江苏省泗洪县北辰学校2024—2025学年上学期八年级数学期中反馈调研测试卷

2024-2025八年级数学上册期中测试卷 一．选择题（共8小题） 1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的民间艺术之一．窗花的内容丰富、题材广泛，以其特有的概括和夸张手法将吉祥物、美好愿望表现得淋漓尽致．下列窗花的图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，则能判定△ABC≌△ADE的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠B C．∠D＝∠E D．BC＝DE 3．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6．点G是AD边上任意一点，则GE+GF的值不可能是（　　） A．7 B．6 C．6.3 D．2 4．已知等腰三角形有两边长为5，10，则三角形周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 5．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．6，8，11 B．1，1， C．2，， D．5，12，13 6．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝5cm，△ADC的周长为15cm，则△ABC的周长是（　　） A．20cm B．24cm C．25cm D．30cm 7．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC 8．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论： （1）a2+b2＝49，（2）b﹣a＝2，（3）ab＝，（4）a+b＝中， 正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共10小题） 9．49的算术平方根是 　 　． 10．近似数a≈27万，则a的取值范围是 　 　． 11．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC的大小等于 　 　度． 12．如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝8cm，BD＝4cm，AD＝10cm，那么BC的长是 　 　cm． 13．若+|b﹣1|＝0，则a2009+b2010＝　 　． 14．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝　 　cm． 15．如图，已知△ABC为直角三角形，则正方形M的面积为 　 　． 16．如图，将矩形ABCD沿着直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，CE＝3cm，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2． 17．如图，△ABC中，AB＝AC，EB＝DC，BD＝CF，∠A＝50°，则∠EDF的度数是 　 　． 18．如图所示，A，E，B，D在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，要使△ABC≌△DEF，需添加的一个条件是 　 　，并说明理由． 三．解答题（共10小题） 19．（1）计算：（π﹣3.14）0+﹣|2﹣|﹣（）2；（2）求x的值：（2x﹣1）3﹣8＝0． 20．已知：如图，AD、BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB． 求证：△ABD≌△CDB． 21． 已知实数x的两个平方根分别为2a+1和3﹣4a，实数y的立方根为﹣a，求的值． 22．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出△ABC关于直线m对称△A1B1C1； （2）在直线m上作一点P，使得AP+CP的值最小； （3）求△ABC的面积． 23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）点P出发2秒后，求CP和BP的长． （2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？ 24．如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°． （1）若E为CD的中点，AB＝BC+AD，求证：AE平分∠DAB； （2）若E为AB的中点，AB＝2AD，CA＝CB，试判断三角形ABC的形状，并说明理由． 25．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门C和西门A之间修建了四边形ABCD循环步过．如图，经勘测，点B在点A的正南方，点C在点A的正东方，DA⊥DC且点D到点A，C的距离相等，已知AB＝1000米，BC＝2600米．（参考数据：≈1.414，≈1.732） （1）求A，C两点之间的长度； （2）小庆准备从西门A跑步到东门C去见小渝，因A，C之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路请计算说明小庆应选择A—B—C路线，还是A—D—C路线？（结果精确到1米） 26．（1）已知与互为相反数，求2a+b的立方根． （2）已知＝3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根． 27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE． （1）求证：BD＝BC． （2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数． 28．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值； （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的民间艺术之一．窗花的内容丰富、题材广泛，以其特有的概括和夸张手法将吉祥物、美好愿望表现得淋漓尽致．下列窗花的图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念判断． 【解答】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，则能判定△ABC≌△ADE的条件是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠B C．∠D＝∠E D．BC＝DE 【分析】根据题目中给出的条件AB＝AD，AC＝AE，要用“SAS”还缺少条件是夹角：∠BAC＝∠DAE，筛选答案没有，若用“SSS”则可增加条件：BC＝DE． 【解答】解：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE， ∴△ABC≌△ADE（SSS）． A、B、C选项都不符合题意， 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA． 3．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6．点G是AD边上任意一点，则GE+GF的值不可能是（　　） A．7 B．6 C．6.3 D．2 【分析】根据对称性作点E关干AD的对称点E'，连接E'F交AD于点G，此时GE+GF的值最小，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：作点E关于AD的对称点E， 连接EF交AD于点G，此时GE+GF的值最小． 过点F作FO⊥E′E延长线于点O， ∵正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6， ∴AE＝EF＝FC＝2，△OEF为等腰直角三角形， ∴OE＝OF＝，E'O＝3， 根据勾股定理，得 E'F＝＝2． ∵GE+GF≥E′F． ∴GE+GF≥2．当G与D重合时，GE+GF最大， 所以两者之和≤2根号10，大约6.32，所以应选A． 【点评】本题考查了最短路线问题、正方形的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用对称性． 4．已知等腰三角形有两边长为5，10，则三角形周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【分析】等腰三角形的两腰相等，且根据三边关系看看能不能构成三角形，确定边长，从而得到周长． 【解答】解：当5为底边时，两腰长为10，5+10＞15，能构成三角形，故周长为5+10+10＝25． 当10为底边时，两腰长为5，5+5＝10，不能构成三角形． 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，两腰相等，以及较小两边的和大于较大的边，才能构成三角形的知识点． 5．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．6，8，11 B．1，1， C．2，， D．5，12，13 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：A、82+62≠112，故不是勾股数，故选项不符合题意； B、不是正整数，则本组数不是勾股数，故选项不符合题意； C、本组数都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意； D、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解决问题的关键． 6．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝5cm，△ADC的周长为15cm，则△ABC的周长是（　　） A．20cm B．24cm C．25cm D．30cm 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，AB＝2AE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴DB＝DA，AB＝2AE＝10cm， ∵△ADC的周长为15cm， ∴AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+CB＝15cm， ∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝25cm， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC 【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形全等的判定定理：AAS、ASA分别进行判断即可． 【解答】解：∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE， A、在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS），故选项A不符合题意； B、在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意； C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故选项C符合题意； D、∵BF＝EC， ∴BF+CF＝EC+CF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，属于中考常考题型． 8．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论： （1）a2+b2＝49，（2）b﹣a＝2，（3）ab＝，（4）a+b＝中， 正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出a与b的关系式，依次判断所给关系式即可． 【解答】解：由题意可得小正方形的边长＝2，大正方形的边长＝7， 故可得|b﹣a|＝2，即（2）错误； a2+b2＝斜边2＝大正方形的面积＝49，即（1）正确； 小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得4+2ab＝49，所以ab＝，即（3）正确； 根据（3）可得2ab＝45，故可得（a+b）2＝a2+b2+45＝94， 从而可得a+b＝，即（4）正确． 综上可得（1）（3）（4）正确，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质及直角三角形的知识，根据所给图形，利用面积关系判断a与b的关系是解答本题的关键． 二．填空题（共10小题） 9．49的算术平方根是 　7　． 【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，由此即可得到答案． 【解答】解：49的算术平方根是7． 故答案为：7． 【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义． 10．近似数a≈27万，则a的取值范围是 　265000≤a＜275000　． 【分析】近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【解答】解：根据取近似数的方法，得 27万＝270000，可以由大于或等于265000的数，6后面的一位数字，满5进1得到；或由小于275000的数，舍去1后的数字得到． 因而265000≤a＜275000， 故答案为：265000≤a＜275000． 【点评】此题考查的知识点是近似数和有效数字，关键与平常题目不同，此题不是由准确数求近似数，而是由近似数求准确数的范围．这是对逆向思维能力的考查，有利于培养同学们健全的思维能力． 11．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC的大小等于 　30　度． 【分析】根据等腰三角形的性质，如图，△APQ是等边三角形，∠APQ＝60°，又因为AP＝BP，故可知∠ABC＝∠BAP．又根据三角形的外角可知∠APQ＝∠ABC+∠BAP，故可求出∠ABC的值． 【解答】解：∵PQ＝AP＝AQ， ∴△APQ是等边三角形， ∴∠APQ＝60°， 又∵AP＝BP， ∴∠ABC＝∠BAP， ∵∠APQ＝∠ABC+∠BAP， ∴∠ABC＝30°．故∠ABC的大小等于30°． 故答案为：30． 【点评】本题解决的关键是能够认识到△APQ是等边三角形，找出题目中的基本图形，探究题目中的结论是解题的关键． 12．如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝8cm，BD＝4cm，AD＝10cm，那么BC的长是 　10　cm． 【分析】根据全等三角形的性质得BC＝AD，进而可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【解答】解：∵△ABC≌△BAD，AD＝10cm， ∴BC＝AD＝10cm， 故答案为：10． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 13．若+|b﹣1|＝0，则a2009+b2010＝　0　． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 则a2009+b2010＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 14．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，则DE＝　3　cm． 【分析】作DF⊥BC于F，设DE为x，根据角平分线的性质得到 DE＝DF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【解答】解：作DF⊥BC于F， 设DE为x， ∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF＝x， ∴×AB×DE+×BC×DF＝27（cm2）， 即4x+5x＝27， 解得x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 15．如图，已知△ABC为直角三角形，则正方形M的面积为 　16　． 【分析】由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，设以AC为边的正方形M的面积为S，则S＝AC2，而AB2＝9，BC2＝25，所以9+S＝25，解方程求出S的值即得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， 设以AC为边的正方形M的面积为S，则S＝AC2， ∵以AB为边的正方形的面积为9，以BC为边的正方形的面积为25， ∴AB2＝9，BC2＝25， ∴9+S＝25， ∴S＝16， ∴正方形M的面积为16， 故答案为：16． 【点评】此题重点考查正方形的面积公式、勾股定理等知识，根据AB2+AC2＝BC2列方程是解题的关键． 16．如图，将矩形ABCD沿着直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，CE＝3cm，则图中阴影部分的面积为 　30　cm2． 【分析】根据折叠的性质可知EF＝DE＝CD﹣CE＝5cm、AD＝AF＝BC；在△CEF中，根据勾股定理可知CF＝4cm，由此得到BF＝BC﹣CF＝AF﹣CF＝AF﹣4；在Rt△ABF中，根据勾股定理列出方程求得BF的长度，据此分别求得△ABF和△CEF的面积，进而求得阴影部分的面积． 【解答】解：根据题意可得，AD＝AF＝BC，EF＝DE＝CD﹣CE＝5cm， ∴CF＝4cm， ∴BF＝BC﹣CF＝AF﹣4． ∵AB2+BF2＝AF2，即82+（AF﹣4）2＝AF2， ∴AF＝10， ∴BF＝6cm， ∴阴影部分的面积＝S△ABF+S△CEF＝AB•BF+CE•CF＝24+6＝30（cm2）． 故答案为：30． 【点评】本题考查了折叠的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握翻折不变性，熟练运用勾股定理进行求解． 17．如图，△ABC中，AB＝AC，EB＝DC，BD＝CF，∠A＝50°，则∠EDF的度数是 　65°　． 【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠B＝∠C及∠B的度数，结合BD＝CE、BF＝CD，即可证出△BDF≌△CED（SAS），由全等三角形的性质可得出∠CDE＝∠BFD，再根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF＝∠B，此题得解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°． 在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠CDE＝∠BFD． ∵∠BDF+∠BFD+∠B＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°， ∴∠EDF＝∠B＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出∠CDE＝∠BFD是解题的关键． 18．如图所示，A，E，B，D在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，要使△ABC≌△DEF，需添加的一个条件是 　∠A＝∠D　，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的判定方法SAS可得出答案． 【解答】解：添加的一个条件是∠A＝∠D． 理由是：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故答案为：∠A＝∠D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件． 三．解答题（共10小题） 19．（1）计算：（π﹣3.14）0+﹣|2﹣|﹣（）2； （2）求x的值：（2x﹣1）3﹣8＝0． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用立方根的意义，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）（π﹣3.14）0+﹣|2﹣|﹣（）2 ＝1+﹣（﹣2）﹣5 ＝1+﹣+2﹣5 ＝﹣2； （2）（2x﹣1）3﹣8＝0， （2x﹣1）3＝8， 2x﹣1＝2， 2x＝3， x＝． 【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，立方根，准确熟练地化简各式是解题的关键． 20．已知：如图，AD、BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB． 求证：△ABD≌△CDB． 【分析】根据SSS定理即可推出△ABD≌△CDB． 【解答】证明：在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SSS）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记三边对应相等的两三角形全等是解决问题的关键． 21．已知实数x的两个平方根分别为2a+1和3﹣4a，实数y的立方根为﹣a，求的值． 【分析】利用平方根、立方根定义求出x与y的值，即可确定出原式的值． 【解答】解：∵实数x的两个平方根分别为2a+1和3﹣4a， ∴2a+1与3﹣4a互为相反数，即2a+1+3﹣4a＝0， 解得：a＝2， ∵实数y的立方根为﹣a＝﹣2， ∴x＝（2a+1）2＝52＝25，y＝（﹣2）3＝﹣8， 则原式＝＝＝3． 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键． 22．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出△ABC关于直线m对称△A1B1C1； （2）在直线m上作一点P，使得AP+CP的值最小； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接AC1，交直线m于点P，则点P即为所求． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，连接AC1，交直线m于点P，连接CP， 此时AP+CP＝AP+C1P＝AC1，为最小值， 则点P即为所求． （3）△ABC的面积为＝10﹣3﹣＝． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 23．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）点P出发2秒后，求CP和BP的长． （2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？ 【分析】（1）首先运用勾股定理求出AC＝4cm，则CP＝2cm，勾股定理再求出BP的长即可； （2）当P在AC上运动时，△BCP为直角三角形，则0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，求出AP的长即可得出答案． 【解答】（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝4cm， ∵动点P从点C开始以每秒1cm的速度运动， ∴出发2秒后CP＝1×2＝2（cm）， ∵∠C＝90°， ∴BP＝＝（cm）， （2）∵AC＝4cm，动点P从点C开始按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm， ∴当P在AC上运动时，△BCP为直角三角形， ∴0＜t≤4， 如图，当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形， ∵AB•CP＝AC•BC， ∴×5CP＝×3×4， ∴CP＝cm， ∴AP＝＝（cm）， ∴AC+AP＝4+＝（cm）， ∴t＝÷1＝（s）， 综上所述，当0＜t≤4或 t＝时，△BCP为直角三角形． 【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类思想是解题的关键，属于中考常考题． 24．如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°． （1）若E为CD的中点，AB＝BC+AD，求证：AE平分∠DAB； （2）若E为AB的中点，AB＝2AD，CA＝CB，试判断三角形ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）延长AE交BC的延长线于点H，由“ASA”可证△ADE≌△HCE，可证AD＝CH，∠DAE＝∠H，可证AB＝BH，可得∠H＝∠BAH＝∠DAE，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可得CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE，由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△ACE，可得∠ACD＝∠ACE，可求∠ACD＝∠ACE＝∠BCE＝30°，即可求解． 【解答】证明：（1）延长AE交BC的延长线于点H， ∵点E是CD的中点， ∴CE＝DE，且∠D＝∠ECH＝90°，∠AED＝∠CEH， ∴△ADE≌△HCE（ASA） ∴AD＝CH，∠DAE＝∠H， ∵AB＝BC+AD，BH＝BC+CH， ∴AB＝BH， ∴∠H＝∠BAH， ∴∠DAE＝∠BAH， ∴AE平分∠DAB； （2）△ACB是等边三角形， 理由如下：∵点E是AB中点， ∴AE＝BE＝AB， ∵AC＝CB，AE＝BE， ∴CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE， ∵AB＝2AD， ∴AD＝AE，且AC＝AC， ∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL） ∴∠ACD＝∠ACE， ∴∠ACD＝∠ACE＝∠BCE，且∠ACD+∠ACE+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠ACE＝∠BCE＝30°， ∴∠ACB＝60°，且AC＝BC， ∴△ACB是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 25．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门C和西门A之间修建了四边形ABCD循环步过．如图，经勘测，点B在点A的正南方，点C在点A的正东方，DA⊥DC且点D到点A，C的距离相等，已知AB＝1000米，BC＝2600米．（参考数据：≈1.414，≈1.732） （1）求A，C两点之间的长度； （2）小庆准备从西门A跑步到东门C去见小渝，因A，C之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路请计算说明小庆应选择A—B—C路线，还是A—D—C路线？（结果精确到1米） 【分析】（1）根据题意得∠BAC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝2400（米）； （2）根据题意得到∠DAC＝∠DCA＝45°，求得AD＝CD＝AC＝1200≈1697（米），得到A—B—C路线长为1000+2600＝3600（米），A—D—C路线长为1697+1697＝3394（米），比较即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点B在点A的正南方，点C在点A的正东方， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝1000米，BC＝2600米， ∴AC＝＝2400（米）， 答：A，C两点之间的长度为2400米； （2）∵DA⊥DC，AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴AD＝CD＝AC＝1200≈1697（米）， ∴A—B—C路线长为1000+2600＝3600（米），A—D—C路线长为1697+1697＝3394（米）， ∵3600＜3394， ∴小庆选择A—D—C路线较短． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 26．（1）已知与互为相反数，求2a+b的立方根． （2）已知＝3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根． 【分析】（1）根据相反数的性质可得8a+15+4b+17＝0，据此2a+b的值，进而求出其立方根； （2）根据算术平方根，平方根，估算无理数的大小，得出a，b，c，代入所求式子即可求解． 【解答】解：（1）∵与互为相反数， ∴8a+15+4b+17＝0， ∴8a+4b＝﹣32， ∴2a+b＝﹣8， ∴2a+b的立方根是：＝﹣2； （2）∵＝3， ∴2a﹣1＝32＝9， ∴a＝5， ∵3a+b﹣1的平方根是±4， ∴3a+b﹣1＝（±4）2＝16， ∴b＝2， ∵c是的整数部分，＜＜， 而＝7，＝8， ∴c＝7， ∴a+2b+c＝5+2×2+7＝16， ∴a+2b+c的算术平方根是4． 【点评】本题主要考查实数的性质，立方根的性质，相反数，算术平方根和平方根的定义，估算无理数的大小，解题的关键是熟练掌握相反数，算术平方根和平方根的定义． 27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE． （1）求证：BD＝BC． （2）若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数． 【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB，从而可得BD＝BC； （2）由全等三角形的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）， ∴BD＝BC； （2）解：∵△ABD≌△ECB， ∴BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝70°， ∴∠DBC＝40°， ∴∠ADB＝∠CBD＝40°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中． 28．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值； （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 【分析】（1）过P作PE⊥AB，设CP＝2t，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）分类讨论：当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上得t＝3（s），若点P在AB上，则t＝5.4s；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝AB＝，易得t＝（s）；当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，则AP＝AB﹣BP＝2，易得t＝6（s）； （3）分两种情况讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3+3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6，分别求得t的值即可． 【解答】解：（1）如图1，过P作PE⊥AB， ∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴CP＝EP， ∴△ACP≌△AEP（HL）， ∴AC＝4cm＝AE，BE＝5﹣4＝1， 设CP＝x，则BP＝3﹣x，PE＝x， ∴Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2， 即12+x2＝（3﹣x）2 解得x＝， ∴BP＝3﹣＝， ∴CA+AB+BP＝4+5+＝， ∴t＝÷1＝， 当P与A重合时，也符合题意，此时t＝4． 综上所述，t的值为或4． （2）如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形， 若点P在CA上，则1t＝3， 解得t＝3（s）； 如图3，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形， ∴AP＝AB﹣BP＝2， ∴t＝（4+2）÷1＝6（s）； 如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝， ∴PB＝2BD＝ ∴CA+AP＝4+5﹣＝5.4， 此时t＝5.4÷1＝5.4（s）； 如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则BD＝CD， ∴PD为△ABC的中位线， ∴AP＝BP＝AB＝， ∴t＝（4+）÷1＝（s）； 综上所述，t为3s或5.4s或6s或s时，△BCP为等腰三角形； （3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t+2t﹣3+3＝6， ∴t＝2（s）； 如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t﹣4+2t﹣8＝6， ∴t＝6（s）； 综上所述，当t＝2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$