第2章 一元二次函数、方程和不等式单元知识整合-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

考点同步解读> 高中数学 必修 第一骨 RA& 单元知识整合 一、微专题妙总结 内涵阐释 知识融汇·方法总结 应用基本不等式,或分组后先部分应用基本不 1 利用基本不等式求最值的常见 微专题 等式,部分与部分之间又可以应用基本不等式 题型及求解技巧 求出最值. 1.拆--裂项拆项 若x.为正数,则(1+)第} 。例题2 裂项是指对分子的次数不低于分母次数 的分式进行整式分离一一分离成整式与“真分 (#)#}# 的最小值为 _. 式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行 料 (+)}(3)} 拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件 。例题1(2024,安徽合肥二中月考) ##)+(3-+4)+(+#) 十8(x>1)的最小值为 -1 ##2#<7}#### 解析 令2-8 -I ##×1#}# (2-1)+9-+1+9 则y -(x- -1 )-1 -4. 1)9 -1+2-2× 3十2-8,当且仅当x-1-9 -1 .即x一4时, 等号成立. 答案 过. -1 3.配凑--配式配系数,凑出定值 答黑 8. 有时为了挖掘出积或和为定值,常常需要 方法总续对于本题,还有如下解法:令 根据题设条件采取合理配式配系数的方法,使 +8(t+1)*+8 配好的代换式与待求值式相乘后可以应用基 x-1-t(t>0),则 -1 本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使 +2t+9++2>2×9+2-8,当且仅当 积式中的各项之和为定值 , o例题3 (2024,湖北黄冈中学单元测 1-3,即x一4时取等号. 试)设a→6>0,则2+ 的最小值 2.并--分组并项 a(a-6) 分组并项的目的是分组后各组可以单独 为 184 第二章> 一元二次函数、方程和不等式 已知ab0(满足使用基本不等式 解析 试)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z= 求最值的条件“一正”),则a+1 ab a(a-b) 为( . a(a-b)十 # D A.0 #]+(abo+)→2+2-4(依据待水式 C.2 解析 .*-3xy+42-z-0. 的结构特征添加一ab十ab配出定值),当且仅 '-2-3xy+4y. 又x,V,为正实数, 瞄 .2-3-x+4} 等号(满足“三相等”,即等号能够取得).故a②} ry + y 7 1_1 的最小值为4. ab a(a-b) 1.4y-3-1. (,7 签4. 用 当且仅当-4y,即x-2y时,等号成立, 4.“1”的代换 )) 例题4 (2024,山东省实验中学期中测 此时x+2y-z=2y+2y-(r2-3xy+ 试)设xo,y>0且x+2y-1,则+1的最 4y)-4y-2--2(y-1)+2. . '.当且仅当x-2,y-1,z-2时,x+2y- 小值为 :取得最大值,最大值为2 .x0,y0且x+2y-1. 解析 答案C 6. 上述方法的综合应用 +& 。例题6 (2024,江苏启东中学单元测 23+2 。=.2-3+2. ).) 试)已知x>1,求函数y=x+1+16 的最 当且仅当2且+2y=1, 小值. y) 解析方法一 一十 2 116 .1的最小值为3+2、2. 2 “,)) 3+2/②. 答案 -168,当且仅当-16. ,即u-4.x-2+③ 法要求的最小值,应构建某 u 时等号成立. 方法二 两个数(或式)的积为定值,因而需要对条件进 -x+116x 2 2十1 2 行必要的变形,有两种思路:①利用“1”的代换 1# 进行变形;②消去x,y中的任意一个变量. r十1 5.消元 16x ,即x-2十3时等号成立. 例题5 (2024,江西师大附中期中测 r2十1 85 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RJA乡 不等式证明与恒成立或有解问 微专题 题的常见题型及求解策略 上三个不等式的等号同时成立. 1.以不等式性质为工具的不等式证明问题 ()(十)(+) 。例题7(2024,西北工大附中月考)已 8y.-8. ryx 证明方法一(性质法)因为a>b>0. 当且仅当x一y一x时等号成立。 方法总结对于此类无附加条件的不等式 证明问题,应根据要证不等式的结构特征,合 期1神 理地构造并正确选用基本不等式或其变形式, ab 这也是证明轮换对称结构的不等式(用y换工 工换z,z换y后,代数式不变的式子称为轮换对 称式,其特征是x,v.是的地位一样)的常用思路。 3.以基本不等式为工具的有附加条件的 方法二(作差法)因为a>>0,c0. 不等式证明问题 所以b-a0,ab>0. 。例题9(2024,湖南长沙一中月考)设 #所以#(b#)→0## a.b.c均为正数,且a十b十c-1.求证 a6 #### 方法三(作商法) 因为a>b>0,c0 证明 (1) 由a?+>2ab,b?+c2>2bc d *+a>2ca得a?+b+c2ab十bc十ca(当且 b. 仅当a一b一c时,等号成立). 由题设得(a十b十c)^{②}-1,即a^{}+十^*}十 ####所## 2ab+2bc+2ac=1. 所以3(ab+bc+ca)<1. 2.以基本不等式为工具的无附加条件的 即ab+bc十ca1 3. 不等式证明问题 2 >2} 2+>20 。例题8(2024,湖北襄阳五中月考)已 & 知x>.0,:→0.求证:(+)· C ()({+)→8. 正明.x>0,y0x0. 时,等号成立. #{#{} ) b 186 第二章> 一元二次函数、方程和不等式 方法总结 (1)证明不等式可以顺证(从左 r.x.且x x,易知x0.x0.当x>0 到右),也可以逆证(从右到左),通常是从较复 时,原不等式恒成立,故x-1 -满足方程{} 杂的一边往较简单的一边证明 (2)对于三元轮换对称式,往往是通过拆 ax-1-0,代入解得a- 式、配式,两两应用基本不等式,然后运用叠加 答案 ss 或叠乘的方法证得. 4. 以不等式性质和基本不等式为工具的 6. 与恒成立相关的创新型问题 不等式证明问题 。例题12(2024,湖北武汉一中月考)已 。例题10 (2024,东北师大附中月考)已 知实数a,b,c满足a>b>c. #-#b-c-a 证明设a十b-x,b十c-y,a十c=z. 则x>0,v>0,z>0,且a-(a十b+c) 2 2 1 - o对任意的a,b.c恒成立,求p 回 b-Cc- 所以求证式的左边-十-十-十 的值. 2x 2y #4-(+)(+)(+ (3)从另一角度推广,自然数n,n,满足 ###2++-)-# 任意a,b,c恒成立? 解析(1)因为a>b>c, x-工-,即x-y-z,即a-b-c yx'π2y 所以a-b>0,b-c>0,a-c>0. ##以(#(H一)# 时,等号成立. 方法总结 化归与转化思想,就是通过某种 -##)(a-)十(6-] 变换,把复杂问题转化为简单问题,把陌生问 题转化为熟知、易解的问题,将未知化归为已 知的思想方法,最终使问题得以解决, b-.a-b 5.转化为对方程根的讨论的恒成立求参 -4. 问题 当且仅当- b-ca-# ,即a-b-b一c,即 。例题11(2024,陕西西安铁一中单元 测试)设aR,若x0时,[(a-1)x-1](- a十c一26时,等号成立, ax-1)0恒成立,则a-. #-#b-#--#--# 解析 显然a一1不能使原不等式对x>0 恒成立,故a≠1,且当x-1 -bb-c- --,a≠1时,原不 (2)1 等式成立,对于xc一ax-1一0,设其两个根为 87 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RJA& ##<()[(a-6)十(6-)]恒成立, 由(1)知(+)[(a-6)十(6-)] 恒成立. 7.不等式有解问题 的最小值为4,所以4 D例题13 又1,且,N,所以-2或3. (2024,北京五十七中阶段测 试)已知关于x的不等式nxr-6x十3m<0在 恒成立, x 0<x2上有解,则实数n的取值范围是 昂副 。 ). #即#^(”#)[(a-b)+(6-)]恒 #B.{1 P2# A.mm③ 成立, #而##)[(-一b)十(6一)] C.mm③ D.# 121# #-m+nm(6b6-).n(a-b) 料 解析 a-b b-C >m+n+2m. 6 当且仅当m(b-c)n(a-b) 设} - -C 6x6 一.因为0<x<2.,所以x+ -3 即 m(一c)一n(a-b)时,等号成立 所以p m+n+2vm 3 23,当且仅当x-3时取等号,则y< 即(vm十vn), 63,故m<3. 即<vm十n. 2③ 所以当自然数m,n,力满足p n十n 答 A 二、高频考点整合 高频考点 真题剖析·能力提升 高频考点1 。真题1(2022,全国新高考II卷)(多 利用基本不等式求最值问题 选)若x,y满足x{}+y一xy=1,则( ). 学科素养研析 A.x十y<1 B.x+y-2 知识要点 基本不等式及其应用 C.+<2 D.r*十y>1 核心素养 数学运算、逻辑推理 解析方法一 对于A,B,由^+-xy 命题意图 考查利用基本不等式求最值 考查级别 水平一、水平一 +y) 4,所以-2x+y2,所以A不正确, 188 第二章> 一元二次函数、方程和不等式 B正确. 考查一元二次不等式的解集求法和集 对于C,D,由x+-xy=1,得^+y} 命题意图 合间的运算关系 考查级别 ,当且仅当_-y时取等号, 水平一,水平一 。真题3(2023,全国新课标I卷)已知 所以x^}+y<2,所以C正确,D不正确 方法二 对于多选题,最常用的还有特殊 集合M-(-2,-1,0,1,2 ,N={xl- 6>0 ,则MON-( 值排除法,如取x-y-l,满足+y-xy ). A. -2,-1,0,1 B.(0,1,2) C.-2 D.(2 三 解析由r*-x-6>0得x>3或x<-2, '.N-xx3或x-2,因此M$ 答案 BC N-(-2. 。真题2 (2021,天津卷)若a>0,6>0 答案 C ⊙真题4 (2020,全国I卷)设集合A一 x-4<0 ,B-xl2x+a>0,且AB= x-2<x1,则a-( ). {#_## B.-2 A.-4 C.2 D.4 22,当且仅当 即a一6-/②时取等号, 解析易知A-{xl-2<x<2,B= #{$4<-),因为AnB-(xl-<<1),所 答案22. 答案B 解题略 在利用基本不等式求两数和或 解题策略解不含参数的一元二次不等式 积的最值时,若“一正二定三相等”中的条件不 的一般步骤 满足,则需要对条件作出调整和转化,使其满 (1)将不等式变形,使不等号一边为0,另 足上述条件,转化的方法有添项、拆项、凑项 一边二次项系数大于0,即ar^*十bx十c>0( 变号等: 0)(a>0)或ar+bx+c0(<0)(a>0). 高频考点2 一元二次不等式的解集问题 (2)计算对应方程根的判别式,求出相应 学科素养研析 的一元二次方程的实数根,或根据判别式说明 知识要点 一元二次不等式的解集、集合间的运算 方程没有实数根. 核心素养 数学运算、逻辑推理 (3)根据函数图象写出不等式的解集, 89 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 RJA& 三、易错考点归纳 纠错笔记 答卷统计·误区诊新 不等式恒成立时忽略最高次项 求最值时忽视基本不等式应用 易错点 易错点 2 系数的符号特征 的前提条件 典例1(2024,西北工大附中单元测 o典例2 (2024,江西九江一中单元测 试)(失分率:42%)要使函数y=mr②}十mx+ 试)(失分率;45%)已知0<x< 1 (n-1)的值恒为负值,则的取值范围为 2x(5一3x)的最大值为 错解 ·. .2x0,5-3x0. 错解 函数y-mr2十mx十(m-1)的值恒 '.y=2(5-3x)=2[ (5-3)] 为负值,即不等式mx2十mx十(m-1)<0对一 2(+53-(- (52)}) .当且仅当x-5一 [m<0. 切实数x都成立,于是 3x,即-时,等号成立,此时{ △-n?-4m(m-1)0. 2 解得n<0. 错因分析只有一元二次不等式才有相应 错因分析 判别式的研究,本题中的函数由于最高次项系 错解中,不等式右边不是常数, 数含有参数,可能不是二次函数,因此必须讨 不符合基本不等式求最值的条件:和或积为 论m的取值,上述错解中直接默认函数为二次 定值. 函数而采用判别式处理导致漏解 正解 正解mm<0. 解析函数y=mr2十mx十(m-1)的值恒 .2x0,5-3x0. 为负值,即不等式mx*十mx十(m-1) 0对一 2c(5-3x)-23x·(5-3)]* 切实数1都成立,于是: ①当n-0时,-1~0恒成立; ②当n关0时,要使其恒成立, [m0. 符合题 则有 解得m<0. △-m②-4m(m-1)0, 综上,m的取值范围为mm 0. 190