精品解析：2024-2025学年 华师大版九年级上册开学摸底考试数学试卷A卷

2024年秋华师大版九年级开学摸底考试数学试卷A卷 满分：120 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 八年级甲、乙两班学生在一次数学测试中，成绩的方差如下：，，则成绩较为稳定的是（ ） A 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠9 B. x＞9 C. x≤9 D. x≥9 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中，则7nm用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如果点在x轴上，那么点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，化简结果为-5的是（ ） A. B. C. D. 6. 直线经过点、，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 8. 若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，▱OABC的顶点，，点是边的中点，则对角线，的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数的表达式为 B. 点不在该函数图象上 C. 点，在图象上，若，则 D. 将图象向上平移1个单位得到直线 11. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 12. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将纸片沿折叠，点落在上一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．以上结论中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 13. 某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示： 项目 题目分析 解法讲解 题目拓展 成绩 若按照题目分析占，解法讲解占，题目拓展占来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______________. 14. 若最简二次根式与可以合并，则______． 15. 如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是______． 16. 如图，在直角坐标系中，点的坐标，把线段沿轴正方向移动4个单位，得到四边形．若点在轴上，当时，点的坐标为________． 17. 如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 18. 计算： （1） （2）． 19. 某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为分．现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 甲 乙 ，， （1）表中___；___． （2）求出乙得分的方差． （3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 20. 如图，一次函数和的图象相交于点，且一次函数分别与轴和轴交于和，若，． （1）求直线解析式； （2）若不等式的解集是．求的值． 21 某商场从生产厂家购进A、B两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示： A B 进价（元/件） m 售价（元/件） 110 145 已知该商场用2400元从生产厂家购进A玩具的数量与用3000元购进B玩具的数量相同． （1）求m的值； （2）该商场计划同时购进A、B两种玩具共200件，其中A玩具最多购进120件，最少购进100件．实际进货时，所有每件A玩具的进价下调10元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润． 22. 图，在平面直角坐标系中，y=-3x+15经过点A（3，a），与x轴交于点C，线段AB平行于x轴，交直线于B点，连接OA，CB． （1）直接写出：a=___________，点C的坐标为___________． （2）求证：四边形AOCB为平行四边形． （3）动点P从O出发，沿对角线OB以每秒2个单位长度的速度向B运动，直到点B为止，动点Q同时从B出发，沿对角线BO以每秒2个单位长度的速度向O运动，直到点O为止，两个点运动几秒后，四边形CPAQ为矩形． 23. 综合与探究： 在矩形中，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点的对应点为点． （1）如图1，当点与点重合，点落在上时，求长； （2）如图2，当点是的中点，且时，连接，求的长； （3）如图3，当，点恰好落在上时，延长交于点，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋华师大版九年级开学摸底考试数学试卷A卷 满分：120 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 八年级甲、乙两班学生在一次数学测试中，成绩的方差如下：，，则成绩较为稳定的是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的意义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴＜， ∴成绩较为稳定的是乙班， 故选：B． 【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠9 B. x＞9 C. x≤9 D. x≥9 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：x-9≥0， 解得：x≥9， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中，则7nm用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：则7nm用科学记数法表示为7×10-9m． 故选D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 如果点在x轴上，那么点P的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 5. 下列二次根式中，化简结果为-5的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6. 直线经过点、，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一次函数的性质，比较函数值的大小，根据一次函数的解析式判断出增减性，然后利用增减性求解． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简计算，利用约分，通分，因式分解计算即可． 【详解】 ， 故选C． 8. 若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立． 【详解】A. 由图象可知：，故A错误； B. 由图象可知：，故B正确； C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误； D. 由图象可知：，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键． 9. 如图，▱OABC的顶点，，点是边的中点，则对角线，的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得，再证明为的中位线，结合中位线的性质求得，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，对角线，的交点为， ∴， 又∵点是边的中点， ∴，且， ∵点， ∴点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 10. 如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数的表达式为 B. 点不在该函数图象上 C. 点，在图象上，若，则 D. 将图象向上平移1个单位得到直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键． 先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项． 【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意； B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意． C．在中，y随x增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意． D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意． 故选：D． 11. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，延长交于点，延长交于点，证明四边形、四边形均为平行四边形，得到，再证明和是等边三角形，得到，进而推出，则． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， ∵，，， 四边形、四边形均为平行四边形， ∴． 为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵的周长为9， ∴ ， 故选D． 12. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将纸片沿折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．以上结论中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形．又由翻折的性质，可得．进而得是菱形，因此①正确；由假设平分，则，进而只有，这与的度数不确定矛盾，因此②错误；根据勾股定理得到的最小值为，由菱形性质得到的最大值为．则线段的取值范围为，因此③正确；过点作于点，由菱形性质及矩形的判定及性质得．从而在中，利用勾股定理可判定④正确． 【详解】∵与，与都为矩形中对边，上的一部分， ∴，． ∴四边形是平行四边形． 又由翻折的性质，可得． ∴是菱形，因此①正确； ∴． 若平分，则， ∵， ∴只有，这与的度数不确定矛盾，因此②错误； 当点与点重合时，设，则． 在中，即， 解得，得到最小值为；点与点重合时， ， ∴，得到的最大值为． ∴线段的取值范围为，因此③正确； 如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 在中，因此④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共个． 故选． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，平行四边形的判定，菱形的判定及性质，矩形的判定及性质，熟练掌握折叠的性质及菱形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 13. 某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示： 项目 题目分析 解法讲解 题目拓展 成绩 若按照题目分析占，解法讲解占，题目拓展占来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．利用加权平均数的计算方法解题即可． 【详解】解：选手的综合成绩为：， 故答案为：． 14. 若最简二次根式与可以合并，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类二次根式、最简二次根式的定义解决此题． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键． 15. 如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点的横纵坐标． 【详解】解：由图知：函数和的图象交于点， 则，同时满足两个函数的解析式， 是二元一次方程组解． 故答案为：． 16. 如图，在直角坐标系中，点的坐标，把线段沿轴正方向移动4个单位，得到四边形．若点在轴上，当时，点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移以及性质，平行四边形的判定和性质，绝对值的意义．过点C作轴于E，由平移的性质得四边形为平行四边形，，，设点D的坐标为，则，，先求得，根据题意得，解方程求得a即可． 【详解】解：过点C作轴于E，如图所示： 由平移性质得：，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点， ∴， 设点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴或， 由，解得：，则点D的坐标为， 由，解得：，则点D的坐标为， ∴点D的坐标为或者． 故答案为：或． 17. 如图，在中，为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；作辅助线构造全等三角形是解题的关键；过点D作，且，分别连接；证明，则有，故，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则， ∴； 在中，，， ； ， , ； ， ， ， ， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 18. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案； （2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 19. 某校准备从甲、乙两名同学中选派一名参加全市组织的“学宪法，讲宪法”比赛，分别对两名同学进行了八次模拟测试，每次测试满分为分．现将测试结果绘制成如下统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 甲 乙 ，， （1）表中___；___． （2）求出乙得分的方差． （3）根据已有的信息，你认为应选谁参赛较好，请说明理由． 【答案】（1），； （2）乙的方差为； （3）应选甲参赛较好，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）根据中位数，方差，平均数，众数的定义求解即可． 【小问1详解】 甲的成绩从小到大排列为：，，，，，，， ， 甲的中位数， 甲的数据中，出现了次，出现的次数最多， 众数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 乙的平均数为， 乙的方差为：， 【小问3详解】 选甲参赛较好(答案不唯一)，理由如下： 从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些，所以选甲参赛较好． 【点睛】本题考查了方差，中位数，众数，平均数，折线统计图，解题的关键是掌握相关知识，并数形结合． 20. 如图，一次函数和的图象相交于点，且一次函数分别与轴和轴交于和，若，． （1）求直线的解析式； （2）若不等式的解集是．求的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出直线的解析式． （2）根据图像即可求出点横坐标，将点横坐标代入即可求出点坐标，将其代入即可求出的值． 【小问1详解】 解：由图可知，和在一次函数上， ，， ， ， ， 直线的解析式为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：的解集是，点为和交点， 的横坐标为1． 将点的横坐标1代入中，解得． ． 将代入中，， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是一次函数图像以及利用不等式解集求解一次函数中未知数，解题的关键在于熟练掌握待定系数法求解析式以及学会利用图像法找出关键信息交点的横坐标． 21. 某商场从生产厂家购进A、B两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示： A B 进价（元/件） m 售价（元/件） 110 145 已知该商场用2400元从生产厂家购进A玩具的数量与用3000元购进B玩具的数量相同． （1）求m的值； （2）该商场计划同时购进A、B两种玩具共200件，其中A玩具最多购进120件，最少购进100件．实际进货时，所有每件A玩具的进价下调10元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润． 【答案】（1）的值为80； （2）该商场销售这些玩具能获得的最大利润为8500元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）利用数量总价单价，结合该商场用2400元从生产厂家购进玩具的数量与用3000元购进玩具的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设购进件玩具，该商场销售完这些玩具获得的总利润为元，则购进件玩具，利用总利润每件玩具的销售利润购进玩具的数量每件玩具的销售利润购进玩具的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：的值为80； 【小问2详解】 设购进件玩具，该商场销售完这些玩具获得的总利润为元，则购进件玩具， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值（元． 答：该商场销售这些玩具能获得的最大利润为8500元． 22. 图，在平面直角坐标系中，y=-3x+15经过点A（3，a），与x轴交于点C，线段AB平行于x轴，交直线于B点，连接OA，CB． （1）直接写出：a=___________，点C的坐标为___________． （2）求证：四边形AOCB为平行四边形． （3）动点P从O出发，沿对角线OB以每秒2个单位长度的速度向B运动，直到点B为止，动点Q同时从B出发，沿对角线BO以每秒2个单位长度的速度向O运动，直到点O为止，两个点运动几秒后，四边形CPAQ为矩形． 【答案】（1）6；（5，0）； （2）见解析 （3）两个点运动或秒后，四边形CPAQ为矩形 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质求解即可； （2）先求出点B的坐标，即可推出AB=OC，，即可证明结论； （3）根据矩形的性质可以推出AC=PQ，利用勾股定理求出AC，OB的长，然后表示出PQ的长，由此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中，y=-3x+15经过点A（3，a），与x轴交于点C， ∴，点Ｃ的坐标为（5，0）， 故答案为：6；（5，0）； 【小问2详解】 解：由（1）得点A的坐标为（3，6）， ∵AB∥x轴， ∴点B的纵坐标为6， ∵点B在直线上， ∴当y=6时，，解得x=8， ∴点A的坐标为（8，6）， ∴AB=5， ∵点C的坐标为（5，0）， ∴AB=OC=5， 又∵， ∴四边形AOCB是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图1所示，当点P在AC下方时，设运动时间为t秒， 由题意得， ∵四边形CPAQ是矩形， ∴AC=PQ， ∵,， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，当点P在AC上方时，则， 同理可得， ∴； 综上所述，两个点运动或秒后，四边形CPAQ为矩形． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的判定，勾股定理，矩形的性质等等熟知相关知识是解题的关键． 23. 综合与探究： 在矩形中，，，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点的对应点为点． （1）如图1，当点与点重合，点落在上时，求的长； （2）如图2，当点是的中点，且时，连接，求的长； （3）如图3，当，点恰好落在上时，延长交于点，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； （3）AH的长为． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由折叠的性质，得，在中，根据勾股定理即可求解； （2）由矩形的性质可得，，，由点是的中点，可得，结合折叠的性质可推出是正方形，得到，推出，在中，根据勾股定理即可求解； （3）连接，，根据题意可求出，在中，由勾股定理得到，由折叠的性质，得，，推出，，进而得到，可证明，得到，设，则，根据勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得； 【小问2详解】 四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 由折叠的性质，得，． ， ， 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形． ， ， 在中，由勾股定理，得； 【小问3详解】 的长为． 如图，连接，， 四边形是矩形， ，，． ， 在中，由勾股定理，得， 由折叠的性质，得，， ，， ． 在和中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 解得， 的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$