河南省驻马店市经济开发区2024-2025学年高三上学期联考（三）（10月）数学试题

2024-2025 年度河南省高三年级联考(三 数 学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 台 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 4.本试卷主要考试内容:集合,常用逻辑用语,不等式,函数,导数,三角函数,平面 向量(含解三角形),复数,数列 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若集合A={x|x*-2x-3>0),B-(xl|x|<3),则A○B= C.(-3,一1) 我 A.(-1,3) B.(-3,1) D.(-3,3) 2.复数2-i2^*在复平面内对应的点所在的象限为 K A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 3.“x-1<1”是“4*<16”的 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 A B C.1 D.-1 班 cos2x 完 5.函数f(x)一 一的部分图象大致是 ####、#_# x十sin2 6.平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问 题,很多数学定理以费马的名字命名,对八ABC而言,若其内部的点P满足/APB三/BPC =CPA=120{*,则称P为△ABC的费马点.在△ABC中,已知 PBC=15{*},设P为 △ABC的费马点,PB-/2+V6,△ABC的外接圆半径长为3十33,则sinBAC= # D# 【高三数学 第1页(共4页]】 B C D.0 8.已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x十2)=f(2-x),则/(1)十/(2)十/(3)十.十 /(2024)一 A.0 B.-23 C.253 D.506 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知a<6<0<c,则下列不等式成立的是 B## ### ### 10.已知△ABC是边长为4的正三角形,该三角形的内心为点O,下列说法正确的是 A.BO在AB方向上的投影向量的模为2 BAB·A-8/③ D.若P为△ABC外接圆上任意一点,则PA+PB+PC|-4③ 11.已知函数f(x)一sinax(>0),下列说法正确的是 A.当=2时,函数y=/(c)+sinx-cosx的值域是[-2-1,5] B.将f(x)图象的横坐标缩短为原来的一,纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,则函数y h(x)-logx有3个零点 C.若函数y-f(tx)-co aux在区间(3-)内没有零点,则的取值范围为[5] D.若-2,g(x)=/(x-),记方程g(x)-在[o,3r]上的根从小到大依次为x1,x② 85 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.若“xER:nx{十nx-2>0”为假命题,则n的取值范围是。 13.已知定义域为R的函数f(x)在[3,十oo)上单调递增,且f(6一x)=一f(x),则不等式 f(x2-2x)十/(3x)<0的解集是△. 14.若函数f(x)的图象上存在两点P,Q关于y轴对称,则点对[P,Q]称为f(x)的“比肩点 对”(点对[P,Q]与[Q,P]视为同一个“比肩点对”).若函数f(x) ((x-1)2(x2-3xlnx-2) 0. 2 恰有4个“比肩点对”,则实数a的取值范围是△ a(x十1)②,x0 【高三数学 第2页(共4页)】 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinAcosB=asinBsinC (1求角B; 16.(15分) (1)当a一6时,求f(x)的极值; (2)讨论f(x)的单调性 17.(15分) 设数列{a。)的前n项和为S.,对于任意的nEN.,a.,=a。+3恒成立,且S.=a。 (1)求a)的通项公式; (2)若b.=[loga.],其中[x]是高斯函数,表示不超过x的最大整数,如[log2]=0. [log。10]-2,求数列(.)的前200项和T2o0 【高三数学 第3页(共4页)】 18.(17分) 已知数列{.)的通项公式为b.-3”,数列(a。)满足a,+a。+...+a。一3”-3n-3, CN. (1)求a,a:的值及a.)的通项公式 a。,n二5. (2已知c.一 a□! ,设数列(d.) l3a.-,n>5, 600 的前2项和为T(N),试比较 出 三 19.(17分) {内不 已知函数f(x)与g(x)的定义域的交集为D.若f(x)g(x)二0对xED恒成立,则称 f(x)与g(2)为同号函数,例如x(a+-1)-}-x+-(x-){→o,则函数f(x) 要 [m:m士2)恒成立,则称f(x)与g(x)为区间同号函数 (1)设函数f(x)-(x-4x+3)e(0<x<4),f(x)-x-2lnx-1,f(x)-(x-2)-1 答 (0<x<4),试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数?请说明你的理由 (2)设函数f(x)=e-x-2,g(x)=e-ln(x+2)-2 。 (I)证明:f(x)与g(x)为同号函数 (\)若g(c)>+4x+1 #2 3 恒成立,证明:a<一6. 【高三数学 第4页(共4页)】2024一2025年度河南省高三年级联考（三） 数学参考答案 1.C因为A={xx<-1或x>3},B={x|-3<x<3},所以A∩B=(-3,-1). 2.D由题意可知，2一=2一i,对应的点(2，一1)位于第四象限. 3.Ax一1<1等价于0<x<2,4“<16等价于x<2,所以由前者可以推出后者，反之不行， 故“x一1<1”是“4<16”的充分不必要条件. D因为a∈(o受)na2答所以ma=2由ama+》=2月方，解得m=-l 2/5 2+tan3_1 5.B易知f(.x)是奇函数，排除选项A,D.当.x∈(0，)时，f(x)>0,排除选项C,故选B. 6.C如图，因为∠PBC=15°，∠BPC=120°，所以∠PCB=45°，在 △PBC中，(6+2)×2=BC×名，解得BC=3+3.在△ABC /3 中，因为BC-=23+33).所以nBAC- 3+√3 6 .-1=-1 .B由题意可知9v9十x2-1≥2V9z一9yx 3· 当且仅当g一之，即y一号时，等号成立 8.A由f(x)是R上的奇函数，可得f(一x)=一f(x),且f(0)=0,由f(x+2)=f(2-x), 得f(x+4)=f(-x),得f(4)=0,且f(.x十8)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数， 所以f(8)=f(0)=0.由f(.x+4)=-f(x),得f(4)=0,且f(x十4)十f(x)=0,则f(1) +f(5)=0.f(2)+f(6)=0,f(3)+f(7)=0,可得f(1)十f(2)+f(3)+十f(8)=0.又 2024=253×8,所以f(1)+f(2)+f(3)+·+f(2024)=253[f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(8)]=0. .BD对干A,因为a<<0<c,所以>石，从面后>合故A错误 对于B,两边同时乘以ab,得b2<a2,则1b<a,从而b>a,故B正确 对于C,两边同时乘以a(a一c),得a>b,与题设矛盾，故C错误 对于D,易知函数f)-兰在(-0,0)上单调递减，因为a<<0,所以子-。>名-6， 则子+6>名+a,放D正确 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 1O.ACD如图，可知1Ad=Cd1=Bd1=4,Bò在A店方向上的投影向 3 最为，=2，放A正确因为店·40=4××受-8 3 所以B错误心+-√0+AO示-4后故C正确 PA+PB+PC1=1OA-Op+OB-OP+O元-OP1=OA+OB+O元-3OP1=3OP1,由 0=21OP,得OP-45从面i+应+心=45，放D正确 4 11.ABD对于A,当a=2时，函数y=sin2.x十sinx一cosx=2 sin rcos x+sinx一cosx, 令imx-osx=4=2sim(x-要)∈[-2w2],则y=-2+1+1=-(-号》）'+，它 的值城是[一2-1，]故A正确 对于B,可知h(x)=sinπx,函数y=sinπx一log1x的零点个数即函数y=sinπx与函数y =log1x的图象的交点个数，画出它们的草图（图略），可知有3个交点，故B正确. 对于C,y=sin wr一0s=2sim(or一平），令y=0,得ar一牙=kx,所以x= kπ十 ∈么因为f)在区间号·)内设有零点，所以只需。<号且。了≥受 2 解得2张十<w<号k+令=0,得<<名令=-1，得一< 2 因为w>0,所以m的取值范围为(0，]U[2,],故C错误 对于D.可知g)=n(2x-）,令2x-吾=4∈[-号，1]， 画出y=sint的图象，如图所示. 设函数y=sint与函数y=的图象的六个交点的横坐标从左到右依次为t121314s, t6,则t1十t6=13十t4=t2十t=5π，所以x1十2.x2十2.x3十2.x4十2x5十x6=(x1十x6)十(2.x2 +2.x5)+(2.xa+2x4), 所以x+2,+2x+2x,+2x,+x=(+6+）+(:+4+）+(,++） 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 8管故D正确， 12.(一8,0]由题意可知，“Hx∈R,m.x2+mx-2<0”为真命题. fm<0, 当m=0时，一2<0显然成立：当m≠0时，可知 解得一8<m<0. l△=m2+8m<0, 综上，m的取值范围是（一8,0]. 13.(-3,2)由f(6-x)=-f(x)可知f(x)的图象关于点(3,0)对称.因为f(.x)在[3，十∞) 上单调递增，所以f(x)在R上单调递增.f(x2一2.x)十f(3.x)<0可化为f(x2一2.x) f(6-3.x)<0,即f(x2-2.x)<f(6-3x),所以x2-2x<6-3x,解得-3x<2. 14.(1一3n2,一1)曲线y=a(x十1)(x≤0)关于y轴对称的图象的解析式为y=a(x一1) r>0.y=-1(r二3n【-2(x>0)与y=ax-1)2(x>0)的图象有4个交点， 即方程r-1)(x-3xnx-2》=ax-1D'x>0)有4个根，即a=-3xnr-2(x> 0)有3个根. 设gx)=-3xlnx-2(r>0,于是g'(x)=（c-1)r-2(x>0,可知g(r)在(0. 1),(2,+o∞)上单调递增，在[1,2]上单调递减，所以g(2)<a<g(1),即1一3ln2<a<-1, 方程a=-3血r一2(x>0)恰有3个根，所以原函数有4个“比肩点对”，故实数a的取 值范围是(1-3ln2,-1). l5.解：(1)因为csin Acos B=asin Bsin C, 所以sin Csin Acos B=sin Asin Bsin C,… 2分 因为sinA>0,sinC>0,所以cosB=sinB,…4分 所以tanB=L.… 6分 又B∈0，x,所以B=至 …7分 2)因为2X3csi开=号所以c=3②，……9 所以6=a2+e2-2 Baccos B=9+18-2X92×号 2 =9,…12分 解得b=3.…13分 16,解：1)当a=6时，fx)=x2+x2-6x+4,则fx)=3x+3x-6=3r+2z-1 …2分 由f'(x)>0,得x<-2或x>1,则f(x)在（一∞，-2）和(1，十o∞)上单调递增；…3分 由'(x)<0,得一2<x<1,则f(.x)在（一2,1）上单调递减.…4分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 故f()m=f-2)=14,fx)=f)=号 …6分 (2)由题意可得'(x)=3.x2十(a一3)x-a=(3.x十a)(.x-1).…8分 当-3<1，即a>-3时，当x∈(-©，-号)U1,+∞)时，f(x)>0,当x∈(-9) 时，了(x)<0,则f(x)在(-∞，-号)和1，+∞)上单调递增，在(-分)上单调递减： …10分 当-号=1，即a=一3时，f(x)>0恒成立，则fx)在R上单调递增： …12分 当-号>1，即a<-3时，当x∈(-∞，1U(-号，十∞)时f(x)>0,当x∈(1，-g) 时，'(x)<0,则f(x)在(-，1)和(-号，+）上单调递增，在(1，一)上单调递减 ……14分 综上，当a>-3时，f(x)在(-∞，-号)和(1，十∞)上单调递增，在(-号，1)上单调递减： 当a=-3时，f(x)在R上单调递增：当a<-3时，f(x)在(-o,1)和(-名，+o∞)上单 调递增，在(1，一号）上单调递减.… …15分 17.解：(1)由题意知{an}是公差为3的等差数列，… 2分 4X×3 则S,=4a1+2 X3=a1十8X3,…4分 解得a1=2,从而an=2十(n-1)X3=3一1.…6分 (2)因为bn=[10g3(3n一1)]，所以b1=[10g32]=0.…7分 令16g,（3n-1<2.得号≤n<号满足条件的n有2个，…8分 令2og3m-1<3,得9≤n<9满足条件的n有6个，…9分 28 82 令3<10g(3m1D<4,得袋≤n<3满足条件的n有18个，…10分 244 g(3-1)5,得n<3满足条件的n有54个，…… 满足5≤1og(3n-1)≤1og599<6条件的n有200-(1+2+6+18十54)-119个，… …13分 所以T20w=b1+b2+…+b2ow=[log32]+[1og5]+[log8]+…+[1og596]+[log3599]=0 十1X2十2X6十3X18+4X54十5X119=879.…15分 18.解：(1)因为bn=3",所以b1=3,b2=9.… …1分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 当n=1时，由题设可得a1b1=3-3一3，即3a1=一3，所以a1=一1.…2分 当n=2时，由题设可得a2b1十a1b2=0,即3a2十9a1=0,所以a2=3.…3分 当n≥2时，由题设可得3"a1十3-a2十…十32a。-1十3am=3-3n一3①， 则3"a1十32a2十…十3aw-1=31-3n②.…4分 在②式两边同时乘以3，得3"a1十3"-a2十…十3am-1=3”一9n③.…5分 由①-③得34.=6n-3,即a.=21一1.又由上可知，a1=一1不适合上式， …6分 -1,2=1, 故{a,}的通项公式为am= …7分 (2n-1,n≥2且n∈N”. awn≤5， (2)因为cn= 所以数列{c.)的前20项和 3am-5,n>5, So=(c1+c2十c3十c4十cs)+(c6十c7+…十c20) =(a1十a2十…十a5)十3(a1十a2十…十a1s) =(-1十3+5十7+9)+3×(-1)十3×(3+5十…十29)=692.…9分 当≥2时d--8D(-1·+ 。…11分 所以T=d1+d2十d3+…十d2 -号+分+)（号+）++十中》 -号+g+日+…叶+ 号+号+)君+财+2 …13分 600 可知g+S0 14分 当k=1284时，<0，所以3 600T,… 15分 2(k-5) 当k=5时，21(4k+1 =0.所以g+S 600=T,…16 16分 2(k-5) k6时24十≥0，所以g0S>T…17分 19.(1)解：f(x)=x2-4x+3,f1(x)f3(x)=(x2-4x+3)e≥0， 则f(x)与f3(x)为区间同号函数.…1分 5r)=1-2=二2(x>0),当x∈(0,2)时，5x)<0,f(x)单调递减：当x∈(2，+o∞) 时，f2(x)>0,f(x)单调递增。… …2分 因为f(1)=0,f2(3)=2(1-ln3)<0,所以f2(x)≤0对x∈[1,3]恒成立.…3分 又f,(x)≤0，fs(x)≤0对x∈[1,3]都恒成立，所以存在m=1,使得f1(x)f2(x)≥0， f,(.x)f3(x)≥0对x∈[m,m十2]都恒成立，所以这三个函数中任意两个都互为区间同号 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 函数.…4分 (2)证明：(i)(x)与g(x)的定义域的交集为（一2，十o∞）. 当f(x)≥0时，e≥x+2,则x≥ln(x+2),所以e+x≥x+ln(x+2)+2,即g(x)≥0： 当f(x)<0时，e<x+2,则x<ln(x+2),所以e+x<x+ln(x+2)+2,即g(x)<0. …7分 故f(x)g(x)≥0恒成立，则f(x)与g(x)为同号函数. …8分 ()因为x+2>0,所以由g(c)≥12十3得a≤<x+2)e-(x+2h(c+2)日 3 2(x+2)-t+2)(x2+4x+1) …9分 令h(x)=(x+2)e-(x+2)ln(x+2)-2x+2)-r+2)(r+4红+D 3 则h'(x)=(x十3)e-ln(x十2)-x2-4.x一6.…10分 当e≥x+2时，x≥ln(x+2),可得h'(x)≥(x+3)(x+2)-x-x2-4x-6-0; 当e<x十2时，x<ln(x十2)，可得h'(x)<(x+3)(x+2)-x-x2-4x-6=0. …11分 f'(x)=e一1，当x∈（一∞，0）时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，f(x)> 0,fx)单调递增，所以f(x)最多有两个零点.因为f(-2)=>0f(-1D=是-1<0， f(1)=e一3<0，f(2)=e2-4>0,所以f(x)在(-2，一1)和(1,2)内各有一个零点，不妨假 设x1∈(-2，一1)，x2∈(1,2).…13分 当x∈（一2，x1)时，h(.x)单调递增；当x∈(x1,x2)时，h(x)单调递减：当x∈(x2,+©）时， h(x)单调递增。…14分 当x→-2时，h(x)→0.h(x2)=(.x2十2)e-(.x2十2)ln(x2十2)-2(x2十2) (x2+2)(z8+4x,+1=_（x+2)(x+4十1D<0.…15分 3 3 i设ux)=-+2)(x+4r+D1<r<2,则M)=-(x2+4r+3)<0. 3 因为x∈(1,2)，所以u(x)单调递减，所以a≤h(x2)<u(1)=一6， 故公<一6.…17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】