精品解析：辽宁省大连市名校联盟2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年度第一学期联盟试卷（二） 九年级数学 注意事项： 1、请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2、本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列球类图标中，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形概念，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心，对称点中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键； 根据中心对称图形的概念解题即可； 【详解】解：A，B没有对称中心； C选项是中心对称图形； D选项圆环上面厚度和下面厚度不一致； 故选：C 2. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把移到方程右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出答案． 【详解】解： 故选：B． 3. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的值可以是． 故选：D． 4. 若函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的图象在第二、四象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：函数的图象在第二、四象限， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数的图象在第二、四象限是解答此题的关键． 5. 对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 抛物线的对称轴是直线，则b的值为（　　） A. B. 4 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像的对称轴公式列出关于b的方程计算即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线 ∴抛物线对称轴为，解得：． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键． 7. 如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的系数的几何意义得出 ，即可求出． 【详解】解：， ， ， 在该图像上， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，正确表示出时解题的关键． 8. 如图， 中，．将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△由△ 绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ） A. （0， 1） B. （1， -1） C. （0， -1） D. （1， 0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：由图形可知， 对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线过点（0，-1），根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心． 故旋转中心坐标是P（1，-1） 故选B． 10. 如图，在正方形中，点分别在边和上，，垂足为G，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质及，即可判断出，得到； 根据，设，即可用含的式子表示、 ，利用勾股定理即可求出，进一步求出，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、勾股定理、等面积法求线段长度，熟练掌握证明全等的几种方法：①；②；③；④；⑤及等面积法求边线段长度的方法是解此题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当k________时，关于x的函数是反比例函数． 【答案】## 【解析】 【分析】本剧反比例函数的定义解题即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握形如的函数是反比例函数是解题的关键． 12. 已知点关于原点对称的点在第四象限，那么m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，结合第四象限内坐标符号特点，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于原点对称点为，且在第四象限 ∴ 即 故答案为 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，熟练掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题关键． 13. 《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可． 【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺， 门为矩形， 有， 即． 故答案为：． 14. 在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： x …… -1 0 1 2 3 4 …… y …… -7 -2 m n -2 -7 …… 则m、n的大小关系为m_________n．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】= 【解析】 【分析】根据表格信息，找出一对自变量不同，函数值相同的点，求出对称轴，然后求出x=1与x=2到对称轴的距离，判定点（2，n）与（1，m）关于抛物线对称轴对称，利用对称轴确定即可． 【详解】解：根据表格信息，x=-1,与x=4时函数值都是-7， ∴抛物线的对称轴为 ∵， ∴点（2，n）与（1，m）关于抛物线对称轴对称， ∴． 故答案为：=． 【点睛】本题考查表格信息的获取与应用，求抛物线的对称轴，利用对称性质确定函数值的大小是解题关键． 15. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为 ，连接 ．若将绕点A逆时针旋转90°得到，点恰为抛物线的顶点，此抛物线与x轴相交于C，D两点，则线段的长为___． 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据题意求出点的坐标，进而得到抛物线的解析式，然后当时，即可求出C，D两点的坐标，最后可求出线段的长． 【详解】如图，作轴于点E，轴于点F， ∵绕点A逆时针旋转90°得到， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴抛物线， ∴当时，，即， 解得， ∴ ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了旋转的性质，二次函数的图象和性质，以及二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是根据旋转的性质得到点的坐标． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 17. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张． （1）求单位纸的用纸量月平均降低率； （2）根据（1）的结果，估算5月份单位纸的用纸量． 【答案】（1）单位纸的用纸量月平均降低率为 （2）估算5月份单位纸的用纸量为512张． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设单位纸的用纸量月平均降低率为x，则3月份的用纸量为张，4月份的用纸量为张，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式计算即可． 【小问1详解】 解；设单位纸的用纸量月平均降低率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：单位纸的用纸量月平均降低率为； 【小问2详解】 解：张， 答：估算5月份单位纸的用纸量为512张． 18. 世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的值，并解释它的实际意义． 【答案】（1） （2），且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求反比例函数，即可作答； （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点在反比例函数上， ， 解得：， ， 且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为． 19. 如图，在中，点E是 上一点，射线与的延长线交于点P，与边交于点F，连接． （1）若，求证：； （2）若点D是中点，，求 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质和已知条件可证明，据此证明，得到，即可证明 （2）先证明，得到，则，再证明，得到，则． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 即 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点，与轴，轴分别交于点 ，点，其中． （1）求一次函数解析式； （2）若，求反比例函数解析式． 【答案】（1） （2）反比例函数解析式为 【解析】 【分析】（1）根据点 的坐标以及，得到点 的坐标，将 、 的坐标代入解析式解方程组即可得到答案； （2）根据得到点的纵坐标，再根据点在直线上得到点的横坐标，再将点的坐标代入反比例函数即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 将，代入得， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过作于点 ， ，， ， ，即， 点在直线上， ， ， ， 点在反比例函数图象上， 反比例函数解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数的解析式，采用数形结合的思想解题，是解决此题的关键． 21. 清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主题公园，占地600余亩，坐落在开封城风光秀丽的龙亭湖西岸．它是依照北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的，于1998年10月28日正式对外开放．2021年10月，入选首批河南省中小学研学旅行实践基地拟认定名单．如图为园中一座桥，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是．按如图所示建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为． （1）求桥拱部分对应的抛物线的解析式； （2）某天，一艘船经过桥下，如图，船的宽度，船上放置长方体的集装箱，集装箱的高度，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，求此时船的左侧点D与点O的距离． 【答案】（1） （2）船的左侧点D与点O的距离为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）令，求得，分情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 由题意得：水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是， 结合函数图象可知，顶点，点， 设二次函数的表达式为， 将点代入函数表达式，， 解得：， ∴二次函数的表达式为， 即； 【小问2详解】 解：集装箱的高度，若该船恰好贴着桥拱经过桥下， 则，即， 则， ∵船的宽度， 由题意得：当船在对称轴左侧时，点C恰好经过桥拱， 此时船的左侧点D与点O的距离， 当船在对称轴右侧时，点F恰好经过桥拱， 此时船的左侧点D与点O的距离． 即此时船的左侧点D与点O的距离为或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． 22. 【观察发现】（1）如图1，已知在 中，，分别以点A，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，作直线，直线交 于点 ，连接，则 与的数量关系是__________． 【探究迁移】（2）在（1）的条件下，，，如图2，将沿翻折得到，连接，． ①判断的形状，并说明理由； ②求出的长． 【拓展应用】（3）如图3，在 中，，， 是边 上一个动点，连接，将绕点 顺时针旋转，得到 ，作射线，交 于点 ，交 于点，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①为直角三角形．理由如下： 由（1）作图可知 是 的中点， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ②； （3） 或3． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、全等三角形的判定与性质、垂直平分线、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由作图过程可知：是线段 的垂直平分线，即；然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）①由（1）作图可知 是 的中点，则，然后再说明即可解答；②如图1，作，交 于点 ，设与相交于点，由勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，．进而得到，最后运用勾股定理即可解答； （3）如图2，连接，，再证明可得、．然后解直角三角形可得、．再分、两种情况解答即可． 【详解】解：（1）由作图过程可知：是线段 的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即． （2）①略 ②如图1，作，交 于点 ，设与相交于点， ∴， ∴，． ∵点A， 关于直线对称， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图2，连接，， 当点在线段 上时． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴垂直平分 ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ∵或， ∴或1， ∴或3． 23. 在三角形中，等腰直角三角形是非常特殊且重要的几何图形，它们不仅图形优美且性质众多，基于理解，请认真阅读并解决下列问题． （1）如图1，平面直角坐标系xoy中，点A（4，0），点P为反比例函数（）图象上一点且在第一象限，若△OPA为等腰直角三角形，求反比例函数的解析式； （2）如图2，直线（，k为常数）与坐标轴分别交于A，B两点，△OAB为等腰直角三角形，C，D是线段AB上两动点（C在D的左边），且始终满足∠COD=45°，问：AC·BD是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由； （3）如图3，抛物线（a为正整数，b、c为常数）与x轴正半轴交与A、B两点，与y轴正半轴交于点C，顶点为点D，连接AC，AD，BC，BD．若抛物线满足以下三个条件：①△ABD是等腰直角三角形；②∠OCA=∠OBC；③抛物线图象始终在直线的上方．求抛物线的二次项系数a． 【答案】（1）反比例函数的解析式为或 （2）AC·BD是为定值， （3）抛物线的二次项系数 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论的思想方法分两种情形解答：①当∠PAO=90°时，求得点P坐标，利用待定系数法即可求解；当∠OPA=90°时，过点P作PQ⊥OA于点Q，求得点P坐标，利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数的解析式求得点A，B的坐标，进而得到线段OA，OB的长，通过证明△COA∽△BOC，利用相似三角形的性质即可得出结论； （3）设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程ax2+bx+c=0的两根，利用根与系数之间的关系可得m+n=，mn=；通过证明△COA∽△BOC，利用相似三角形的性质得到ac=1；过点D作DE⊥AB于点E，利用等腰直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，得到BE=AB，列出方程求得b值；将抛物线解析式与直线解析式联立，由已知得到<0，求得a的取值范围，根据为正整数即可确定a值． 【小问1详解】 解：①当∠PAO=90°时，如图， ∵点A（4，0）， ∴OA=4， ∵△OPA为等腰直角三角形， ∴PA=OA=4. ∴P（4，4）. ∴k=4×4=16，反比例函数的解析式为y=； ②当∠OPA=90°时，过点P作PQ⊥OA于点Q，如图， ∵点A（4，0）， ∴OA=4， ∵△OPA为等腰直角三角形，PQ⊥OA， ∴OQ=QA=PQ=OA=2， ∴P（2，2）， ∴k=2×2=4， ∴反比例函数的解析式为y=， 综上，反比例函数的解析式为y=或y=； 【小问2详解】 AC·BD为定值，其值为16 理由：令x=0，则y=-4k， ∴B（0，-4k）， ∴OB=-4k. 令y=0，则kx-4k=0. ∴x=4， ∴OA=4， ∵△OAB为等腰直角三角形， ∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=45°， ∴-4k=4， ∴k=-1， ∴OB=4， ∵∠AOC=∠COD+∠DOA，∠COD=45°， ∴∠AOC=45°+∠DOA， ∵∠BDO=∠BAO+∠DOA，∠BAO=45°， ∴∠BDO=∠DOA+45°， ∴∠AOC=∠BDO， ∵∠BAO=∠ABO=45°， ∴△AOC∽△BDO， ∴， ∴AC BD=OAOB=4×4=16． 【小问3详解】 设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程ax2+bx+c=0的两根， ∴m+n= ，mn= ∴ A（m，0），B（n，0）， ∴OA=m，OB=n. ∵ 令x=0，则y=c， ∴C（0，c）. ∵ ∴△COA∽△BOC ∴, ∴ ∴ ∵ a>0，c>0， ∴ac=1． 过点D作DE⊥AB于点E，如图， ∵点D为抛物线的顶点， ∴ ∴ ∵△ABD是等腰直角三角形，DE⊥AB， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴b2=8． ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴． ∵a>0， ∴b<0． ∴． ∵, ∴ ∴． ∵抛物线图象始终在直线的上方， ∴ ∴2-4ac+a<0． ∴a<2． ∵a为正整数， ∴a=1． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，反比例函数图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程根与系数的关系，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期联盟试卷（二） 九年级数学 注意事项： 1、请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2、本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列球类图标中，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于 的方程没有实数根，则 的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象在第二、四象限内，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 当时，随 的增大而增大. 6. 抛物线的对称轴是直线，则b的值为（　　） A. B. 4 C. 1 D. 7. 如图，点P是反比例函数图像上的一点，轴于F点，且面积为4．若点也是该图像上的一点，则m的值为（ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 8. 如图， 中，．将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△由△ 绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ） A. （0， 1） B. （1， -1） C. （0， -1） D. （1， 0） 10. 如图，在正方形中，点分别在边和上，，垂足为G，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当k________时，关于x的函数是反比例函数． 12. 已知点关于原点对称的点在第四象限，那么m的取值范围是___________． 13. 《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为 尺，根据题意，那么可列方程________． 14. 在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： x …… -1 0 1 2 3 4 …… y …… -7 -2 m n -2 -7 …… 则m、n的大小关系为m_________n．（填“>”，“=”或“<”） 15. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为 ，连接 ．若将绕点A逆时针旋转90°得到，点恰为抛物线的顶点，此抛物线与x轴相交于C，D两点，则线段的长为___． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）； 17. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张． （1）求单位纸的用纸量月平均降低率； （2）根据（1）的结果，估算5月份单位纸的用纸量． 18. 世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． （1）求与之间的函数关系式； （2）求 的值，并解释它的实际意义． 19. 如图，在中，点E是上一点，射线与的延长线交于点P，与边交于点F，连接． （1）若，求证：； （2）若点D是中点，，求 的长． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点，与 轴，轴分别交于点 ，点，其中． （1）求一次函数解析式； （2）若，求反比例函数解析式． 21. 清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主题公园，占地600余亩，坐落在开封城风光秀丽的龙亭湖西岸．它是依照北宋著名画家张择端的传世之作《清明上河图》为蓝本建造的，于1998年10月28日正式对外开放．2021年10月，入选首批河南省中小学研学旅行实践基地拟认定名单．如图为园中一座桥，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是．按如图所示建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为． （1）求桥拱部分对应的抛物线的解析式； （2）某天，一艘船经过桥下，如图，船的宽度，船上放置长方体的集装箱，集装箱的高度，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，求此时船的左侧点D与点O的距离． 22. 【观察发现】（1）如图1，已知在中，，分别以点A，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，作直线，直线交 于点，连接，则 与的数量关系是__________． 【探究迁移】（2）在（1）的条件下，，，如图2，将沿翻折得到，连接，． ①判断的形状，并说明理由； ②求出的长． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，， 是边 上一个动点，连接，将绕点 顺时针旋转，得到 ，作射线，交 于点，交 于点，若，，请直接写出的长． 23. 在三角形中，等腰直角三角形是非常特殊且重要的几何图形，它们不仅图形优美且性质众多，基于理解，请认真阅读并解决下列问题． （1）如图1，平面直角坐标系xoy中，点A（4，0），点P为反比例函数（）图象上一点且在第一象限，若△OPA为等腰直角三角形，求反比例函数的解析式； （2）如图2，直线（，k为常数）与坐标轴分别交于A，B两点，△OAB为等腰直角三角形，C，D是线段AB上两动点（C在D的左边），且始终满足∠COD=45°，问：AC·BD是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由； （3）如图3，抛物线（a为正整数，b、c为常数）与x轴正半轴交与A、B两点，与y轴正半轴交于点C，顶点为点D，连接AC，AD，BC，BD．若抛物线满足以下三个条件：①△ABD是等腰直角三角形；②∠OCA=∠OBC；③抛物线图象始终在直线的上方．求抛物线的二次项系数a． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $