精品解析：江西省临川第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024-2025年度高二年级上学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与直线平行，则m的值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线  和  互相平行列式求参即可. 【详解】因为直线  和  互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以  即  ，所以  . 故选：A 2. 若两个非零向量的夹角为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，再根据向量的数量积运算律和夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选:A. 3. 已知直线与直线互相垂直，则（ ） A. 1 B. C. 或3 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】分别对两直线斜率是否存在进行分类讨论，再利用垂直关系的斜率表示计算可得结果. 【详解】根据题意，当时，直线的斜率不存在，此时两直线不垂直； 当时，直线的斜率不存在，此时两直线不垂直； 当且时，需满足，即， 解得或. 故选：C 4. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断. 【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 故选：A. 5. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设椭圆方程为，且，将点代入即可求解. 【详解】解：椭圆化成标准形式为， 焦点坐标为：，，， 所求椭圆的焦点与椭圆有相同的焦点， 设椭圆方程为，且， 由题意得： 解得：，， 所求椭圆的标准方程为. 故选：A 6. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 7. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意把问题转化为以为直径的圆和圆C有交点，以为直径的圆的圆心为，半径为，由点在圆C外，所以若要两圆相交可得，求解即可. 【详解】根据题意若要圆C上存在点P，使得∠APB＝90°， 可转化为以为直径的圆和圆C有交点， 以为直径的圆的方程为，圆心为，半径为， 由点在圆C外，所以若要两圆相交可得， 由可得，解得， m的最大值为， 故选：D. 8. 已知向量，满足，，则的取值范围是 A. B. C. [ D. [ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件得到题目所表示的几何意义，根据椭圆的定义和几何意义得到结果. 【详解】设点M为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义得到点M的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为.,即. 故答案为D. 【点睛】这个题目考查了向量的加法的几何意义，考查了解决向量问题的数形结合的方法，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A，复数z的虚部是，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数z的共轭复数是，故C正确； 对于D，，在复平面内，对应点的坐标为， 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：CD 10. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆离心率为 B. C. 若，则的面积为 D. 最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B， 根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D. 【详解】由椭圆方程可知，，，， 所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ， 解得：，所以的面积为，故C正确； 因为，即， 设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知点，直线上存在点P满足，则直线l的斜率可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，得到点不能同时在直线上，转化为直线与线段恒有公共点，结合直线过定点和斜率公式，即可求解. 【详解】将点代入直线，可得， 再将代入直线，可得， 所以点不能同时在直线上， 因为，且， 所以点的轨迹为线段，即直线与线段恒有公共点， 又由直线， 联立方程组，解得，即直线恒过点， 作出示意图，如图所示，此时， 所以直线的斜率的取值范围为， 结合选项，选项ACD符合题意. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆：与圆内切，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】因为两圆内切，所以圆心距等于半径之差的绝对值，所以， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系求参数，意在考查学生的对于圆和圆位置关系的理解和应用. 13. 已知为椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且以为直径的圆过，当，该椭圆的离心率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由圆的圆周角的性质得出，且，由于，则，，利用椭圆的定义得，即可得出和的关系，从而可求出椭圆的离心率. 【详解】解：由题意知，以为直径的圆过，点为椭圆的右焦点， 则，且， 又，则，， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得 由椭圆的定义得，则，即：， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的离心率和简单几何性质，以及椭圆定义的应用和圆的性质的应用. 14. 在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为l．设点P到直线的距离为d，则的最小值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点到圆心的距离，利用勾股定理求出，可以得到为到定点的距离，则的最小值即为A到直线的距离，即可根据直线方程求出 【详解】由题可知圆心，半径， 则点到圆心的距离， 切线长，可看作到定点的距离， 则的最小值即为A到直线的距离，即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点P，直线恒过定点Q，已知和交于点M． ①求出定点P，Q的坐标； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由直线方向向量即可得到斜率，用点斜式写出直线方程； （2）①含参项合并整理直线方程，令参数前系数为0即可解得定点； ②联立方程组消掉参数即可得到交点的轨迹，利用圆上的点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径即可找到距离最大的点，此时面积最大. 【详解】（1）由题意得斜率，与轴交点为， 由点斜式可得直线：，即. （2）①整理方程得，当时方程恒成立，∴ 同理可得，当时方程恒成立，∴ ②联立方程组即，则， ∴，即（去除点）， ∴点圆心为半径的圆上（去除点）， 直线：，即， 圆心到直线的距离， ∴圆上的点到线段的最大距离为， 此时 则面积的最大值为：. 16. 已知圆的方程为． （1）若圆与圆关于直线对称，求圆的方程； （2）若，圆与圆交于A，B两点，且，求圆的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用对称求出的坐标，可得圆的方程； （2）设圆的方程为，两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线的方程，利用到直线距离结合已知弦长，求出即可. 【小问1详解】 圆的方程为，则圆心坐标为，半径， 设点关于直线对称的点， 则，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 圆的方程为，设圆的方程为， 两圆圆心距， 因为圆与圆相交，则，所以， 两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线的方程为， 可得到直线AB的距离， 由弦长，可得，即，可得或， 所以圆的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，，侧面平面． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：在△中，取的中点M，连接， 因为，所以， 因为侧面平面，且侧面平面，平面 所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面. （2）证明：由（1）知平面，又平面，所以， 在△中，因为，所以， 所以， 在同一平面中，因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面. （3）2. 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连接，由得到，再根据侧面平面得到平面，得到 ；进而结合条件即可证得平面. （2）由（1）易得，由可得，从而，进而证得平面. （3）由（1）易得为直线与平面所成的角, ,易得，根据棱锥的体积公式即可求得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知平面，连接，则为直线与平面所成的角. 在Rt△中，，所以, 在Rt△中，，所以，解得. 故三棱锥的体积. 18. 已知圆． （1）若线段端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； （2）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）设，中点，根据已知关系，由相关点法即可得出圆D的方程； （2）设圆心O到直线的距离分别为，有，，利用基本不等式可求面积的最大值. 【小问1详解】 设，中点，则，得， 代入圆中，化简得圆. 【小问2详解】 设圆心O到直线的距离分别为，则， 而，， ∴， 当且仅当，即时取等号， 所以四边形面积的最大值为5. 19. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点T（b，）在椭圆C上，O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）如图，设R（x0，y0）是椭圆C上一动点，由原点O向圆R：(x－x0)2+(y－y0)2＝6引两条切线，分别交椭圆于点P、Q，若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k1、k2，求证：k1k2为定值； （3）在（2）条件下，OP2＋OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】（1）=1 （2） 证明：由直线OP：y=k1x与圆R相切，可得， 即有(x02-6)k12-2x0y0k1+y02-6=0， 同理由直线OQ：y=k2x与圆R相切， 可得(x02-6)k22-2x0y0k2+y02-6=0， 即k1，k2为方程(x02-6)k2-2x0y0k+y02-6=0的两个不等的实根， 可得k1k2=， 由R(x0，y0)在椭圆上，可得=1，即为y02=9-x02， 即有k1k2==-. （3）是，27 【解析】 【分析】（1）根据离心率为可得a2=2b2，再将点T(b，)代入椭圆方程化简求解即可； （2）根据直线OP：y=k1x， OQ：y=k2x与圆R相切可得k1，k2为方程(x02-6)k2-2x0y0k+y02-6=0的两个不等的实根，再根据韦达定理可得k1k2=，进而根据R（x0，y0）满足椭圆C的方程化简即可； （3）设P(x1，x1)，Q(x2，y2)，并代入椭圆方程，代换可得OP2＋OQ2为定值. 【小问1详解】 ∵椭圆：=1(a>b>0)的离心率为， ∴e2===，得a2=2b2① 又点T(b，)在椭圆C上，故+=1② 联立①②得a2=18，b2=9. ∴椭圆C的方程为=1. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 OP2+OQ2为定值27. 理由如下：设P(x1，x1)，Q(x2，y2)， 由k1k2=-，即y12y22=x12x22， 由P(x1，x1)，Q(x2，y2)在椭圆上，可得 =1，=1， 即y12=9-x12，y22=9-x22， 则(9-x12)(9-x22)=x12x22， 即有x12+x22=18，y12+y22=9-x12+9-x22=9， 即OP2+OQ2=27， 所以，OP2+OQ2为定值27. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度高二年级上学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线与直线平行，则m的值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 2. 若两个非零向量的夹角为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线互相垂直，则（ ） A. 1 B. C. 或3 D. 或1 4. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 5. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知向量，满足，，则的取值范围是 A. B. C. [ D. [ 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 10. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆离心率为 B. C. 若，则的面积为 D. 最大值为 11. 已知点，直线上存在点P满足，则直线l的斜率可能为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆：与圆内切，则_______ 13. 已知为椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且以为直径的圆过，当，该椭圆的离心率是_______. 14. 在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为l．设点P到直线的距离为d，则的最小值为_________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点P，直线恒过定点Q，已知和交于点M． ①求出定点P，Q的坐标； ②求面积的最大值． 16. 已知圆的方程为． （1）若圆与圆关于直线对称，求圆的方程； （2）若，圆与圆交于A，B两点，且，求圆的方程． 17. 如图，在四棱锥中，，侧面平面． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积． 18. 已知圆． （1）若线段端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； （2）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值． 19. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点T（b，）在椭圆C上，O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）如图，设R（x0，y0）是椭圆C上一动点，由原点O向圆R：(x－x0)2+(y－y0)2＝6引两条切线，分别交椭圆于点P、Q，若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k1、k2，求证：k1k2为定值； （3）在（2）条件下，OP2＋OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $