4.3 整式（8大题型提分练）（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第4章 代数式》 4.3 整式 知识点一 单项式 ◆1、单项式的定义： 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. ◆2、判断单项式的方法： （1）单独一个数或一个字母也是单项式. （2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算. （3）单项式数字因数与字母可能一个或多个. （4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． ◆3、单项式的系数、次数 （1）系数：单项式中数与字母相乘，通常把数字因数叫作系数； （2）次数：所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. （3）确定单项式的系数及次数时，应注意： ① 圆周率 π 是常数； ② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写； ③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； ④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0. 知识点二 多项式 ◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. ◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. （1） 单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就 叫b次a项式． （2）多项式的每一项包含它前面的符号． ◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. （1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的； （2）一个多项式的最高次项可以不唯一. （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式. 知识点三 整式 ◆1、单项式和多项式统称整式. ◆2、单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，但反过来不一定成立. ◆3、整式一定是代数式，但代数式不一定是整式。分母中含有字母的代数式都不是整式，如代数式 就不是整式。 题型一 单项式的有关概念 解题技巧提炼 1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； 2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 1．（2023秋•连山区期末）在0，3x+1，，x2，﹣5a中，属于单项式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋•峨山县期末）单项式的系数和次数分别是（　　） A．2和1 B．和2 C．和2 D．﹣2和2 3．（2023秋•防城港期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是，次数是2 B．系数是，次数是2 C．系数是﹣2，次数是3 D．系数是，次数是3 4．（2023•越秀区校级一模）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（　　） A．﹣2xy2 B．3x2 C．2xy3 D．2x3 5．（2024•朔州模拟）单项式﹣πx2y的系数是 　 　． 6．（2024春•北林区期末）单项式﹣4x2y3的次数是 　 　． 7．（2024春•莘县校级期末）一个数的绝对值是单项式﹣23xyz2的次数，这个数是 　 　． 8．（2023•汕头二模）单项式的系数为 　 　，次数是 　 　． 题型二 利用单项式的相关概念求值 解题技巧提炼 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 1．若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 2．已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值． 4．已知（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式，求a2+3a﹣9的值． 5．已知单项式﹣2x2y3的系数和次数分别是a，b，求ab﹣ab的值． 6．已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值． 7．（2023秋•梁山县期末）已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数，求a2﹣4（x+y+2mn）的值． 8．（2023秋•衡东县校级期中）已知单项式与﹣22x2y2的次数相同． （1）求m的值； （2）求当x＝﹣9，y＝﹣2时单项式的值． 题型三 多项式及整式的有关概念 解题技巧提炼 1、几个单项式的和叫做多项式. 2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. 1．（2024•江城区二模）多项式3xy2﹣2y+1的次数及一次项的系数分别是（　　） A．3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣2 D．4，﹣2 2．（2024•武威三模）下列表述正确的是（　　） A．单项式ab的系数是0，次数是2 B．﹣2x2y3的系数是﹣2，次数是3 C．x﹣1是一次二项式 D．﹣ab2+3a﹣1的项是﹣ab2，3a，1 2．（2023•南京模拟）代数式，2x+y，a2b，，，0.5中整式的个数（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2023秋•洪山区期末）关于多项式x2﹣2x+1的项数及次数，下列说法正确的是（　　） A．项数是2，次数是2 B．项数是2，次数是3 C．项数是3，次数是2 D．项数是3，次数是3 5．下列说法：①的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2﹣x﹣2的常数项为2；④在，2x+y，，，0中，整式有3个．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．多项式是 　 　次 　 项式，其中常数项是 　 　． 7．（2024春•南岗区校级期中）已知多项式，其中五次项系数的和与常数项的差是 　 　． 8．（2024春•东坡区期末）把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2按a的降幂排列是 　 　． 题型四 利用多项式的相关概念求值 解题技巧提炼 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. 1．多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1 2．（2023秋•东阿县期末）已知关于y的多项式2y﹣3yn+7与my3+4y2﹣5的次数相同，那么﹣5n2的值是（　　） A．80 B．﹣80 C．﹣80或﹣54 D．﹣45或﹣20 3．（2024春•黔西南州期末）已知关于x、y的多项式x2yk﹣2+3xy﹣4是三次三项式，则k的值为 　 ． 4．（2023秋•萧县期末）若多项式3xay2﹣bx2y2+2x﹣1是关于x，y的五次三项式，则b﹣a＝　 ． 5．（2024春•岱岳区校级月考）如果多项式（﹣a﹣1）x2xb+x+1是关于x的四次三项式，那么这个多项式的最高次项系数是 　 ，a＝　 　． 6．若多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝　 　． 7．已知（m﹣1）x3﹣（n+2）x2+（2m﹣5n）x﹣6是关于x的多项式． （1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？ （2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？ 8．已知关于x的多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式．求： （1）k的值． （2）代数式（k+1）100+（k+1）99+…+（k+1）2+（k+1）的值． 题型五 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 解题技巧提炼 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． 1．（2023秋•合阳县期末）已知关于x、y的多项式xy3﹣3x4+x2ym+2﹣5mn是五次四项式（m，n为有理数），且单项式5x4﹣myn﹣3的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值． 2．已知多项式﹣3x3ym+1+xy2x3+6是六次四项式，单项式πxny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值． 3．已知﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同． （1）求m，n的值； （2）求多项式的常数项以及各项的系数和． 4．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式﹣5x2ym+16是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021的值． 5．（2023秋•武冈市期末）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值． 6．（2023秋•丰满区校级期中）已知多项式﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是关于x、y的六次四项式，且单项式3x2ny5﹣m的次数与该多项式的次数相同． （1）求m、n的值； （2）请将该多项式按x的降幂重新排列． 题型六 多项式中结论开放性问题 解题技巧提炼 本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 1．（2023秋•淮滨县期末）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：　 　． 2．（2023秋•房县期中）请写出一个只含字母a,b且二次项系数为-1的二次三项式 ． 3．一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3，这个多项式最多有几项，试写出一个符合要求的多项式． 4．任意写一个含有字母a、b的五次三项式，其中最高次项的系数为2，常数项为-9： ． 5．写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件： （1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或﹣1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母． 6．写出同时满足下列4个条件的一个多项式： ①该多项式含有字母x和y； ②该多项式第一项是常数项； ③该多项式是三次四项式； ④该多项式各项系数和为零． 7．试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件： （1）六次三项式； （2）每一项的系数均为1或﹣1； （3）不含常数项； （4）每一项必须同 时含字母x、y，但不能含有其他字母． 题型七 单项式中的规律探究问题 解题技巧提炼 对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．（2023•西山区模拟）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣9a2，17a3，…，则第7个单项式是（　　） A．﹣127a7 B．﹣129a6 C．127a7 D．129a6 2．（2023•玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：x​、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（　　） A．﹣64x8​ B．64x8​ C．128x8​ D．﹣128x8​ 3．（2023•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（　　） A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2 4．（2023•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（　　） A．﹣19a7 B．19a7 C．﹣22a6 D．22a6 5．（2024春•香坊区校级期中）下面是一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4…观察它们的系数和指数的特点，则第6个单项式是　 　． 6．观察下列一系列单项式的特点： y，x2y2，x2y3，x2y4，… （1）写出第8个单项式； （2）猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 7．（2023秋•衡东县校级期中）【观察与发现】 x2y，﹣3x2y2，5x2y3，﹣7x2y4，9x2y5，﹣11x2y6，…， （1）直接写出：第7个单项式是 　 　；第8个单项式是 　 ； （2）第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 8．探究规律题： 按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4，　 　，　 　； （2）试写出第2017个和第2018个单项式． （3）试写出第n个单项式． （4）试计算：当a＝﹣1时，a+（﹣2a2）+3a3+（﹣4a4）+…+99a99+（﹣100a100）的值． 题型八 多项式中的规律探究问题 解题技巧提炼 对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（　　） A．n B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．2n 2．有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为　 　． 3．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 　． 4．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是　 ． 5．已知多项式﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，则第100项是　 　，第2007项是　 　，第n项是　 　． 6．观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题： （1）它的第100项是什么？ （2）它的第n（n为正整数）项是什么？ （3）当x＝1时，求前2014项的和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第4章 代数式》 4.3 整式 知识点一 单项式 ◆1、单项式的定义： 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. ◆2、判断单项式的方法： （1）单独一个数或一个字母也是单项式. （2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算. （3）单项式数字因数与字母可能一个或多个. （4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． ◆3、单项式的系数、次数 （1）系数：单项式中数与字母相乘，通常把数字因数叫作系数； （2）次数：所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. （3）确定单项式的系数及次数时，应注意： ① 圆周率 π 是常数； ② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写； ③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； ④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0. 知识点二 多项式 ◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. ◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. （1） 单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就 叫b次a项式． （2）多项式的每一项包含它前面的符号． ◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. （1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的； （2）一个多项式的最高次项可以不唯一. （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式. 知识点三 整式 ◆1、单项式和多项式统称整式. ◆2、单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，但反过来不一定成立. ◆3、整式一定是代数式，但代数式不一定是整式。分母中含有字母的代数式都不是整式，如代数式 就不是整式。 题型一 单项式的有关概念 解题技巧提炼 1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； 2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 1．（2023秋•连山区期末）在0，3x+1，，x2，﹣5a中，属于单项式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据单项式的义即可求出答案． 【解答】解：0，x2，﹣5a是单项式， 故选：C． 【点评】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型． 2．（2023秋•峨山县期末）单项式的系数和次数分别是（　　） A．2和1 B．和2 C．和2 D．﹣2和2 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的次数、系数的定义进行分析即可． 【解答】解：单项式的系数是，次数是2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了单项式的基本概念，熟练掌握单项式的次数、系数的定义是解题的关键． 3．（2023秋•防城港期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是，次数是2 B．系数是，次数是2 C．系数是﹣2，次数是3 D．系数是，次数是3 【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案． 【解答】解：单项式的系数是，次数是3． 故选：D． 【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键． 4．（2023•越秀区校级一模）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（　　） A．﹣2xy2 B．3x2 C．2xy3 D．2x3 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母． A、﹣2xy2系数是﹣2，故本选项错误； B、3x2系数是3，故本选项错误； C、2xy3次数是4，故本选项错误； D、2x3符合系数是2，次数是3，故本选项正确； 故选：D． 【点评】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 5．（2024•朔州模拟）单项式﹣πx2y的系数是 　 　． 【分析】根据单项式的相关概念答题即可． 【解答】解：﹣πx2y的系数是﹣π． 故答案为：﹣π． 【点评】本题考查了单项式的系数，熟练掌握单项式的定义是关键． 6．（2024春•北林区期末）单项式﹣4x2y3的次数是 　 　． 【分析】单项式里，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，由此解答即可． 【解答】解：单项式﹣4x2y3的次数是2+3＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了单项式，熟知单项式的次数的定义是解题的关键． 7．（2024春•莘县校级期末）一个数的绝对值是单项式﹣23xyz2的次数，这个数是 　 　． 【分析】根据单项式的次数以及绝对值的定义进行解答即可． 【解答】解：单项式﹣23xyz2的次数是1+1+2＝4， 绝对值等于4的数为±4， 故答案为：±4． 【点评】本题考查单项式，绝对值，掌握单项式次数以及绝对值的定义是正确解答的关键． 8．（2023•汕头二模）单项式的系数为 　 　，次数是 　 　． 【分析】根据单项式系数和次数的概念求解即可． 【解答】解：单项式的系数为，次数是3， 故答案为：，3． 【点评】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 题型二 利用单项式的相关概念求值 解题技巧提炼 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 1．若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据单项式的次数与系数的定义解决此题． 【解答】解：由题意得：m，n＝4． ∴m+n4． 故选：C． 【点评】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键． 2．已知﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据已知得出2+1+m＝5，求出即可． 【解答】解：∵﹣4x2yzm是关于x，y，z的5次单项式，m是常数， ∴2+1+m＝5， 解得：m＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了单项式的次数，能根据单项式的次数定义得出关于m的方程是解此题的关键． 3．若（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值． 【分析】根据单项式的次数和系数的定义可知3m+3＝1，2+n+1＝5，求得m、n的值即可． 【解答】解：∵（3m+3）x2yn+1是关于x，y的五次单项式，且系数为1， ∴3m+3＝1，2+n+1＝5． 解得：m，n＝2． 【点评】本题主要考查的是单项式的概念，根据题意得到3m+3＝1，2+n+1＝5是解题的关键． 4．已知（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式，求a2+3a﹣9的值． 【分析】一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此即可求解． 【解答】解：∵（a﹣4）x3y|a|是一个七次单项式， ∴|a|＝4， ∴a＝±4， ∵a﹣4≠0， ∴a＝﹣4， ∴a2+3a﹣9 ＝（﹣4）2+3×（﹣4）﹣9 ＝﹣5． 【点评】本题考查单项式的有关概念，绝对值的概念，关键是掌握单项式的次数的概念，并注意这个单项式的系数不等于0． 5．已知单项式﹣2x2y3的系数和次数分别是a，b，求ab﹣ab的值． 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此可得a＝﹣2，b＝5，即可求解． 【解答】解：∵单项式﹣2x2y3的系数和次数分别是a，b， ∴a＝﹣2，b＝5， ∴ab﹣ab＝（﹣2）5﹣（﹣2）×5＝﹣32+10＝﹣22． 【点评】本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的系数，次数的概念． 6．已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值． 【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案． 【解答】解：∵x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式， ∴， 解得：， 则当a＝﹣3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9﹣18＝﹣9； 当a＝3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9+18＝27． 【点评】本题考查了单项式的知识，属于基础题，掌握单项式的定义及单项式次数的定义是解答本题的关键． 7．（2023秋•梁山县期末）已知x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数，求a2﹣4（x+y+2mn）的值． 【分析】根据x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数，分别求出x+y＝0，mn＝1，a＝﹣3，代入求值即可． 【解答】解：∵x、y互为相反数，m、n互为倒数，a是单项式﹣3bc的系数， ∴x+y＝0，mn＝1，a＝﹣3， ∴a2﹣4（x+y+2mn）＝（﹣3）2﹣4×（0+2×1）＝9﹣8＝1． 【点评】此题考查了单项式，熟练掌握相反数、倒数、单项式的系数等概念是解题的关键． 8．（2023秋•衡东县校级期中）已知单项式与﹣22x2y2的次数相同． （1）求m的值； （2）求当x＝﹣9，y＝﹣2时单项式的值． 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于m的方程，解方程即可求得m的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把x，y的值代入即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得：1+2m﹣1＝2+2， 解得：m＝2； （2）xy3， 则当x＝﹣9，y＝﹣2时，原式（﹣9）×（﹣8）＝﹣48． 【点评】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得m的值是关键． 题型三 多项式及整式的有关概念 解题技巧提炼 1、几个单项式的和叫做多项式. 2、多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 3、单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. 1．（2024•江城区二模）多项式3xy2﹣2y+1的次数及一次项的系数分别是（　　） A．3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣2 D．4，﹣2 【分析】直接利用多项式的次数确定方法以及一次项的定义分析得出答案． 【解答】解：多项式3xy2﹣2y+1的次数是：3， 一次项的系数是：﹣2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握相关定义是解题关键． 2．（2024•武威三模）下列表述正确的是（　　） A．单项式ab的系数是0，次数是2 B．﹣2x2y3的系数是﹣2，次数是3 C．x﹣1是一次二项式 D．﹣ab2+3a﹣1的项是﹣ab2，3a，1 【分析】根据单项式和单项式的有关内容逐个判断即可． 【解答】解：A、单项式ab的系数是1，次数是2，错误，故本选项不符合题意； B、﹣2x2y3的系数是﹣2，次数是5，错误，故本选项不符合题意； C、x﹣1是一次二项式，正确，故本选项符合题意； D、﹣ab2+3a﹣1的项是﹣ab2，3a，﹣1，错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了多项式和单项式，能熟记单项式的系数和次数、多项式的系数、次数、项的定义是解此题的关键． 2．（2023•南京模拟）代数式，2x+y，a2b，，，0.5中整式的个数（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据整式的定义（根据单项式和多项式统称为整式）解决此题． 【解答】解：∵不是整式，2x+y是多项式，a2b是单项式，是多项式，不是整式，0.5是单项式， ∴整式有2x+y，a2b，，0.5，共有4个． 故选：B． 【点评】本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键． 4．（2023秋•洪山区期末）关于多项式x2﹣2x+1的项数及次数，下列说法正确的是（　　） A．项数是2，次数是2 B．项数是2，次数是3 C．项数是3，次数是2 D．项数是3，次数是3 【分析】根据多项式的项数和次数的定义判断即可． 【解答】解：多项式x2﹣2x+1的项数是3，次数是2， 故选：C． 【点评】本题考查了多项式，掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键． 5．下列说法：①的系数是2；②多项式2x2+xy2+3是二次三项式；③x2﹣x﹣2的常数项为2；④在，2x+y，，，0中，整式有3个．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据单项式、多项式和整式的有关概念解答即可． 【解答】解：①的系数是，原说法错误； ②多项式2x2+xy2+3是三次三项式，原说法错误； ③x2﹣x﹣2的常数项为﹣2，原说法错误； ④在，2x+y，a2b，，0中，整式有3个，原说法正确． 其中正确的有1个． 故选：A． 【点评】本题考查了单项式和多项式的有关概念，能熟记定义是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式；单项式中的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数；②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式；多项式中的每个单项式，叫多项式的项；多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数，③单项式和多项式统称整式． 6．多项式是 　 　次 　 项式，其中常数项是 　 　． 【分析】根据多项式的次数和项数以及常数项的定义求解． 【解答】解：因为多项式2xy2﹣4x3y的最高次项是﹣4x3y，由三个单项式的和组成， 所以多项式2xy2﹣4x3y是四次三项式，其中常数项是2． 故答案是：四，三，2． 【点评】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．常数项是不含字母的项． 7．（2024春•南岗区校级期中）已知多项式，其中五次项系数的和与常数项的差是 　 　． 【分析】先找出五次项的系数和常数项，然后相加即可得出答案． 【解答】解：五次项系数是，，常数项是﹣4， 则五次项系数的和与常数项的差是：（﹣4）＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查多项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，不含字母的项叫常数项． 8．（2024春•东坡区期末）把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2按a的降幂排列是 　 　． 【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列． 【解答】解：把多项式a3﹣b3﹣3a2b+3ab2按a的降幂排列是a3﹣3a2b+3ab2﹣b3， 故答案为：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3． 【点评】本题主要考查了多项式的降幂排列，熟知多项式降幂排列的定义是解题的关键． 题型四 利用多项式的相关概念求值 解题技巧提炼 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. 1．多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1 【分析】直接利用绝对值的性质以及多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【解答】解：∵多项式3x|m|y2+（m+2）x﹣1是四次二项式， ∴m+2＝0， 解得：m＝﹣2， 此时|m|+2＝4符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了多项式以及绝对值，正确把握相关定义是解题的关键． 2．（2023秋•东阿县期末）已知关于y的多项式2y﹣3yn+7与my3+4y2﹣5的次数相同，那么﹣5n2的值是（　　） A．80 B．﹣80 C．﹣80或﹣54 D．﹣45或﹣20 【分析】根据两个多项式的次数相同，求出n的值，代入求解即可． 【解答】解：当m＝0时，my3+4y2﹣5＝4y2﹣5，次数为2； 当m≠0时，my3+4y2﹣5次数为3； 多项式2y﹣3yn+7的次数为n， ∵多项式2y﹣3yn+7与my3+4y2﹣5的次数相同， ∴当m＝0时，n＝2，﹣5n2＝﹣5×22＝﹣20， 当m≠0时，n＝3，﹣5n2＝﹣5×32＝﹣45， ∴﹣5n2的值是﹣45或﹣20． 故选：D． 【点评】本题考查多项式的次数，多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，分m＝0与m≠0两种情况是解题关键． 3．（2024春•黔西南州期末）已知关于x、y的多项式x2yk﹣2+3xy﹣4是三次三项式，则k的值为 　 ． 【分析】根据三次三项式只定义解答，从而得到k的值． 【解答】解：x2yk﹣2+3xy﹣4，是三次三项式， ∴k﹣2＝1， ∴k＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了多项式，掌握三次三项式定义是解题的关键． 4．（2023秋•萧县期末）若多项式3xay2﹣bx2y2+2x﹣1是关于x，y的五次三项式，则b﹣a＝　 ． 【分析】根据多项式的概念即可求出a与b的值． 【解答】解：多项式3xay2﹣bx2y2+2x﹣1是关于x，y的五次三项式， 故a+2＝5，b＝0， ∴a＝3，b＝0， ∴b﹣a＝0﹣3＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查多项式，解题的关键是正确理解多项式的概念，本题属于基础题型． 5．（2024春•岱岳区校级月考）如果多项式（﹣a﹣1）x2xb+x+1是关于x的四次三项式，那么这个多项式的最高次项系数是 　 ，a＝　 　． 【分析】根据题意可得b＝4，﹣a﹣1＝0，解可得a的值，进而可得多项式为x4+x+1，然后再确定最高次项系数． 【解答】解：由题意得：b＝4，﹣a﹣1＝0， 解得：a＝﹣1， ∴多项式x4+x+1这个多项式的最高次项系数是， 故答案为：；﹣1． 【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 6．若多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝　 　． 【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【解答】解：∵多项式xy|m﹣n|+（n﹣1）x2y2+1是关于x，y的三次多项式， ∴n﹣1＝0，1+|m﹣n|＝3， ∴n＝1，|m﹣n|＝2， ∴m﹣n＝2或n﹣m＝2， ∴m＝3或m＝﹣1， ∴mn＝3或﹣1． 故答案为：3或﹣1． 【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 7．已知（m﹣1）x3﹣（n+2）x2+（2m﹣5n）x﹣6是关于x的多项式． （1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？ （2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？ 【分析】（1）根据多项式的次数知识，可得当m﹣1＝0，且n+2≠0，即m＝1，n≠﹣2时，该多项式是关于x的二次多项式； （2）由题意得，当m﹣1≠0，n+2＝0，且2m﹣5n＝0时，该多项式是关于x的三次二项式． 【解答】解：（1）由题意得， 当m﹣1＝0，且n+2≠0， 即m＝1，n≠﹣2时，该多项式是关于x的二次多项式； （2）由题意得， 当m﹣1≠0，n+2＝0，且2m﹣5n＝0， 即m＝﹣5，n＝﹣2时，该多项式是关于x的三次二项式． 【点评】此题考查了多项式的次数与项数的确定能力，关键是能根据相关知识，准确确定题目中字母参数的值． 8．已知关于x的多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式．求： （1）k的值． （2）代数式（k+1）100+（k+1）99+…+（k+1）2+（k+1）的值． 【分析】（1）根据多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式，可得出k+2＝0，从而得出k的值； （2）把k＝﹣2代入要求的式子，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵关于x的多项式x2+（k+2）x+1是二次二项式， ∴k+2＝0， ∴k＝﹣2． （2）把k＝﹣2代入（k+1）100+（k+1）99+…+（k+1）2+（k+1）得： （﹣2+1）100+（﹣2+1）99+…+（﹣2+1）2+（﹣2+1）＝1+（﹣1）+…+1+（﹣1）＝0． 【点评】本题考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 题型五 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 解题技巧提炼 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． 1．（2023秋•合阳县期末）已知关于x、y的多项式xy3﹣3x4+x2ym+2﹣5mn是五次四项式（m，n为有理数），且单项式5x4﹣myn﹣3的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值． 【分析】根据多项式的次数、项的定义得出2+m+2＝5，﹣5mn≠0，即可求出m的值，再根据单项式的次数的定义得出4﹣m+n﹣3＝5，即可求出n的值． 【解答】解：∵关于x、y的多项式xy3﹣3x4+x2ym+2﹣5mn是五次四项式， ∴2+m+2＝5，﹣5mn≠0， ∴m＝1，n≠0， ∵单项式5x4﹣myn﹣3的次数与该多项式的次数相同， ∴单项式5x4﹣myn﹣3的次数为五次， ∴4﹣m+n﹣3＝5， ∴4﹣1+n﹣3＝5， ∴n＝5． 【点评】本题考查了多项式的项、次数，单项式的次数，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 2．已知多项式﹣3x3ym+1+xy2x3+6是六次四项式，单项式πxny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值． 【分析】根据题意求出m与n的值，然后代入所求式子即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：m+1+3＝6，n+5﹣m＝6， ∴m＝2，n＝3， ∴mn＝23＝8 【点评】本题考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的概念，本题属于基础题型． 3．已知﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，且3x2ny5﹣m的次数跟它相同． （1）求m，n的值； （2）求多项式的常数项以及各项的系数和． 【分析】根据多项式的概念即可求出n与m的值，然后根据多项式即可判断常数项与各项系数． 【解答】解：（1）由题意可知：该多项式是六次多项式， ∴2+m+1＝6， ∴m＝3， ∵3x2ny5﹣m的次数也是六次， ∴2n+5﹣m＝6， ∴n＝2 ∴m＝3，n＝2 （2）该多项式为：﹣5x2y4+xy2﹣3x3﹣6 常数项﹣6，各项系数为：﹣5，1，﹣3，﹣6， 故系数和为：﹣5+1﹣3﹣6＝﹣13 【点评】本题考查多项式与单项式的概念，属于基础题型． 4．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式﹣5x2ym+16是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021的值． 【分析】利用多项式次数和项数的确定方法可得m和n的值，然后再结合相反数和互为倒数定义进行计算即可． 【解答】解：∵多项式﹣5x2ym+1xy2x3+6是六次四项式， ∴2+m+1＝6，解得：m＝3， ∵单项式x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同， ∴2n+5﹣m＝6， 则2n+5﹣3＝6， 解得：n＝2， ∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∴（a+b）m+mn﹣（cd﹣n）2021 ＝0+9﹣（1﹣2）2021 ＝9﹣（﹣1） ＝10． 【点评】此题主要考查了多项式，以及有理数的混合运算，关键是正确确定m和n的值． 5．（2023秋•武冈市期末）已知多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是关于x、y的五次四项式，单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，求（a﹣b）c+1的值． 【分析】根据多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是五次四项式，可得a+1＝3，a＝2，由单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数，得出b＝6，c＝1，代入即可得出答案． 【解答】解：∵多项式xa+1y2﹣x3+x2y﹣1是五次四项式， ∴a+1＝3，a＝2， ∵单项式﹣8x2y3z的次数为b，c是最小的正整数， ∴b＝6，c＝1， ∴（a﹣b）c+1＝（2﹣6）1+1＝（﹣4）2＝16． ∴（a﹣b）c+1的值为16． 【点评】本题考查了多项式、单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式、多项式的定义． 6．（2023秋•丰满区校级期中）已知多项式﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是关于x、y的六次四项式，且单项式3x2ny5﹣m的次数与该多项式的次数相同． （1）求m、n的值； （2）请将该多项式按x的降幂重新排列． 【分析】（1）根据题意得出2+m+1＝6，2n+5﹣m＝6，求出m、n的值即可； （2）由（1）得出原多项式为：﹣5x2y4+xy2﹣3x3﹣6，再重新排列即可得到答案． 【解答】解：（1）∵多项式﹣5x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是关于x、y的六次四项式，且单项式3x2ny5﹣m的次数与该多项式的次数相同， ∴2+m+1＝6，2n+5﹣m＝6， 解得：m＝3，n＝2； （2）∵m＝3， ∴原多项式为：﹣5x2y4+xy2﹣3x3﹣6， ∴将该多项式按x的降幂重新排列为：﹣3x3﹣5x2y4+xy2﹣6． 【点评】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，熟练掌握相关概念是解此题的关键． 题型六 多项式中结论开放性问题 解题技巧提炼 本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 1．（2023秋•淮滨县期末）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：　 　． 【分析】根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解． 【解答】解：多项式x3+y3中x3的次数为3，y3的次数为3． 故答案为：x3+y3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 2．（2023秋•房县期中）请写出一个只含字母a,b且二次项系数为-1的二次三项式 ． 【分析】根据多项式的次数和项数的概念解答即可． 二次三项式是指最高次为2次，并含有三项，而二次系数为-1，答案不唯一． 【解答】解：由题意得：满足题意的可为：﹣ab+b+a,答案不唯一． 【点评】此题考查的是对多项式的性质的理解，此题答案不唯一，只要满足条件即可． 3．一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3，这个多项式最多有几项，试写出一个符合要求的多项式． 【分析】利用已知写一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3进而得出符合题意多项式即可． 【解答】解：根据题意可得：a2b+ab2+a3+b3． 【点评】此题主要考查了多项式，正确根据题意利用次数以及项数得出是解题关键． 4．任意写一个含有字母a、b的五次三项式，其中最高次项的系数为2，常数项为-9： ． 【分析】根据题意，结合五次三项式、最高次项的系数为2，常数项可写出所求多项式，答案不唯一，只要符合题意即可． 【解答】解：根据题意，得此多项式是：2ab4﹣a2b﹣9（答案不唯一）， 故答案是：2ab4﹣a2b﹣9（答案不唯一）． 【点评】本题考查了多项式，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念，并注意项与项之间是相加的关系． 5．写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件： （1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或﹣1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母． 【分析】根据题意，所写多项式符合4个条件即可． 【解答】解：根据题意得出：ab4+ab3+a3b2+a4b． 【点评】此题主要考查了多项式的定义，熟练根据多项式定义得出是解题关键． 6．写出同时满足下列4个条件的一个多项式： ①该多项式含有字母x和y； ②该多项式第一项是常数项； ③该多项式是三次四项式； ④该多项式各项系数和为零． 【分析】根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一． 【解答】解：3﹣x+2y﹣4xy2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了多项式的知识，解题时需要根据多项式的特点来写，比较简单． 7．试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件： （1）六次三项式； （2）每一项的系数均为1或﹣1； （3）不含常数项； （4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母． 【分析】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，满足条件（1），即最高项的次数为6，满足条件（2），多项式的系数是1或﹣1，满足条件（3），即多项式没有常数项，满足条件（4）多项式中每项都含xy，不能有其它字母． 【解答】解：此题答案不唯一， 如：x3y3﹣x2y4+xy5；﹣x2y4﹣xy﹣xy2． 【点评】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，要看清每项条件的要求． 题型七 单项式中的规律探究问题 解题技巧提炼 对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．（2023•西山区模拟）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣9a2，17a3，…，则第7个单项式是（　　） A．﹣127a7 B．﹣129a6 C．127a7 D．129a6 【分析】由单项式的排列规律，即可得到答案． 【解答】解：因为按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣9a2，17a3，…，第奇数个单项式的系数是负数，第偶数个单项式的系数是正数；并且从第二个单项式起，每个单项式系数的绝对值是它前面单项式系数的绝对值的2倍减1， 所以第7个单项式是﹣129a6． 故选：B． 【点评】本题考查单项式，关键是掌握单项式的变化规律． 2．（2023•玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：x​、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（　　） A．﹣64x8​ B．64x8​ C．128x8​ D．﹣128x8​ 【分析】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可． 【解答】解：根据题意得： 第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8． 故选：D． 【点评】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 3．（2023•昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式是（　　） A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2 【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可． 【解答】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数， 单项式中a的指数偶数，b的指数不变， 所以第8个单项式是：17a14b2． 故选：A． 【点评】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． 4．（2023•五华区校级模拟）观察后面一组单项式：﹣4，7a，﹣10a2，13a3，…，根据你发现的规律，则第7个单项式是（　　） A．﹣19a7 B．19a7 C．﹣22a6 D．22a6 【分析】由已知得第奇数个单项式的符号为负数，第7个单项式的系数绝对值为4+3×6，字母及字母的指数为a6，即可得到答案． 【解答】解：经过观察可得第奇数个单项式的符号为负数，第偶数个单项式的符号为正数； 第1个单项式的系数绝对值为4+3×0， 第2个单项式的系数绝对值为4+3×1， … 第7个单项式的系数绝对值为4+3×6； 第1个单项式的字母及字母的指数为a0， 第2个单项式的字母及字母的指数为a1， … 第7个单项式的字母及字母的指数为a6； ∴第7个单项式为﹣22a6， 故选：C． 【点评】本题考查数字及数字的变化规律．能够正确得到各个单项式符号，系数，字母及字母指数的规律是解决本题的关键． 5．（2024春•香坊区校级期中）下面是一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4…观察它们的系数和指数的特点，则第6个单项式是　 　． 【分析】通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为（n﹣1）．由此可解出本题． 【解答】解：依题意得： （1）n为奇数，单项式为：2（n﹣1）xn； （2）n为偶数时，单项式为：﹣2（n﹣1）xn． ∴第6个单项式为：﹣32x6． 故答案为：﹣32x6． 【点评】本题考查了单项式．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 6．观察下列一系列单项式的特点： y，x2y2，x2y3，x2y4，… （1）写出第8个单项式； （2）猜想第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【分析】（1）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（）n，字母部分是x2yn，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是（﹣1）n+1×（）n，字母部分是x2yn，可得答案． 【解答】解：由观察下列单项式：y，x2y2，x2y3，x2y4，…，得 系数是（﹣1）n+1×（）n，字母部分是x2yn， 第8个单项式﹣（）8x2y8； （2）由观察下列单项式：y，x2y2，x2y3，x2y4，…，得 第n个单项式是（﹣1）n+1×（）nx2yn，系数是（﹣1）n+1×（）n，字母部分是x2yn，次数n+2． 【点评】本题考查了单项式，观察发现规律系数是（﹣1）n+1×（）n，字母部分是x2yn是解题关键． 7．（2023秋•衡东县校级期中）【观察与发现】 x2y，﹣3x2y2，5x2y3，﹣7x2y4，9x2y5，﹣11x2y6，…， （1）直接写出：第7个单项式是 　 　；第8个单项式是 　 ； （2）第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11，...，（﹣1）n+1（2n﹣1）， y的指数依次为：1，2，3，4，5，6，...，n， 故第7个单项式是：13x2y7， 第8个单项式是：﹣15x2y8． 故答案为：13x2y7，﹣15x2y8； （2）由（1）可得出第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）x2yn，它的系数为：（﹣1）n+1（2n﹣1），次数为：2+n． 【点评】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． 8．探究规律题： 按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4，　 　，　 　； （2）试写出第2017个和第2018个单项式． （3）试写出第n个单项式． （4）试计算：当a＝﹣1时，a+（﹣2a2）+3a3+（﹣4a4）+…+99a99+（﹣100a100）的值． 【分析】（1）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为n×（﹣1）n+1，字母是a，a的指数为n的值．由此可解出本题． （2）根据以上规律可得； （3）根据以上规律可得； （4）将a＝﹣1代入列出算式计算可得． 【解答】解：（1）5a5，﹣6a6， 故答案为：5a5，﹣6a6； （2）第2017个单项式为2017a2017，第2018个单项式为﹣2018a2018； （3）第n个单项式为（﹣1）n+1•n•an； （4）原式＝﹣1﹣2﹣3…﹣100＝﹣5050． 【点评】考查了找规律的单项式题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 题型八 多项式中的规律探究问题 解题技巧提炼 对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 1．一组按规律排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，其中第n（n为正整数）个式子的次数是（　　） A．n B．2n﹣1 C．3n﹣1 D．2n 【分析】先根据已知算式得出规律，再根据多项式次数的定义得出答案即可． 【解答】解：∵a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…， ∴a的指数依次为1，2，3，4，5，6，•••， b的指数依次为1，3，5，7，•••，（2×1﹣1＝1，2×2﹣1＝3，2×3﹣1＝7，•••）， ∴第n（n为正整数）个式子的次数是2n﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了代数式和多项式的次数定义，能根据已知算式得出规律是解此题的关键，注意：多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数． 2．有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为　 　． 【分析】首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n，然后将n＝10代入，即可求得答案． 【解答】解：∵第1个多项式为：a1+b2×1， 第2个多项式为：a2﹣b2×2， 第3个多项式为：a3+b2×3， 第4个多项式为：a4﹣b2×4， … ∴第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n， ∴第10个多项式为：a10﹣b20． 故答案为：a10﹣b20． 【点评】此题属于规律性题目．此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：an+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键． 3．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 　． 【分析】根据所给式子发现规律，即可解答． 【解答】解：x+1＝x+12， x2+4＝x2+22， x3+9＝x3+32， x4+16＝x4+42， x5+25＝x5+52， … 第n个式子是xn+n2． 故答案为：xn+n2． 【点评】本题考查了多项式，解决本题的关键是根据所给式子发现规律． 4．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是　 ． 【分析】由多项式的特点可知，该多项式是加减替换，a从最高次方向最低次方递减，b从最低次方到最高次方递增．由此可知第六项是﹣a3b5． 【解答】解：因为a的指数第一项为8，第二项为7，第三项为6… 所以第六项为1； 又由于两个字母指数的和为8，偶数项为负， 所以第6项为﹣a3b5． 故答案为：﹣a3b5． 【点评】此题考查的是对多项式的规律，通过对多项式的观察可得出答案． 5．已知多项式﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…，则第100项是　 　，第2007项是　 　，第n项是　 　． 【分析】各项的符号一负一正相隔出现，第奇数项含a，指数是系数的绝对值；第偶数项含b，指数是系数的绝对值，分情况讨论：当n为奇数；当n为偶数． 【解答】解：∵﹣a+2b2﹣3a3+4b4﹣5a5+…， ∴第100项是100b100，第2007项是﹣2007a2007， 分情况讨论： ①当n为奇数，第n项是﹣nan； ②当n为偶数，第n项是nbn． 故答案为：100b100；﹣2007a2007；﹣nan或nbn． 【点评】本题是一道规律型题目，考查了多项式的项以及通项公式，难度较大． 6．观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题： （1）它的第100项是什么？ （2）它的第n（n为正整数）项是什么？ （3）当x＝1时，求前2014项的和． 【分析】（1）根据多项式得出规律，确定出第100项即可； （2）写出得出的规律即可； （3）把x＝1代入多项式计算即可求出． 【解答】解：（1）根据题意得：第100项为﹣199x100； （2）根据题意得：第n项为（﹣1）n+1（2n﹣1）xn； （3）把x＝1代入得：1﹣3+5﹣7+…+4025﹣4027＝﹣2﹣2…﹣2（1007个﹣2相加）＝﹣2014． 【点评】此题考查了多项式，弄清题中规律是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$