精品解析： 北京市顺义区仁和中学2024-2025学年九年级 上学期月考数学试卷（10月份）+答案解析

2024-2025学年北京市顺义区仁和中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，3cm，6cm C. 2cm，4cm，8cm，8cm D. 3cm，4cm，5cm，10cm 3. 如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 7. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 如果，那么______． 10. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为________． 11. 若点B是线段的黄金分割点（），，则的长为__________． 12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边DF离地面的高度，，则树高为______． 13. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 14. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为_____． 15. 如图，小明借助太阳光线测量树高．在早上8时小明测得树的影长为，下午3时又测得该树的影长为，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为______． 16. 如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则___________． 三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，相交于的点，且．求证： ． 18. 线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 19. 如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有和，求证：． 20. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 22. 为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度． 23. 如图，正方形中，M为上一点，F是的中点，，垂足为F，交的延长线于点E，交于点N． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，在中，．在BC的延长线上取一点B，使，连接AE，AE与CD交于点F． （1）求证：； （2）求DF的长． 25. 如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 26. 如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且. （1）求证：； （2）如果，，求的值. 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知，．点从点开始沿边向终点以的速度移动；点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若、同时出发，运动时间为． （1）用含t的代数式分别表示线段和的长； （2）当t为何值时，与相似？ 28. 如图，在等边△中，作，边CD、BD交于点D，连接AD. （1）请直接写出的度数； （2）求的度数； （3）用等式表示线段AC、BD、CD三者之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市顺义区仁和中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 2. 下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，3cm，6cm C. 2cm，4cm，8cm，8cm D. 3cm，4cm，5cm，10cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例线段的性质，让最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，看它们的积是否相等即得答案. 【详解】解：A、∵，∴四条线段不成比例； B、∵，∴四条线段成比例； C、∵，∴四条线段不成比例； D、∵，∴四条线段不成比例； 故选：B. 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是关键. 3. 如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵直线， ， ， ， ， 故选：B． 4. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案． 【详解】解∵，， ， ∵， ， ， 故选：A． 5. 如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故A，B不符合题意； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故D不符合题意． 当时，不能判定，故C符合题意． 故选：C． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果. 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴△DEF∽△BAF． ∵DE：EC=3：2， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方. 7. 下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的三边对应成比例成为解题的关键． 先求出题干三角形的三边长的比，然后求得各选项三边长的比并进行比较即可解答． 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为； A．三角形三边为与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B．三角形三边与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C．三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． 8. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则： ， 解得：， 即蜡烛火焰的高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，将此性质逆运用，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了比例的意义和基本性质．解答此题的关键是比例基本性质的逆运用． 10. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 11. 若点B是线段的黄金分割点（），，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边DF离地面的高度，，则树高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， ， ∵，，，， ， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 14. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由，可得出，进而得出，解出即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 15. 如图，小明借助太阳光线测量树高．在早上8时小明测得树的影长为，下午3时又测得该树的影长为，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据题意作出相应的图，然后可根据条件得到，最后利用相似比即可得解． 【详解】解：根据题意作图，，，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题关键． 16. 如图是的中线，E是上一点，且，的延长线交于点F，若，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，过点D作，交于点M，证明 推出，再证明推出 ，从而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】 证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】略 18. 线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 【答案】（1）；（2）3． 【解析】 【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案； （2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）设，则，，， 由得：，解得， 所以，，， 所以． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 19. 如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有和，求证：． 【答案】 证明：根据网格可知： 三边的长分别为：，，， 三边的长分别为：，，， ∵， ∴． 【解析】 【分析】分别计算两个三角形三条边的长，再根据三边成比例的两三角形相似可得结论． 【详解】略 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定方法是解决此题的关键．注意：三边对应成比例的两个三角形相似． 20. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 【答案】的长为9． 【解析】 【分析】根据已知条件证明，得到求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 故的长为9． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解． 21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1） 证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△CBD． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用相似三角形的性质证明CD2=AD•DB，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ACD∽△CBD， ∴＝， ∴CD2＝AD•DB， ∵AD＝3，BD＝2， ∴CD2＝6， ∵CD＞0， ∴CD＝． 【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 22. 为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度． 【答案】33米 【解析】 【分析】根据镜面反射的性质求出△ABC∽△EDC，再根据对应边的比相等求得答案． 【详解】解：根据题意，易得∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， 则△ABC∽△EDC， 所以＝，即＝， 解得：AB＝33， 答：建筑物AB的高度为33m． 【点睛】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答． 23. 如图，正方形中，M为上一点，F是的中点，，垂足为F，交的延长线于点E，交于点N． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 24. 如图，在中，．在BC的延长线上取一点B，使，连接AE，AE与CD交于点F． （1）求证：； （2）求DF的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， ∴； （2）6 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，从而得出，即证明； （2）由平行四边形的性质可得出，，即得出，再根据相似三角形的性质可得出，即，最后结合，即可求出DF的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即． ∵， ∴，即． ∵, ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键． 25. 如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等角的余角相等得到，又由即可得到； （2）由勾股定理求得，得到，由得到，则，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26. 如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且. （1）求证：； （2）如果，，求的值. 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角相等可得，又，等量代换可得，再结合公共角，即可证明； （2）根据（1）的结论，列出比例式代入数值计算可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知，．点从点开始沿边向终点以的速度移动；点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若、同时出发，运动时间为． （1）用含t的代数式分别表示线段和的长； （2）当t为何值时，与相似？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理列式求出，再表示出和； （2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， 点的速度是每秒1个单位，点的速度是每秒1个单位， ，； 【小问2详解】 ①是直角时，， ， 即， 解得，舍去； ②是直角时，， ， 即， 解得， 综上所述，时，与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键． 28. 如图，在等边△中，作，边CD、BD交于点D，连接AD. （1）请直接写出的度数； （2）求的度数； （3）用等式表示线段AC、BD、CD三者之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）60°； （2）； （3）. 答案一：线段AC、BD、CD三者之间的数量关系为. 证明：如图，延长CD到点E，使，连接AE. ∵， ∴. ∵， ∴. 在△ADE和△ADB中， ∴△ADE≌△ADB. ∴，. ∵， ∴，. ∴. ∴. 另一种证法：延长BD到点E，使，连接AE. 答案二：线段AC、BD、CD三者之间的数量关系为. 证明：如图，在D C上截取，连接BE，过点A作AF⊥CD于点F. 可证△ADB≌△CEB，可得， ，. ，. ，. 【解析】 【分析】（1）设AB与CD的交点为O，有，，根据三角形内角和定理可得:==60°； （2）有两角相等得△AOC∽△DOB，所以，且夹角相等，再得△AOD∽△COB，从而求得. （3）现由SAS证明△ADE≌△ADB，再证明是等腰直角三角形即可解答. 【详解】（1）； （2）设AB与CD的交点为O. ∵，， ∴△AOC∽△DOB. ∴. ∵， ∴△AOD∽△COB. ∴. （3）略 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质的综合运用，直角三角形的判定、勾股定理，解答关键是分析题意，找出要求问题需要的条件，合理选择定理，找准对应边、角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $