精品解析：2024-2025学年人教版八年级数学上册期中强化训练

期中强化训练2024-2025年度人教版八年级上册 一、选择题 1. 下列是我省几家著名煤炭企业的徽标，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三条线段的长度比如下：①2：3：4； ②1：2：3； ③2：4：6； ④3：3：6； ⑤6：6：10； ⑥6：8：10，其中能构成三角形的有（ ） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（　　） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 4. 已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 5. 如图，五边形中，，分别是的外角，则（　　） A. 90° B. 180° C. 120° D. 270° 6. 如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知AC＝AD，要使△ABC≌△ABD，还需要添加一个条件，给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③BC＝BD，其中符合要求的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 8. 如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8,AD是BC边上的高．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是( )． A. 6 B. 8 C. 9.6 D. 12 10. 如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题 11. 点关于x轴的对称点的坐标为_____． 12. 一个三角形的三边为2、5、x+2y，另一个三角形的三边为2x+y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝_____． 13. 如图，△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后，得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝________ 14. 如图，直线l是四边形ABCD的对称轴．若AD∥BC，则下列结论：（1）AB∥CD；（2）AB=BC；（3）BD平分∠ABC；（4）AO=CO．其中正确的有______（填序号）． 15. 如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD.则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是______． 16. 已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CD，C、D、E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE＋∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE＋∠DAC＝180°． 其中正确有________． 三、解答题 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴的对称图形，并写出各顶点坐标； （2）求出的面积． 18. 如图，佳佳从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转，如此反复下去，直到他第一次回到出发点，他所走的路径构成了一个多边形． （1）佳佳一共走了多少米？ （2）求这个多边形的内角和． 19. 在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上． （1）画出△ABC关于y轴对称的ΔA1B1C1(点A、B、C的对应点分别为点A1、 B1、C1)； （2）将(1)中得到的△A1B1C1向下平移5个单位得到△A2B2C2，画出ΔA2B2C2(点A1、B1、 C1的对应点分别为点A2、B2、 C2)； （3）在△ABC中有一点P(a，b)， 直接写出经过以上两次图形变换后点P的对应点P2的坐标． 20. 如图，在中，是的外角的平分线，交的延长线于点E． （1）若，，则______； （2）若，且，求的度数． 21. 如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F． （1）求证：△BDE≌△ADC； （2）求证：BE⊥AC； （3）求EF与AE的长． 22. 已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝　 　； （2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间关系，并说明理由． 23. 在等腰中，于点D，以为边作等边，直线与直线交于点F，直线与直线交于点G． （1）如图1，当，且与在直线的异侧时， ①求证：； ②猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段、、之间的数量关系，并直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中强化训练2024-2025年度人教版八年级上册 一、选择题 1. 下列是我省几家著名煤炭企业的徽标，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义分析判断即可知道正确答案． 【详解】、不是轴对称图形，选项不符合题意； 、不是轴对称图形，选项不符合题意； 、是轴对称图形，选项符合题意； 、不是轴对称图形，选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，牢记相关定义是解题关键． 2. 已知三条线段的长度比如下：①2：3：4； ②1：2：3； ③2：4：6； ④3：3：6； ⑤6：6：10； ⑥6：8：10，其中能构成三角形的有（ ） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中任意两条边之和大于第三边，任意两条边之差小于第三边即可求解． 【详解】解：①设三条线段分别为2x，3x，4x，则有2x＋3x>4x，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形，符合题意； ②设三条线段分别为x，2x，3x，则有x＋2x＝3x，不符合三角形任意两边大于第三边，故不可构成三角形，不符合题意； ③设三条线段分别为2x，4x，6x，则有2x＋4x＝6x，不符合三角形任意两边大于第三边，故不可构成三角形，不符合题意； ④设三条线段分别为3x，3x，6x，则有3x＋3x＝6x，不符合三角形任意两边大于第三边，故不可构成三角形，不符合题意； ⑤设三条线段分别为6x，6x，10x，则有6x＋6x>12x，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形，符合题意； ⑥设三条线段分别为6x，8x，10x，则有6x＋8x>12x，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形，符合题意； 能构成三角形的是①⑤⑥ 故选C． 【点睛】本题利用了三角形三边的关系求解，掌握该知识点是解答本题的关键． 3. 在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（　　） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】C 【解析】 【详解】∵三角形的内角和是180°，又∠A=95°，∠B=40°， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣95°﹣40°=45°， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解决此题的关键是正确的计算． 4. 已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC， ∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC， ∵△ABD比△ACD的周长大3cm， ∴AB与AC的差为3cm． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC是解题的关键． 