精品解析：江苏省扬州市苏东坡中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

扬州苏东坡中学2023-2024学年度第一学期期末考试 九年级数学 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A. B. 2 C. 3 D. 2. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　） A. 70° B. 110° C. 130° D. 140° 3. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A. B. C. D. 4. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 5. 温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径为，水面宽为，则石拱桥的桥顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数y=x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　） A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位 B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位 C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位 D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位 8. 已知实数 满足：，求代数式的值（ ） A. 6 B. 2 C. -4 D. -8 二、填空题 （每题3分，共30分） 9. 若点在的内部，，则的半径可能是_______．（填上一个符合要求的数字） 10. 圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥底圆半径为_______． 11. 某工厂一月份某机器产量为100台，一月份起进行技术升级，升级后三月份生产的这种机器数量为144台，如果每个月的产量增长率平均为，那么可列方程为_______． 12. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____． 13. 某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是_____． 14. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 15. 二次函数 的图象的顶点坐标为________． 16. 已知点，都在函数的图像上，且，则__________（填“”或“”）． 17. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④ 中，正确结论的序号是_______. 18. 如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则______． 三．解答题（共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程 （1）； （2） 21. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 　　 9 　　 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 　　．（填“变大”、“变小”或“不变” 22. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设是方程的两个实根，是否存在k值使，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由． 23. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E．使∠BDE＝45°．（不写作法，保留作图痕迹） 24. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 25. 某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）直接写出y关于售价x的函数关系式： ； （2）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ （3）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 26. 如图，四边形内接于，为直径，平分，且的延长线于点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和的长． 27. 【概念理解】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数是，它的相关函数为． 【尝试解决】 已知二次函数，请回答下列问题： （1）这个二次函数的相关函数为； （2）当在这个二次函数的相关函数的图像上时，求的值； 【灵活应用】 （3）当时，求这个二次函数的相关函数的最小值是_________； （4）当直线与该二次函数的相关函数的图像只有二个交点时，的取值范围是_______．（直接写出答案） 28. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． （1）的直径为 ，点M的坐标为 ； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州苏东坡中学2023-2024学年度第一学期期末考试 九年级数学 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后问题可求解． 【详解】解：设该方程另一个根为t，则根据题意得： ， 解得：； 故选B． 2. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　） A. 70° B. 110° C. 130° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【详解】解：设投影三角板的对应边长为x， ∵三角板与投影三角板比为， ∴， 解得． 故选：A． 4. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断； 【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度 故选：D. 【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解. 5. 温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径为，水面宽为，则石拱桥的桥顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 6. 下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可． 【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性=； 第二个袋子摸到红球的可能性=； 第三个袋子摸到红球的可能性=； 第四个袋子摸到红球的可能性=． 故选：D． 【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中． 7. 二次函数y=x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　） A. 向左平移2个单位，向下平移2个单位 B. 向左平移1个单位，向上平移2个单位 C. 向右平移1个单位，向下平移1个单位 D. 向右平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可． 【详解】解：A、平移后的解析式为y=（x+2）2﹣2，当x=2时，y=14，本选项不符合题意． B、平移后的解析式为y=（x+1）2+2，当x=2时，y=11，本选项不符合题意． C、平移后的解析式为y=（x﹣1）2﹣1，当x=2时，y=0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意． D、平移后的解析式为y=（x﹣2）2+1，当x=2时，y=1，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，掌握二次函数的平移特征是解题的关键． 8. 已知实数 满足：，求代数式的值（ ） A. 6 B. 2 C. -4 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，代数式求值．先将 变形为，将其代入整理得，再根据偶次方的非负性求出，的值，再求出a的值，再代入计算即可. 【详解】解: ， ∴， ， ， ， ， 故选：B 二、填空题 （每题3分，共30分） 9. 若点在的内部，，则的半径可能是_______．（填上一个符合要求的数字） 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系的判定方法进行求解即可． 【详解】解∶∵点在的内部，， ∴的半径大于4． 故答案为∶5（答案不唯一）． 10. 圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥底圆半径为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥底圆半径为， 根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥底圆半径为， 根据题意得， 解得， 故答案为：2． 11. 某工厂一月份某机器产量为100台，一月份起进行技术升级，升级后三月份生产的这种机器数量为144台，如果每个月的产量增长率平均为，那么可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．根据三月份的产量一月份的产量列方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故答案为：． 12. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝＝2x，于是得到结论． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵sin∠BAC＝＝， ∴设BC＝x，AC＝3x， ∴AB＝＝＝2x， ∴OB＝AB＝x， ∴tan∠BOC＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键． 13. 某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画出树状图得： ∵共有6种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有1种结果， ∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图法求概率问题，关键是根据题意正确画出树状图进而求解. 14. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 【答案】78 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的求法，掌握加权平均数公式是解题关键．