2.5.1椭圆的标准方程（同步课件）数学人教B版选择性必修第一册

2.5.1 椭圆的标准方程 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第2章 平面解析几何 情景与问题 日常生活中，可以见到很多有关椭圆的形象。我们知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径.那么，你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？ 尝试与发现 具有何种几何特征才是椭圆呢？ 1 a b 一、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距， 焦距的一半称为半焦距. F1 F2 |PF1|+|PF2|=2a > |F1F2| 思考 若|PF1|+|PF2|=2a = |F1F2|或|PF1|+|PF2|=2a <|F1F2|，那么点P的轨迹还是椭圆吗？ 若|PF1|+|PF2|=2a = |F1F2|，则点P的轨迹为线段F1F2； 若|PF1|+|PF2|=2a < |F1F2|，则点P的轨迹不存在. 思考 怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？ F1 F2 O M 设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0) 根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a 思考 怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？ F1 F2 O M 设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0) 根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a 思考 怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？ F1 F2 O M 设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0) 根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a 思考 你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？ F1 F2 O M c b a 思考 当焦点F1,F2在y轴上时，椭圆的方程是什么？ F2 F1 O M 其中，a>b>0，且a2=b2+c2 焦点F1(0,-c)，F2(0,c) 一、椭圆的标准方程 焦点在x轴 焦点在y轴 图象 焦点 焦距 顶点 a,b,c关系 F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c) 2c (-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b) (0,-a) (0,a) (-b,0) (b,0) a>b>0，且a2=b2+c2 【典型例题一】 例1. 平面内有一长度为4的线段AB，动点P满足|PA|+|PB|=6，则点P的轨迹是( ) A.直线 B.射线 C.椭圆 D.圆 C 【典型例题二】 例2 分别判断下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是F1(-3,0)，F2(3,0)，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8; (2)两个焦点分别是F1(0,-4)，F2(0,4)，并且椭圆经过点(,-) 解:(1)由已知得2a=8，因此a=4，又因为c=3， 所以b2=a2-c2=7 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以所求椭圆的标准方程为 【典型例题二】 例2 分别判断下列条件的椭圆的标准方程： (2)两个焦点分别是F1(0,-4)，F2(0,4)，并且椭圆经过点(,-) 解:(2)因为椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为，(a>b>0) 由已知得c=4，又因为c2=a2-b2=7，所以a2=b2+16， 因为点(,-)在椭圆上，所以， 解得b2=4或b2=-12(舍)，因此a2=20， 所以所求椭圆的标准方程为。 【典型例题三】 例3 已知B,C是平面内的两个定点，|BC|=8，且平面内ΔABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程. 分析：由ΔABC的周长等于18且|BC|=8，可知点A到B,C两个定点的距离之和总是等于10，因此点A一定在以B,C为焦点的椭圆上。 【典型例题三】 例3 已知B,C是平面内的两个定点，|BC|=8，且平面内ΔABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程. 解：以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系xOy，如图所示. 由|BC|=8，可知B(-4,0)，C(4,0)， 又因为|AB|+|AC|+|BC|=18，所以|AB|+|AC|=10. 从而点A在以B,C为焦点的椭圆上， 且椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10，焦距2c=8， 因此a=5，c=4，则b=3， 所以点A的轨迹方程为 (y≠0) A B C O x y 课堂小结 椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 |PF1|+|PF2|=2a > 2c 其中，a>b>0，且a2=b2+c2 椭圆的标准方程： 焦点在x轴： 焦点在y轴： 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $$