4.5整式的加减（12大题型提分练）（题型专练）数学浙教版2024七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第4章 代数式》 4.5 整式的加减 知识点一 去括号 ◆1、去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. ◆2、方法总结： (1)去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的符号一起去掉． (2)去括号时，首先要弄清括号前是“＋”号还是“－”号． (3)注意法则中的“都”字，变号时，各项都变号；不变号时，各项都不变号． (4)当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． (5)出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． ◆3、两点说明： ①去括号法则是根据乘法分配律推出的； ②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． ◆4、教材延伸：添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号， 添括号时，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 知识点二 整式的加减 ◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. ◆2、整式的加减步骤及注意问题： （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． ◆3、整式加减的应用类型： 应用类型 方 法 直接的整式加减 实质是合并同类项，若有括号，则先去括号再合并同类项． 间接的整式加减 求整式的和差时，先用括号将每一个整式括起来，再用加运算符号连接． 化简求值 求多项式的值时，一般先化简，再把字母的值代入化简后的式子求值． 题型一 去括号与添括号 解题技巧提炼 1、按照去括号法则即可解答.括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. 2、掌握添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号是解题的关键． 1．将下列各式去括号： （1）（a﹣b）﹣（c﹣d）＝　 　； （2）﹣（a﹣b）﹣（c﹣d）＝　 　； （3）（a+b）﹣3（c﹣d）＝　 　． 【分析】（1）直接利用去括号法则得出答案； （2）直接利用去括号法则得出答案； （3）直接利用去括号法则得出答案． 【解答】解：（1）（a﹣b）﹣（c﹣d）＝a﹣b﹣c+d； （2）﹣（a﹣b）﹣（c﹣d）＝﹣a+b﹣c+d； （3）（a+b）﹣3（c﹣d）＝a+b﹣3c+3d． 故答案为：（1）a﹣b﹣c+d；（2）﹣a+b﹣c+d；（3）a+b﹣3c+3d． 【点评】此题主要考查了去括号，正确掌握去括号法则是解题关键． 2．去括号： （1）﹣（x﹣y）＝　 ； （2）m﹣（n﹣p﹣q）＝　 　； （3）（x﹣y）﹣（a+b）＝　 ； （4）（4a﹣6b）＝　 　； （5）﹣[（﹣a+b）﹣c]＝　 　． 【分析】根据去括号的方法进行解答即可． 【解答】解：（1）﹣（x﹣y）＝﹣x+y； 故答案为：﹣x+y； （2）m﹣（n﹣p﹣q）＝m﹣n+p+q； 故答案为：m﹣n+p+q； （3）（x﹣y）﹣（a+b）＝x﹣y﹣a﹣b； 故答案为：x﹣y﹣a﹣b； （4）（4a﹣6b）＝﹣2a+3b； 故答案为：﹣2a+3b； （5）﹣[（﹣a+b）﹣c] ＝﹣（﹣a+b﹣c） ＝a﹣b+c． 故答案为：a﹣b+c． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 3．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验． （1）a+b﹣c＝a+　 　； （2）a﹣b+c＝a﹣　 　； （3）a+b﹣c＝a﹣　 　； （4）a+b+c＝a﹣　 　． 【分析】（1）直接利用添括号法则得出答案； （2）直接利用添括号法则得出答案； （3）直接利用添括号法则得出答案； （4）直接利用添括号法则得出答案． 【解答】解：（1）a+b﹣c＝a+（b﹣c）； （2）a﹣b+c＝a﹣（b﹣c）； （3）a+b﹣c＝a﹣（﹣b+c）； （4）a+b+c＝a﹣（﹣b﹣c）． 故答案为：（1）（b﹣c）；（2）（b﹣c）；（3）（﹣b+c）；（4）（﹣b﹣c）． 【点评】此题主要考查了添括号法则，正确掌握添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号是解题关键． 4．在下列各式的括号内填上适当的项： （1）a﹣b﹣c+d＝a+　 　＝﹣b﹣　 　； （2）（﹣a+b+c）（a+b+c）＝[b﹣　 　]•[b+　 　]； （3）（a﹣b﹣c﹣d）（a﹣b+c+d）＝[（a﹣d）+　 　][（a+d）﹣　 　]． 【分析】对于a﹣b﹣c+d＝a+（ ），所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，据此写出括号里的式子；对于其余几个式子，所添括号前面是“﹣”号的，括到括号里的各项都改变符号，据此进行填空． 【解答】解：根据添括号法则可得： （1）a﹣b﹣c+d＝a+（d﹣b﹣c）＝﹣b﹣（c﹣a﹣d）； 故答案为：（d﹣b﹣c），（c﹣a﹣d）； （2）（﹣a+b+c）（a+b+c）＝[b﹣（a﹣c）]•[b+（a+c）]； 故答案为：（a﹣c），（a+c）； （3）（a﹣b﹣c﹣d）（a﹣b+c+d）＝[（a﹣d）+（﹣b﹣c）][（a+d）﹣（b﹣c）]． 故答案为：（﹣b﹣c），（b﹣c）． 【点评】本题考查的是一道关于添括号的题目，解题的关键是掌握添括号时符号的变化． 题型二 去括号添括号判断正误 解题技巧提炼 主要是考查了去括号与添括号，熟练掌握运算法则是解本题的关键，添括号是否正确可以用去括号来检查． 1．（2023秋•台江区期中）下列各式中去括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝a﹣b B．﹣（﹣a﹣b）＝a﹣b C．a2+2（a﹣2b）＝a2+2a﹣2b D．a﹣2（a﹣2b）＝a2﹣2a+4b 【分析】根据去括号法则解答即可． 【解答】解：A、﹣（a﹣b）＝a+b，原计算错误，故此选项不符合题意； B、﹣（﹣a﹣b）＝a+b，原计算错误，故此选项不符合题意； C、a2+2（a﹣2b）＝a2+2a﹣4b，原计算错误，故此选项不符合题意； D、a﹣2（a﹣2b）＝a2﹣2a+4b，原计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了去括号，解题的关键是掌握去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 2．（2023秋•爱辉区校级期中）下列各式中，去括号正确的是（　　） A．a+（2b−3c+d）＝a−2b+3c−d B．a−（2b−3c+d）＝a−2b−3c+d C．a−（2b−3c+d）＝a−2b+3c−d D．a+（2b﹣3c+d）＝a−2b−3c+d 【分析】根据去括号法则解决此题． 【解答】解：A．a+（2b−3c+d）＝a−2b+3c−d＝a+2b﹣3c+d，故A不符合题意． B．a−（2b−3c+d）＝a−2b+3c﹣d，故B不符合题意． C．a−（2b−3c+d）＝a−2b+3c−d，故C符合题意． D．a+（2b﹣3c+d）＝a+2b−3c+d，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小． 3．下列各式，去括号添括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b B．2a+3b＝﹣（2a﹣3b） C．2（x﹣4）＝2x﹣4 D．（am﹣bn）﹣（an﹣bm）＝（am﹣an）+（bm﹣bn） 【分析】原式利用去括号与添括号法则计算即可． 【解答】解：A、原式＝﹣a+b，不符合题意； B、原式＝﹣（﹣2a﹣3b），不符合题意； C、原式＝2x﹣8，不符合题意； D、原式＝am﹣bn﹣an+bm＝（am﹣an）+（bm﹣bn），符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了去括号与添括号，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．下列各式中，去括号结果正确的个数是（　　） ①2x2﹣（﹣2x+y）＝2x2+2x+y； ②7a2﹣[3b﹣（a﹣2c）﹣d]＝7a2﹣3b+a﹣2c+d； ③2xy2﹣3（﹣x+y）＝2xy2+3x﹣y； ④﹣（m﹣2n）﹣（﹣2m2+3n2）＝﹣m+2n+2m2﹣3n2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】括号前为正号，去掉括号后，各项不变，括号前为符号，去掉括号后，各项变号；接下来将去括号后的结果与各个选项逐一进行比较，即可得到答案． 【解答】解：2x2﹣（﹣2x+y）＝2x2+2x﹣y，故①错，不符合题意； 7a2﹣[3b﹣（a﹣2c）﹣d]＝7a2﹣3b+a﹣2c+d，故②对，符合题意； 2xy2﹣3（﹣x+y）＝2xy2+3x﹣3y，故③错，不符合题意； ﹣（m﹣2n）﹣（﹣2m2+3n2）＝﹣m+2n+2m2﹣3n2.故④对，不符合题意． 共有2个． 故选：B． 【点评】本题考查的是去括号的知识，熟记去括号法则是解题的关键． 5．（2023秋•丰宁县期中）下列各式中，去括号或添括号正确的是（　　） A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c B．a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x﹣2y﹣1） C．﹣2x﹣y﹣a+1＝﹣（2x+y）﹣（a﹣1） D．3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x﹣2x+1 【分析】根据整式的去括号、添括号法则逐项判断即可得． 【解答】解：A、a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a+b﹣c，则此项不符合题意； B、a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x+2y﹣1），则此项不符合题意； C、﹣2x﹣y﹣a+1＝﹣（2x+y）﹣（a﹣1），则此项符合题意； D、3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x+（2x﹣1）＝3x﹣5x+2x﹣1，则此项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了整式的去括号、添括号，掌握整式的去括号、添括号法则是关键． 题型三 利用去括号进行化简 解题技巧提炼 先对式子进行去括号，再合并同类项，有时还要用到添括号.在计算时要注意： 1、当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． 2、出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． 1．去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【分析】（1）先去掉括号，再找出同类项进行合并即可； （2）先把4与括号中的每一项分别进行相乘，再去掉括号，然后合并同类项即可； 【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）＝3a+1.5b﹣7a+2b＝﹣4a+3.5b； （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）＝8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12＝﹣5x2+5y2+12； 【点评】此题考查了去括号和合并同类项，根据去括号法则若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号和合并同类项法则进行解答是解题的关键． 2．先去括号，再合并同类项 （1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b） （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1） 【分析】（1）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； 【解答】解：（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）＝4b﹣6a+6a﹣9b＝﹣5b； （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）＝4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1＝﹣ab+1． 【点评】本题考查了去括号与添括号，合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号． 3．去括号，合并同类项： （1）（x﹣2y）﹣（y﹣3x）； （2）． 【分析】去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项得法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【解答】解：（1）（x﹣2y）﹣（y﹣3x）＝x﹣2y﹣y+3x＝4x﹣3y； （2）原式＝a2a+1． 【点评】解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序． 4．去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 【分析】（1）先去掉括号，再找出同类项进行合并即可； （2）先把4与括号中的每一项分别进行相乘，再去掉括号，然后合并同类项即可； 【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）＝3a+1.5b﹣7a+2b＝﹣4a+3.5b； （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）＝8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12＝﹣5x2+5y2+12； 【点评】此题考查了去括号和合并同类项，根据去括号法则若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号和合并同类项法则进行解答是解题的关键． 5．先去括号，再合并同类项； （1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2） （2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2） （3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）] （4）（a+b）2（a+b）（a+b）2+（﹣3）2（a+b）． 【分析】根据去括号的方法，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，再计算即可． 【解答】解：（1）原式＝3x2+4﹣5x3﹣x3+3﹣3x2 ＝﹣6x3+7； （2）原式＝3x2﹣xy﹣2y2﹣2x2﹣2xy+4y2 ＝x2﹣3xy+2y2； （3）原式＝2x﹣2x﹣6y+3x﹣6y ＝3x﹣12y； （4）原式（a+b）（a+b）2+9（a+b） （a+b）2（a+b）． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小． 题型四 利用整式的加减计算 解题技巧提炼 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. 1．（2023春•昌平区期中）已知A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，则A+B的结果为（　　） A．2x2﹣x﹣1 B．5x2+2x﹣9 C．x2﹣1 D．4x2﹣x﹣1 【分析】根据整式的加减计算法则求解即可． 【解答】解：∵A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4， ∴A+B＝3x2+x﹣5+（﹣x﹣2x2+4） ＝3x2+x﹣5﹣x﹣2x2+4 ＝x2﹣1， 故选：C． 【点评】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． 2．（2023秋•德城区期末）老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：﹣3x﹣1＝x2﹣5x，则所捂的二次三项式为（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2﹣8x﹣1 C．x2+2x﹣1 D．x2+8x+1 【分析】由题意可知：所的二次三项式是x2﹣5x﹣（﹣3x﹣1），然后去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：由题意得： 所捂的二次三项式为x2﹣5x﹣（﹣3x﹣1） ＝x2﹣5x+3x+1 ＝x2﹣2x+1， 故选：A． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 3．（2023秋•庐江县期末）一个多项式减去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2，则这个多项式是（　　） A．3x2y﹣4xy2 B．x2y﹣4xy2 C．﹣3x2y+2xy2 D．﹣x2y+2xy2 【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵一个多项式减去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2， ∴这个多项式是：﹣x2y﹣3xy2+2x2y﹣xy2 ＝x2y﹣4xy2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 4．已知：A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5，求A﹣3B； 并确定当a＝﹣1时A﹣3B的值． 【分析】把A与B代入A﹣3B，去括号合并后，将a的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5 ∴A﹣3B＝2a2﹣5a﹣3a2﹣9a+15＝﹣a2﹣14a+15， 当a＝﹣1时，原式＝﹣1+14+15＝28． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2023秋•东阿县校级期末）已知M＝4x2﹣2xy+1，N＝3x2﹣2xy﹣3． （1）化简：4M﹣（3M+2N）； （2）当x＝﹣1，y＝2时，求（1）代数式的值； （3）试判断M、N的大小关系并说明理由． 【分析】（1）由题意知，4M﹣（3M+2N）＝M﹣2N＝﹣2x2+2xy+7； （2）将x＝﹣1，y＝2代入计算求解即可； （3）M﹣N＝x2+4，由x2+4＞0，可得M﹣N＞0，即M＞N． 【解答】解：（1）由题意知，4M﹣（3M+2N） ＝4M﹣3M﹣2N ＝M﹣2N ＝4x2﹣2xy+1﹣2（3x2﹣2xy﹣3） ＝4x2﹣2xy+1﹣6x2+4xy+6 ＝﹣2x2+2xy+7； （2）将x＝﹣1，y＝2代入，原式＝﹣2×（﹣1）2+2×（﹣1）×2+7＝1； （3）M＞N，理由如下：M﹣N＝4x2﹣2xy+1﹣（3x2﹣2xy﹣3）＝4x2﹣2xy+1﹣3x2+2xy+3＝x2+4， ∵x2+4＞0， ∴M﹣N＞0，即M＞N． 【点评】本题考查了整式的加减运算，代数式求值．熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 题型五 整式的化简求值---直接代入求值 解题技巧提炼 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可. 1．（2023秋•随县期末）先化简，再求值． （1）3（x2+2y）﹣（2x2﹣y），其中x，y满足x＝﹣2，y＝1； （2）2xy+（5xy﹣3x3+2）﹣3（2xy﹣x3+1），其中，． 【分析】（1）先根据整式的加减运算法则化简，然后将x＝﹣2、y＝1代入计算即可； （2）先根据整式的加减运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【解答】解：（1）3（x2+2y）﹣（2x2﹣y） ＝3x2+6y﹣2x2+y ＝3x2+6y﹣2x2+y ＝x2+7y； 当x＝﹣2，y＝1时， 原式＝（﹣2）2+7×1 ＝4+7 ＝11． （2）2xy+（5xy﹣3x3+2）﹣3（2xy﹣x3+1） ＝2xy+5xy﹣3x3+2﹣6xy+3x3﹣3 ＝xy﹣1； 当，时， 原式． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 2．（2023秋•西平县期末）先化简，再求值：﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]，其中m＝1，n＝﹣2． 【分析】首先根据整式的加减运算法则，将整式化简，然后把给定的值代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 【解答】解：原式＝﹣2mn+6m2﹣m2+5（mn﹣m2）﹣2mn， ＝﹣2mn+6m2﹣m2+5mn﹣5m2﹣2mn， ＝mn， 当m＝1，n＝﹣2时，原式＝1×（﹣2）＝﹣2． 【点评】本题主要考查了整式的乘法、去括号、合并同类项等知识点．注意运算顺序以及符号的处理． 3．（2023秋•沙坪坝区期末）先化简，再求值： 已知2（﹣3xy+x2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]，其中x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0． 【分析】首先利用去括号法则去括号，进而合并同类项，再利用非负数的性质得出x，y的值，进而求出即可． 【解答】解：原式＝﹣6xy+2x2﹣（2x2﹣15xy+6x2﹣xy） ＝﹣6xy+2x2﹣2x2+15xy﹣6x2+xy ＝﹣6x2+10xy ∵|x+2|+（y﹣3）2＝0 ∴x＝﹣2，y＝3， ∴原式＝﹣6x2+10xy ＝﹣6×（﹣2）2+10×（﹣2）×3 ＝﹣24﹣60 ＝﹣84． 【点评】此题主要考查了整式的加减运算以及非负数的性质，正确化简整式是解题关键． 4．（2023春•九龙坡区校级期末）先化简，再求值：4x2y﹣[（6x2y﹣3xy2）﹣2（3xy2x2y）]﹣3x2y+1，其中x，y满足|x+2|+（y﹣1）2＝0． 【分析】先将原式去括号，合并同类项，再利用实数的非负性得出x，y的值，代入原式可得结果． 【解答】解：4x2y﹣[（6x2y﹣3xy2）﹣2（3xy2x2y）]﹣3x2y+1 ＝4x2y﹣（4x2y﹣2xy2﹣6xy2+x2y）﹣3x2y+1 ＝4x2y﹣（5x2y﹣8xy2）﹣3x2y+1 ＝4x2y﹣5x2y+8xy2﹣3x2y+1 ＝﹣4x2y+8xy2+1． ∵|x+2|+（y﹣1）2＝0， ∴x+2＝0，y﹣1＝0， ∴x＝﹣2，y＝1． ∴原式＝﹣4×（﹣2）2×1+8×（﹣2）×12+1 ＝﹣16﹣16+1 ＝﹣32+1 ＝﹣31． 【点评】此题主要是考查了整式的化简求值，实数的非负性，能够熟练运用去括号，合并同类项法则是解题的关键． 5．（2023秋•遵义期末）已知两个整式A和B，A＝3a2﹣ab+7，B＝﹣4a2+4ab+7． （1）请化简A﹣B； （2）若a＝﹣1，b＝2，则A﹣B的值为多少？ 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可得到答案； （2）把a＝﹣1，b＝2代入化简后的代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵A＝3a2﹣ab+7，B＝﹣4a2+4ab+7， ∴A﹣B ＝3a2﹣ab+7﹣（﹣4a2+4ab+7） ＝3a2﹣ab+7+4a2﹣4ab﹣7 ＝7a2﹣5ab； （2）∵a＝﹣1，b＝2， ∴A﹣B＝7a2﹣5ab＝7×（﹣1）2﹣5×（﹣1）×2＝17． 【点评】本题考查的是整式的加减﹣化简求值；熟记去括号，合并同类项的法则是解本题的关键． 题型六 整式的化简求值---整体代入求值 解题技巧提炼 先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可． 1．（2024•山海关区校级一模）已知两个等式m﹣n＝2，p﹣3m＝﹣3，则p﹣3n的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 【分析】由第一个等式可得：3m﹣3n＝6，再与另一个等式进行加，即可求解． 【解答】解：∵m﹣n＝2， ∴3m﹣3n＝6①， ∵p﹣3m＝﹣3②， ∴②+①得：p﹣3n＝3． 故选：A． 【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2．（2023秋•邢台期末）已知x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，则x2﹣4xy﹣y2的值是（　　） A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．8 【分析】将已知的两个等式相减便可求得结果． 【解答】解：∵x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5， ∴x2﹣xy﹣（3xy+y2）＝3﹣5， ∴x2﹣4xy﹣y2＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了整数的减法，关键是灵活应用整式的减法法则进行计算． 3．（2023春•平谷区期末）已知x2﹣5x﹣4＝0，求的值． 【分析】将已知等式化成x2﹣5x＝4，将所求整式去括号合并同类项，最后整体代入即可． 【解答】解：∵x2﹣5x﹣4＝0， ∴x2﹣5x＝4， ∴ ＝2x2﹣3x2+6﹣3x﹣2x+2x2﹣1 ＝x2﹣5x+5 ＝4+5 ＝9． 【点评】本题考查了整式的化简，去括号和合并同类项是本题考查的重点，在化简过程中注意正负号的变化． 4．求值： （1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值． （2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求的值． 【分析】（1）把15x﹣6y﹣8化为3（5x﹣2y）﹣8后，再把5x﹣2y＝3代入即可求出结果； （2）把整式去括号、合并同类项化简后，把a﹣b＝5，﹣ab＝3代入计算即可得出结果． 【解答】解：（1）15x﹣6y﹣8 ＝3（5x﹣2y）﹣8， 当5x﹣2y＝3时， 原式＝3×3﹣8 ＝9﹣8 ＝1； （2） ＝7a+4b+ab﹣5b﹣6a+6ab ＝a﹣b+7ab， ∵﹣ab＝3， ∴ab＝﹣3， 当a﹣b＝5，ab＝﹣3时， 原式＝5+7×（﹣3） ＝5﹣21 ＝﹣16． 【点评】本题考查了整式的加减—化简求值，去括号、合并同类项把整式正确的化简是解题的关键． 5．（2023秋•大冶市期中）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 　 ； （2）已知a2﹣2b＝﹣7，则3+2a2﹣4b的值为 　 　； （3）拓展探索：已知a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣2，d﹣c＝3，求（a﹣c）2+（a﹣d）2的值． 【分析】（1）根据合并同类项法则：系数相加减，字母和字母的指数不变，进行计算即可； （2）把所求代数式的后两项提取公因数﹣2，再把已知条件整体代入求值即可； （3）把所求代数式中的﹣6b拆成﹣2b﹣4b，5c拆成2c+3c，然后分组提取公因数，让所求代数式出现已知条件中的式子，再整体代入求值即可． 【解答】解：（1）原式＝（3﹣6+2）（x﹣y）2 ＝﹣（x﹣y）2， 故答案为：﹣（x﹣y）2； （2）a2﹣2b＝﹣7， ∴3﹣2a2+4b ＝3﹣2（a2﹣2b） ＝3﹣2×7 ＝﹣11； 故答案为：﹣11； （3）∵a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣2，d﹣c＝3， ∴a﹣c＝﹣1，a﹣d＝﹣4， ∴原式＝（﹣1）2+（﹣4）2 ＝17． 【点评】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题关键是熟练掌握合并同类项法则． 题型七 整式加减中的错看问题 解题技巧提炼 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. 1．（2023秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（　　） A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7 【分析】直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果． 【解答】解：由题意可得：A﹣（2x2+5x+3）＝﹣x2+3x﹣7， 则A＝﹣x2+3x﹣7+2x2+5x+3 ＝x2+8x﹣4， 故这道题目的正确结果是：x2+8x﹣4﹣（2x2+5x﹣3） ＝x2+8x﹣4﹣2x2﹣5x+3 ＝﹣x2+3x﹣1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 2．（2023秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（　　） A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9 【分析】根据整式的加减运算先求出这个多项式，然后再根据题意列出算式即可求出答案． 【解答】解：该多项式为：（5x2+3x﹣7）﹣（3x2﹣5x+1） ＝5x2+3x﹣7﹣3x2+5x﹣1 ＝2x2+8x﹣8， ∴正确结果为：（2x2+8x﹣8）﹣（3x2﹣5x+1） ＝2x2+8x﹣8﹣3x2+5x﹣1 ＝﹣x2+13x﹣9， 故选：D． 【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 3．（2023秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（　　） A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7 【分析】直接利用整式的加减运算法则得出A，进而利用整式的加减运算法则得出这道题目的正确结果． 【解答】解：由题意可得：A﹣（2x2+5x+3）＝﹣x2+3x﹣7， 则A＝﹣x2+3x﹣7+2x2+5x+3 ＝x2+8x﹣4， 故这道题目的正确结果是：x2+8x﹣4﹣（2x2+5x﹣3） ＝x2+8x﹣4﹣2x2﹣5x+3 ＝﹣x2+3x﹣1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 4．（2023秋•临潼区期中）小明在计算3（x2+2x﹣3）﹣A时，将A前面的“﹣”抄成了“+”，化简结果为﹣x2+8x﹣7． （1）求整式A； （2）计算3（x2+2x﹣3）﹣A的正确结果． 【分析】（1）由3（x2+2x﹣3）+A＝﹣x2+8x﹣7，即可求出整式A， （2）通过去括号，合并同类项，即可计算正确结果． 【解答】解：（1）由题意得：3（x2+2x﹣3）+A＝﹣x2+8x﹣7， ∴A＝﹣x2+8x﹣7﹣3（x2+2x﹣3） ＝﹣x2+8x﹣7﹣3x2﹣6x+9 ＝﹣4x2+2x+2； （2）3（x2+2x﹣3）﹣A ＝3x2+6x﹣9﹣（﹣4x2+2x+2） ＝3x2+6x﹣9+4x2﹣2x﹣2 ＝7x2+4x﹣11． 【点评】本题考查整式的加减，去括号添括号，关键是由题意求出整式A． 5．马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6． （1）请根据现有条件求多项式A； （2）计算2A+B的正确答案． 【分析】（1）根据题意，可知A＝（9x2+x﹣7）﹣2B，从而可以计算出多项式A； （2）根据（1）中求得的A和题目中的B，可以计算出2A+B的正确答案． 【解答】解：（1）由题意可得， A＝（9x2+x﹣7）﹣2（x2﹣2x+6） ＝9x2+x﹣7﹣2x2+4x﹣12 ＝7x2+5x﹣19， 即多项式A为7x2+5x﹣19； （2）由（1）知A＝7x2+5x﹣19， ∵B＝x2﹣2x+6， ∴2A+B ＝2（7x2+5x﹣19）+（x2﹣2x+6） ＝14x2+10x﹣38+x2﹣2x+6 ＝15x2+8x﹣32， 即2A+B的正确答案是15x2+8x﹣32． 【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． 题型八 整式加减中与某个字母无关问题 解题技巧提炼 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. 1．（2023秋•惠城区校级期末）已知A＝3x2+2x﹣1，B＝mx+1，若关于x的多项式A+B不含一次项，则m的值（　　） A．2 B．﹣3 C．4 D．﹣2 【分析】先将多项式A、B代入A+B，再根据去括号法则、合并同类项法则化简，由多项式A+B不含一次项可得一次项系数为0，以此即可求解． 【解答】解：A+B＝（3x2+2x﹣1）+（mx+1）＝3x2+2x﹣1+mx+1＝3x2+（m+2）x， ∵多项式A+B不含一次项， ∴m+2＝0， ∴m＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查整式的加减，正确地去括号和合并同类项是解题关键． 2．（2023秋•长沙期末）已知关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，求nm的值（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【分析】先求出两个多项式的差，再根据差不含二次项，二次项系数为0得出方程，即可得出答案． 【解答】解：（mx2+2xy﹣x）﹣（3x2﹣2nxy+3y） ＝mx2+2xy﹣x﹣3x2+2nxy﹣3y ＝（m﹣3）x2+（2+2n）xy﹣x﹣3y， ∵关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y差不含二次项， ∴m﹣3＝0，2+2n＝0， ∴m＝3，n＝﹣1， ∴nm＝（﹣1）3＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项是关键． 3．（2023秋•任城区校级期末）若x2+ax﹣2（﹣bx2+x+9y﹣1）的值与x的取值无关，则ba＝　 　． 【分析】将原式进行化简得（1+2b）x2+（a﹣2）x﹣19y+2，再令含有x的项的系数为0，求出a、b的值代入计算即可． 【解答】解：∵x2+ax﹣2（﹣bx2+x+9y﹣1） ＝x2+ax+2bx2﹣2x﹣19y+2 ＝（1+2b）x2+（a﹣2）x﹣19y+2， 又∵x2+ax﹣2（﹣bx2+x+9y﹣1）的值与x的取值无关， ∴1+2b＝0，a﹣2＝0， 解得a＝2，b， ∴ba＝（）2， 故答案为：． 【点评】本题考查去括号以及整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是正确解答的前提． 4．（2023秋•武侯区校级期末）已知多项式x2+ax﹣y+b与bx2﹣3x+6y﹣3差的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣4（a2+ab+b2）的值． 【分析】根据题意列出关系式，由结果与x的值无关，确定出a与b的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：（x2+ax﹣y+b）﹣（bx2﹣3x+6y﹣3）＝x2+ax﹣y+b﹣bx2+3x﹣6y+3＝（1﹣b）x2+（a+3）x﹣7y+b+3， 由差与x的值取值无关，得到1﹣b＝0，a+3＝0， 解得：a＝﹣3，b＝1， 则原式＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣4a2﹣4ab﹣4b2＝﹣a2﹣10ab﹣7b2＝﹣9+30﹣7＝14． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2023秋•衡阳期末）已知A＝2a2+3ab﹣2a，B＝﹣a2． （1）当a＝﹣1，b时，求4A﹣（3A﹣2B）的值； （2）若（1）中代数式4A﹣（3A﹣2B）的值与a的取值无关，求b的值． 【分析】（1）先化简整式，再代入值即可求解； （2）代数式4A﹣（3A﹣2B）的值与a的取值无关可知a的系数为0，可求出b的值． 【解答】解：（1）4A﹣（3A﹣2B） ＝4A﹣3A+2B ＝A+2B 因为A＝2a2+3ab﹣2a，B＝﹣a2ab， 所以A+2B＝2a2+3ab﹣2a2（﹣a2ab） ＝2a2+3ab﹣2a2a2+ab ＝4ab﹣2a+1， 当a＝﹣1，b时， 原式＝﹣2+2+1＝1； （2）因为4A﹣（3A﹣2B）＝4ab﹣2a+1， ＝a（4b﹣2）+1 因为代数式的值与a无关， 所以4b﹣2＝0， 解得b 答：b值为． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是代数式4A﹣（3A﹣2B）的值与a的取值无关可知a的系数为0． 题型九 整式加减与数轴、绝对值的结合 解题技巧提炼 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 1．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|的结果是（　　） A．﹣3a+2b B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a 【分析】根据数轴可以判断a，b，a﹣b，b﹣a的正负情况，从而可以把绝对值符号去掉，然后化简即可解答本题． 【解答】解：根据题目中的数轴可得，a＜0，b＞0， ∴a﹣b＜0，b﹣a＞0． ∴|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a| ＝﹣a﹣（b﹣a）+（b﹣a） ＝﹣a． 故选：D． 【点评】本题考查绝对值、数轴和整式的加减，解题的关键是去绝对值符号时，判断绝对值内式子的值的正负． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（　　） A．﹣2a B．﹣2b C．﹣2a﹣2b D．2a﹣2b 【分析】根据数轴比较a﹣b、c﹣a、b﹣c与0的大小关系，然后根据绝对值的性质化简． 【解答】解：由数轴可知：c＜b＜0＜a， ∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b﹣c＞0， ∴原式＝（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b﹣c） ＝a﹣b﹣c+a﹣b+c ＝2a﹣2b 故选：D． 【点评】本题考查整式的加减运算，涉及数轴比较数的大小，绝对值的性质． 3．已知a，b，c是三个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|+（c﹣a）的结果是（　　） A．3a﹣c B．﹣2a+c C．a+c D．﹣2b﹣c 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【解答】解：根据数轴得：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|， ∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0， 则原式＝a﹣b+a﹣c+b+c+c﹣a＝a+c， 故选：C． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2023秋•大安市期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；化简：|a+c|+|2b|﹣|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|． 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据数轴得：c＜b＜0＜a，且|a|＝|c|＞|b|， 所以a+c＝0，b﹣a＜0，c﹣b＜0，a+b＞0， 则原式＝0﹣2b+b﹣a+c﹣b+a+b＝﹣b+c． 【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2023秋•黔南州期中）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则 （1）b﹣a　 　0，a﹣c　 　0，b+c　 0（用“＞”“＜”或“＝”填空）． （2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c| 【分析】（1）根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可判断a、b、c的大小关系，根据有理数的加法法则判断符号； （2）根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）根据数轴可得b＜a，a＞c，c＜b＜0． 则b﹣a＜0，a﹣c＞0，b+c＜0． 故答案为：＜，＞，＜； （2）原式＝a﹣b﹣（a﹣c）﹣（b+c） ＝a﹣b﹣a+c﹣b﹣c ＝﹣2b． 【点评】本题考查了利用数轴比较数的大小，右边的数总是大于左边的数，以及绝对值的性质，正确根据性质去掉绝对值符号是关键． 题型十 利用整式加减解决数字问题 解题技巧提炼 根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． 1．（2023秋•潮南区校级月考）多项式4n﹣2n2+2+6n3减去3（n2+2n3﹣1+3n）（n为自然数）的差一定是（　　） A．奇数 B．偶数 C．5的倍数 D．以上答案都不对 【分析】先把4n﹣2n2+2+6n3﹣3（n2+2n3﹣1+3n）去括号，然后合并同类项得到﹣5n﹣5n2+5，即化简的结果为5（﹣n﹣n2+1），于是可判断差为5的倍数． 【解答】解：4n﹣2n2+2+6n3﹣3（n2+2n3﹣1+3n） ＝4n﹣2n2+2+6n3﹣3n2﹣6n3+3﹣9n ＝﹣5n﹣5n2+5 ＝5（﹣n﹣n2+1）． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．整式的加减实质上就是合并同类项． 2．（2023秋•洪山区期中）（1）一个两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b．把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数．计算原数与新数的和，这个和能被11整除吗？请说明理由； （2）一个四位数的千位与个位的数字均为m，百位与十位的数字均为n，这个四位数能被11整除吗？请说明理由． 【分析】（1）根据题意表示出两个两位数再求和，再判断能否被11整除即可； （2）表示出这个四位数，再进行整理即可判断． 【解答】解：（1）其和能被11整除，理由如下： 原数与新数的和为：10a+b+10b+a ＝11a+11b ＝11（a+b）， 则其和能被11整除； （2）这个中位数能被11整除，理由如下： 这个四位数为： 1000m+100n+10n+m ＝1001m+110n ＝11（91m+10n）， 则这个中位数能被11整除． 【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”． （1）最小的三位“和谐数”是 　 　，最大的三位“和谐数”是 　 　； （2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”； （3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例． 【分析】（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y，则“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，由此可得结论； （2）按题意列代数式即可； （3）由110y+11x＝11（10y+x）可得结论． 【解答】解：（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y， ∴“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x， 当x＝0，y＝1时，有最小的三位“和谐数”是110， 当x＝0，y＝9时，有最大的三位“和谐数”是990， 故答案为：110，990； （2）100（b﹣a）+10b+a＝100b﹣100a+10b+a＝110b﹣99a， ∴该“和谐数”为：110b﹣99a； （3）能，理由： 由（1）得“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x， ∵110y+11x＝11（10y+x）， ∴任意一个三位“和谐数”能被11整除． 【点评】本题属于新定义问题，涉及到列代数式、整式加减等问题，正确理解新定义是解决本题的关键． 4．（2023秋•雄县期中）如图1，图2是某月的日历． （1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字． ①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为 　 　（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为 　 　（用含x的式子表示）； ②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由； （2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由． 【分析】（1）①根据右边的数字总比左边的数字大1，下面的数字比上面的数字大7进行表示即可，将9个数字相加合并同类项即可解答；②根据正中间的数为a，分别表示出其余8个数，再求和，即可求解； （2）设中间一行的中间数为m，分别表示出其余数字，进行求和即可解答． 【解答】解：（1）①设长方形围住的左上角的第一个数为x， 则第一行的三个数字分别表示为：x，x+1，x+2，第二行的三个数字分别表示为：x+7，x+8，x+9，第三行的三个数字分别表示为：x+14，x+15，x+16， 九个数的和为：x+x+1+x+2+x+7+x+8+x+9+x+14+x+15+x+16＝9x+72， 故答案为：x+16；9x+72； ②围住的9个数之和是其正中间的数的9倍； 理由：因为长方形围住的正中间的数为a，则上面一行数为a﹣8，a﹣7，a﹣6，中间一行数为a﹣1，a，a+1，下面一行数为a+6，a+7，a+8，围住的9个数之和为（a﹣8）+（a﹣7）+（a﹣6）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）＝9a，所以围住的9个数之和是其正中间的数的9倍； （2）满足； 理由：设中间一行的中间数为m，则上面一行数为m﹣7，m﹣6，m﹣5，中间一行数为m﹣1m，m+1，下面一行数为m+5，m+6，m+7，则阴影的9个数之和是（m﹣7）+（m﹣6）+（m﹣5）+（m﹣1）+m+（m+1）+（m+5）+（m+6）+（m+7）＝9m． 【点评】本题主要考查了列代数式，难度不大，弄清日历横行相邻数相差1，竖列相邻两数相差7，发现这个规律是解题的关键． 题型十一 利用整式加减进行新定义运算 解题技巧提炼 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去 括号． 1．（1）先化简再求值：当，y＝﹣3时，求代数式3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]的值． （2）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab． ①求2*（﹣3）的值； ②求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项得到最简结果，将x，y的值代入求解即可． （2）①根据新运算可知，2*（﹣3）＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3），即可得出答案． ②由①可得2*（﹣3）的值，再根据新运算求（﹣2）*[2*（﹣3）]即可． 【解答】解：（1）原式＝3x2﹣6xy﹣3x2+2y﹣2xy﹣2y ＝﹣8xy． 当，y＝﹣3时，原式＝﹣8×（）×（﹣3）＝﹣12． （2）①2*（﹣3）＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3）＝4+3﹣6＝1． ②由①可得2*（﹣3）＝1， ∴（﹣2）*1＝（﹣2）2﹣1+（﹣2）×1＝4﹣1﹣2＝1． 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值、有理数的混合运算，理解题目定义的新运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 2．（2024•裕华区校级二模）定义：a，b，m为实数，若a+b＝m，则称a与b是关于的对称数． （1）2与4是关于 　 　的对称数，5﹣x与 　 　是关于3的对称数； （2）若a＝﹣2x2+3x﹣4，b＝﹣5x+2x2+2，且a与b是关于﹣1的对称数，试求出x的值． 【分析】（1）根据对称数的定义进行求解即可； （2）根据对称数的定义进行求解即可． 【解答】解：（1）∵2+4＝6，， ∴2与4是关于3的对称数； 由题意得：2×3﹣（5﹣x） ＝6﹣5+x ＝1+x， ∴5﹣x与1+x是关于3的对称数； 故答案为：3；1+x； （2）∵a＝﹣2x2+3x﹣4，b＝﹣5x+2x2+2，且a与b是关于﹣1的对称数， ∴a+b＝﹣1×2， ﹣2x2+3x﹣4﹣5x+2x2+2＝﹣2， ﹣2x﹣2＝﹣2， x＝0． 【点评】本题主要考查整式的加减，新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（2023秋•防城区期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义 是ad﹣bc 例如：1×4﹣2×3＝﹣2 （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时，的值． 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）利用非负数的性质求出x+y与xy的值，原式利用题中新定义变形，把x+y与xy的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题意得：6×3﹣2×5 ＝18﹣10 ＝8； （2）∵|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0， ∴x+y＝2，xy＝﹣1， 则原式＝1×（3x﹣1）﹣（﹣1）×（2xy+3y） ＝3x﹣1+2xy+3y ＝3（x+y）+2xy﹣1 ＝3×2+2×（﹣1）﹣1 ＝3． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，掌握运算法则是关键． 4．（2023秋•北京期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为 （a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”． （1）数对（1，），（1.5，3），（，﹣1）中，是“有趣数对”的是 　 　； （2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值； （3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mnm﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2的值． 【分析】（1）利用“有趣数对”的定义进行判断即可； （2）利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论； （3）先将代数式化简，再利用“有趣数对”的定义得出m，n的关系式，最后利用整体代入的方法化简运算即可． 【解答】解：（1）∵1，2×1， ∴12， ∴数对（1，）是“有趣数对”； ∵1.5﹣3＝﹣1.5，2×1.5×3＝9， ∴1.5﹣3≠2×1.5×3， ∴数对（1.5，3）不是“有趣数对”； ∵（﹣1），2（﹣1）＝1， ∴（﹣1）≠2×（）×1， ∴数对（，﹣1）不是“有趣数对”． 综上，是“有趣数对”的是（1，）， 故答案为：（1，）； （2）∵（k，﹣3）是“有趣数对”， ∴k﹣（﹣3）＝2×k×（﹣3）， ∴k+3＝﹣6k， ∴7k＝﹣3， ∴k； （3）8[3mnm﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2 ＝8（3mnm﹣2mn+2）﹣12m2+4n+12m2 ＝24mn﹣4m﹣16mn+16﹣12m2+4n+12m2 ＝8mn﹣4m+4n+16， ∵（m，n）是“有趣数对”， ∴m﹣n＝2mn． ∴原式＝8mn﹣4（m﹣n）+16 ＝8mn﹣4×2mn+16 ＝8mn﹣8mn+16 ＝16． 【点评】本题主要考查了实数的混合运算，整式的加减与化简求值，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键． 5．（2023秋•鼓楼区校级期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 　 　是关于1的平衡数；5﹣x与 　 　是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2﹣x）+4，b＝2x﹣[9x﹣（4x+x2）+2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． （3）若x与﹣1是关于1的平衡数，y2与﹣2是关于1的平衡数，求与yx关于1的平衡数． 【分析】（1）根据平衡数的定义，可得3与﹣1是关于1的平衡数，5﹣x与x﹣3是关于1的平衡数； （2）判定a、b是不是关于1的平衡数，只需要看a+b是不是等于2即可，把这两个数相加化简即得； （3）根据平衡数的定义，列出方程式求解，分情况讨论，最后把x、y代入所求式子即可． 【解答】解：由题意知，a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数，即a、b两数和为2， （1）∵2﹣3＝﹣1，2﹣（5﹣x）＝x﹣3， ∴3与﹣1是关于1的平衡数，5﹣x与x﹣3是关于1的平衡数， 故答案为：﹣1，x﹣3； （2）a与b是关于1的平衡数， 理由：∵a+b＝2x2﹣3（x2﹣x）+4+2x﹣[9x﹣（4x+x2）+2] ＝2x2﹣3x2+3x+4+2x﹣9x+4x+x2﹣2 ＝2， ∴a与b是关于1的平衡数； （3）∵x﹣1＝2，y2﹣2＝2， ∴x＝3，y＝±2， 当x＝3，y＝2时，yx＝8，8关于1的平衡数是2﹣8＝﹣6， 当x＝3，y＝﹣2时，yx＝﹣8，﹣8关于1的平衡数是2﹣（﹣8）＝10， 综上所述，yx关于1的平衡数是﹣6或10， 故答案为：﹣6或10． 【点评】本题考查了新定义平衡数，用到合并同类项的运算法则，列方程式求解的应用，注意分情况讨论，理解平衡数的定义是解题的关键． 题型十二 运用整式的加减解决实际问题 解题技巧提炼 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. 1．长方形的一边长等于3a+2b，另一边比它大a﹣b，那么这个长方形的周长是（　　） A．14a+6b B．7a+3b C．10a+10b D．12a+8b 【分析】首先求出长方形的另一边长，然后根据周长公式得出结果． 【解答】解：由题意知，长方形的另一边长等于（3a+2b）+（a﹣b）＝3a+2b+a﹣b＝4a+b， 所以这个长方形的周长是2（3a+2b+4a+b）＝2（7a+3b）＝14a+6b． 故选：A． 【点评】长方形的周长是长与宽的和的2倍．注意整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 2．（2023秋•召陵区期末）如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A．4m﹣8n B．3m﹣5n C．2m﹣4n D．4m﹣10n 【分析】根据题意找出新长方形的长与宽，进而表示出周长即可． 【解答】解：根据题意得：新长方形的长为m﹣n，宽为m﹣3n， 则新长方形的周长为2[（m﹣n）+（m﹣3n）]＝2（2m﹣4n）＝4m﹣8n． 故选：A． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2023秋•峄城区期中）某国际化学校实行小班制教学，七年级四个班共有学生（6m﹣3n）人，一班有学生m人，二班人数比一班人数的两倍少n人，三班人数比二班人数的一半多12人． （1）求三班的学生人数（用含m，n的式子表示）； （2）求四班的学生人数（用含m，n的式子表示）； （3）若四个班共有学生120人，求二班比三班多的学生人数？ 【分析】（1）直接利用已知中各班之间关系表示出各班人数； （2）直接利用（1）中所求，结合整式的加减运算法则进而得出答案； （3）直接利用四个班共有学生120人，进而得出m，n之间的关系即可得出答案． 【解答】解：（1）一班人数为：m人．二班人数为：（2m﹣n）人．三班人数为：人； （2）四班人数为： ； （3）由题意可得：6m﹣3n＝120，则2m﹣n＝40，故 二班比三班多的学生数为： ＝20﹣12 ＝8（人） 答：二班比三班多8人． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确表示出各班人数是解题关键． 4．为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽的十字路，小路宽为x米． （1）用代数式表示小路和草坪的面积分别是多少平方米？ （2）当x＝3米时，求草坪的面积． 【分析】（1）小路的面积等于长为30米，宽为x米和长为20米，宽为x米的长方形的面积之和减去一个边长为x米的正方形的面积． （2）将x＝3米代入（1）中所得的草坪的面积表达式计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得： 小路的面积为：30x+20x﹣x2＝（﹣x2+50x）平方米； 草坪的面积为： 20×30﹣（50x﹣x2） ＝（600﹣50x+x2）平方米． （2）当x＝3米时，草坪的面积为： 600﹣50x+x2 ＝600﹣50×3+32 ＝600﹣150+9 ＝459（平方米）． 【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，数形结合并熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2023秋•运城期中）某学校为了全面提高学生的综合素养，组织了音乐，朗诵，舞蹈，美术共四个社团，学生积极参加（每个学生限报一项），参加社团的学生共有（6x﹣2y）人，其中音乐社团有x人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的两倍少y人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的一半多3人． （1）参加朗诵社团有 　 人；（用含x，y的式子表示） （2）求朗诵社团比舞蹈社团多多少人？（用含x，y的式子表示） （3）求美术社团有多少人？（用含x，y的式子表示） （4）若x＝65，y＝40，求美术社团的人数． 【分析】（1）根据朗诵社团与音乐社团的人数的等量关系可得答案； （2）根据舞蹈社团与朗诵社团人数的等量关系，求出参加舞蹈社团的人数，再根据整式的加减运算法则可得答案； （3）先根据整式的加减运算法则，用x，y表示出参加美术社团的人数； （4）再将x，y的值代入计算美术社团的人数即可． 【解答】解：（1）∵音乐社团有x人参加，朗诵社团的人数比音乐社团的人数的两倍少y人， ∴参加朗诵社团的人数为（2x﹣y）人； （2）∵舞蹈社团的人数比朗诵社团人数一半多3人， 由（1）知，参加朗诵社团的人数为（2x﹣y）人， ∴参加舞蹈社团的人数为（2x﹣y）+3＝（xy+3）人， ∵2x﹣y﹣（xy+3） ＝2x﹣y﹣xy﹣3 ＝xy﹣3， ∴朗诵社团比舞蹈社团多（xy﹣3）人； （3）∵6x﹣2y﹣x﹣（2x﹣y）﹣（xy+3） ＝6x﹣2y﹣x﹣2x+y﹣xy﹣3 ＝2xy﹣3， ∴参加美术社团的人数为（2xy﹣3）人； （4）当x＝65，y＝40时， 2xy﹣3 ＝2×6540﹣3 ＝107． ∴美术社团的人数为107人． 【点评】本题考查整式的加减、列代数式，掌握运算法则是关键． 6．（2023秋•中原区校级期末）学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）． （1）若在A网店购买，需付款 　 　元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ （3）当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【分析】（1）根据优惠方案可得答案； （2）结合（1），求出当x＝100时，两个网店所需付款，再比较即可得在A网店购买较为合算； （3）在A网店买60个足球送60个跳绳，在B网店买60个跳绳，需付款9480元． 【解答】解：（1）在A网店购买，需付款140×60+30（x﹣60）＝（30x+6600）元， 在B网店购买，需付款60×140×90%+30×90%x＝（27x+7560）元， 故答案为：（30x+6600），（27x+7560）； （2）当x＝100时，30x+6600＝30×100+6600＝9600（元），27x+7560＝27×100+7560＝10260（元）， ∵9600＜10260， ∴在A网店购买较为合算； （3）在A网店买60个足球送60个跳绳，在B网店买60个跳绳， 此时需付款60×140+30×90%×（100﹣60）＝9480（元）， ∴更为省钱的购买方案是：在A网店买60个足球送60个跳绳，在B网店买60个跳绳，需付款9480元． 【点评】本题考查列代数式和代数式求值，解题的关键是读懂题意，根据优惠方案用含x的式子表示两个网店所需付款． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第4章 代数式》 4.5 整式的加减 知识点一 去括号 ◆1、去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. ◆2、方法总结： (1)去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的符号一起去掉． (2)去括号时，首先要弄清括号前是“＋”号还是“－”号． (3)注意法则中的“都”字，变号时，各项都变号；不变号时，各项都不变号． (4)当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． (5)出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． ◆3、两点说明： ①去括号法则是根据乘法分配律推出的； ②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． ◆4、教材延伸：添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号， 添括号时，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 知识点二 整式的加减 ◆1、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. ◆2、整式的加减步骤及注意问题： （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． ◆3、整式加减的应用类型： 应用类型 方 法 直接的整式加减 实质是合并同类项，若有括号，则先去括号再合并同类项． 间接的整式加减 求整式的和差时，先用括号将每一个整式括起来，再用加运算符号连接． 化简求值 求多项式的值时，一般先化简，再把字母的值代入化简后的式子求值． 题型一 去括号与添括号 解题技巧提炼 1、按照去括号法则即可解答.括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变. 2、掌握添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号是解题的关键． 1．将下列各式去括号： （1）（a﹣b）﹣（c﹣d）＝　 　； （2）﹣（a﹣b）﹣（c﹣d）＝　 　； （3）（a+b）﹣3（c﹣d）＝　 　． 2．去括号： （1）﹣（x﹣y）＝　 ； （2）m﹣（n﹣p﹣q）＝　 　； （3）（x﹣y）﹣（a+b）＝　 ； （4）（4a﹣6b）＝　 　； （5）﹣[（﹣a+b）﹣c]＝　 　． 3．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验． （1）a+b﹣c＝a+　 　； （2）a﹣b+c＝a﹣　 　； （3）a+b﹣c＝a﹣　 　； （4）a+b+c＝a﹣　 　． 4．在下列各式的括号内填上适当的项： （1）a﹣b﹣c+d＝a+　 　＝﹣b﹣　 　； （2）（﹣a+b+c）（a+b+c）＝[b﹣　 　]•[b+　 　]； （3）（a﹣b﹣c﹣d）（a﹣b+c+d）＝[（a﹣d）+　 　][（a+d）﹣　 　]． 题型二 去括号添括号判断正误 解题技巧提炼 主要是考查了去括号与添括号，熟练掌握运算法则是解本题的关键，添括号是否正确可以用去括号来检查． 1．（2023秋•台江区期中）下列各式中去括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝a﹣b B．﹣（﹣a﹣b）＝a﹣b C．a2+2（a﹣2b）＝a2+2a﹣2b D．a﹣2（a﹣2b）＝a2﹣2a+4b 2．（2023秋•爱辉区校级期中）下列各式中，去括号正确的是（　　） A．a+（2b−3c+d）＝a−2b+3c−d B．a−（2b−3c+d）＝a−2b−3c+d C．a−（2b−3c+d）＝a−2b+3c−d D．a+（2b﹣3c+d）＝a−2b−3c+d 3．下列各式，去括号添括号正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b B．2a+3b＝﹣（2a﹣3b） C．2（x﹣4）＝2x﹣4 D．（am﹣bn）﹣（an﹣bm）＝（am﹣an）+（bm﹣bn） 4．下列各式中，去括号结果正确的个数是（　　） ①2x2﹣（﹣2x+y）＝2x2+2x+y； ②7a2﹣[3b﹣（a﹣2c）﹣d]＝7a2﹣3b+a﹣2c+d； ③2xy2﹣3（﹣x+y）＝2xy2+3x﹣y； ④﹣（m﹣2n）﹣（﹣2m2+3n2）＝﹣m+2n+2m2﹣3n2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023秋•丰宁县期中）下列各式中，去括号或添括号正确的是（　　） A．a2﹣（2a﹣b+c）＝a2﹣2a﹣b+c B．a﹣3x+2y﹣1＝a+（﹣3x﹣2y﹣1） C．﹣2x﹣y﹣a+1＝﹣（2x+y）﹣（a﹣1） D．3x﹣[5x﹣（2x﹣1）]＝3x﹣5x﹣2x+1 题型三 利用去括号进行化简 解题技巧提炼 先对式子进行去括号，再合并同类项，有时还要用到添括号.在计算时要注意： 1、当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． 2、出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． 1．去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 2．先去括号，再合并同类项 （1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b） （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1） 3．去括号，合并同类项： （1）（x﹣2y）﹣（y﹣3x）； （2）． 4．去括号，并合并同类项： （1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b） （2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3） 5．先去括号，再合并同类项； （1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2） （2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2） （3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）] （4）（a+b）2（a+b）（a+b）2+（﹣3）2（a+b）． 题型四 利用整式的加减计算 解题技巧提炼 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. 1．（2023春•昌平区期中）已知A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，则A+B的结果为（　　） A．2x2﹣x﹣1 B．5x2+2x﹣9 C．x2﹣1 D．4x2﹣x﹣1 2．（2023秋•德城区期末）老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：﹣3x﹣1＝x2﹣5x，则所捂的二次三项式为（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2﹣8x﹣1 C．x2+2x﹣1 D．x2+8x+1 3．（2023秋•庐江县期末）一个多项式减去﹣x2y﹣3xy2得2x2y﹣xy2，则这个多项式是（　　） A．3x2y﹣4xy2 B．x2y﹣4xy2 C．﹣3x2y+2xy2 D．﹣x2y+2xy2 4．已知：A＝2a2﹣5a，B＝a2+3a﹣5，求A﹣3B； 并确定当a＝﹣1时A﹣3B的值． 5．（2023秋•东阿县校级期末）已知M＝4x2﹣2xy+1，N＝3x2﹣2xy﹣3． （1）化简：4M﹣（3M+2N）； （2）当x＝﹣1，y＝2时，求（1）代数式的值； （3）试判断M、N的大小关系并说明理由． 题型五 整式的化简求值---直接代入求值 解题技巧提炼 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接代入字母的值进行计算即可. 1．（2023秋•随县期末）先化简，再求值． （1）3（x2+2y）﹣（2x2﹣y），其中x，y满足x＝﹣2，y＝1； （2）2xy+（5xy﹣3x3+2）﹣3（2xy﹣x3+1），其中，． 2．（2023秋•西平县期末）先化简，再求值：﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]，其中m＝1，n＝﹣2． 3．（2023秋•沙坪坝区期末）先化简，再求值： 已知2（﹣3xy+x2）﹣[2x2﹣3（5xy﹣2x2）﹣xy]，其中x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0． 4．（2023春•九龙坡区校级期末）先化简，再求值：4x2y﹣[（6x2y﹣3xy2）﹣2（3xy2x2y）]﹣3x2y+1，其中x，y满足|x+2|+（y﹣1）2＝0． 5．（2023秋•遵义期末）已知两个整式A和B，A＝3a2﹣ab+7，B＝﹣4a2+4ab+7． （1）请化简A﹣B； （2）若a＝﹣1，b＝2，则A﹣B的值为多少？ 题型六 整式的化简求值---整体代入求值 解题技巧提炼 先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再把数值整体代入到化简后的式子求值即可． 1．（2024•山海关区校级一模）已知两个等式m﹣n＝2，p﹣3m＝﹣3，则p﹣3n的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 2．（2023秋•邢台期末）已知x2﹣xy＝3，3xy+y2＝5，则x2﹣4xy﹣y2的值是（　　） A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．8 3．（2023春•平谷区期末）已知x2﹣5x﹣4＝0，求的值． 4．求值： （1）已知5x﹣2y＝3，求15x﹣6y﹣8的值． （2）已知a﹣b＝5，﹣ab＝3，求的值． 5．（2023秋•大冶市期中）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是 　 ； （2）已知a2﹣2b＝﹣7，则3+2a2﹣4b的值为 　 　； （3）拓展探索：已知a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣2，d﹣c＝3，求（a﹣c）2+（a﹣d）2的值． 题型七 整式加减中的错看问题 解题技巧提炼 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. 1．（2023秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（　　） A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7 2．（2023秋•内江期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去3x2﹣5x+1，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是5x2+3x﹣7，这道题的正确结果是（　　） A．8x2﹣2x﹣6 B．14x2﹣12x﹣5 C．2x2+8x﹣8 D．﹣x2+13x﹣9 3．（2023秋•渠县校级期末）有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2+5x﹣3，小胡同学将2x2+5x﹣3抄成了2x2+5x+3，计算结果是﹣x2+3x﹣7，这道题目的正确结果是（　　） A．x2+8x﹣4 B．﹣x2+3x﹣1 C．﹣3x2﹣x﹣7 D．x2+3x﹣7 4．（2023秋•临潼区期中）小明在计算3（x2+2x﹣3）﹣A时，将A前面的“﹣”抄成了“+”，化简结果为﹣x2+8x﹣7． （1）求整式A； （2）计算3（x2+2x﹣3）﹣A的正确结果． 5．马小虎做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A+B”．他误将“2A+B”看成“A+2B，求得的结果为9x2+x﹣7．如果知道B＝x2﹣2x+6． （1）请根据现有条件求多项式A； （2）计算2A+B的正确答案． 题型八 整式加减中与某个字母无关问题 解题技巧提炼 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. 1．（2023秋•惠城区校级期末）已知A＝3x2+2x﹣1，B＝mx+1，若关于x的多项式A+B不含一次项，则m的值（　　） A．2 B．﹣3 C．4 D．﹣2 2．（2023秋•长沙期末）已知关于x，y的多项式mx2+2xy﹣x与3x2﹣2nxy+3y的差不含二次项，求nm的值（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 3．（2023秋•任城区校级期末）若x2+ax﹣2（﹣bx2+x+9y﹣1）的值与x的取值无关，则ba＝　 　． 4．（2023秋•武侯区校级期末）已知多项式x2+ax﹣y+b与bx2﹣3x+6y﹣3差的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣4（a2+ab+b2）的值． 5．（2023秋•衡阳期末）已知A＝2a2+3ab﹣2a，B＝﹣a2． （1）当a＝﹣1，b时，求4A﹣（3A﹣2B）的值； （2）若（1）中代数式4A﹣（3A﹣2B）的值与a的取值无关，求b的值． 题型九 整式加减与数轴、绝对值的结合 解题技巧提炼 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 1．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|﹣|a﹣b|+|b﹣a|的结果是（　　） A．﹣3a+2b B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（　　） A．﹣2a B．﹣2b C．﹣2a﹣2b D．2a﹣2b 3．已知a，b，c是三个有理数，它们在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|c﹣a|﹣|b+c|+（c﹣a）的结果是（　　） A．3a﹣c B．﹣2a+c C．a+c D．﹣2b﹣c 4．（2023秋•大安市期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|＝|c|；化简：|a+c|+|2b|﹣|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|． 5．（2023秋•黔南州期中）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则 （1）b﹣a　 　0，a﹣c　 　0，b+c　 0（用“＞”“＜”或“＝”填空）． （2）化简：|b﹣a|﹣|a﹣c|+|b+c| 题型十 利用整式加减解决数字问题 解题技巧提炼 根据方框在日历中的不同位置寻找规律，并利用规律求值；解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． 1．（2023秋•潮南区校级月考）多项式4n﹣2n2+2+6n3减去3（n2+2n3﹣1+3n）（n为自然数）的差一定是（　　） A．奇数 B．偶数 C．5的倍数 D．以上答案都不对 2．（2023秋•洪山区期中）（1）一个两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b．把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数．计算原数与新数的和，这个和能被11整除吗？请说明理由； （2）一个四位数的千位与个位的数字均为m，百位与十位的数字均为n，这个四位数能被11整除吗？请说明理由． 3．（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”． （1）最小的三位“和谐数”是 　 　，最大的三位“和谐数”是 　 　； （2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”； （3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例． 4．（2023秋•雄县期中）如图1，图2是某月的日历． （1）如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字． ①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为 　 　（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为 　 　（用含x的式子表示）； ②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由； （2）若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由． 题型十一 利用整式加减进行新定义运算 解题技巧提炼 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去 括号． 1．（1）先化简再求值：当，y＝﹣3时，求代数式3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]的值． （2）我们定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab． ①求2*（﹣3）的值； ②求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值． 2．（2024•裕华区校级二模）定义：a，b，m为实数，若a+b＝m，则称a与b是关于的对称数． （1）2与4是关于 　 　的对称数，5﹣x与 　 　是关于3的对称数； （2）若a＝﹣2x2+3x﹣4，b＝﹣5x+2x2+2，且a与b是关于﹣1的对称数，试求出x的值． 3．（2023秋•防城区期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义 是ad﹣bc 例如：1×4﹣2×3＝﹣2 （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，请你计算当|x+y﹣2|+（xy+1）2＝0时，的值． 4．（2023秋•北京期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为 （a，b）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”． （1）数对（1，），（1.5，3），（，﹣1）中，是“有趣数对”的是 　 　； （2）若（k，﹣3）是“有趣数对”，求k的值； （3）若（m，n）是“有趣数对”，求代数式8[3mnm﹣2（mn﹣1）]﹣4（3m2﹣n）+12m2的值． 5．（2023秋•鼓楼区校级期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 　 　是关于1的平衡数；5﹣x与 　 　是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2﹣x）+4，b＝2x﹣[9x﹣（4x+x2）+2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． （3）若x与﹣1是关于1的平衡数，y2与﹣2是关于1的平衡数，求与yx关于1的平衡数． 题型十二 运用整式的加减解决实际问题 解题技巧提炼 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. 1．长方形的一边长等于3a+2b，另一边比它大a﹣b，那么这个长方形的周长是（　　） A．14a+6b B．7a+3b C．10a+10b D．12a+8b 2．（2023秋•召陵区期末）如图1，将一个边长为m的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示，则新长方形的周长可表示为（　　） A．4m﹣8n B．3m﹣5n C．2m﹣4n D．4m﹣10n 3．（2023秋•峄城区期中）某国际化学校实行小班制教学，七年级四个班共有学生（6m﹣3n）人，一班有学生m人，二班人数比一班人数的两倍少n人，三班人数比二班人数的一半多12人． （1）求三班的学生人数（用含m，n的式子表示）； （2）求四班的学生人数（用含m，n的式子表示）； （3）若四个班共有学生120人，求二班比三班多的学生人数？ 4．为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽的十字路，小路宽为x米． （1）用代数式表示小路和草坪的面积分别是多少平方米？ （2）当x＝3米时，求草坪的面积． 5．（2023秋•运城期中）某学校为了全面提高学生的综合素养，组织了音乐，朗诵，舞蹈，美术共四个社团，学生积极参加（每个学生限报一项），参加社团的学生共有（6x﹣2y）人，其中音乐社团有x人参加，朗诵社团的人数比音乐社团人数的两倍少y人，舞蹈社团的人数比朗诵社团人数的一半多3人． （1）参加朗诵社团有 　 人；（用含x，y的式子表示） （2）求朗诵社团比舞蹈社团多多少人？（用含x，y的式子表示） （3）求美术社团有多少人？（用含x，y的式子表示） （4）若x＝65，y＝40，求美术社团的人数． 6．（2023秋•中原区校级期末）学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）． （1）若在A网店购买，需付款 　 　元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ （3）当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$