第十章 概率-【学考一本通】2025年内蒙古自治区普通高中学业水平测试数学

第十章 概率 一、选择题 1.从含有3个元素的集合中任取一个子集,所 取的子集是含有两个元素的集合的概率是 ( ) A.310 B. 1 12 C.4564 D. 3 8 2.某人从甲地去乙地共走了500m,途中要过 一条宽为xm的河流,他不小心把一件物品 丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物 品不掉在河里,则能找到,已知该物品能找 到的概率为4 5 ,则河宽为 ( ) A.100m B.80m C.50m D.40m 3.从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于 4.8g的概率是0.3,质量不小于4.85g的概 率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内 的概率是 ( ) A.0.62 B.0.38 C.0.70 D.0.68 4.有分别写着数字1到120的120张卡片,从 中取出1张,这张卡片上的数字是2的倍数 或是3的倍数的概率是 ( ) A.12 B. 3 4 C.47 D. 2 3 5.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童 体型合格的概率为1 5 ,身体关节构造合格的 概率为1 4 ,从中任挑一儿童,这两项至少有 一项合格的概率是(假定体型与身体关节构 造合格与否相互之间没有影响) ( ) A.1320 B. 1 5 C.14 D. 2 5 6.王先生的微信密码是由0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9中的数字组成的六位数(数字可重复), 则于长时间末登录,忘记了密码的最后一个 数字,如果王先生登录微信时密码的最后一 个数字随意选取,那么恰好能登录的概率是 ( ) A.1 105 B.1 104 C.1 102 D.110 7.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲 被选中的概率为 ( ) A.12 B. 1 3 C.23 D.1 8.在国庆阅兵中,某兵种A,B,C 三个方阵按 一定次序通过主席台,若先后次序是随机排 定的,则B 先于A,C通过的概率为 ( ) A.16 B. 1 3 C.12 D. 2 3 9.一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动 员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水 平相当,每局甲胜、乙胜的概率都为1 2 ,则这 场比赛的甲、乙取胜的概率比(甲∶乙)应为 ( ) A.6∶1 B.7∶1 C.3∶1 D.4∶1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— 10.在5件产品中,有3件一等品和2件二等 品,从中任取2件,则下列选项中以710 为概 率的事件是 ( ) A.恰有1件一等品 B.至少有一件一等品 C.至多有一件一等品 D.都不是一等品 二、填空题 11.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4 张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡 片上 的 数 字 之 和 为 奇 数 的 概 率 为 . 12.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大 的自然数(如2578),在二位的“渐升数”中 任取一数比37大的概率是 . 13.一个容量为20的样本,数据的分组及各组 的频数如下:[10,20)2个;[20,30)3个; [30,40)x 个;[40,50)5个;[50,60)4个; [60,70)2个,并且样本在[30,40)之间的 频率为0.2.则x等于 ;根据样本 的频率分布估计,数据落在[10,50)的概率 约为 . 14.加工某一零件需经过三道工序,设第一、 二、三道工序的次品率分别为1 70 ,1 69 ,1 68 , 且各道工序互不影响,则加工出来的零件 的次品率为 . 三、解答题 15.某饮料公司对一名员工进进行测试以便确 定其考评级别,公司准备了两种不同的饮 料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯 为A 饮料,另外2杯为B 饮料,公司要求 此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3 杯A 饮料,若该员工3杯都选对,则评为 优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则 评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没 有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率. 16.在女子十米跳台比赛中,已知甲,乙两名选 手发挥正常的概率分别为0.9,0.85,求 (1)甲、乙两名选手发挥均正常的概率; (2)甲、乙两名选手至多有一名发挥正常的 概率; (3)甲、乙两名选手均出现失误的概率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— 解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 16.解:(1)根据频数分布表,100名学生中,课外阅读时间不 少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的 学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-10100=0.9. (2)课外阅读时间落在[4,6)的人数为17人,频率为0.17, 所以,a= 频率 组距= 0.17 2 =0.085 , 同理,b=0.252 =0.125. (3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第 4组. 第十章 概率 1.D 所有子集共8个,其中含有2个元素的有3个,所以 概率为3 8. 2.A 设河宽为xm,则1- x500= 4 5 ,所以x=100. 3.B 记“取到羽毛球的质量小于4.8g”为事件A,“取到羽 毛球的质量不小于4.85g”为事件B,“取到羽毛球的质量 在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A,B,C 互斥, 且A∪B∪C 为必然事件.所以P(A∪B∪C)=P(A)+ P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1,即P(C)=1-0.3 -0.32=0.38. 4.D 是2的倍数的数有60个,是3的倍数的数有40个, 是6的倍数的数有20个, 所以P=60+40-20120 = 2 3. 5.D 设“儿童体型合格”为事件A,“身体关节构造合格”为 事件B,则P(A)=15 ,P(B)=14. 又A,B 相互独立,则 􀭿A,􀭺B 也相互独立,则P(􀭿A􀭺B)=P(􀭿A)P(􀭺B)=45× 3 4= 3 5 ,故至少有一项合格的概率为P=1-P(􀭿A􀭺B)=25. 6.D 只考虑最后一位数字即可,从0至9这10个数字中 随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能,选 对只有一种可能,所以选对的概率是1 10. 7.C 从甲、乙、丙三人中任选两人有:(甲、乙)、(甲、丙)、 (乙、丙)共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲 被选中的概率为P=23. 8.B 用(A,B,C)表示A,B,C 通过主席台的次序,则样本 空间Ω={(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C, A,B),(C,B,A)},所以n(Ω)=6,其中B 先于A,C 通过 的样本点有:(B,C,A)和(B,A,C),共2个,故所求概率 P=26= 1 3. 9.B 甲前2局已胜,甲胜有三种情况:①甲第3局胜为A1, P(A1)= 1 2 ;②甲第3局负、第4局胜为A2,P(A2)= 1 2 ×12= 1 4 ;③第3局、第4局甲负,第5局甲胜为 A3, P(A3)= 1 2× 1 2× 1 2= 1 8. 故甲胜的概率为 P(A1)+ P(A2)+P(A3)= 7 8 ,乙胜的概率则为1 8. 10.C 将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5, 从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有1件 一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3, 5),恰有1件一等品的概率为P1= 6 10 ,恰有2件一等品 的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概 率为P2= 3 10 ,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率 为P3=1-P2=1- 3 10= 7 10. 至少有一件一等品的概率 为P1+P2= 9 10 ,都不是一等品的概率为1-910= 1 10. 11.解析:从写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张,共有 6种方法:12,13,14,23,24,34,其中A 表示“取出2张卡 片中数字之和为奇数”,有4种:12,14,23,34.故 P(A)=46= 2 3. 答案:2 3 12.解析:十位是1的“渐升数”有8个,十位是2的“渐升数” 有7个,…,十位是8的“渐升数”有1个;所以二位的“渐 升数”有8+7+6+5+4+3+2+1=36个,以3为十位 比37大的“渐升数”有2个,分别以4、5、6、7、8为十位的 “渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15个,所 以比37大的二位的“渐升数”共有2+15=17个,故在二 位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是1736. 答案:17 36 13.解析:样本总数为20个,所以x=20-16=4,所以P= 14 20=0.7. 答案:4 0.7 14.解 析:加 工 出 来 的 零 件 的 正 品 率 是 1-170 × 1-169 × 1-168 =6770,因此加工出来的零件的次品 率为1-6770= 3 70. 答案:3 70 15.解:将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A 饮 料,编号4,5表示B 饮料,则从5种饮料中选出3杯的 所有可能情况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —56— (1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5), 共有10种,令D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此 人被评为良好的事件,F 表示此人被评为良好及以上的 事件,则 (1)P(D)=110. (2)P(E)=35 ,P(E)=P(D)+P(E)=710. 16.解:令事件A,B 分别表示甲、乙两名选手发挥正常,由题 意可知,事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.9,P(B)= 0.85. (1)两名选手发挥均正常的概率P=P(AB) =P(A)P(B)=0.9×0.85=0.765. (2)所求事件的对立事件为“甲、乙两名选手发挥均正 常”,故所 求 事 件 的 概 率 P=1-P(AB)=1-0.765 =0.235. (3)依题意可知,所求事件的概率P=P(􀭿A􀭺B) =P(􀭿A)P(􀭺B)=(1-P(A))(1-P(B))=(1-0.9)× (1-0.85)=0.015. 模块检测卷(一) [范围:必修第一册] 1.D ①因为{0}是含有一个元素0的集合,而不是空集,所 以①不正确. ②当a=0时,因为0∈N,所以②不正确. ③因为x2-2x+1=0,x1=x2=1,所以{x∈R|x2-2x+ 1=0}={1},所以③不正确. ④因为当x为正整数的倒数时,6x∈N , 所以{x∈Q|6x∈N }是无限集,所以④不正确. 2.B 由集合 M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0}, 可得 M=(-12 ,1),∁UN =(-∞,- a 2 ].要 使 M∩ (∁UN)=⌀,则- a 2≤- 1 2 ,解得a≥1. 3.C ①x2+1≥1,③x2=2⇒x=± 2. 4.A 由-5x+3≥0,得{x|x≤35 },选项A中x的范围为 其真子集,选A. 5.B 设f(x)=kx+b(k≠0), ∵2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1, ∴ k-b=5, k+b=1, ∴ k=3,b=-2 ∴f(x)=3x-2. 6.B 因为函数f(x)=2x+3x 在其定义域内是递增的,那 么根据f(-1)=12-3=- 5 2<0 ,f(0)=1+0=1>0, 那么根据函数的零点存在性定理可知,函数的零点所在 的一个区间为(-1,0). 7.D 函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1,所以图象开口向 上,对称轴是x=-1,最小值为1,要使函数值为5,需x =1或x=-3,所以m 的取值范围是[-3,-1]. 8.D 由 32+x+ 3 2+y=1 可化为xy=8+x+y, ∵x,y均为正实数,∴xy=8+x+y≥8+2 xy(当且仅 当x=y时等号成立),即xy-2 xy-8≥0,解得 xy ≥4,即xy≥16,故xy的最小值为16. 9.B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图 略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2 =x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3. 10.A ∵-11π4 =-2π- 3π 4.∴- 11π 4 与-3π4 是终边相同的 角,且此时|-3π4|= 3π 4 是最小值. 11.D 由sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|<π2 ,可得-sinθ =- 3cosθ,|θ|<π2 ,即tanθ= 3,|θ|<π2 ,所以θ=π3. 12.C 画出y=sinx,x∈[0,2π]的草图: 因为sinπ3= 3 2 ,所以sinπ+π3 =- 32, sin2π-π3 =- 32.即在[0,2π]内,满足sinx=- 32 的是x=4π3 或x=5π3. 可知不等式sinx<- 32 的解集是 4π 3 ,5π 3 .故选C. 13.C A.y=tanx在 0,π2 上单调递增,不满足条件(1). B.函数y=cosx是偶函数,不满足条件(3). C.函数y=sin(x+3π)=-sinx,满足三个条件. D.函数y=sin2x的最小正周期T=π,不满足条件(2). 14.C 由2kπ-π2≤ t 2≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,得4kπ-π≤t≤ 4kπ+π,k∈Z.当k=1时,得t∈[3π,5π],而[10,15]⊆ [3π,5π],故在[10,15]上是增加的. 15.D 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可得A=1, 再根据T 4= 1 4× 2π ω= 7π 12= π 3 ,求得ω=2,最小正周期T =π.再根据五点法作图可得2×π3+φ=π ,求得φ= π 3 , 所以函数f(x)=sin2x+π3 . g(x)=sin2x+π4 =sin2x-π24 +π3 , 所以应该向右平移π 24 个长度单位. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —66—