扩张数”，其中，，，，且、、、都是整数，记，；若是5的倍数，则满足条件的的最大值为________． 三、解答题：（本大题7个小题，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中、满足方程组． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）将向下平移4个单位，得到，请在图中作出关于轴对称，并写出点、、的坐标； （2）请求出的面积． 24. 今年夏天，重庆市持续高温，市场上各品牌空调销售火爆，某商场就、、三种品牌的空调在7、8月的销售情况做了统计，并绘制出以下统计图，若该商场8月的空调销售总量比7月销售总量增加了25%，其中品牌8月的销量比7月增加了15台，请回答下面的问题： （1）该商场8月份一共销售了________台空调； （2）请补全条形统计图； （3）若在7、8月期间，重庆市共销售了30000台空调，请你估计品牌空调在全市一共销售了多少台？ 25. 如图，直角中，． （1）请在边上截取线段，使得，过点作直线的垂线，垂足为点，交的延长线于点（要求：使用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长． 26. 暑假期间，小巴和小蜀同学参加社会实践活动，在某糕点店制作了一批甜点进行售卖，其中“花生酥”和“纸杯蛋糕”的制作成本分别是每个2.5元和4元，每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元． （1）求“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价： （2）当天下午，小巴和小蜀又将制作的“花生酥”和“纸杯蛋糕”两种甜点共200个进行售卖、为了促销，他们还用50元钱租借了一个棉花糖机，制作一个棉花糖需要0.5元钱的成本，每销售一个“纸杯蛋糕”就赠送一个棉花糖．由于天气炎热销售过程中“纸杯蛋糕”有的损坏（无法售卖），且两种甜点的售价都保持不变，当天下午除损坏的“纸杯蛋糕”外，其余的“花生酥”和“纸杯蛋糕”全部售完．若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为多少个？ 27. 如图，等边三角形，直线与边交于点，，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接． （1）如图，若，与交于点，且，，求的长度； （2）如图，若与交于点，且为中点，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，连接，当最短时，在直线和线段上分别取点和点，且，连接、，直接写出（或者表示出）当取得最小值时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形定义．根据题意利用“沿着对称轴折叠两边能完全重合的图像即为轴对称图形”知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、C、D中的图形不是轴对称图形，故A、C、D不符合题意； B中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 故选：B． 2. 如图，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定和性质，平角定义，是解决问题的关键． 根据，得到，得到，利用平角的性质解答即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项等运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算错误，不符合题意； D、，故选项D计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴、轴对称的性质．直接利用关于轴对称点的性质得出的值进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，等腰中，，，为上一点，，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等腰中，，，得出，再由得出，再由即可得出答案． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 若，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 7. 学校组织劳技社会实践活动，甲乙两班同时参加了陶艺制作项目．活动结束后，两个班统计了制作陶艺品的总数，结果发现甲乙两班陶艺品的总数比为，甲班制作的陶艺品总数的2倍比乙班陶艺品的总数3倍少30个．设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个，根据题意所列的方程组应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个，由“甲乙两班陶艺品的总数比为”得；由“甲班制作的陶艺品总数的2倍比乙班陶艺品的总数3倍少30个”得，据此即可得解． 【详解】解：设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个， 根据题意得，， 故选：C． 8. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别、，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及平行线的性质，等角对等边；根据角平分线的定义及平行线的性质，得出，，据此得出，，进而得出的周长为，据此可解决问题． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ． 同理可得，， ， 的周长为． 与的周长分别、， ， 即． 故选：D． 9. 若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（ ） A. 21 B. 19 C. 21或 D. 或19 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 10. 杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出的值． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴当为偶数时，，当为奇数时，， ∴ ， 故选：C． 11. 在学习完《整式乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式在几何中的应用是解题的关键． 设甲的边长为，乙的边长为，依题意得，方式一中、，即；方式二中、，即；根据，计算求解即可． 【详解】解：设甲的边长为，乙的边长为， 依题意得，方式一中、，即； 方式二中、，即； ∴， 故选：B． 12. 在整式，，的前面添加“”或“”．先求和，再求和的绝对值的操作，称为“和绝对”操作，将操作后的化简结果记为．例如：，则，下列说法正确的个数为（ ） ①把、、进行“和绝对”操作所得结果化简，共有8种不同的结果； ②把、、进行“和绝对”操作所得结果化简，将每次操作化简结果的最小值记为，则的最小值为； ③把、进行“和绝对”操作所得结果化简，将第一次操作得到的不同化简结果再次进行“和绝对”操作，此时至少存在一种操作使得化简的结果为0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，完全平方公式，绝对值等知识．