第八章 立体几何初步-【学考一本通】2025年内蒙古自治区普通高中学业水平测试数学

第八章 立体几何初步 一、选择题 1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都 是圆面,则这个几何体一定是 ( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 2.已知圆锥的高为3,底面半径为 3,若该圆 锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上, 则这个球的体积等于 ( ) A.83π B. 32 3π C.16π D.32π 3.如 图 所 示,已 知 三 棱 柱 ABC􀆼A1B1C1 的所有棱长 均为 1,且 AA1⊥ 底 面 ABC,则三棱锥B1􀆼ABC1 的体积为 ( ) A.312 B. 3 4 C.612 D. 6 4 4.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 ( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 5.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为 2,体对角线长为6,则这个棱柱的侧面积是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 6.如图所示,正方体ABCD􀆼 A1B1C1D1 的棱长为1,则 三棱锥 D1􀆼ACD 的体积 是 ( ) A.16 B. 1 3 C.12 D.1 7.如图所示,正方体ABCD􀆼 A1B1C1D1 的 棱 BB1 和 BC 的中点分别是E,F, 各棱所在的直线与直线 EF互为异面直线的条数 是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 8.直线l在平面α外指的是 ( ) A.l∩α=A B.l∩α=⌀ C.l∩α=A 或l∩α=⌀ D.l∩α有无数个公共点 9.如 图 所 示,在 三 棱 锥 S􀆼 ABC中,E,F 分别为SB, SC 上的点,且 EF∥平面 ABC,则 ( ) A.EF与BC 相交 B.EF∥BC C.EF与BC 异面 D.以上均有可能 10.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3, l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论 一定正确的是 ( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与l4 既不垂直也不平行 D.l1 与l4 的位置关系不确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— 二、填空题 11.一个长方体的过同一顶点的三个面的面积分 别是2,3,6,则这个长方体的体积为 ,表面积为 . 12.用斜二测画法画出的某 平面图形的直观图如图, 边AB 平行于y 轴,BC, AD 平行于x 轴.已知四边形ABCD 的面 积为2 2cm2,则原平面图形的面积为 cm2. 13.已知Rt△ABC的斜边在平面α内,直角顶 点C是α外一点,AC、BC与α所成角分别 为30°和45°,则平面ABC与α所成锐角为 . 14.已知l,m 是平面α 外的两条不同直线.给 出下列三个论断: ①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个 论断作为结论,写出一个正确的命题: . 三、解答题 15.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍, 高为3,求它的表面积. 16.如图,在棱长均为1的直三棱柱 ABC􀆼 A1B1C1 中,D 是BC 的中点. (1)求证:AD⊥平面BCC1B1; (2)求直线AC1 与平面BCC1B1 所成角的 正弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— 14.解析:由点的坐标(2cos300°,2sin300°),得(1,- 3),对 应的复数为z=1- 3i,|z|=2. 答案:1- 3i 2 15.解:设z=x+yi(x,y∈R), z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2, z 2-i= x-2i 2-i= 1 5 (x-2i)(2+i)= 15 (2x+2) +15 (x-4)i. 由题意得x=4,所以z=4-2i. 因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, (1)当w 为实数时,令a-2=0,所以a=2, (2)w 为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2. (3)w 为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0, 所以a=-2或a=6. 16.解:(1)因为复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R)在复平 面上所对应的点在第二象限, 所以 1+2m<0, 3+m>0, 解得-3<m<-12, 所以m 的取值范围是 -3,-12 . (2)|z|2=(1+2m)2=(3+m)2=5m2+10m+10= 5(m+1)2+5,所以当m=-1时,|z|min= 5. 第八章 立体几何初步 1.C 截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体. 2.B 设 该 圆 锥 的 外 接 球 的 半 径 为 R,依 题 意 得,R2= (3-R)2+(3)2,解 得 R=2,所 以 所 求 球 的 体 积V= 4 3πR 3=43π ·23=323π. 3.A 三棱锥B1􀆼ABC1 的体积等于三棱锥A􀆼B1BC1 的体 积,三棱锥A􀆼B1BC1 的高为 3 2 ,底面积为1 2 ,故其体积为 1 3× 1 2× 3 2= 3 12. 4.B 当α内有无数条直线与β平行,也可能两平面相交,故 A错.同样当α,β平行于同一条直线或α,β垂直于同一平 面时,两平面也可能相交,故C,D错.由面面平行的判定 定理可得B正确. 5.D 由已知得底面边长为1,侧棱长为 6-2=2.所以 S侧=1×2×4=8. 6.A 三 棱 锥 D1-ADC 的 体 积V= 1 3S△ADC ·D1D= 1 3 ·1 2 ·AD·DC·D1D= 1 3× 1 2×1×1×1= 1 6. 7.C AB,AD,AA1,A1B1,A1D1,D1D,D1C1,DC 与直线 EF 都是异面直线. 8.C 直线与平面平行或相交统称为直线在平面外. 9.B 因为EF∥平面ABC,EF⊂平面SBC, 且平面SBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC. 10.D 构造如图所示的正方体 AB- CD􀆼A1B1C1D1, 取l1 为 AD,l2 为 AA1,l3 为 A1B1,当取l4 为B1C1 时,l1∥l4, 当取l4 为BB1 时,l1⊥l4,故排除 A,B,C,选D. 11.解析:设长方体的棱长分别为a,b,c,则 ab= 2, ac= 3, bc= 6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 三式相乘可知(abc)2=6, 所以长方体的体积V=abc= 6, 表面积为S=2 2+2 3+2 6. 答案:6 2 2+2 3+2 6 12.解析:依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯 形,上下底面的长与BC,AD 相等,高为梯形ABCD 的 高的2 2倍,所以原平面图形的面积为8cm2. 答案:8 13.解析:如图所示,过点C作垂直于α的直线CO,交α于点 O.所以∠CAO=30°,∠CBO=45°. 设CO=a,所以在Rt△ACO 中,AC=2a, 在Rt△BCO 中,BC= 2a. 过C点在平面ABC 内作CD⊥AB,连接OD, 则∠CDO 为平面ABC 与α所成的锐角,AB= 6a, 所以CD=2 3 a所以在Rt△CDO 中, sin∠CDO=a2a 3 = 32 , 所以∠CDO=60°. 答案:60°. 14.解析:选两个论断作为条件,一个作为结论,一共能够组 成3个命题,即①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①,只有① ②⇒③为假命题,其余两个为真命题. 答案:若m∥α,l⊥α,则l⊥m(或若l⊥m,l⊥α,则m∥α) 15.解:如图,高PO=3,PE 是斜高, 因为S侧 =2S底,所 以4· 12 · BC·PE=2BC2, 所以BC=PE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —36— 在Rt△POE 中,PO=3,OE=12BC= 1 2PE , 所以9+ PE2 2 =PE2,所以PE=2 3. 所以S底=BC2=PE2=(2 3)2=12,S侧 =2S底 =2×12 =24,所以S表=S底+S侧=12+24=36. 16.解:(1)在直三棱柱ABC􀆼A1B1C1中,BB1⊥平面ABC, 所以BB1⊥AD,因为AB=AC,D 是BC 的中点, 所 以 AD ⊥BC.又 BC∩BB1 =B,BC,BB1 ⊂ 平 面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1. (2)连 接 C1D.由 (1)AD ⊥ 平 面BCC1B1, 则∠AC1D 即 为 直 线AC1 与 平 面 BCC1B1所成的角. 在 Rt△AC1D 中,AD= 3 2 ,AC1 = 2, sin∠AC1D= AD AC1 = 64 , 即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 6 4. 第九章 统计 1.A 由题意可知,152-6010 =9.2 , 故应将数据分为10组. 2.B 频率= 频数 样本容量 ,则频数=频率×样本容量=0.125 ×32=4. 3.B 设中间一组的频数为x, 则其他8组的频数和为52x , 所以x+52x=140 , 解得x=40. 4.C 根据用样本估计总体的原则可知,样本容量越大,估 计越精确,样本容量越小,估计越不精确. 5.C 该题考查频率的计算公式. 在[114.5,124.5)范围内的频数m=4,样本容量n=10, 所以所求频率为4 10=0.4. 6.A 该地区中小学生总人数为 3500+2000+4500=10000, 则样本容量为10000×2%=200,其中抽取的高中生近视 人数为2000×2%×50%=20. 7.A 设该市刑警队共n人, 由题意得40 n= 24 105+15 ,解得,n=200; 则a=200-(40+105+15+25+5)=10. 8.C 判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8位,所 以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于 他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成 绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这 个成绩就不能进入决赛,第8位的成绩就是这15位同学 成绩的中位数. 9.C x2-5x+4=0的两根是1,4.显然a=1,b=4.故方差 s2=14× [(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5. 10.B 因为􀭺x=20×5+10×4+30×3+30×2+10×1100 =100+40+90+60+10100 =3 , 所以s2=1n [(x1-􀭺x)2+(x2-􀭺x)2+…+(xn-􀭺x)2]= 1 100× [20×22+10×12+30×02+30×12+10×22]= 160 100= 8 5. 所以s=2 105 . 11.解析:由 n400+320+280=20% , 解得n=200. 答案:200 12.解析:频率为13+24+15100 =0.52. 答案:0.52 13.解析:由题意得这批产品的此项质量指标的平均数为 20×0.1+40×0.6+60×0.3=44, 故方差为(20-44)2×0.1+(40-44)2×0.6+(60- 44)2×0.3=144. 答案:144 14.解析:由10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,得a= 0.03,从而这三组的频数之比为0.03∶0.02∶0.01=3∶ 2∶1,故从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 18×16=3. 答案:0.03 3 15.解:(1)由频率分布直方图,可知,月均用水量在[0,0.5) 的频率为0.08×0.5=0.04, 同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4), [4,4.5]组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04, 0.02.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+ 0.02)=0.5·a+0.5·a,解得a=0.30. (2)由(1)可知,100位居民每人月均用水量不低于3吨 的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率,可以估计全市30万居民中月均用 水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000. (3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+ 0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5, 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21 =0.48<0.5,所以2≤x<2.5. 由0.50×(x-2)=0.5-0.48, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —46—