精品解析：宁夏银川市第二中学2024-2025学年高三上学期统练二数学试题

绝密★启用前 银川二中2024-2025学年第一学期高三年级统练二 数学试题 注意事项： 1.本试卷共19题，满分150分.考试时间为120分钟. 2.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域求出，从而求出交集. 【详解】由函数定义域可得：， 由值域可得，故. 故选：D 2. 若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 3. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的最小值，然后根据集合的包含关系可得. 【详解】当时，，所以， 所以命题“，”为真命题的充要条件是， 所以充分不必要条件是的真子集. 故选：C 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由所给角的象限结合同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的余弦公式计算即可得解. 【详解】由，，则，， 故， ， 故 . 故选：C. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用的代换将转化为，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，，，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据且趋近0时判断，最后利用的零点进行判断，即可得到答案 【详解】解：因为，所以，解得， 则的定义域为，关于原点对称， 由可得， 发现，故为奇函数，故B错误； 当且无限接近0时，，所以此时，故A错误； 因为当即，解得，所以在轴正半轴的第一个零点是，第二个零点是，第三个零点是，第四个零点是，第五个零点是，所以在第四个零点和第五个零点之间不可能一直递增，故C错误； 故选：D 7. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据伸缩变换和平移变换得到. 【详解】的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 纵坐标伸长为原来的2倍，得到， 向右平移个单位长度，得到函数， 故选：B 8. 函数的图像是由向右平移个单位、再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的（）倍后得到的，若函数在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的图像变换可得，再由正弦函数的单调增区间以及零点，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】向右平移个单位可得， 再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的（）倍可得， 由可得， 又的单调增区间为， 所以， 即，，解得，， 又在区间上有且只有一个零点， 当时，，所以， 解得，且，，当时，， 所以，即的取值范围是. 故选：D 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 该图象向右平移个单位长度可得的图象 D. 函数在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象求出函数解析式，然后由正弦函数的性质逐项判断即可； 【详解】由函数图象可得，周期，所以， 又， 所以，则， 因为，所以，故， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，该图象向右平移个单位长度可得，故C正确； 对于D，若，则，此时函数不单调，故D错误； 故选：BC. 10. 在中，D在线段上，且，，若，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 为锐角三角形 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，设，则，由余弦定理列出方程，得到，故，由正弦定理得到；B选项，由三角形面积公式进行求解；C选项，利用同角三角函数关系得到，利用余弦定理得到；D选项，利用，得到D正确. 【详解】A选项，设，则， 由余弦定理得， 解得，负值舍去，故， 由正弦定理得， 其中， 故，解得，A正确； B选项，， ，B正确； C选项，由于，故为锐角， 又，故，故， 在中，由余弦定理得 ， 故， 因为，故在中，最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，C错误； D选项，的周长为，D正确. 故选：ABD 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 若满足，则 D. 当时，若在上有最大值，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求的值，故可判断C的正误. 【详解】对于A，， 当时，或时，；当时，， 故为的极大值点，故A正确； 对于B，当时，由A的分析同理可得： 当或时，；当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 而，， ，故只有一个零点； 对于C， ， 由题设可得恒成立， 故即，故C正确. 对于D，取，由B的分析可得： 在为增函数，在上为减函数，在为增函数， 而，，此时在无最大值， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 【详解】，根据弧长公式， 则，所以扇形的面积为. 故答案为： 13. __________. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简计算即可求解. 【详解】原式. 故答案为： 14. 已知，则函数的零点个数是__________. 【答案】6 【解析】 【分析】先由函数的零点转化为方程和2的根，再利用数形结合求出零点个数即可； 【详解】令，即， 解得或2， 画出图象，如下： 由图可知，实线和虚线共有6个交点，所以函数的零点个数是6. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，结合和角公式可得结果. （2）利用辅助角公式化简可得，即可计算的值. 【小问1详解】 由题意得， ， ∴ . 【小问2详解】 ∵，∴，即， ∴，即， ∴. 16. 设函数. （1）求最小正周期及单调递增区间； （2）求在上的最值. 【答案】（1），单调递增区间. （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据二倍角以及三角函数两角和与差的正、余弦公式将转化为，利用定义求最小正周期和单调递增区间即可 （2）首先可根据得出，然后根据正弦函数的性质即可求出最值. 【小问1详解】 根据题意可得 ， 设最小正周期为，则， 令，解之可得， 所以最小正周期是，单调递增区间 【小问2详解】 因为得出， 故当时，即，有最小值，最小值为， 当时，即时，有最大值，最大值为. 17. 2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为40的样本进行调查，调查结果如下表： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 20 28 高中生 合计 24 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，. （1）完成上述列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为关注航天事业发展与学生群体有关？ （2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择： 方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级； 方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级. 已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由） 【答案】（1）列联表如下： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 关注航天事业发展与学生群体有关. （2）小华应该选择方案二，理由如下： 方案一：设事件“回答三个问题，小华晋级”为， 则； 方案二：设事件“三个问题中，随机选择两个问题，小华晋级”为， 则， 因为，故小华应该选择方案二. 【解析】 【分析】（1）根据题设数据可完善列联表，根据公式可求的值，由临界值表可判断关注航天事业发展是否与学生群体有关； （2）对两个方案根据互斥事件和独立事件的概率公式求出对应的概率后根据概率的大小选择相应的方案. 【小问1详解】 完整列联表如下： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 故， 故依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关. 【小问2详解】 略 18. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】（1）或或； （2）选①；选②；③不满足题意. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和二倍角公式化简，然后因式分解可解； （2）选条件①：结合（1）可得，然后利用和差公式求出，由正弦定理求出，然后由面积可得； 选条件②：利用正弦定理求出即可得解； 选条件③：取或分别求解可作出判断. 【小问1详解】 由余弦定理得，所以， 所以，即， 所以或， 因为，所以或或. 【小问2详解】 选条件①：因为，所以， 由（1）可得， 所以， 由正弦定理得，解得， 所以； 选条件②：因为，，所以，所以， 由（1）可得，由正弦定理得，解得， 因为，所以，由勾股定理得， 所以，满足题意； 选条件③：，则由正弦定理得， 若或，则， 因为，所以， 当时，， 因为， 所以； 当时，， 则， 所以. 所以选③不满足题意. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的区域的面积； （2）讨论函数的单调性； （3）设是函数的两个零点，求m的取值范围. 【答案】（1）2 （2）当时，函数在上为增函数； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减; （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得曲线在处的切线方程，再结合图形计算其与两坐标轴围成的区域的面积即可； （2）通过求导，就导函数中的参数进行分类讨论，即得函数在不同条件上的单调性； （3）由得到，可设，判断该函数的单调性，可由推得，依题得与有两个交点，结合函数的图象即可求得参数m的范围. 【小问1详解】 当时，，时，， 因，则， 故曲线在处的切线方程为：， 令，得，令，得， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为； 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当，即时，，即函数在上为增函数； 当，即时，由可得由可得 即此时函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上为增函数； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减; 【小问3详解】 因， 整理得，即， 设，则有（*）. 因，则为增函数， 故由（*），可得，即. 依题意，该方程有两个正实根，即与有两个交点. 因，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，则时，取得极大值为. 又当时，，当时，， 故可作出函数的图象如下： 由图知，函数有两个零点，等价于与有两个交点， 须使，即，故m的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、零点等问题，属于较难题. 在利用导数求解函数的零点时，常有以下方法： （1）分类讨论法：即根据参数分类讨论函数的相关性质，结合图象特征判断； （2）参变分离法：即将方程转化成一边函数一边参数，通过研究函数的图象进行判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 银川二中2024-2025学年第一学期高三年级统练二 数学试题 注意事项： 1.本试卷共19题，满分150分.考试时间为120分钟. 2.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. 且 C. D. 2. 若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图像是由向右平移个单位、再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的（）倍后得到的，若函数在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 该图象向右平移个单位长度可得的图象 D. 函数在上单调递增 10. 在中，D在线段上，且，，若，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 为锐角三角形 D. 的周长为 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 若满足，则 D. 当时，若在上有最大值，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 13. __________. 14. 已知，则函数的零点个数是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值； （2）已知，求的值． 16. 设函数. （1）求最小正周期及单调递增区间； （2）求在上的最值. 17. 2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为40的样本进行调查，调查结果如下表： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 20 28 高中生 合计 24 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，. （1）完成上述列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为关注航天事业发展与学生群体有关？ （2）该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择： 方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级； 方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级. 已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由） 18. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的区域的面积； （2）讨论函数的单调性； （3）设是函数的两个零点，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $