江苏省盐城市滨海县明达中学2024-2025学年高三上学期第二次阶段检测数学试卷

滨海县明达中学高三年级第二次阶段检测 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知复数，则的虚部是 （     ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 （     ） A． B． C．或 D．或 4．已知向量，，若，则实数的值为 （     ） A．-2 B．1或2 C． D． 5．中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为 （     ） A． B． C． D． 6．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为 （     ） A． B． C． D． 7．角的终边上有一点，则的值为 （     ） A． B． C． D． 8．已知函数f（x）＝x2﹣2x+k，若对于任意的实数x1，x2，x3，x4∈[1，2]时，f（x1）+f（x2）+f（x3）＞f（x4）恒成立，则实数k的取值范围为 （     ） A．（，+∞） B．（，+∞） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是 （     ） A．命题“”的否定是“” B．若正数满足，则 C．函数的最小正周期是 D．半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于 10．若数列为递增数列，则的通项公式可以为 （     ） A． B． C． D． 11．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是 （     ） A． B．关于对称 C．关于对称 D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．不等式的解集为 . 13．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 14．若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围是 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题13分）已知向量. (1)若，求的值； (2)若向量，求的值. 16．(本小题15分）的内角A，B，C的对边分别为，已知. （1）求B； （2）若的周长为的面积. 17．(本小题15分）已知函数， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 18．(本小题17分）已知数列的首项，前n项和为，且数列是以为公差的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，，数列的前n项和为， ①求证：数列为等比数列， ②若存在整数，使得，其中为常数，且，求的所有可能值. 19．(本小题17分）已知函数，，（其中是自然对数的底数）. (1)若，求函数在上的最大值. (2)若，关于x的方程有且仅有一个根，求实数k的取值范围. (3)若对任意的、，，不等式都成立，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滨海县明达中学高三年级第二次阶段检测 数 学 答 案 一、单选题 1．已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据除法运算求出，根据虚部的定义可得答案. 【详解】， 所以的虚部是. 故选：C 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的运算法则求即可得结果. 【详解】因为，，所以. 故选：B 3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由是的充分不必要条件即可得出的范围. 【详解】解得：， 是的充分不必要条件， 所以且等号不同时成立，解得：. 故选：A 4．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．-2 B．1或2 C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积和模的计算求出. 【详解】∵，∴，解得. 故选：D. 5．中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，， 则第层的小球个数： ． 故选：. 6．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为奇函数可将不等式化为，再根据单调性可得，再根据的单调性可求出最小值. 【详解】因为是上的奇函数， 所以由得， 又因为在上单调递减，所以，解得， 即. 因为在单调递增， 所以在上的最小值为. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是将不等式化为，利用单调性解出. 7．角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据终边上的点求三角函数，再利用诱导公式和两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】由题意角的终边上有一点，则， 故， 故 ， 故选：A 8．已知函数f（x）＝x2﹣2x+k，若对于任意的实数x1，x2，x3，x4∈[1，2]时，f（x1）+f（x2）+f（x3）＞f（x4）恒成立，则实数k的取值范围为（    ） A．（，+∞） B．（，+∞） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，） 【答案】B 【分析】由于，分析对称轴，得到，转化f（x1）+f（x2）+f（x3）＞f（x4）恒成立，为，即得解. 【详解】由于 ， 当，， 对于任意的实数x1，x2，x3，x4∈[1，2]时，f（x1）+f（x2）+f（x3）＞f（x4）恒成立， 即： 即： 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的恒成立问题，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．若正数满足，则 C．函数的最小正周期是 D．半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于 【答案】BCD 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；利用基本不等式可判断B；利用三角函数的周期公式可判断C；利用扇形的弧长公式可判断D. 【详解】命题“”的否定是“”，故A错误； ，当且仅当时，等号成立，故B正确； 函数的最小正周期，故C正确； 半径为1，圆心角为的扇形的弧长为，故D正确. 故选：BCD. 10．若数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：， 所以，所以为递增数列，故A正确； 对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确； 对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确； 故选：ABD 11．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是（    ） A． B．关于对称 C．关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】利用奇偶性得到恒等式，再利用赋值思想即可判断选项. 【详解】因为为奇函数，所以则可推出关于对称，即故A正确，B错误； 因为为偶函数，所以则关于对称，故C正确；由令得，， 由令得，， 所以，所以， 又因为，则，所以，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解. 【详解】根据题意，由，得，即，解得， 因此不等式的解集为. 故答案为：. 13．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数转化为恒成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则. 故答案为： 14．若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意，对函数进行求导，将转化为方程的两个正根，利用韦达定理及判别式得到，，结合对数的运算性质得到的表达式，解出不等式即可. 【详解】因为， 所以函数的定义域为， 可得， 若是函数的两个极值点， 则方程，有两个不同的正根， 易得， 且， 解得， 所以 ， 解得，结合， 故实数的取值范围是， 故答案为：. 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 四、解答题 15．已知向量. (1)若，求的值； (2)若向量，求的值. 【答案】(1)；(2). 【分析】(1) 由可得，利用数量积的坐标运算列方程求解； (2)由可得，将变形为，代入计算可得结果. 【详解】(1)由可得， 即， 则； (2)由题意可得  即， ∴， . 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题. 16．的内角A，B，C的对边分别为，已知. （I）求B； （II）若的周长为的面积. 【答案】（Ⅰ）  (Ⅱ) 【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出B的值； （Ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【详解】（Ⅰ）, ， , ， . , . (Ⅱ)由余弦定理得， ， ， ， . 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用． 17．已知函数， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对求导，求出的值，再由点斜式方程即可求出答案. （2）对求导，令得，或，讨论的大小，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，∴，，， ∴函数在点处的切线方程为：，即. （2）∵， ∴， 由得，或， ∴当时，，函数在上单调递增， 当时，时，，时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数单调增区间为，当时，函数单调增区为，单调减区为. 18．已知数列的首项，前n项和为，且数列是以为公差的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，，数列的前n项和为， ①求证：数列为等比数列， ②若存在整数，使得，其中为常数，且，求的所有可能值. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②可能值为，. 【分析】（1）由是等差数列可求出，由可求出； （2）①利用错位相减法求出，即可求出的通项公式得出结论； ②等式整理可得，构造，讨论的变化情况可求解. 【详解】（1）∵，∴，∴，即， 当时，，∴， 当时，符合上式，∴. （2）①证明：∵，∴， ∴， 则， 两式相减，可整理得，∴， ∴数列是以4为首项，2为公比的等比数列. ②由①可知，，且由（1）知， 代入，可得， 整理得， 即，设，则， 则. ∵，∴当时，，即， ∵，且，∴， ∴或，即，或3. 当，时，，当，时，. 故的所有可能值为，. 19．已知函数，，（其中是自然对数的底数）. (1)若，求函数在上的最大值. (2)若，关于x的方程有且仅有一个根，求实数k的取值范围. (3)若对任意的、，，不等式都成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）若，则，利用导数法可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合又，可得函数在上的最大值； （2）若，关于的方程有且仅有一个根，即有且只有一个根，令，可得，进而可得当时，有且只有一个根． （3）设，因为在，单调递增，故原不等式等价于在、，，且恒成立，当恒成立时，；当恒成立时，，综合讨论结果，可得实数的取值范围． 【详解】解：（1）若，则， ， 时，，时，， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又， 故函数的最大值为． （2）由题意得：有且只有一个根， 令，则 故在上单调递减，上单调递增，上单调递减， 所以， 因为在单调递减，且函数值恒为正，又当时，， 所以当或时，有且只有一个根． 即 （3）设，因为在，单调递增， 故原不等式等价于在、，，且恒成立， 所以在、，，且恒成立， 即，在、，且恒成立， 则函数和都在单调递增， 则有，在，恒成立， 当恒成立时，因为在单调递减， 所以的最大值为，所以； 当恒成立时，因为在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为，所以， 综上：． 【点睛】本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$