精品解析：江西省上饶市玉山县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次考试数学试题

玉山一中2024-2025学年度第一学期高一第一次考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李明凯 审题人：邓雪 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义运算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的概念可判断. 【详解】先看充分性：因为：，所以可得，故“”是“”的充分条件； 再看必要性：令，则，但不成立，所以“”不是“”的必要条件. 综上可知：“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 3. 你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（ ） A. 56.6米 B. 57.6米 C. 58.6米 D. 59.6米 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法，求二次函数最大值即可. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 所以烟花爆裂的高度是57.6米. 故选：B 4. 已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得或或，列方程求即可. 【详解】因为，，， 所以或或， 若，则方程的解集为空集，故， 若，则方程有且仅有解，故， 若，则方程有且仅有解，故， 故的所有可能取值组成的集合为. 故选：D. 5. 定义行列式，，则的取值集合为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据行列式定义，化简不等式，结合一元二次不等式解法求解集. 【详解】因为， 所以不等式，可化为， 所以， 所以， 所以或， 所以的取值集合为或. 故选：C. 6. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得是的两根，可得，进而不等式，即为，求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是的两根，所以，解得， 不等式，即为， 整理得，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 7. 玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（ ） A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 【答案】C 【解析】 【分析】设同时提交三种作品的有人，画出韦恩图，求解即可. 【详解】设同时提交三种作品的有人，集合为提交了楷书作品的人， 集合为提交了隶书作品的人，集合为提交了行书作品的人，如图所示， 则， 解得， 故选：C. 8. 若正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】由x，y为正实数， . 所以（当且仅当即，时取“”） 所以. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 命题，有，命题，使，则（ ） A. q是假命题 B. p是真命题 C. q是存在量词命题 D. p是全称量词命题 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据存在量词命题，全称量词命题的定义判断C，D项；根据解方程及有意义的条件即可判断A，通过举反例就可判断B． 【详解】A．因为，所以是假命题，A正确． B．若，则，解得，但需要满足，所以是假命题，B错误． C．中，，是存在量词命题，是全称量词命题，C正确． D．中，含有全称量词的命题是全称量词命题，D正确． 故选：ACD． 10. 对于实数a，b，c，d，以下四个命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据得到，再根据不等式的性质即可判断；对B，举反例即可判断；对C，根据不等式的性质即可判断；对D，举反例即可判断． 【详解】对A，若，则有， 所以，故A正确； 对B，当时， 若， 则， 故，故B错误；    对C，若， ， 根据不等式性质有，故C正确； 对D，当时， 若， 则，故D错误. 故选：AC． 11. 已知集合，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 英文单词mississippi的所有字母组成的集合共有______个真子集． 【答案】15 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性，结合列举法表示出集合，进而求出真子集个数. 【详解】英文单词mississippi的所有字母组成的集合为， 所以该集合的真子集个数为. 故答案为：15 13. 已知，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】先得到，根据不等式性质得到取值范围. 【详解】设， 故，解得， 所以， 又， 所以， ， 所以. 故答案为： 14. 命题“，关于x的不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】写出特称量词命题的否定，其为真命题，变形后，利用基本不等式得到，从而得到，求出，得到答案. 【详解】由题意得“，关于x的不等式成立”为真命题， ， 因为，所以， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故，解得，故实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解出分式不等式，求出集合，然后求解并集即可； （2）解出一元二次不等式，求得集合，然后求出集合的补集，由包含关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以，若则，解得， 所以. 【小问2详解】 ，即， 所以，所以， 所以或， 由于，所以或， 解得或， 故实数k的取值范围为：. 16. 已知命题，命题． （1）当为假命题时，求实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案； （2）利用分类讨论的解题思想，可得答案. 【小问1详解】 由为假命题，则为真命题， 令，开口向上，对称轴，易知 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，当为真命题时，；当为假命题时， 当为真命题时，，解得； 当为假命题时，.解得， 故当为真命题，为假命题时，； 当为假命题，为真命题时，； 所以和中有且只有一个是真命题时，或. 17. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）． 【答案】（1） （2）20万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，设出二次函数的顶点式，再结合题意列出式子即可求解； （2）结合（1）的结论，先求出，再结合基本不等式的公式即可求解. 【小问1详解】 因为营运六年时总利润最大，最大为110万元， 所以二次函数的开口向下，且顶点坐标为， 所以设该函数为， 营运三年时总利润为20万元， 即，解得， 所以. 即. 【小问2详解】 由（1）知， 所以营运的年平均总利润为， 当且仅当，即时，等号成立， 故营运的年平均总利润的最大值为20万元. 18. 已知函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案及解析 【解析】 【分析】（1）将不等式转化为一元二次不等式恒成立的问题.根据一元二次函数的性质，当二次项系数小于且判别式小于时，函数值恒小于. （2）先对函数进行因式分解，然后根据的不同取值范围来讨论不等式的解集. 【小问1详解】 由恒成立，即恒成立. 整理得恒成立. 当时，恒成立. 当时，函数是一元二次函数，要使其恒小于， 则且. 解，即，得到. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 对进行因式分解，. 当时，，不等式的解集为. 当时，方程的两根为，. 当时，，不等式的解集为. 当时，，不等式的解集为. 当时，，不等式的解集为. 当时，，不等式的解集为. 综上所得，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”． （1）函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）； （2）已知函数． ①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值； ②已知函数，若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】（1）① （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据“平稳函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； ②由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 对于①在上单调递增 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故①是在上的“平稳函数”； 【小问2详解】 ①二次函数为，对称轴为直线， 在上单调递增，在上单调递减， 当，， 当时，， 当时，． 若，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去），； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，（舍去）； 若，在上单调递减， 则，解得（舍去）． 综上所述，或； ②易知，二次函数对称轴为直线， 又，且 ， ， 当时，在上单调递增 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉山一中2024-2025学年度第一学期高一第一次考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李明凯 审题人：邓雪 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（ ） A. 56.6米 B. 57.6米 C. 58.6米 D. 59.6米 4. 已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 定义行列式，，则的取值集合为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 7. 玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（ ） A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 8. 若正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 命题，有，命题，使，则（ ） A. q是假命题 B. p是真命题 C. q是存在量词命题 D. p是全称量词命题 10. 对于实数a，b，c，d，以下四个命题中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知集合，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 英文单词mississippi的所有字母组成的集合共有______个真子集． 13. 已知，则的取值范围为______ 14. 命题“，关于x的不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知命题，命题． （1）当为假命题时，求实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）． 18. 已知函数． （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）求不等式的解集． 19. 若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”． （1）函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）； （2）已知函数． ①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值； ②已知函数，若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $