精品解析： 四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷

2021-2022学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 是某三角形三边的长，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 4 3. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. a＝32，b＝42，c＝52 B. a＝b，∠C＝45° C. ∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D. a＝，b＝，c＝2 4. 观察下列实数，、、、，（相邻两个0之间的1的个数逐次增加1），其中无理数的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若点在x轴上，则点关于原点对称点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，下列各曲线中表示y是x函数的是（　　） A. B. C. D. 7. 若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（　　） A 0 B. 2 C. 0或2 D. ﹣2或0 8. 已知一次函数，随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A B. C. D. 9. 若实数a、b、c满足，且，则函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，，； ，，4，，； … 若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为（　　） A. B. C. D. 11. 将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5，则的值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为、、、，则等于（ ） A. 60 B. 80 C. 90 D. 120 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 化简：＝_____． 14. 已知a，b都是实数，，则的值为_______. 15. 已知点P(a，b)在第三象限，点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点P的坐标为____________． 16. 一个直角三角形面积为3，斜边长，则这个直角三角形的周长为_____． 17. 若，则_____． 18. 如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，M、N分别是、中点，点P是y轴上一个动点，当的值最小时，点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共90分） 19. 计算 20. 化简：． 21. 已知有理数a，b满足．求ab的值． 22. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，作出的图形并写出点的坐标． （2）作关于对y轴对称的，并写出点的坐标． 23. 在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称． （1）求的值； （2）将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式． 24. 中，，，，若，如图甲，则根据勾股定理，有，若是钝角三角形（是钝角），如图乙，请你类比勾股定理，猜想与的大小关系，并证明你的结论． 25. 下面是探究函数y＝的图象与性质的过程，请补充完成： （1）当x≥3时， ，当x＜3时， ； （2）画出该函数的图像； 列表： x … … y … … 描点，连线，得到该函数的图象： （3）结合函数图象，请写出该函数的两条性质． 26. （1）问题背景： 如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，连接MN，且∠MAN＝45°，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，可证△AMG≌△AMN，易得线段MN、BM、DN之间的数量关系为：　 　（直接填写）； （2）实践应用： 在平面直角坐标系中，边长为5的正方形OABC的两顶点分别在y轴、x轴的正半轴上，O在原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．如图2，设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论； （3）拓展研究： 如图3，将正方形改为长与宽不相等的矩形，且∠MAN＝∠CMN＝45°，请你直接写出线段MN、BM、DN之间的数量关系． 27. 已知，直线与相交于A，交y轴于B，交x轴于C，判断的形状，并证明你的结论． 28. 当m，n是正实数，且满足时，就称点为“完美点”． （1）任意写出两组完美点； （2）猜想“完美点”是否均共线，并证明你的猜想； （3）已知点与点M都在直线上，点B，C是“完美点”，且点B在线段上，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2021-2022学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】解：A. =2，故不符合题意； B. 是最简二次根式；符合题意 C. ，故不符合题意； D ，故不符合题意 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式． 2. 是某三角形三边的长，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 【详解】解：是三角形的三边， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 3. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. a＝32，b＝42，c＝52 B. a＝b，∠C＝45° C. ∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D. a＝，b＝，c＝2 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理及直角三角形的定义即可求解． 【详解】解：A、∵，，∴，不是直角三角形，故A不符合题意； B、 a＝b，∠C＝45°∴∠A=∠B=，不是直角三角形，故B不符合题意； C、∠A：∠B：∠C＝6：8：10，解得∠C=180°×，不是直角三角形，故C不符合题意； D、 ∵，∴是直角三角形，∠B是直角，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和等知识，掌握相关知识是解题关键． 4. 观察下列实数，、、、，（相邻两个0之间的1的个数逐次增加1），其中无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】是分数，不是无理数； 是整数，不是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，不是无理数； （相邻两个0之间的1的个数逐次增加1）是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数的个数为2； 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无限不循环小数叫无理数． 5. 若点在x轴上，则点关于原点对称点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查坐标轴点坐标的特征和关于原点对称点坐标变化规律（关于原点对称点，横坐标纵坐标都互为相反数），掌握相关知识是解题的关键． 根据在x轴上，可求，进而得点即可解答． 【详解】∵在x轴上， ∴， ∴， ∴ ∵关于原点对称点的点，横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点的坐标，在第四象限． 故选：D． 6. 如图，下列各曲线中表示y是x函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 【详解】解：A、作垂直x轴直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故A不符合题意； B、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B符合题意； C、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故C不符合题意； D、作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象可能有两个交点，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】：主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 7. 若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（　　） A. 0 B. 2 C. 0或2 D. ﹣2或0 【答案】A 【解析】 【分析】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值． 【详解】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数， ∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0， 解得：k＝0． 故选：A． 【点睛】此题考查一次函数的定义，注意一次项系数不为0是关键，难度一般． 8. 已知一次函数，随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和解一元一次不等式组，根据题意列出不等式组，求解即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数，函数值y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 9. 若实数a、b、c满足，且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，且，可得，进而判断的图象所经过的象限即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 函数的图象经过一、二、四象限， 故选C 【点睛】本题考查了一次函数的性质，判断出是解题的关键． 10. 将一组数，2，，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，，； ，，4，，； … 若2的位置记为，的位置记为，则这个数的位置记为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可． 【详解】解：这组数据可表示为：,… ∵， ∴为第4行，第3个数字． 故选：C． 【点睛】此题考查的是数字的变化规律以及二次根式的化简，找出其中的规律是解题的关键． 11. 将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接HF，直线HF与AD交于点P，根据正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5，设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为4x2，5x2，可得GF＝2x，根据折叠可得正方形ABCD的面积为24x2，进而求出FM，最后求得结果． 【详解】如图，连接HF，直线HF与AD交于点P， ∵正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5， 设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为4x2，5x2， ∴GF2＝4x2， ∴GF＝2x， ∴HF＝ ＝2x， 由折叠可知： 正方形ABCD的面积为：4x2+4×5x2＝24x2， ∴PM2＝24x2， ∴PM＝2x， ∴FM＝PH＝（PM﹣HF）＝（2x﹣2x）＝（﹣）x， ∴＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了剪纸问题，解决本题的关键是掌握对称的性质． 12. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为、、、，则等于（ ） A. 60 B. 80 C. 90 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解． 【详解】解：过F作AM的垂线交AM于D、连接PF， 设CP和AF的交点为T，EF和CM的交点为K， 根据正方形的性质可得∶ AB=BE， BC=BN， ∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBN=90°， 即∠ABC=∠EBN． 在△ABC和△EBD中， AB=EB，∠ABC=∠EBD， BC=BD ∴△ABC≌△EBD(SAS)， 同理可得：△FDA≌△ABC (SAS)， △FQA≌△ABC (SAS)， ∴=， ∵∠DFK+∠AFD=90°， ∠FAD+∠AFD=90° ∴∠DFK=∠FAD 在△FDK和△TCA中， ∠DFK=∠FAD，∠FDK=∠ACT， AC=FD ∴△FDK≌△TCA (AAS)， ∴=， ∵MN=QF，EN=QP， ∴MN-EN=QF-QP， 即PF=ME， ∵∠PFT+∠TFD=90°， ∠DFK+∠TFD =90°， ∴∠PFT =∠DFK， 又∵∠DFK=∠MEK， ∴∠PFT=∠MEK， 在△FPT和△MEK中， ∠PFT=∠MEK， PF=ME，∠FPT=∠EMK， ∴△FDK≌△TCA (SAS)， ∴S1+S3= =． ∴ = =×3 =5×12÷2×3 =90 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 化简：＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据二次根式的性质计算． 【详解】解： ＝5+5 ＝10． 故答案：10． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 14. 已知a，b都是实数，，则的值为_______. 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，负整数指数幂，熟练掌握相关性质和运算法则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ， ， 把代入，得， ， 故答案为：8． 15. 已知点P(a，b)在第三象限，点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点P的坐标为____________． 【答案】(-5，-3) 【解析】 【分析】根据第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，以及点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：∵点P（a，b）在第三象限， ∴a＜0，b＜0， 又∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5， ∴点P的横坐标为﹣5，纵坐标为﹣3， ∴点P的坐标是（﹣5，﹣3）． 故答案为：（﹣5，﹣3）． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 16. 一个直角三角形面积为3，斜边长，则这个直角三角形的周长为_____． 【答案】5+ 【解析】 【分析】设两直角边分别为a，b，根据面积为3得到，根据斜边长为可得，从而可得三角形周长． 【详解】解：设两直角边分别为a，b， ∵面积为3， ∴，即， ∵斜边长为， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴这个直角三角形的周长为5+， 故答案为：5+． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 17. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， 原式 ， 当时， 原式， 故答案为：． 18. 如图，直线与x轴、y轴交于点A、B，M、N分别是、的中点，点P是y轴上一个动点，当的值最小时，点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，根据中点，得到的坐标，求出点关于y轴的对称点的坐标，连接，根据两点之间线段最短，得到与轴的交点即为点，求出的解析式，即可． 【详解】解：∵，当时，，当时，， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴点关于y轴的对称点为， 连接， ∵点P是y轴上一个动点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 当时，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数，坐标与轴对称．解题的关键是掌握将军饮马模型，确定点的位置． 三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共90分） 19. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，以及负整数指数幂的性质，零指数幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 化简：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、加减运算以及完全平方公式的应用．首先利用完全平方公式计算，并化简二次根式，包括计算和．然后将所有化简后的项进行加减运算，得到最终答案． 【详解】解： ． 21. 已知有理数a，b满足．求ab的值． 【答案】 【解析】 【详解】∵， ∴． ∵a与b是有理数， ∴，5－2b＋a＝0． ∴，． ∴． 22. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，作出的图形并写出点的坐标． （2）作关于对y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示，； （2）如图所示，． 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移， （1）根据题意即可得到对应的，如图所示，进而得出点的坐标； （2）根据题意即可得到对应，如图所示，进而得出点的坐标． 【小问1详解】 解：把向上平移5个单位后，如图所示即所求， 点的坐标为； 【小问2详解】 作关于对y轴对称，如图所示即为所求， 点的坐标为． 23. 在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称． （1）求的值； （2）将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、一次函数的图象与性质及一次函数的平移变换，运用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意求得，代入代数式即可求出答案； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式，设直线平移后与射线的交点为D，过D作轴于点E，根据题意可知，，即将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据函数平移的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点关于原点对称， ∴， ∴； 【小问2详解】 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线为， 设直线平移后与射线的交点为D， 过D作轴于点E， ∵沿射线方向平移个单位， ∴， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度． ∴， 即． 24. 中，，，，若，如图甲，则根据勾股定理，有，若是钝角三角形（是钝角），如图乙，请你类比勾股定理，猜想与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理不仅可以用于求直角三角形的边长，而且还可以利用证明三边关系．类比勾股定理，作出高把三角形分成两个直角三角形，观察两个直角三角形有一个共同的直角边，利用勾股定理求出共同边的长，从而得到三边的关系． 【详解】解：如图乙，猜想：．理由如下： 作边上的高，设， 则：， 整理得：， ∵， ∴． 25. 下面是探究函数y＝的图象与性质的过程，请补充完成： （1）当x≥3时， ，当x＜3时， ； （2）画出该函数的图像； 列表： x … … y … … 描点，连线，得到该函数的图象： （3）结合函数图象，请写出该函数的两条性质． 【答案】（1）， ；（2）见解析；（3）函数图象经过一、二、四象限；函数的最小值是 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简函数解析式，进而写出函数解析式； （2）根据（1）的结论，列表即可，进而描点，连线画出函数图象； （3）通过观察函数图象经过的象限以及最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）当x≥3时， ，当x＜3时，； 故答案为：， （2）列表： x … 1 3 5 … y … 1 … 描点，连线，得到该函数的图象： （3）当x≥3时，函数y的值为常数；x＜3时，函数y随x的增大而减小；函数图象经过一、二、四象限；函数的最小值是等等，答案不唯一，写出两条即可． 【点睛】本题考查了分段函数的解析式，画函数图象，掌握作函数图像的基本步骤是解题的关键． 26. （1）问题背景： 如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，连接MN，且∠MAN＝45°，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，可证△AMG≌△AMN，易得线段MN、BM、DN之间的数量关系为：　 　（直接填写）； （2）实践应用： 在平面直角坐标系中，边长为5的正方形OABC的两顶点分别在y轴、x轴的正半轴上，O在原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．如图2，设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论； （3）拓展研究： 如图3，将正方形改为长与宽不相等的矩形，且∠MAN＝∠CMN＝45°，请你直接写出线段MN、BM、DN之间的数量关系． 【答案】（1）MN＝BM+DN；（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变；（3）MN2＝2BM2+2DN2 ，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得出DN＝BG，由全等的性质可得出MG＝MN，结合MG＝BM+BG即可得出MN＝BM+DN； （2）将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE，易证△MON≌△EON（SAS），利用全等三角形的性质可得出MN＝EN＝CN+AM，再利用三角形的周长公式结合正方形的边长，即可求出S的值； （3）将△ABM绕点O逆时针旋转90°，得到△AB′M′，则△AMN≌△AM′N，利用全等三角形的性质可得出M′N＝MN，由∠C＝90°，∠CMN＝45°可得出CM＝CN，设BM＝a，DN＝b，CM＝c，则AD＝a+c，CD＝b+c，进而可得出M′F＝a﹣b，NF＝b+a，在Rt△M′FN中，利用勾股定理可求出M′N2＝2a2+2b2，进而可得出MN2＝2BM2+2DN2． 【详解】解：（1）由旋转，可知：DN＝BG． ∵△AMG≌△AMN， ∴MG＝MN． ∵MG＝BM+BG＝BM+DN， ∴MN＝BM+DN． 故答案为MN＝BM+DN． （2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变． 证明：在图2中，将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE． 由旋转，可知：OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°． ∵直线OM的解析式为y＝x， ∴∠MON＝45°． ∵∠MOE＝90°， ∴∠EON＝45°． 在△MON和△EON中， ， ∴△MON≌△EON（SAS）， ∴MN＝EN＝CN+AM． ∴S＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝2AB＝10， ∴在旋转正方形OABC的过程中，P值不变． （3）MN2＝2BM2+2DN2．理由如下： 在图3中，将△ABM绕点O逆时针旋转90°，得到△AB′M′． 由（2）可知△AMN≌△AM′N， ∴M′N＝MN． ∵∠C＝90°，∠CMN＝45°， ∴CM＝CN． 设BM＝a，DN＝b，CM＝c，则AD＝a+c，CD＝b+c， ∴M′F＝AD﹣AB′＝AD﹣AB＝a+c﹣（b+c）＝a﹣b， NF＝DN+DF＝DN+B′M′＝DN+BM＝b+a． 在Rt△M′FN中，M′N2＝M′F2+NF2＝（a﹣b）2+（a+b）2＝2a2+2b2， ∴MN2＝2BM2+2DN2． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的周长、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用旋转及全等三角形的性质，找出MN=BM+DN；（2）利用全等三角形的性质，找出MN=EN=CN+AM；（3）通过构造直角三角形，利用勾股定理找出MN2=2BM2+2DN2． 27. 已知，直线与相交于A，交y轴于B，交x轴于C，判断的形状，并证明你的结论． 【答案】是等腰直角三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和勾股定理的逆定理，熟练掌握函数与方程的关系，解方程和方程组，勾股定理的逆定理判断直角三角形，是解决问题的关键． 将两直线联立组成关于x、y的方程组，求出两直线的交点坐标，再求出直线与y轴的交点坐标，x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理判断的形状即可． 【详解】解：是等腰直角三角形． 证明：联立， 解得． ∴． 在中， 当时，． ∴． 当时， ． ∴． ∴，，． ∴． ∴是等腰直角三角形． 28. 当m，n是正实数，且满足时，就称点为“完美点”． （1）任意写出两组完美点； （2）猜想“完美点”是否均共线，并证明你的猜想； （3）已知点与点M都在直线上，点B，C是“完美点”，且点B在线段上，若，，求的面积． 【答案】（1）点，点； （2）均共线，证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）把和分别代入，求出n的值，然后利用“完美点”的定义即可得出答案． （2）由，，除以n得：1=m，即，进而可得出即“完美点”P在直线上； （3）由（2）可知在直线上，点在直线上，求得直线为，进而求得，根据直线平行的性质从而证得直线与直线垂直，然后根据勾股定理求得的长，从而求得三角形的面积． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， 即 1， 所以点是“完美点”； 把代入得：， 解得： ， 即2， 所以点是“完美点”； 【小问2详解】 “完美点”均共线， 证明：∵，且m，n是正实数， ∴除以n得：1=m，即， ∴，即“完美点”P在直线上； 【小问3详解】 解：∵点B，C是“完美点”， ∴直线的解析式为， ∵点与点M都在直线上， 则， ∴直线的解析式为：， ∵点B在线段上， ∴， 解得：， ∴， ∵一、三象限的角平分线垂直于二、四象限的角平分线，而直线与直线平行，直线与直线平行， ∴直线与直线垂直， ∵点B是直线与直线的交点， ∴垂足是点B， ∵点C是“完美点”， ∴点C在直线上， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$