第九章 统计-【学考一本通】2025年内蒙古自治区普通高中学业水平测试数学

第九章 统计 一、选择题 1.一个容量为80的样本中,数据的最大值为 152,最小值为60,组距为10,应将样本数据 分为 ( ) A.10组 B.9组 C.8组 D.7组 2.一个容量为32的样本,已知某组样本的频 率为0.125,则该组样本的频数为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.在样本频率分布直方图中,共有9个小长方 形,若中间一个小长方形的面积等于其他8 个长方形的面积和的2 5 ,且样本容量为140, 则中间一组的频数为 ( ) A.28 B.40 C.56 D.60 4.用样本频率分布估计总体频率分布的过程 中,下列说法正确的是 ( ) A.总体容量越大,估计越精确 B.总体容量越小,估计越精确 C.样本容量越大,估计越精确 D.样本容量越小,估计越精确 5.从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量 如下(单位:g):125 120 122 105 130 114 116 95 120 134,则样本数据落 在[114.5,124.5)内的频率为 ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别 如图①和图②所示.为了解该地区中小学生 的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽 取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取 的高中生近视人数分别为 ( ) A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10 7.某市刑警队对警员进行技能测试,测试成绩 分为优秀、良好、合格三个等极,测试结果如 下表:(单位:人) 优秀 良好 合格 男 40 105 25 女 a 15 5 若按优秀、良好、合格三个等极分层,从中抽 取40人,成绩为良好的有24人,则a等于 ( ) A.10 B.15 C.20 D.30 8.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相 同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知 道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛, 则其他15位同学成绩的下列数据中,能使 他得出结论的是 ( ) A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 9.一个样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是 方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的 方差是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.从某项综合能力测试中抽取100人的成 绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为 ( ) 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A.3 B.2 105 C.3 D. 8 5 二、填空题 11.某中学高一年级有400人,高二年级有 320人,高三年级有280人,若每人被抽到 的可能性为20%,用随机数法在该中学抽 取容量为n的样本,则n等于 . 12.一个容量为100的样本,其数据的分组与 各组的频数如下: 组别 [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据在[10,40)上的频率为 . 13.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部 分,对这些产品的一项质量指标进行了检 测,整理检测结果得到如下频率分布表: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— 质量指标分组 [10,30) [30,50) [50,70] 频率 0.1 0.6 0.3 据此可估计这批产品的此项质量指标的方 差为 . 14.从某小学随机抽取100名同学,将他们的 身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方 图(如图所示).由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140), [140,150]三组内的学生中,用分层随机抽 样的方法选取18人参加一项活动,则从身 高在[140,150]内的学生中选取的人数应 为 . 三、解答题 15.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了 制定合理的节水方案,对居民用水情况进 行了调查.通过抽样,获得了某年100位居 民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按 照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成9组, 制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值; (2)设该市有30万居民,估计全市居民中 月均用水量不低于3吨的人数,并说明 理由; (3)估计居民月均用水量的中位数. 16.从某校随机抽取100名学生,获得了他们 一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整 理得到数据分组及频数分布表和频率分布 直方图: 组号 分组 频数 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合计 100 (1)从该校随机取一名学生,试估计这名学 生该周课外阅读时间少于12小时的频率; (2)求频率分布直方图中的a,b的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区 间的中点值代替,试估计样本中的100名 学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 (只需写出结论)? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 在Rt△POE 中,PO=3,OE=12BC= 1 2PE , 所以9+ PE2 2 =PE2,所以PE=2 3. 所以S底=BC2=PE2=(2 3)2=12,S侧 =2S底 =2×12 =24,所以S表=S底+S侧=12+24=36. 16.解:(1)在直三棱柱ABC􀆼A1B1C1中,BB1⊥平面ABC, 所以BB1⊥AD,因为AB=AC,D 是BC 的中点, 所 以 AD ⊥BC.又 BC∩BB1 =B,BC,BB1 ⊂ 平 面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1. (2)连 接 C1D.由 (1)AD ⊥ 平 面BCC1B1, 则∠AC1D 即 为 直 线AC1 与 平 面 BCC1B1所成的角. 在 Rt△AC1D 中,AD= 3 2 ,AC1 = 2, sin∠AC1D= AD AC1 = 64 , 即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 6 4. 第九章 统计 1.A 由题意可知,152-6010 =9.2 , 故应将数据分为10组. 2.B 频率= 频数 样本容量 ,则频数=频率×样本容量=0.125 ×32=4. 3.B 设中间一组的频数为x, 则其他8组的频数和为52x , 所以x+52x=140 , 解得x=40. 4.C 根据用样本估计总体的原则可知,样本容量越大,估 计越精确,样本容量越小,估计越不精确. 5.C 该题考查频率的计算公式. 在[114.5,124.5)范围内的频数m=4,样本容量n=10, 所以所求频率为4 10=0.4. 6.A 该地区中小学生总人数为 3500+2000+4500=10000, 则样本容量为10000×2%=200,其中抽取的高中生近视 人数为2000×2%×50%=20. 7.A 设该市刑警队共n人, 由题意得40 n= 24 105+15 ,解得,n=200; 则a=200-(40+105+15+25+5)=10. 8.C 判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8位,所 以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于 他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成 绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这 个成绩就不能进入决赛,第8位的成绩就是这15位同学 成绩的中位数. 9.C x2-5x+4=0的两根是1,4.显然a=1,b=4.故方差 s2=14× [(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5. 10.B 因为􀭺x=20×5+10×4+30×3+30×2+10×1100 =100+40+90+60+10100 =3 , 所以s2=1n [(x1-􀭺x)2+(x2-􀭺x)2+…+(xn-􀭺x)2]= 1 100× [20×22+10×12+30×02+30×12+10×22]= 160 100= 8 5. 所以s=2 105 . 11.解析:由 n400+320+280=20% , 解得n=200. 答案:200 12.解析:频率为13+24+15100 =0.52. 答案:0.52 13.解析:由题意得这批产品的此项质量指标的平均数为 20×0.1+40×0.6+60×0.3=44, 故方差为(20-44)2×0.1+(40-44)2×0.6+(60- 44)2×0.3=144. 答案:144 14.解析:由10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,得a= 0.03,从而这三组的频数之比为0.03∶0.02∶0.01=3∶ 2∶1,故从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 18×16=3. 答案:0.03 3 15.解:(1)由频率分布直方图,可知,月均用水量在[0,0.5) 的频率为0.08×0.5=0.04, 同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4), [4,4.5]组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04, 0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+ 0.02)=0.5·a+0.5·a,解得a=0.30. (2)由(1)可知,100位居民每人月均用水量不低于3吨 的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率,可以估计全市30万居民中月均用 水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000. (3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+ 0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5, 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21 =0.48<0.5,所以2≤x<2.5. 由0.50×(x-2)=0.5-0.48, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —46— 解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 16.解:(1)根据频数分布表,100名学生中,课外阅读时间不 少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的 学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-10100=0.9. (2)课外阅读时间落在[4,6)的人数为17人,频率为0.17, 所以,a= 频率 组距= 0.17 2 =0.085 , 同理,b=0.252 =0.125. (3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第 4组. 第十章 概率 1.D 所有子集共8个,其中含有2个元素的有3个,所以 概率为3 8. 2.A 设河宽为xm,则1- x500= 4 5 ,所以x=100. 3.B 记“取到羽毛球的质量小于4.8g”为事件A,“取到羽 毛球的质量不小于4.85g”为事件B,“取到羽毛球的质量 在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A,B,C 互斥, 且A∪B∪C 为必然事件.所以P(A∪B∪C)=P(A)+ P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1,即P(C)=1-0.3 -0.32=0.38. 4.D 是2的倍数的数有60个,是3的倍数的数有40个, 是6的倍数的数有20个, 所以P=60+40-20120 = 2 3. 5.D 设“儿童体型合格”为事件A,“身体关节构造合格”为 事件B,则P(A)=15 ,P(B)=14. 又A,B 相互独立,则 􀭿A,􀭺B 也相互独立,则P(􀭿A􀭺B)=P(􀭿A)P(􀭺B)=45× 3 4= 3 5 ,故至少有一项合格的概率为P=1-P(􀭿A􀭺B)=25. 6.D 只考虑最后一位数字即可,从0至9这10个数字中 随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能,选 对只有一种可能,所以选对的概率是1 10. 7.C 从甲、乙、丙三人中任选两人有:(甲、乙)、(甲、丙)、 (乙、丙)共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲 被选中的概率为P=23. 8.B 用(A,B,C)表示A,B,C 通过主席台的次序,则样本 空间Ω={(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C, A,B),(C,B,A)},所以n(Ω)=6,其中B 先于A,C 通过 的样本点有:(B,C,A)和(B,A,C),共2个,故所求概率 P=26= 1 3. 9.B 甲前2局已胜,甲胜有三种情况:①甲第3局胜为A1, P(A1)= 1 2 ;②甲第3局负、第4局胜为A2,P(A2)= 1 2 ×12= 1 4 ;③第3局、第4局甲负,第5局甲胜为 A3, P(A3)= 1 2× 1 2× 1 2= 1 8. 故甲胜的概率为 P(A1)+ P(A2)+P(A3)= 7 8 ,乙胜的概率则为1 8. 10.C 将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5, 从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有1件 一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3, 5),恰有1件一等品的概率为P1= 6 10 ,恰有2件一等品 的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概 率为P2= 3 10 ,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率 为P3=1-P2=1- 3 10= 7 10. 至少有一件一等品的概率 为P1+P2= 9 10 ,都不是一等品的概率为1-910= 1 10. 11.解析:从写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张,共有 6种方法:12,13,14,23,24,34,其中A 表示“取出2张卡 片中数字之和为奇数”,有4种:12,14,23,34.故 P(A)=46= 2 3. 答案:2 3 12.解析:十位是1的“渐升数”有8个,十位是2的“渐升数” 有7个,…,十位是8的“渐升数”有1个;所以二位的“渐 升数”有8+7+6+5+4+3+2+1=36个,以3为十位 比37大的“渐升数”有2个,分别以4、5、6、7、8为十位的 “渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15个,所 以比37大的二位的“渐升数”共有2+15=17个,故在二 位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是1736. 答案:17 36 13.解析:样本总数为20个,所以x=20-16=4,所以P= 14 20=0.7. 答案:4 0.7 14.解 析:加 工 出 来 的 零 件 的 正 品 率 是 1-170 × 1-169 × 1-168 =6770,因此加工出来的零件的次品 率为1-6770= 3 70. 答案:3 70 15.解:将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A 饮 料,编号4,5表示B 饮料,则从5种饮料中选出3杯的 所有可能情况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —56—