5. 如图，五边形中，，分别是的外角，则（　　） A. 90° B. 180° C. 120° D. 270° 【答案】B 【解析】 【分析】如图：根据平行线的性质可得，然后根据多边形的外角和即可解答． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、多边形的外角和等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键． 6. 如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， A、添加，可以利用ASA判定，故本选项不符合题意； B、添加，无法判定，故本选项符合题意； C、添加，可以利用SAS判定，故本选项不符合题意； D、添加，可以利用AAS判定，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，已知AC＝AD，要使△ABC≌△ABD，还需要添加一个条件，给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③BC＝BD，其中符合要求的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，逐一判断即可解答． 【详解】解：①∵AC＝AD，∠1＝∠2，AB＝AB， ∴△CAB≌△DAB（SAS）， 故①符合要求； ②∵AC＝AD，∠C＝∠D，AB＝AB， ∴△CAB与△DAB不一定全等， 故②不符合要求； ③∵AC＝AD，BC＝BD，AB＝AB， ∴△CAB≌△DAB（SSS）， 故③符合要求； 所以，给出上列条件，其中符合要求的是①③． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 8. 如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵为的平分线，，， ∴， 又∵， 即， 解得：， 故选：D． 9. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8,AD是BC边上的高．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是( )． A. 6 B. 8 C. 9.6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由“PC+PQ的最小值”可知本题考查的是两点之间垂线段最短的知识点，根据等腰三角形三线合一定理，可以找到PQ的对称点，从而找到点C到AB的垂线段交AD于点P，从而求出最小值 【详解】因为AB=AC，AD是BC的高，所以AD是∠BAC的角平分线，以AD为对称轴，作Q的对称点E，连接CE与AD交于点P，如图所示： ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴QP=PE ∴PC+PQ=PC+PE=EC 要使PC+PQ最小，即EC最小，所以CE是△ABC底边AB上的高的时候，CE最小 由三角形面积公式得：解得，CE=9.6,∴PC+PQ的最小值是9.6，答案选C 【点睛】本题的关键是利用等腰三角形的三线合一找到Q的对称点E 10. 如图，中，，是边的垂直平分线，交于G，过点F作于点E，平分交于F，连接，．下列结论：①②③④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明． 【详解】∵是边的垂直平分线， ∴； 故①正确； 过点F作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 二、填空题 11. 点关于x轴的对称点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题根据对称点的坐标规律即可填写．关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于x轴的对称点的坐标是． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 一个三角形的三边为2、5、x+2y，另一个三角形的三边为2x+y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等相加即可得解． 【详解】∵两个三角形全等，∴x+2y=4，2x+y=5，两式相加得：3x+3y=9，∴x+y=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，比较简单，准确确定对应边是解题的关键． 13. 如图，△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后，得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝________。 【答案】260º 【解析】 【分析】由∠1、∠2是△ADE的外角，利用外角性质，可得∠1=∠ADE+∠A，∠2=∠AED+∠A，利用等式性质可求∠1+∠2的值． 【详解】解：∵∠1、∠2是△ADE的外角， ∴∠1=∠ADE+∠A，∠2=∠AED+∠A， ∴∠1+∠2=∠ADE+∠A+∠AED+∠A， 又∵∠ADE+∠A+∠AED=180°， ∴∠1+∠2=180°+80°=260°． 故答案为：260°． 【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 14. 如图，直线l是四边形ABCD的对称轴．若AD∥BC，则下列结论：（1）AB∥CD；（2）AB=BC；（3）BD平分∠ABC；（4）AO=CO．其中正确的有______（填序号）． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】根据轴对称的性质和平行线的性质，再结合题意即可得到答案. 详解】如图， ∵直线l是四边形ABCD的对称轴， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3=∠4， ∴AB∥CD，AB=BC，故（1）（2）正确； 由轴对称的性质，AC⊥BD， ∴BD平分∠ABC，AO=CO（等腰三角形三线合一），故（3）（4）正确． 综上所述，正确的是（1）（2）（3）（4）． 故答案为（1）（2）（3）（4）． 【点睛】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和平行线的性质. 15. 如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD.则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是______． 【答案】互相平分 【解析】 【分析】由已知可推出AE+EF=CF+EF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F推出∠DEC=∠BFA=90°，AB=CD，所以推出△ABF≌△CDE，则DE=BF，所以证得△DOE≌△BOF，则得：OE=OF，OB=OD． 【详解】∵AE=CF， 点E，F不重合， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE， 又∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠BFA=90°， 又∵AB=CD， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)， ∴DE=BF， 又∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF， ∴OE=OF，OB=OD， ∴BD和EF互相平分， 故答案互相平分． 【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定与性质，由已知证△ABF≌△CDE和△DOE≌△BOF是解题的关键. 16. 已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CD，C、D、E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE＋∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE＋∠DAC＝180°． 其中正确的有________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，①结论正确；由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，②结论正确；由②结论再加上一个45°角等于90°，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形得到BD垂直于CE，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】①∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE，本结论正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD+∠DBC=45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC=45°，本结论正确； ③由②知∠ACE+∠DBC=45°， ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°， 则BD⊥CE，本结论正确； ④∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，本结论正确； 故答案为①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 三、解答题 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴的对称图形，并写出各顶点坐标； （2）求出的面积． 【答案】（1）作图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，可得出各点坐标； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 如图, 即为所求． 点； 【小问2详解】 ， 的面积为． 18. 如图，佳佳从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转，如此反复下去，直到他第一次回到出发点，他所走的路径构成了一个多边形． （1）佳佳一共走了多少米？ （2）求这个多边形的内角和． 【答案】（1）80米 （2） 【解析】 【分析】（1）第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个外角是的正多边形，求得边数，即可得到答案； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：佳佳走过的路线正好构成一个外角是的正多边形， ， 佳佳一共走的路程为：（米）， 答：佳佳一共走了80米； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 答：这个多边形的内角和是． 【点睛】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和，根据题意得到：第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个外角是的正多边形，是解题的关键． 19. 在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上． （1）画出△ABC关于y轴对称的ΔA1B1C1(点A、B、C的对应点分别为点A1、 B1、C1)； （2）将(1)中得到的△A1B1C1向下平移5个单位得到△A2B2C2，画出ΔA2B2C2(点A1、B1、 C1的对应点分别为点A2、B2、 C2)； （3）在△ABC中有一点P(a，b)， 直接写出经过以上两次图形变换后点P的对应点P2的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）（-a，b-5） 【解析】 【分析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A、 B、C的对应点A1，B1，C1，即可连线得到△A1B1C1； (2)利用平移变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2，即可连线得到△A2B2C2； (3)利用轴对称变换和平移变换的规律解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图，得到△A1B1C1即为所求； ． 小问2详解】 解：如图，△A2B2C2即为所求； 【小问3详解】 解：点P(a，b)第一次变换后的坐标为（-a，b），第二次变换后的坐标为（-a，b-5）． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 20. 如图，在中，是的外角的平分线，交的延长线于点E． （1）若，，则______； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用外角的性质求出，根据角平分线的定义求出，再次利用外角的性质求解即可； （2）根据角平分线的定义和外角的性质推出，再根据已知得出，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是利用外角和角平分线得出相应角的倍数与和差关系． 21. 如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F． （1）求证：△BDE≌△ADC； （2）求证：BE⊥AC； （3）求EF与AE的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）EF＝，AE＝1． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形判定定理证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明∠EBD＝∠CAD，再利用对顶角相等证明∠BED＝∠AEF，进一步可证明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC； （3）利用三角形面积求出BC＝7，进一步求出CD＝3，利用， 证明ED＝CD＝3，进一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面积求出BF＝，即可求出EF＝BF－BE＝－5＝． 【小问1详解】 证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△ADC中， ， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴∠EBD＝∠CAD， ∵∠BED＝∠AEF， ∴∠AFE＝∠ADB＝90°， ∴BE⊥AC． 【小问3详解】 解：∵S△ABC＝AD•BC＝14，AD＝4， ∴BC＝7， ∵BD＝4， ∴CD＝3， ∵， ∴ED＝CD＝3， ∴AE＝AD－ED＝4－3＝1， ∵S△ABC＝BF•AC＝14，BE＝AC＝5， ∴BF＝， ∴EF＝BF－BE＝－5＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质． 22. 已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝　 　； （2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）;（2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义求得，进而根据四边形的内角和等于360°，以及∠α＝50°，即可求得∠1+∠2的值； （2）方法同（1）． 【详解】（1）， ， 在四边形中， ， ， ∠α＝50°，， ， 故答案为： （2），理由如下， ， ， 在四边形中， ， ， ， 【点睛】本题考查了平角的定义，四边形内角和为360°，掌握四边形的内角和是解题的关键． 23. 在等腰中，于点D，以为边作等边，直线与直线交于点F，直线与直线交于点G． （1）如图1，当，且与在直线的异侧时， ①求证：； ②猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段、、之间的数量关系，并直接写出你的结论． 【答案】（1）①见解析；②，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，即可求，由是的中垂线可得，可证，可得，则结论可得； ②先证是等边三角形，由AAS可证，可得，可得结论； （2）先证是等边三角形，由AAS可证，可得，可得结论． 【小问1详解】 ①证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．通过截长补短法构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$