第六章 平面向量及其应用-【学考一本通】2025年内蒙古自治区普通高中学业水平测试数学

第六章 平面向量及其应用 一、选择题 1.在四边形ABCD 中,BC → +DA → +CD → = ( ) A.BD → B.AC → C.AB → D.BA → 2.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且λa+μb= (2,8).则λ-μ= ( ) A.5 B.-5 C.1 D.-1 3.已知△ABC中,D 为AB 上一点,满足 AB → =2AD →,且|AB → |=2|CD → |,则△ABC 的 形状为 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+ b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 ( ) A.k=1且c与d 同向 B.k=1且c与d 反向 C.k=-1且c与d 同向 D.k=-1且c与d 反向 5.已知点A(-1,1),点B(2,y),向量a=(1, 2),若AB → ∥a,则实数y的值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.已知AB → =(2,3),AC → =(3,t),|BC → |=1,则 AB →·BC → = ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 7.设向量a,b满足|a|=2 5,b=(2,1),且a 与b的方向相反,则a的坐标为 ( ) A.(-4,-2) B.(3,4) C.(4,2) D.(-3,-4) 8.若a=(x,2),b= 12 ,1 ,c=a+2b,d=2a- b,且c∥d,则c-2d等于 ( ) A.-52 ,-5 B.52,5 C.(1,2) D.(-1,-2) 9.在△ABC 中,若AB →·AC → =2且∠BAC= 30°,则△ABC的面积为 ( ) A.3 B.2 3 C.33 D. 2 3 3 10.在三角形ABC中,|AB|=2,|AC|=2 2, ∠BAC=45°,P 为线段AC 上任意一点, 则PB →·PC → 的取值范围是 ( ) A.-14 ,1􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B.-12 ,4􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C.-14 ,0􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D.-12 ,2􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 二、填空题 11.已知a=(2,-2),b=(x,2),若a·b=6, 则x= . 12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c.若b=6,a=2c,B=π3 ,则△ABC 的面积 为 . 13.在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC= 3,点D 在线段AC 上,若∠BDC=45°,则 BD= ,cos∠ABD . 14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a, b,c,若cosB=13 ,b=4,S△ABC =4 2,则 △ABC的周长为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —11— 三、解答题 15.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k 为何 值时, (1)ka+b与a-3b垂直? (2)ka+b与a-3b平行? 平行时它们是同 向还是反向? 16.设向量 m=(a,b),n=(b-2,a-2),在 △ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且 2csinC=(2b-a)sinB+(2a-b)sinA. (1)求角C; (2)若m⊥n,边长c=2,求△ABC 的周长l和 面积S 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —21— 12.解析:由题图知A= 2,T4= 7π 12- π 3= 3π 12= π 4 , 即T=π,由T=2πω=π ,得ω=2. 答案:2 2 13.解 析:由 sin4θ+cos4θ= 59 ,得 (sin2θ+cos2θ)2- 2sin2θcos2θ=59 ,所以sin2θcos2θ=29 ,因为θ是第三象 限角,所以sinθ<0,cosθ<0,所以sinθcosθ= 23. 答案:2 3 14.解析:函数y=2sin3x π6≤x≤ 5π 6 图象的对称轴为直 线x=π2 ,由函数图象的对称性,利用面积“割补法”,得 函数y=2sin3x π6≤x≤ 5π 6 图象与函数y=2的图象 围成封闭图形的面积是S=4· π2- π 6 =4π3. 答案:4π 3 15.解:(1)因为f(x) =cosx sinxcosπ6+cosxsin π 6 =14 (3sin2x+cos2x)+14 , f(x)=12sin2x+ π 6 +14,所以f π6 =34; (2)当x∈ 0,π2 时,2x+π6∈ π6,7π6 , 所以sin2x+π6 ∈ -12,1 所以f(x)∈ 0,34 . 16.解:(1)由|AB|= 105 , 得 (cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2= 10 5 , 所以2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)= 2 5 , 即1-cos(α-β)= 1 5 , 所以cos(α-β)= 4 5. (2)因为cosα=35 ,cos(α-β)= 4 5 ,α,β为锐角, 所以sinα=45 ,sin(α-β)=± 3 5. 当sin(α-β)= 3 5 时,cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= 24 25. 当sin(α-β)=- 3 5 时,cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=0. 因为β为锐角,所以cosβ= 24 25. 第六章 平面向量及其应用 1.D 在四边形ABCD 中,BC→+DA→+CD→=BC→+CD→+DA→ =BD→+DA→=BA→. 2.D 因为a=(1,1),b=(0,2), 所以λa+μb=(λ,λ+2μ), 因为λa+μb=(2,8),所以(λ,λ+2μ)=(2,8), 所以λ=2,μ=3,所以λ-μ=-1. 3.C 因为△ABC 中,D 为AB 上一点,满 足AB→=2AD→,则AD→=DB→,且|AB→|= 2|CD→|,如 图,延 长 CD 到 E,使CD→= DE→,则ACBE是平行四边形,由向量加法的 平行四边形法则,得CA→+CB→=CE→=2CD→, 则|AB→|=|CE→|,所 以 平 行 四 边 形 ACBE 是 矩 形,即 △ABC的形状一定为直角三角形. 4.D 若c∥d,则c=λd,所以(k,1)=λ(1,-1), 所以k=λ=-1,所以k=-1,且c与d 反向. 5.C AB→=(3,y-1),又AB→∥a,所以(y-1)-2×3=0,解 得y=7. 6.C 因为BC→=AC→-AB→=(1,t-3). 又因为|BC→|=1, 即12+(t-3)2=12,解得t=3, 所以BC→=(1,0), 故AB→·BC→=2. 7.A 因为b=(2,1),且a与b的方向相反, 所以设a=(2λ,λ)(λ<0).因为|a|=2 5, 所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2. 所以a=(-4,-2). 8.D c=(x+1,4),d= 2x-12 ,3 , 因为3(x+1)=42x-12 ,所以x=1. 所以c=(2,4),d= 32 ,3 ,c-2d=(-1,-2). 9.C 在△ABC中,若AB→·AC→=2且∠BAC=30°, 得|AB→||AC→|cos30°=2,所 以|AB→||AC→|=4 33 ,则 △ABC的面积为S=12|AB → ||AC→|sin30°=12× 4 3 3 × 1 2= 3 3. 10.B 设AP→=λAC→,PC→=(1-λ)AC→,0≤λ≤1,PB→·PC→= (AB→-AP→)·(1-λ)AC→=(1-λ)(AB→-λAC→)·AC→,结合题 目中 的 条 件 得 到 原 式 =4(1-λ)(1-2λ)= 4(2λ2-3λ+1),0≤λ≤1,结合二次函数的性质得到范围 是 -12 ,4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16— 11.解析:因为a=(2,-2),b=(x,2),所以a·b=2x-4, 又因为a·b=6,所以2x-4=6,解得x=5. 答案:5 12.解析:因为cosB=a 2+c2-b2 2ac , 又因为b=6,a=2c,B=π3 ,可得c2=12, 解得c=2 3,a=4 3, 则△ABC的面积S=12×4 3×2 3× 3 2=6 3. 答案:6 3 13.解析:如 图,在△ABD 中,由 正 弦 定 理 有: ABsin∠ADB = BDsin∠BAC , 而AB=4,∠ADB=3π4 ,AC= AB2+BC2=5, sin∠BAC=BCAC= 3 5 ,cos∠BAC=ABAC= 4 5 ,所以BD=12 25 . cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cos π 4cos∠BAC+sin π 4sin∠BAC= 7 2 10. 答案:12 2 5 7 2 10 14.解析:由cosB=13 ,得sinB=2 23 ,由三角形面积公式可 得1 2acsinB= 1 2ac ·2 2 3 =4 2 , 则ac=12①, 结合余弦定理b2=a2+c2-2accosB, 可得16=a2+c2-2×12×13 ,则a2+c2=24②, 由①②联立可得a=c=23,所以△ABC的周长为43+4. 答案:4 3+4 15.解:由a=(1,2),b=(-3,2),得 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), (1)(ka+b)⊥(a-3b),得(ka+b)·(a-3b) =10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,解得k=19. (2)(ka+b)∥(a-3b),得-4(k-3)=10(2k+2), 解得k=-13 ,此时 ka+b=(-103 ,4 3 )=-13 (10,-4),所以方向相反. 16.解:(1)由已知可得2c2=(2b-a)b+(2a-b)a, 即c2=b2+a2-ab,所以cosC=b 2+a2-c2 2ab = 1 2 , 所以C=π3. (2)由题意可知m⊥n,可得a(b-2)+b(a-2)=0,所以 a+b=ab, 由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 则(a+b)2-3(a+b)-4=0,即a+b=4, 故周长为4+2=6, 面积为S=12absinC= 1 2 ·4·sinπ3= 3. 第七章 复数 1.C 由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5. 2.C 因为复数z=1-ii = i-i2 i2 =-1-i,所以复数在复平 面上对应的点(-1,-1)位于第三象限. 3.D z(1+i)=2i,z= 2i1+i= 2i(1-i) (1+i)(1-i)=i (1-i)=1+i. 4.D 由复数运算得z=-1+3-3ii =-1+ (3-3i)i i2 =-4-3i, 则|z|= (-4)2+(-3)2=5. 5.D 因为z=(a2-9)+(a+3)i为纯虚数, 所以 a2-9=0, a+3≠0, 解得a=3. 所以z=6i,则复数z的虚部为6. 6.C 由于复数z=3-4i=3+(-4)i的实部为3,虚部为- 4,所求复数为-4+3i. 7.D 因为复数不能比较大小,所以A,B不正确, 又|z1|= 52+32= 34,|z2|= 52+42= 41, 所以|z1|<|z2|,故C不正确,D正确. 8.A 由 于a 是 实 数,且a-i2+i= (a-i)(2-i) (2+i)(2-i)= 2a-1 5 + -2-a 5 i 是纯虚数, 则2a-1=0,解得a=12. 9.D 由图可知z=3+i, 所以 z 1+i= 3+i 1+i= (1-i)(3+i) (1-i)(1+i)= 4-2i 2 =2-i , 对应复平面内的点 H. 10.C 若复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数, 则a2-3a+2=0,且a-1≠0,得a=2.反之亦然. 所以“a=2”是“z为纯虚数”的充要条件. 11.解析:因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若 z<0,则k2-5k+6=0,k2-3k<0,解得k1=2,k2=3 (舍去). 答案:2 12.解析:由复数z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π)为纯虚数,得 cosθ=0,sinθ≠0,θ∈[0,2π),所以θ=π2 或3π 2. 答案:π 2 或3π 2 13.解析:(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=(1-2+3)+(-3+ 4+5)i=2+6i. 答案:2+6i 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26—