精品解析：期中试卷（二）-浙江省台州市2024-2025学年 人教版数学八年级上册

数学人教版8年级上册期中测试 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单选题．（每题3分，共36分） 1. 在等腰三角形中，，（如图，一个含30度角的直角三角板的一直角边与边重合，斜边经过的顶点A），则的度数为（　　） A. B. C. D. 2. 已知：点与点关于轴对称，则值为（ ） A. 0 B. 1 C. −1 D. 3. 尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，为半径作弧交于点E；③连结与．若要求的度数，则只需知道（ ） A. 的度数 B. 的度数 C. 的度数 D. 的度数 4. 如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 5. 将等腰直角三角板按如图的方式放置，点A在x轴的正半轴上移动，点B随之在y轴的正半轴上移动，点C在的左侧，设点C的横坐标为n，则它的纵坐标为（ ） A. n B. C. D. 6. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 10 7. 五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 8. 如图，，，，平分，过点作交于点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为（ ） A B. C. D. 10. 如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（ ） A. B. C. D. 12. 如图，为上方一点，H、G分别为上的点，、的角平分线交于点的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题．（每题3分，共12分） 13. 如图，，是正六边形的两条对角线，则的大小为________． 14. 如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为______． 15. 在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则______． 16. 如图，在中，D，E分别是边上点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题．（共72分） 17. 如图，在中，，过点A分别作、，且．求证：． 18. 如图，在中，，为的角平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F． （1）求证：； （2）若，则的面积为______． 20. 【探究】如图①，和平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、． （1）若，，则　　度，　　度． （2）若，求的度数． 【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 21. 如图，中，是高，是三角形的角平分线，，，求的度数． 22. 已知在中，是边上的高，是的角平分线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 23. 数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学人教版8年级上册期中测试 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单选题．（每题3分，共36分） 1. 在等腰三角形中，，（如图，一个含30度角的直角三角板的一直角边与边重合，斜边经过的顶点A），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ， ， ， ∴， 故选：B． 2. 已知：点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. −1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识，掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出m、n的值，然后代入运用乘方解答即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，解得：， ∴． 故选项B． 3. 尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，为半径作弧交于点E；③连结与．若要求的度数，则只需知道（ ） A. 的度数 B. 的度数 C. 的度数 D. 的度数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由作图可知：，，利用等边对等角和三角形内角和定理可求出，即可求解． 【详解】解：由作图可知：，， ∴，， ∴ ， 故要求的度数，则只需知道的度数， 故选：C． 4. 如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键． ，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，．理由如下： 在与中，， ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中， ， ∴． 在与中，， ∴． 故选：D 5. 将等腰直角三角板按如图的方式放置，点A在x轴的正半轴上移动，点B随之在y轴的正半轴上移动，点C在的左侧，设点C的横坐标为n，则它的纵坐标为（ ） A. n B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于点D，轴于点E，根据可得，所以．由点C的横坐标为n，可得它的纵坐标为． 本题主要考查了平面直角坐标系中求点的坐标，及全等三角形的判定和性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】如图，作轴于点D，轴于点E， 则， 是等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∵点C的横坐标为n， ∴它的纵坐标为． 故选：B． 【点睛】 6. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7. 五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，，则m的值为5或6． 若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以． 故选：C． 8. 如图，，，，平分，过点作交于点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、三角形的外角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行线的性质可以求得和，再根据三角形内角和求得，最后由三角形的外角和定理求出答案． 【详解】， ， ， ， 又平分角， ， ，， ， ， ， ， 故选：B ． 9. 如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等. 掌握这些判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 解法一：过作于，连接；由折叠的性质及等腰三角形的性质证明，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，由即可求解； 解法二：过作于，过作于，连接，在上截取，由等边三角形的定义得是等边三角形，从而可得，由由折叠的性质及等腰三角形的判定方法得和是等腰三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解. 【详解】解：解法一：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵， ，， ∴，，， 和是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ， ∵，， ， ， 故选B； 解法二：如图，过作于，过作于，连接，在上截取， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 故选：B． 10. 如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 11. 如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 12. 如图，为上方一点，H、G分别为上的点，、的角平分线交于点的角平分线与的延长线交于点，下列结论：①；②；③；④，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由角平分线的性质以及平行线的性质可求出，即可判断①；设交于点M，交于点N，根据平行的性质即有，再结合三角形外角的性质即可判断②；根据角平分线的性质有，再证即可得∠PGD=2∠EGD，即可判断③；先证，根据，即有，再结合，即可判断④正确； 【详解】∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 设交于点M，交于点N，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质以及直角三角形中两个锐角互余等知识，灵活运用平行线的性质和三角形的外角的性质是解答本题的关键． 二、填空题．（每题3分，共12分） 13. 如图，，是正六边形的两条对角线，则的大小为________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角，根据正六边形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论，熟练掌握正六边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形的内角与外角等知识，由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形外角和为， ∴正五边形每个外角的度数为：， ∴正五边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正边形， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，，，得出，．进而根据得出，，根据得出，根据，即可求解． 详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵于E，于D， ∴，， ∴ 又∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接，根据角平分线的性质，可得点到的距离相等，则可得的面积，再根据，求得的面积，根据求得和的面积，即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得四边形的面积，即可解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 平分线交于点， 点到的距离相等， ， ， 的面积为4， , ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题．（共72分） 17. 如图，在中，，过点A分别作、，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，利用等角对等边得到，由、得到，又由即可证明，则，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵、， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，为的角平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理， （1）根据，结合，证明出即可得到； （2）首先得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，然后利用三线合一性质得到，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ， ， ． ，为的角平分线， ． ． ． 19. 如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F． （1）求证：； （2）若，则的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形中线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质得出，，利用余角的性质可得出，，利用等边对等角得出，，取中点G，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等边对等角得出，然后利用含的直角三角形的性质即可得证； （2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜边上中线的性质求出，则可求的面积，然后利用三角形中线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，点D是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点G，连接， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：4． 20. 【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、． （1）若，，则　　度，　　度． （2）若，求的度数． 【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）30，125；（2）；拓展： 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 探究：（1）依据角平分线以及平行线的性质，即可得到的度数，依据三角形内角和定理，即可得到的度数； （2）依据角平分线以及平行线的性质、三角形内角和定理，即可得到的度数； 拓展：根据和的平分线交于点，可得，，再根据进行计算，即可得到的度数． 【详解】探究：（1），平分， ， 又， ； ，平分， ， 中，； 故答案为：30，125； （2）平分，平分， ，． ， ． ， ，． ． ， ． 拓展：和的平分线交于点， ，， ． 21. 如图，中，是高，是三角形的角平分线，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，再求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 又∵为角平分线， ∴， ∵是高， ∴， 在中，， ∴． 22. 已知在中，是边上的高，是的角平分线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得，结合，从而可得结论； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴． 【小问2详解】 ．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 设， ∴， ∴，，， ∴由（2）可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 在四边形中，． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的含义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 23. 数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明： 根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是角平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$