本问题是求小红三项成绩的加权平均数，利用加权平均数的计算公式，列式算出答案即可． 【详解】解：小红的平均成绩为：（分） 故答案为：78． 15. 二次函数 的图象的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式转化成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的顶点坐标为， 故答案为：． 16. 已知点，都在函数的图像上，且，则__________（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小进行求解是解题的关键． 【详解】解；∵中，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，都在函数的图像上，且， ∴， 故答案为：． 17. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④ 中，正确结论的序号是_______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据二次函数图象与交点的个数来判定的符号；将时，来推知的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定的符号；根据图象的对称轴来判断的正误． 【详解】解：①根据二次函数的图象知，该抛物线与轴有两个不同的交点，所以；故本选项错误； ②根据图示知，当时，，把代入， 得到，故本选项正确； ③抛物线的开口向下， ； 又该抛物线与交于正半轴， ， 而对称轴， ， ；故本选项正确； ④由③知，，故本选项正确； 故答案为：②③④． 18. 如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据折叠和平行线的性质说明，设，则，证明，得到，代入解方程可得答案． 【详解】解：∵把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，说明是解题的关键． 三．解答题（共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值及三角函数，再计算加减法； （2）分别代入各三角函数值计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式． 【点睛】此题考查了含三角函数值的计算，零指数幂定义，负整数指数幂，正确掌握运算法则及特殊的三角函数值是解题的关键． 20. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 21. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 　　 9 　　 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 　　．（填“变大”、“变小”或“不变” 【答案】（1） 填表为： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 8 9 9 3.2 （2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； （3）变小 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差等知识，掌握方差的定义和计算公式是关键． （1）根据平均数和中位数的定义求解； （2）根据方差的意义求解； （3）根据方差公式求解． 【小问1详解】 解：将乙的环数重新排序为：5，7，9，9，10 则乙的平均数，乙的中位数为9； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如果乙再射击1次，命中8环，其平均数为， 其方差为：， 那么乙的射击成绩的方差变小． 故答案为：变小． 22. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设是方程的两个实根，是否存在k值使，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是方程的两个实根， ， ， ， 解得， ∵方程有实根时k的取值为， ∴不存在k值使得． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）根据一元二次方程的判别式，然后解不等式即可； （2）假设存在，代入两根和，两根积，求出k，再作出判断． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，即k的取值范围为； 【小问2详解】 略 23. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到AB、BC两边的距离相等，设直线l与AC边交于点D，在BC上找一点E．使∠BDE＝45°．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：作的平分线，交于点D，则直线即为所求作的直l；作线段的垂直平分线和以为直径的，与半圆的交点为，连接，与的交点即为点E，如图： 【解析】 【分析】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作一个角的平分线和作已知线段的垂直平分线的尺规作图方法． 作的平分线，交于点D，则直线即为所求作的直l；作线段的垂直平分线和以为直径的，与半圆的交点为F，连接，与的交点即为点E． 【详解】略 24. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案； （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为， 故答案为： （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能， 所以：两名同学均来自八年级的概率 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键． 25. 某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）直接写出y关于售价x的函数关系式： ； （2）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ （3）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【答案】（1）y＝－2x＋200 （2）60元或者90元 （3）w＝－2x2＋300x－10000，75元 【解析】 【分析】（1）根据一次函数过（55，90）（65，70）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式， （2）根据利润为800元列方程解答即可， （3）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润． 【小问1详解】 解：设y关于售价x的函数关系式为y=kx+b，把（55，90）（65，70）代入得： ， ∴， ∴y与x的之间的函数关系式为y＝－2x＋200， 故答案为：y＝－2x＋200； 【小问2详解】 若某天销售利润为800元， 则（x－50）（－2x＋200）＝800， 解得：x1＝60，x2＝90， 答：该天的售价为60元或者90元；（题意没有其它说明，无需取舍） 【小问3详解】 设总利润为w，根据题意得， w＝（x－50）（－2x＋200）＝－2x2＋300x－10000＝－2（x－75）2＋1250 ∵a＝－2＜0， ∴当x＝75时，w有最大值， 答：当销售单价定为75元时利润最大． 【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程，二次函数的应用，求出相应的函数关系式和方程以及自变量的取值范围是解决问题的关键． 26. 如图，四边形内接于，为直径，平分，且的延长线于点E． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 直线与相切，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查本切线的判定，垂径定理，勾股定理，角平分线的定义，相似三角形的判定及性质． （1）连接，由角平分线定义，平行线的性质推出，由切线的判定定理即可证明； （2）过点O作于点H，易得四边形是矩形，得到，由勾股定理即可求出圆的半径长，由，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点O作于点H， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴的半径长是5， ∴ ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 27. 【概念理解】对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数是，它的相关函数为． 【尝试解决】 已知二次函数，请回答下列问题： （1）这个二次函数的相关函数为； （2）当在这个二次函数的相关函数的图像上时，求的值； 【灵活应用】 （3）当时，求这个二次函数的相关函数的最小值是_________； （4）当直线与该二次函数的相关函数的图像只有二个交点时，的取值范围是_______．（直接写出答案） 【答案】（1），；（2）的值为，或；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及新定义函数、已知函数值求自变量、函数作图、函数图像平移、函数最值及函数图像的交点等知识，读懂题意，理解相关函数定义并利用数形结合求解是解决问题的关键． （1）根据相关函数定义直接求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，令求解即可； （3）作出相关函数图像，数形结合即可得到最值； （4）作出相关函数图像，再由函数图像平移，数形结合即可得到范围． 【详解】（1）已知二次函数，由相关函数定义可知，当时，它们对应的函数值互为相反数，可得；当时，它们对应的函数值相等，可得， ， 故答案为：；； （2）由（1）知的相关函数为， 当在这个二次函数的相关函数的图像上时，分两种情况：当在时，，解得或，由得；当在时，，解得或，由得或； 综上所述，的值为，或； 【灵活应用】（3）在平面直角坐标系中作出图像，如图所示： 当时，求这个二次函数的相关函数的最小值是当时，， 故答案为：； （4）直线与平行，由（3）中图像，在同一个坐标系中作出，如图所示： 当直线过点时，与相关函数有两个交点，此时，往上平移有且只有一个交点；当直线过点时，与相关函数有两个交点，此时，网上平移有且只有两个交点； 综上所述，， 故答案为：． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． （1）的直径为 ，点M的坐标为 ； （2）求直线所对应的函数表达式； （3）若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】（1），； （2） （3）或或5 【解析】 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【小问1详解】 解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； 【小问2详解】 连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 【小问3详解】 解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $