模块检测卷(二)[范围：必修第二册]-【学考一本通】2025年内蒙古自治区普通高中学业水平测试数学

模块检测卷(二) [范围:必修第二册] (时间:90分钟 满分:100分) 一、选择题(共20小题,1~15题每小题2分,16~20题每小题3分,共45分.每小题给出的四个 选项中,只有一项符合题目要求) 1.若复数z=1+bi2+i (b∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则复数z的共轭复数是 ( ) A.35i B.- 3 5i C.i D.-i 2.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则mn 等于 ( ) A.-2 B.2 C.-12 D. 1 2 3.P 是△ABC所在平面上一点,若PA →·PB → =PB →·PC → =PC →·PA →,则P 是△ABC的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4.已知a=(-2,1-cosθ),b= 1+cosθ,-14 ,且a∥b,则锐角θ等于 ( ) A.45° B.30° C.60° D.30°或60° 5.在△ABC中,c= 3,b=1,B=30°,则△ABC的面积为 ( ) A.32 或 3 B.32 或 3 4 C.3 或 3 4 D.3 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,则角B 的大小为 ( ) A.π6 B. π 3 C. π 6 或5π 6 D. π 3 或2π 3 7.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 ( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 8.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶A 的仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到 D,测得塔顶A 的仰角为30°,则塔高为 ( ) A.15米 B.5米 C.10米 D.12米 9.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在 ( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 10.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z等于 ( ) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 11.在△ABC中,AC=2,BC=2,∠ACB=120°,若△ABC绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何 体的表面积是 ( ) A.6+2 3 π B.6π C.(9+2 3)π D.2 3π —52— 12.如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE, △BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 ( ) A.23 B. 3 3 C. 4 3 D. 3 2 13.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,若经过D1B 的平面分别交AA1 和CC1 于点E,F,则四边形 D1EBF的形状是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 14.如图所示,在正四面体P-ABC 中,D,E,F 分别是AB,BC,CA 的中点,下面四 个结论不成立的是 ( ) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 15.某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为110 ,响第二声时被接的概率为3 10 ,响第三声 时被接的概率为2 5 ,响第四声时被接的概率为1 10 ;则电话在响前四声内被接的概率为 ( ) A.12 B. 9 10 C. 3 10 D. 4 5 16.甲、乙两人参加知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23 和3 4 ,甲、乙两人是否获得 一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为 ( ) A.34 B. 2 3 C. 5 7 D. 5 12 17.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为: [20,40),[40,60),[60,80),[80,100].估计本班学生的消防安全知识成绩的第90百分位数 是 ( ) A.93 B.80 C.90 D.95 18.对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2. ①这组数据的众数是3; ②这组数据的众数与中位数的数值不相等; ③这组数据的中位数 与平均数的数值相等; ④这组数据的平均数与众数的值相等. 其中正确的结论的个数 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 19.已知非零向量a,b的夹角正切值为2 6,且(a+3b)⊥(2a-b),则|a||b|= ( ) A.2 B.23 C. 3 2 D.1 20.将2个1和3个0随机排成一行,则2个1不相邻的概率为 ( ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8 —62— 二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 21.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的 边长为 . 22.将一骰子连续抛掷两次,至少有一次向上的点数为1的概率是 . 23.下面是关于复数z= 2-1+i 的四个命题: p1:|z|=2; p2:z2=2i; p3:z的共轭复数为1+i; p4:z的虚部为-1. 其中的真命题为 . 24.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节 目,若选中男教师的概率为9 20 ,则参加联欢会的教师共有 人. 25.算盘是中国传统的“珠算”工具.下图是一把算盘,自右向左,分别是个位、十位、百位、…,上面 一粒珠(简称上珠)代表数字5,下面一粒珠(简称下珠)代表数字1,即五粒下珠的大小等于同 组一粒上珠的大小现从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠,往上拨2粒下珠,则 算盘表示的数为质数(除了1和本身没有其它的约数)的概率是 . 三、解答题(共4小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 26.(本小题满分8分) 已知向量|a|=2,a·b=1,a在b方向上的投影为1. (1)求向量a,b的夹角; (2)求|a-b|. —72— 27.(本小题满分10分) 已知复数z表示的点在直线y=12x 上,且|z|=3 5,求复数z. 28.(本小题满分10分) 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随 机有放回地抽取3次,每次抽取一张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率. 29.(本小题满分12分) 某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直 方图,其中身高的变化范围是[96,106](单位:厘米),样本数据 分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]. (1)求出x的值; (2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36,求出总样本量 N 的数值; (3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件,求出样本中身高位于[98,104)的人数. —82— 由-π2+2kπ≤2x+ π 6< π 2+2kπ ,k∈Z,得-π3+kπ≤ x≤π6+kπ ,k∈Z,所以函数f(x)的单调增区间为[kπ- π 3 ,kx+π6 ],k∈Z. (2)如下表: x 0 π6 5π 12 2π 3 11π 12 π 2x+π6 π 6 π 2 π 3π 2 2π 13π 6 y 32 2 1 0 1 3 2 图象如下: 28.解:(1)因为f(x)=cosx(sinxcosπ6+cosxsin π 6 ) =14 (3sin2x+cos2x)+14 , f(x)=12sin (2x+π6 )+14 , 所以f(π6 )=34 ; (2)当x∈[0,π2 ]时,2x+π6∈ [π 6 ,7π 6 ], 所以sin(2x+π6 )∈[-12 ,1],所以f(x)∈[0,34 ]. 29.解:(1)解:由题知函数的定义域关于原点对称, f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x), 所以函数f(x)是偶函数f(x)=x2-2|x|-1,(-3≤x≤3). (2)解:由题知f(x)= x2-2x-1,(0≤x≤3) x2+2x-1,(-3≤x<0) . 进而结合二次函数与分段函数的性质作图如下: (3)解:由(2)的函数图象可知函数的最小值为f(x)min =-2,函数的最大值为f(x)max=2,所以函数f(x)的 值域为[-2,2]. 模块检测卷(二) [范围:必修第二册] 1.C 因为z=1+bi2+i= (1+bi)(2-i) (2+i)(2-i)= 2+b 5 + 2b-1 5 i 是纯 虚数,所以2+b=0且2b-1≠0,解得b=-2.所以z= -i,则复数z的共轭复数是i. 2.C 因为向量a=(2,3),b=(-1,2), 所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1), ma+nb=(2m-n,3m+2n). 因为a-2b与非零向量ma+nb共线, 所以2m-n 4 = 3m+2n -1 ,解得14m=-7n,mn =- 1 2. 3.D 由PA→·PB→=PB→·PC→得PB→·(PA→-PC→)=0, 即PB→·CA→=0,∴PB⊥CA. 同理PA⊥BC,PC⊥AB,∴P 为△ABC的垂心. 4.A 由a∥b,得-2× -14 =1-cos2θ=sin2θ, ∵θ为锐角,∴sinθ= 22. ∴θ=45°. 5.B 由正弦定理,得sinC=csinBb = 3 2 , ∵B=30°,∴0°<C<150°, ∴C=60°或C=120°. 当C=60°时,S△ABC= 1 2bcsinA= 3 2 ; 当C=120°时,S△ABC= 1 2bcsinA= 3 4. 6.D ∵(a2+c2-b2)tanB= 3ac, ∴a 2+c2-b2 2ac tanB= 3 2 , 即cosBtanB= 32 ,sinB= 32 ,B=π3 或B=2π3. 7.D 设2名男同学为a,b,3名女同学为A,B,C,从中选出 两人的情形有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b, B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,而都是女同 学的情形有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,故所求概率 为3 10=0.3. 故选D. 8.C 如图,设塔高为h,则AB=h, BC=h,BD= 3h,∠BCD=120°, CD=10,由余弦定理得BD2=BC2 +CD2-2BC·CDcos120°,得 h =10. 9.B ∵|z-1|=|z+1|, ∴点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相 等,即点Z 在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂 线上. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —86— 10.B 由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0, 即n2+mn+2+(2n+2)i=0. ∴ n2+mn+2=0, 2n+2=0, 解得 m=3 , n=-1, ∴z=3-i. 11.A △ABC绕直线BC 旋转一周,所形成 的几 何 体 是 一 个 大 圆 锥 去 掉 一 个 小 圆锥, 因为AC=2,BC=2,∠ACB=120°,所以 OA= 3,AB=2 3, 所以所形成的几何体的表面积是π× 3×(2+2 3)= (6+2 3)π. 12.A 如图,分别过点A,B 作EF 的 垂线,垂足分别为G,H,连接DG, CH, 容易求得EG=HF=12 , AG=GD=BH=HC= 32 , 取AD 的中点O,连接GO,易得GO= 22 , ∴S△AGD=S△BHC= 1 2× 2 2×1= 2 4 , ∴多 面 体 的 体 积 V =V三棱锥E-ADG +V三棱锥F-BCH + V三棱柱AGD-BHC =2V三棱锥E-ADG +V三棱柱AGD-BHC = 1 3× 2 4× 1 2×2+ 2 4×1= 2 3 ,故选A. 13.C 如 图,在 长 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中,平 面 ABB1A1∥ 平面 CDD1C1,过 D1B 的 平 面 BED1F 与平面ABB1A1 交于直 线BE,与 平 面CDD1C1 交 于 直 线D1F.由面面平行的性质定理,则BE∥D1F.同理BF ∥D1E.所以四边形D1EBF 为平行四边形. 14.C 由题意知BC∥DF,∴BC∥平面PDF. ∵P-ABC为正四面体,∴BC⊥PA,AE⊥BC. ∴BC⊥平面PAE,DF⊥平面PAE. ∵DF⊂平面ABC,∴平面PAE⊥平面ABC. 15.B 设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被 接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第 四声被接”为事件D,则A,B,C,D 两两互斥,从而P(A +B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=110+ 3 10 +25+ 1 10= 9 10. 16.D 根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有 获 得 或 甲 没 有 获 得 乙 获 得,则 所 求 概 率 是 2 3 × 1-34 +34× 1-23 =512. 17.A 由直方图得,从左到右的第一、二、三、四小组的频率 分别是0.10、0.20、0.40、0.30. 第一、二、三 小 组 的 频 率 之 和 为0.10+0.20+0.40= 0.70<0.90, 所以第90百分位数处在第四组[80,100]内,为80+20 ×0.90-0.701.00-0.70=93. 18.A 在这11个数据中,数据3出现了6次,频率最高,故 众数是3;将这11个数据按从小到大排列得2,2,3,3,3, 3,3,3,6,6,10,中间数据是3,故中位数是3;而平均数x =2×2+3×6+6×2+1011 =4. 故只有①正确. 19.D 设a,b的夹角为θ,由tanθ=2 6得cosθ=15. 因为 (a+3b)⊥(2a-b),所以(a+3b)·(2a-b)=2a2+5a· b-3b2=2|a|2+|a||b|-3|b|2=0,得2|a| 2 |b|2 +|a||b|-3 =0,解得|a||b|=1 或|a| |b|=- 3 2 (舍去).故选:D. 20.C 2个1和3个0随机排成一行,基本事件有:00011, 00101,01001,10001,10010,10100,11000,01100,00110, 01010,共10种;其中2个1不相邻的有:00101,01001, 10001,10010,10100,01010,共6种,所以所求概率P= 6 10=0.6. 故选:C. 21.解析:不妨设A=45°,B=60°, 则AB=1,C=180°-45°-60°=75°. ∵A<B<C, ∴BC<AC<AB. 由 正 弦 定 理 AB sinC = BC sinA 得 BC = AB ·sinA sinC = 1×sin45° sin(45°+30°)= 2 2 2 2× 3 2+ 2 2× 1 2 = 3-1. ∴这个三角形最小的边长为 3-1. 答案:3-1 22.解析:将一骰子连续抛掷两次,可能出现的样本点共有6 ×6=36个,其中至少有一次向上的点数为1的样本点 有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3, 1),(4,1),(5,1),(6,1),共11个,∴所求概率P=1136. 答案:11 36 23.解析:∵z= 2-1+i=-1-i , ∴|z|= (-1)2+(-1)2= 2, ∴p1是假命题; ∵z2=(-1-i)2=2i,∴p2是真命题; ∵z=-1+i,∴p3是假命题; ∵z的虚部为-1,∴p4是真命题. 其中的真命题:p2,p4. 答案:p2,p4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —96— 24.解析:可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教 师中选一人,“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是 对立事件,所以选中女教师的概率为1-920= 11 20. 再由题 意,知11 20n- 9 20n=12 ,解得n=120. 答案:120 25.解析:由题意可知,算盘所表示的数可能有:7、16、25、 52、61、70, 其中是质数的有:7、61.故所求事件的概率为P=26= 1 3. 故答案为:1 3. 答案:1 3 26.解:(1)因为|a|=2,a·b=1,由a在b 方向上的投影为 1,得a ·b |b|=1 ,所以|b|=1,向量a,b的夹角θ满足cosθ = a ·b |a||b|= 1 2 ,又θ∈[0,π],得θ=π3. (2)|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2 =4-2×1+1=3, 所以|a-b|= 3. 27.解:设z=a+bi(a,b∈R), 则b=12a 且 a2+b2=3 5, 解得 a=6 b=3 或 a=-6b=-3 . 因此z=6+3i或z=-6-3i. 28.解:(1)由题意,(a,b,c)所有可能的结果为:(1,1,1),(1, 1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1, 3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2, 2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2), (3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3, 3,3),共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A, 则事件A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种, 所以P(A)=327= 1 9 , 因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事 件B, 则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种,所以 P(B)=1-P(B)=1-327= 8 9 ,因此,“抽取的卡片上的 数字a,b,c不完全相同”的概率为89. 29.解:(1)由题意(0.050+0.100+0.150+0.125+x)×2 =1,解得x=0.075. (2)设样本中身高小于100厘米的频率为P1,则 P1= (0.050+0.100)×2=0.300. 而P1= 36 N ,故N=36P1 = 360.300=120. (3)样本 中 身 高 位 于[98,104)的 频 率 P2=(0.100+ 0.150+0.125)×2=0.750, 身高位于[98,104)的人数n=P2N=0.750×120=90(人). 内蒙古自治区普通高中学业水平合格性考试 仿真模拟卷(一) 1.A 解集合A:x<2或x>3,集合B:x<1.结合数轴可得 A∩B=(-∞,1). 2.A ∵x+y+(x-y)i=3-i, ∴ x+y=3, x-y=-1, 解得 x=1 , y=2, ∴复数1+2i所对应的点在第一象限. 3.C x=±5时,必有x2=25,反之也成立,故“x=±5”是 “x2=25”的充要条件. 4.D x-2x+1≤0⇔ (x+1)(x-2)≤0,且x≠-1, 即x∈{x|-1<x≤2}. 5.B 因为f(1)·f(1.5)<0,x1= 1+1.5 2 =1.25. 又因为f(1.25)<0,所以f(1.25)·f(1.5)<0,则方程 的根落在区间(1.25,1.5)内. 6.D 在△ABC中,由a=bcosC且c=6,A=π6 ,由正弦定 理,得 c sinC= a sinA=2a=2bcosC , 所以c=2bsinCcosC=6. 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC, 即36=b2cos2C+b2-2b2cos2C=b2(1-cos2C) =b2sin2C, 因为sinC>0, 所以bsinC=6, 代入2bsinCcosC=6,得cosC=12 , 由于0<C<π, 所以C=π3 ,B=π-A-C=π2 , 所以a=ctanA=2 3, 三角形的面积等于1 2acsinB= 1 2×2 3×6×1=6 3. 7.B g(x)= x2,x>1, 0,x=1, -x2,x<1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 如图所示,其递减区间是[0,1).故 选B. 8.D 因为在梯形ABCD 中,∠ABC=π2 ,AD∥BC,BC= 2AD=2AB=2,所以将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转 一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB=1,高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1, 高为BC-AD=2-1=1的圆锥的组合体,所以几何体的 表面积S=π×12+2π×1×2+12×2π×1× 1 2+12= (5+ 2)π. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —07—