理解题意，确定、、进行“和绝对”操作所得的结果是解题的关键． 根据题意、、进行“和绝对”操作所得的结果，然后对各选项判断作答即可． 【详解】解：把、、进行“和绝对”操作可得： ； ； ； ； ； ； ； ； ∴共有4种不同的结果，①错误，故不符合要求； 由化简结果可知，的最小值为，②正确，故符合要求； 由题意知，8个结果中，共有4种不同的结果，将相同的结果进行减法运算，然后再求和加绝对值，化简结果为0，③正确，故符合要求； 故选：C． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 13. 计算：_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，算术平方根的定义等知识，根据零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 14. 如图，将沿向右平移至，若，，则的长为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了平移知识点，根据平移前后的距离相等，即可求出答案． 【详解】解：由图可知平移的距离为和， 所以， 所以， 故答案为：11． 15. 如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为 ________ ． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理；设，由三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质得，结合，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 若的结果不含关于的一次项和二次项，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，先将原式展开，然后令含的一次项与二次项的系数为0即可求出答案． 【详解】解： ∵的结果不含的一次项和二次项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 17. 如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接，由题意知，，，，由，可求，周长为，当三点共线时，的值最小，然后求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，为的中点，为的垂直平分线上一点， ∴，， ∵是的中线，，为的中点， ∴， ∵， ∴， 周长为， 当三点共线时，的值最小，为， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 18. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组解集，再根据不等式组有且仅有4个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出y的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组有且仅有4个整数解， ， 解得， ， 得，， ∵方程组有解，且a为整数， ∴或， ， 关于、的方程组的解为整数， 当时，，， 当时，，， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 19. 如图，等边中，，点、分别在、上，且，连接、交于点，连接，若，则的长为_____． 【答案】8.4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；三条边相等．因为为等边三角形，所以，，又，所以用“”可判定，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质得；因为，所以，利用等边三角形的判定、勾股定理和全等三角形的判定和性质进而解答即可． 【详解】解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ∴， 则， ∵， ∴， 延长至，使，分别过点B、C作， ∵，， 是等边三角形，， ，， ， ， 即， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在； ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 若以为底，点F到的距离为高，则： ∴， ∴； 故答案为8.4． 20. 对于一个任意的四位数，若的千位数字和百位数字之和为4的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，我们称这样的四位数为“扩张数”．例如：四位数3197，因为，，所以3197是“扩张数”；四位数6238，因为，，11不是8的倍数，所以6238不是“扩张数”．若是“扩张数”，其中，，，，且、、、都是整数，记，；若是5的倍数，则满足条件的的最大值为________． 【答案】7997 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“扩张数”．熟练掌握“扩张数”的定义，十进制数表达式，进率，各数位数字取值范围，分类讨论，是解决问题的关键． 根据，当时，，是4的倍数，是8 的倍数，分或16，或12或16，对字母赋值解答；当时，，是4的倍数，是8的倍数，分或16，或16，对字母赋值解答，比较3个N值即得． 【详解】∵，，，， ∴当时， ． ∵N是“扩张数”， ∴是4的倍数，是8 的倍数． ∴当， 得， ，，． 当， 得，． 当， 得，． 当， 得，，，，，． 当， 得，． ∵是5的倍数， ∴只有，，，是5的倍数． 此时，，． ∴． 当时， ． ∵N是“扩张数”， ∴是4的倍数，是8的倍数． 当， 得，． 当， 得，． 当， 得，；， ． 当， 得，； ，． 只有，，，是5倍数． 此时，，或． ∴，或． ∵． ∴N的最大值为：7997． 故答案为：7997． 三、解答题：（本大题7个小题，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式． （1）先单项式乘单项式、单项式乘多项式计算，再合并整式中的同类项即可； （2）先根据完全平方公式和多项式乘多项式计算，再合并整式中的同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 先化简，再求值：，其中、满足方程组． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号里的，然后进行除法运算可得化简结果，加减消元法解方程，最后代值求解即可． 【详解】解：， ， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴， 将代入得，原式． 【点睛】本题考查了平方差公式，多项式除以单项式，加减消元法解二元一次方程组，整式的化简求值等知识．熟练掌握平方差公式，多项式除以单项式，加减消元法解二元一次方程组，整式的化简求值是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）将向下平移4个单位，得到，请在图中作出关于轴对称的，并写出点、、的坐标； （2）请求出的面积． 【答案】（1）图形见解析，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，坐标与图形变化-平移，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质并准确作图． （1）根据平移的性质即可作出，再根据轴对称的性质即可作出，并写出点、、的坐标； （3）在中结合网格利用割补法即可求的面积． 【小问1详解】 解：如图，，即为所求： 由图可得，，； 【小问2详解】 解：的面积为． 24. 今年夏天，重庆市持续高温，市场上各品牌空调销售火爆，某商场就、、三种品牌的空调在7、8月的销售情况做了统计，并绘制出以下统计图，若该商场8月的空调销售总量比7月销售总量增加了25%，其中品牌8月的销量比7月增加了15台，请回答下面的问题： （1）该商场8月份一共销售了________台空调； （2）请补全条形统计图； （3）若在7、8月期间，重庆市共销售了30000台空调，请你估计品牌空调在全市一共销售了多少台？ 【答案】（1）400 （2）见解析 （3）估计品牌空调在全市一共销售了台 【解析】 【分析】本题考查了数据分析中的条形统计图及扇形统计图等． （1）由题意可知，品牌8月的销量比7月增加了15台，7月份销售85台，所以品牌8月的销量为，再根据扇形统计图品牌8月的占比，即可求出答案． （2）由题意可知该商场8月的空调销售总量比7月销售总量增加了，由（1）可得8月的销量为100台，求出7月份销量，即可求出答案． （3）由（2）可知七月份占比7、8月期间的销量占比，再根据题意7、8月共销售了30000台空调可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，品牌8月的销量比7月增加了15台，7月份销售85台， 所以品牌8月的销量为台， 所以8月份一共销售台， 故答案为：400； 【小问2详解】 解：由题意可知该商场8月空调销售总量比7月销售总量增加了， 又由（1）可知8月的销量为100台， 所以7月份销量为台， 所以7月份C产品销量为台， 补全条形统计图如图： ． 【小问3详解】 解：8月份品牌的销量为：台， 所以在7、8月期间，估计品牌空调在全市一共销售了台． 25. 如图，直角中，． （1）请在边上截取线段，使得，过点作直线的垂线，垂足为点，交的延长线于点（要求：使用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）按要求作图即可； （2）证明，则，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 解：如图，以为圆心，的长为半径画弧交于，以为圆心，的长为半径画弧交于，作的垂直平分线，交于，连接并延长，交的延长线于，点，点，点即为所作； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了作线段，作垂线，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作线段，作垂线，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 暑假期间，小巴和小蜀同学参加社会实践活动，在某糕点店制作了一批甜点进行售卖，其中“花生酥”和“纸杯蛋糕”的制作成本分别是每个2.5元和4元，每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元． （1）求“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价： （2）当天下午，小巴和小蜀又将制作的“花生酥”和“纸杯蛋糕”两种甜点共200个进行售卖、为了促销，他们还用50元钱租借了一个棉花糖机，制作一个棉花糖需要0.5元钱的成本，每销售一个“纸杯蛋糕”就赠送一个棉花糖．由于天气炎热销售过程中“纸杯蛋糕”有的损坏（无法售卖），且两种甜点的售价都保持不变，当天下午除损坏的“纸杯蛋糕”外，其余的“花生酥”和“纸杯蛋糕”全部售完．若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为多少个？ 【答案】（1）“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为元、元 （2）若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为x元、y元，根据“每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元”列方程组求解即可； （2）设“花生酥”下午的销量为个，则“纸杯蛋糕”下午的销量为个，再根据上午和下午的利润之和减去棉花糖的成本得到全天的总利润，据此列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为x元、y元， 由题意得， 解得：， 答：“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设“花生酥”下午的销量为个，则“纸杯蛋糕”下午的销量为个， 由题意可得， 解得， ∵正整数， ∴为的倍数， ∴“花生酥”下午的销量最少为个， ∴若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为个． 27. 如图，为等边三角形，直线与边交于点，，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接． （1）如图，若，与交于点，且，，求的长度； （2）如图，若与交于点，且为中点，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，连接，当最短时，在直线和线段上分别取点和点，且，连接、，直接写出（或者表示出）当取得最小值时的度数． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）的度数为或． 【解析】 【分析】（）由，则可证明，通过角所对直角边是斜边的一半得，根据旋转性质可知，，等边对等角有，则，最后再由角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）延长至，使，连接，证明，则，，设，，通过角度和差得，，从而得到，再证明，则，，再通过性质证明为等边三角形即可； （）分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由： 如图，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∵为等边三角形， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点在线段上时， 作点关于直线对称点，当时，最短， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 绕点顺时针旋转，再截取， 在和中， ， ， ∴，， ∴当三点共线时，取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段延长线上时， 作点关于直线对称点，当时，最短，绕点顺时针旋转，再截取， 在和中， ， ， ∴，，， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴， ∴， 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等边对等角，角所对直角边是斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $