专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先移项合并同类项，再将未知数系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 2．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．（2024七年级上·北京·专题练习）． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 4．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程； （1）先去分母，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 5．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），根据移项，合并同类项，系数化为1计算即可； 对于（2），先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以5，得； （2）去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 7．（24-25七年级上·四川凉山·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题概念． （1）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可． 【详解】（1） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （2） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （3） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （4） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）变形合并，系数化为“1”，解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 整理得：， ∴， ∴， 解得： 10．（23-24七年级上·山东济宁·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去括号，移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】（1）解： ∴， 解得：． （2）解：， ∴， ∴； 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 11．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）先去分母、去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解； （3）方程两边同时乘以，依次去括号，即可求解； （4）先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可． 【详解】（1）解： ， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，； （2）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，； （3）解： 两边同时乘以，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （4） 裂项，得：， 化简，得：， 通分，得：， 系数化为1，得： 13．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟悉解一元一次方程的步骤是关键，注意各步不要出错； （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，方程两边同乘12，化为系数是整数的方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：方程两边同乘12，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 14．（23-24七年级上·河南漯河·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键： （1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出y的值即可； （2）运用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 15．（23-24七年级上·广东韶关·期中） 解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）方程整理后，先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： （2）解：整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 16．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（）根据解一元一次方程的方法与步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解一元一次方程的方法与步骤，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解含有分母的一元一次方程的方法与步骤，分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （）根据解含有分母的一元一次方程的方法与步骤，分母化为整数，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了将小数化为分数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的一般步骤求解：先移项，再合并同类项，最后系数化为，即可求出答案； （2）将方程右边进行化简，把除法转化为乘法，然后系数化为，即可求出答案； （3）先将方程中的小数化为分数，然后把方程两边的除法转化为乘法，最后系数化为，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （2）解：， 整理，得：， 即：， 系数化为，得：； （3）解：， 将小数化为分数，得：， 即：， 整理，得：， 系数化为，得：． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （3）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （3）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （4）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可． （1）根据移项、合并同类项、系数化为解题即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可； （4）先整理，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解题即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； （2） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：； （4） 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为得：． 20．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键． （1）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （2）先去括号，然后移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （3）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项、系数化为1，计算即可； （4）先化简、再去分母、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接； ，，，，，． (2)如果，那么 ． 【答案】(1)见解析， (2)或． 【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，解一元一次方程，准确在数轴上找到各数对应的点是解题关键． （1）先化简各数，再在数轴上表示出来，最后根据数轴上左边的数小于右边的数比较大小即可； （2）根据绝对值的意义化简，得到或，求解即可 【详解】（1）解：，， 在数轴上表示如下： ； （2）解：， 或， 或， 故答案为：或． 22．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________． (2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值，解一元一次方程； （1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． （3）分，，化简绝对值，进而解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，原式，此时；当时，原式；当时，原式， 当时，取最小值时，最小值为． 故答案为． （2）解：当时， 当时，，当时，最大； 当，时， 综上所以时，有最大值． 故答案为：10． （3）解：， 当时，原方程可以化为， 解得： （舍去）， 当时，原方程可以化为， 解得：， 当时，原方程可以化为， ， 综上所述，或； 故答案为：3或18． 23．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接： ，，，，， (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． 【答案】(1)数轴见解析，； (2)1或 (3)8 【分析】（1）先准确画出数轴，然后找到各数对应的点，再根据数轴上的数左边比右边的数小，用“”连接即可； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）由题意易得，，然后根据绝对值的性质可进行求解． 【详解】（1）解：，， 数轴如图所示： 用“”连接为：； （2）解：∵， ， 或． 故答案为：1或； （3）解：∵数轴上表示数a的点位于与之间， ∴，， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值，解一元一次方程及合并同类项，准确在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． 24．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【答案】(1)；或 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值； （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据题意对去绝对值即可求解； （3）分数的点位于的左边或的右边两种情况讨论，再分别计算即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或； （2）解：数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：； （3）解：， 数的点位于的左边或的右边， 当数的点位于的左边时，则， 解得； 数的点位于的右边，则， 解得； 综上，或． 25．（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)6 (2)7或 (3)或或0或1 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． （1）利用绝对值的意义去绝对值即可求解． （2）利用绝对值是意义去绝对值即可求解． （3）令，得：，令，得：，又，利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：6． （2）解：由得： 当时，解得：， 当时，解得：， 故答案为：7或． （3）解：令，得：， 令，得：， 又， 则，表示的是x到1和之间的距离之和， ， 符合条件的整数为：或或0或1． 26．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）由绝对值的几何意义可知，数轴上表示数的点到原点的距离为．小小进一步探究发现，在数轴上，表示3和5的两点之间的距离为；表示和5的两点之间的距离为；表示和的两点之间的距离为． 根据以上内容回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离为________． (2)若，则________； (3)若，则________． 【答案】(1)6 (2)7或3 (3)或5 【分析】本题考查的是绝对值的定义，解一元一次方程，数轴上两点之间的距离，解答此类问题时要用分类讨论的思想． （1）根据定义得到； （2）根据定义得到，或，分别解之即可； （3）分类讨论，当时，，解方程；当时，发现 ，不成立，舍去；当时，，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，距离为：， 故答案为：6； （2）解：由题意得，或， 解得：或， 故答案为：7或3； （3）解： 当时，， 解得：； 当时，， 即，不成立，舍去； 当时，， 解得：， 故答案为：或5． 27．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值： （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 28．（2023七年级上·浙江·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，解决本题的关键是理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据绝对值的意义和解一元一次方程的步骤进行计算即可； （2）根据绝对值的意义可得或，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得或， 故方程的解为或； （2）解：已知， 或， 解得或 所以的值为12或， 答：的值为12或． 29．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）一个数在数轴上对应的点到原点的距离是这个数的绝对值，如数轴上表示2的点到原点的距离为，数轴上表示的点到原点的距离，数轴上表示的点到原点的距离为，则表示的意义是数轴上表示的点与表示4的点之间的距离． 根据你对上述文字的理解，解答下列问题： (1)数轴上表示和5两点之间的距离___________． (2)若数轴上表示的点满足，则的值为___________； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得，则的值为___________； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值的定义即可求解； （2）根据绝对值的非负性判断得或，分别求解即可； （3）分多种情况进行讨论求值即可； 【详解】（1）数轴上表示和5两点之间的距离为． 故答案为：． （2） 或， ∴或． 故答案为：或． （3） 当时，，，则，∴； 当时，，，则，∴无解； 当时，，，则，∴； ∴的值为或5． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性的应用及绝对值的定义、解一元一次方程，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 30．（22-23七年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可； （2）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得或， 解得或； （2）解：由绝对值的意义得或， 解得或． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键． （1）观察关于x的方程可得出第n个方程为，且其解为，再结合所给方程即得出答案； （2）根据（1）所得规律解答即可； （3）根据（1）所得规律，分析得出是第个方程的解，再写出这个方程即可． 【详解】（1）解：观察关于x的方程可得出第n个方程为，其解为， 因为，即， 所以该方程的解为； （2）解：由（1）可知第2024个方程的解； （3）解：因为， 所以由（1）可知，该解为第个方程的解， 所以这个方程是，即． 32．（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可． （1）根据所给的图形进行类比得到答案； （2）根据（1）中的结果类比得到公式即可； （3）利用公式得到方程解题即可． 【详解】（1） 观察图形发现： 第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有：个黑点； 第四个图形有个黑点； 第五个图形有个黑点； 故答案为：； （2）依据上边各式得到：第个图形有个黑点， 故答案为：； （3）解： ， 解得：， 答：n的值为． 33．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 【答案】(1)①；3；② (2)2；3 (3) 【分析】本题考查了代数式求值及一元一次方程的解，熟练掌握列代数式是解答本题的关键． （1）①将对应的值代入含有的代数式计算即可；②根据题意可得关于x的方程，解方程即可求解； （2）根据表格中的数据分析判断即可； （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数．又因为时，的值为6．所以．解得即可得到代数式． 【详解】（1）①当时，代数式；当时，； 故答案为：． ②根据题意得， 解得． （2）表中的值的变化规律是的系数是1，的值每增加1，的值就增加1； 的值的变化规律是的系数是2，的值每增加1，的值就增加 2． 类似的，的值的变化规律是的系数是，的值每增加1，的值就减少 3． 故答案为：2；3． （3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数． 又因为时，的值为6． 所以．解得， 故这个代数式为 34．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）如下表，方程①、方程②、方程③、方程④是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① ② ③ 　　 ④ 　　 (1)将上表补充完整； (2)写出表内这列方程中的第（为正整数）个方程和它的解． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了解一元一次方程，规律探究．熟练掌握解一元一次方程，并推导一般性规律是解题的关键． （1）分别求两个一元一次方程的解，然后补表即可； （2）根据表格推导一般性规律即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； ， ， ， ， ∴补表如下： 序号 方程 方程的解 ① ② ③          ④          （2）解：由表格可知，序号每增加1，方程的解增加2， ∴第（为正整数）个方程，解为， ∴第（为正整数）个方程和它的解分别为，． 35．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）用相同的小木棒按如图方式拼成图形． (1)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 5 … 所用木棒根数 6 14 22 … (2)按这种方式拼下去，第个图形需要___________根小木棒（用的代数式表示）； (3)小颖同学说他按这种方式拼出来的一个图形共用了2024根小木棒，你认为可能吗?如果可能，那是第几个图形?如果不能，请说明理由． 【答案】(1)30，38 (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查图形类规律探究、解一元一次方程，关键是找出前后两个图形的变化规律． （1）根据前后两个图形相差8个小木棒可完成表格； （2）由变化规律可得结论； （3）根据（2）中结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形需要个小木棒， 第2个图形需要个小木棒， 第3个图形需要个小木棒， 第4个图形需要个小木棒， 第5个图形需要个小木棒， 故答案为：30，38； （2）解：由（1）得：第n个图形需要个小木棒， 故答案为：； （3）解：小颖的说法不可能， 理由：由得， ∵n为正整数， ∴不合题意， 故小颖的说法不可能． 36．（2023七年级上·江苏·专题练习）（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 【答案】（1）； （2），方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律型探索，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． （1）根据去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）把代入方程中求出a的值，然后找出（1）中方程的规律即可得到答案． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：； （2）∵方程的解是， ∴， ∴， 解得， ∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴方程的解为， ∴方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 37．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)图5有多少颗黑色棋子？ (2)若第个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值． 【答案】(1)19颗 (2)1008 【分析】（1）按规律数黑色棋子的个数，找到规律，代入求解即可； （2）根据（1）中的规律，列方程求解即可． 【详解】（1）解：图1中有1个黑色棋子； 图2中有颗黑色棋子，比图1多3个； 图3中有颗黑色棋子，比图2多4个； 图4中有颗黑色棋子，比图3多5； 图5中有颗黑色棋子，比图4多6个； ∴图5有19颗黑色棋子； （2）解：由（1）得：第个图形比第n个图形中多颗棋子， ， 解得：， 所以n是值为：1008． 【点睛】本题考查了图形规律的探究，找到变化规律是解题的关键． 38．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【观察与发现】用火柴棒以下图中的方式按规律搭图形： 图形编号 ① ② ③ ④ …… 火柴棒根数 5 9 13 …… 【归纳与应用】 (1)直接填写：___________． (2)第n个图形需要的火柴棒的根数是___________． (3)若搭第n个图形恰好需要97根火柴棒，求n的值． 【答案】(1)17 (2) (3) 【分析】本题考查图形类规律探究． （1）直接数出第④个图形中火柴棒的根数即可； （2）根据已有图形，得到后一个图形比前一个图形多4根火柴棒，即可得出第n个图形需要的火柴棒的根数； （3）根据（2）中的结论，得到一元一次方程，进行求解即可． 解题的关键是得到后一个图形比前一个图形多4根火柴棒． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为：17． （2）由已有图形和表格中的数据可知：后一个图形比前一个图形多4根火柴棒， ∴第n个图形需要的火柴棒的根数是； 故答案为：； （3）由题意，得：， 解得：． 39．（22-23七年级上·广东河源·阶段练习）观察算式：；；；；… (1)按照这个规律可得：__________； (2)请你用以上规律计算：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）按照题目中得出的规律得出结果即可； （2）按照题目中得出的规律进行计算即可； （3）将方程变形为，根据解析（2）中的结果原方程可变为，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； … ∴； 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知条件得出一般规律． 40．（22-23七年级上·浙江金华·期末）已知一列，数，，，…，具有以下规律：，． 例：若，则，， ，， ，… 请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题． (1)若，求下列两个问题． ①______，______． ②在数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为，求线段AB的长． (2)已知，求的值． 【答案】(1)①，；②4 (2)或 【分析】（1）①根据题中所给规律进行求解即可；②再求出，再根据数轴上两点距离求解即可； （2）根据题中规律结合条件进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：，； ②， ∴， 即线段AB的长4； （2）解：由题意，，， ∵， ∴， 当即时， ，解得； 当时， ，等式不成立，即不存在； 当时，，解得， 综上，或． 【点睛】本题考查数字类规律探究、一元一次方程、化简绝对值，理解题中规律，会利用类比的方法求解是解答的关键． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】m的值为0 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，先解方程得出，得出方程的解为，把代入解关于m的方程即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程的解为与方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入方程，得： ， 解得：． 故m的值为0． 42．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，掌握一元一次方程的解以及解法是解题关键．先解方程，得到，再根据方程同解，将代入方程，解得，再代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得： 43．（11-12七年级上·全国·课后作业）当x取何值时，代数式与的值互为相反数？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，相反数的定义，掌握互为相反数的两数之和为0是解题关键．根据相反数的定义列出方程，求解即可得到x的值． 【详解】解：代数式与的值互为相反数， ， 解得：． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于的方程的解是关的方程的解的6倍，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别解两个方程，根据“方程的解是关于的方程的解的6倍”，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：解方程得： ， 解方程得： ， 根据题意得： ， 解得： ． 45．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，进而根据题意得到是方程的解，把代入方程中求出，再把代入方程中进行求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解与方程的解相同， ∴是方程的解， ∴， ∴， ∴方程即为方程， 解得． 46．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，，解答下列问题： (1)当时，求x的值； (2)当x取何值时，比大3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据题意列出方程 ，然后解一元一次方程即可； （2）根据题意得到，然后代入x，解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化成1，得； （2）根据题意得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； 47．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．先求出第一个方程的解是，把代入第二个方程得出，求出k的值即可． 【详解】解： ，         ∵方程的解与关于的方程的解互为倒数， ∴关于的方程的解是，   把代入方程的得：， 解得 ． 48．（2024七年级上·江苏·专题练习）当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 49．（2024七年级上·江苏·专题练习）当x取什么值时，代数式与的差等于5． 【答案】7 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的基本步骤是解答此题的关键．根据题意列出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 50．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为何值时，关于的方程的解是的解的倍． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，进而得到方程的解，再把解代入方程即可求出的值，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：由方程得，， ∵方程的解是的解的倍， ∴方程的解为， 把代入方程得，， 解得． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 52．（2024七年级·全国·竞赛）若是整数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，根据题意得出或是解题关键． 【详解】解：是整数， 也为整数， ， 或， ,即：； ,即：； ,即：； ,即：； 综上所述： 故答案为：． 53．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 54．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）； (2)解方程：； (3)若关于x的方程：的解为整数，求正整数a的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为1或3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程．理解新定义的运算方式是解题的关键． （1）由题意知，，然后作答即可； （2）由题意知，，则，可得，计算求解即可； （3）由，可得，解得，，由解为整数，为正整数求值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴，即， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴， 解得，， ∴正整数的值为1或3． 55．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)3； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：3． （2）解：与互为“反对方程”， ，， 解得，； （3）解：的“反对方程”为， 由得，，由，得， 与的解均为整数， 与都为整数． 也为整数， 当时，，，都为整数； 当时，，，都为整数， 的值为． 56．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、解一元一次方程等知识，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将、代入，化简后根据无关项，得到，即可求出p的值； （2）先解一元一次方程，进而得出的值，即可计算求值． 【详解】（1）解：，， ， 的值与x无关， ， ； （2）解：， ， q为整数，是正整数，且， ，或,， 或 57．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）把代入方程解关于的方程即可； （2）解方程得，根据方程的解为正整数可得可能为1，2，3，6，解题即可求出k的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）解： 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴可能为1，2，3，6， 故k的值为，，，． 58．（2023七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 【答案】当时，；时，；时，；时， 【分析】把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k． 【详解】解：移项合并得：， ∴， ∵在整数范围内有解， ∴或， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，关键是要知道在整数范围内有解所表示的含义． 59．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 【答案】(1) (2)1或2 【分析】（1）由题意得：，再将带入原方程即可求解． （2）将带入原方程求出方程的解，再利用条件分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将带入原方程得：， 解得：， 故答案为：． （2）将带入原方程得：， 解得：， 由于m是整数， 或或， 解得：或或（舍去）， 正整数k的值为：1或2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解得意义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 60．（2023七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【答案】当时，；当时， 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【详解】解：， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，或， ∴或， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 答：当时，；当时，． 【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程” (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解得；解得，由，可知方程与方程互为“美好方程”； （2）解得，；解得；由若关于x的方程与方程是“美好方程”，可得，计算求解即可； （3）解得，，由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可知是关于x的一元一次方程的解，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：， 解得，； ， 解得，， ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”； （2）解：， 解得，； ， 解得，； ∵若关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得，， ∴m的值为9； （3）解：， 解得，， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴是关于x的一元一次方程的解， ∴， 解得，， ∴若求关于y的一次方程：的解为． 62．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)或． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的求解步骤，进行正确的计算是解题关键. （1）分别求解方程，再进行判断即可； （2）由题意得另一个方程的解为：，推出或，即可求解； 【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得． ∵， ∴方程与方程是“美好方程”．. （2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为：， ∵两个解的差为8， ∴或， ∴或． 63．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：若，则称与是关于3的平衡数， (1)3与______是关于3的平衡数，与______是关于3的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断a与b是否是关于3的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平衡数，同时满足一元一次方程，求的值． 【答案】(1)0， (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的加减、新定义、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数和的平衡数； （2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为3即可； （3）根据，，且与是关于3的平衡数，可以得到k和x的关系即可求解． 【详解】（1）解：， 3与0是关于3的平衡数， ， 与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）a与b是是关于3的平衡数，理由如下： ，， ， ， ， ， ； a与b是是关于3的平衡数． （3），，且与是关于3的平衡数， ， ， ， ， 整理，得：， 解得：， 由题意知的解是， ， ． 64．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数．我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程：和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程：与方程是“兄弟方程”．求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n．求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为8， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得 65．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数， (1)与_____是关于的平衡数，与_____是关于的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于的平衡数，同时满足一元一次方程求的值． 【答案】(1)， (2)与是关于的平衡数，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的加减、新定义、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义，可以计算出的平衡数和的平衡数； （2）将和相加，化简，看最后的结果是否为即可； （3）根据，，且与是关于的平衡数，可以得到和的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的平衡数， ∵ ∴与是关于的平衡数． （2）解：与是关于的平衡数， ∵， ∴ ， ∴与是关于的平衡数． （3）解：∵， ， 且与是关于的平衡数， ∴， ∴， ∴， 由整理得： ， 解得：， 由题意得的解为， ∴， ∴． 66．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称与是关于3的平安数． (1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式） (2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值． 【答案】(1)， (2)与是关于3的平安数，理由见解析 (3)非负整数的值为0或1或3 【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程： （1）根据平安数的定义列式求解即可； （2）将和相加，化简，看最后的结果是否为3即可； （3）根据，，且与是关于3的平安数，可以得到和的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当为正整数时，非负整数的值． 【详解】（1）解：， 4与是关于3的平安数， ， 与是关于3的平安数， 故答案为：，； （2）解：与是关于3的平安数， 理由：，， ， 与是关于3的平安数； （3）解：，，且与是关于3的平安数， ， ， ， 为非负整数， 为正整数， 又为正整数， 可能是1，2，4， 当时，，得； 当时，，得， 当时，，得， 非负整数的值为0或1或3． 67．（22-23七年级上·江西赣州·期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出，，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即． 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， 整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， ∴，即 ∴原式= ． 68．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）观察下列两个等式，，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数a，b为“金桥有理数对”，记为，如：数对，都是“金桥有理数对”． (1)数对，中是“金桥有理数对”的是______； (2)若是“金桥有理数对”，求a的值； (3)若是“金桥有理数对”，则______“金桥有理数对”（填“一定是”、“一定不是”或“不确定”）． 【答案】(1) (2) (3)一定不是 【分析】本题考查有理数的混合运算、“金桥有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“金桥有理数对”的定义即可判断； （2）根据“金桥有理数对”的定义，构建方程即可解决问题； （3）根据“金桥有理数对”的定义即可判断． 【详解】（1）解：， ∴不是“金桥有理数对”； ， ， 中是“金桥有理数对”； 故答案为：； （2）由题意得:， 解得 ； （3）一定不是. 理由：， ， ∵是“金桥有理数对”， ， ， 一定不是“金桥有理数对”； 69．（23-24六年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)②是的“友好方程” (2)或 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程以及绝对值的应用， 首先解得x的值，再分别求得y的值，进一步判断“友好方程”； 首先求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：由，解得， 由，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 方程的解是或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）方程的解是或． 当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 70．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 【答案】(1)是，见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义运算以及一元一次方程的解法，正确理解“中点方程”的定义是解题关键． （1）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义判断，即可得到答案； （2）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义，得到关于的方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是，理由如下： 由方程，解得：， ， 方程是“中点方程”； （2）解：由方程，解得， 方程为是“中点方程”， ， 解得： 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将4移项到方程左边变成，每项都，然后通分，利用乘法分配律，把写在括号外面，根据a，b，c，d为正数得，求出x即可，每项都减1进行通分是解题的关键． 【详解】解：原方程化为： ， ∴， ∴， ∵a，b，c，d是正数， ∴0， ∴， ∴． 72．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先求出方程的解，再求出方程的解，两者差额为，即可解答． 【详解】 根据题意可知： 73．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． （1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解． （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据图1可得：①；②． （2）解：由题意得：或， 解得：，． 74．（16-17七年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】(1)或 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． （1）利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）利用绝对值的意义讨论：当或b+1＝0或b+1＞0时确定方程的解的个数． 【详解】（1）， 当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得； 所以原方程的解是或． （2）∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程只有一个解； 当，即时，方程有两个解． 75．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 【答案】(1)1；；； (2)存在； (3)方程的“美美与共”方程的解为 【分析】（1）根据题干信息得出，，先方程的解为，求出，即可得出答案； （2）先求出方程的解为：，在求出方程的“美美与共”方程的解为，根据和都为整数，求出结果即可； （3）先求出方程的解为：，得出方程的解为，再求出方程的“美美与共”方程为，求出方程的解为：． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵方程的解为， ∴， 解得：， ∴方程与互为“美美与共”方程， ∴，， ∴， 故答案为：1；；； （2）解：存在； 方程的解为：， 方程的“美美与共”方程为：，且其解为， ∵关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数， ∴和都为整数， ∴； （3）解：方程的解为：， ∵方程的解也是方程的解， ∴方程的解为， ∵方程的“美美与共”方程为， ∴方程的解为：． 即方程的“美美与共”方程的解为． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤准确计算． 76．（22-23七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）仿照材料可知，即可求解； （2）仿照材料可知或，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：， 故答案为：，； （2）∵关于x的方程的解是或， ∴方程中或， 当时，， 当时，； 故方程的解为或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，利用换元的思想是解决问题的关键． 77．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出b的值； （2）由是“缘解方程”得出，将代入方程可得，然后把，代入可求出n的值，进而可得m的值； （3）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出，求得，再把原式化简成含的式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵是“缘解方程”， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵（即）是“缘解方程”， ∴， ∵解为， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， ∵方程是“缘解方程”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，整式的化简求值，理解“缘解方程”的定义是解题的关键． 78．（22-23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 79．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求的值即可； （2）先利用运算法则化简，再将，代入求解即可； （3）先利用运算法则得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解： ， ， ，， 原式 ． （3）解：∵ ∴， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查整式的加减——化简求值、有理数的混合运算和解一元一次方程，正确理解题目定义的新运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 80．（21-22七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可； （2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可； （3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程：的解是， ∴将代入一元一次方程：得： ，解得：． 故答案为：． （2）解：当时，代入方程得， 整理得：， 把代入得， ， ∵m是整数，k为正整数， ∴、3， ∴或2 ． （3）解：整理方程得：， ∵无解， ∴，即， 把代入得， 整理方程得， 把代入得，解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 2．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程： 3．（2024七年级上·北京·专题练习）． 4．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）解方程． (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）解方程： (1) (2) 6．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 7．（24-25七年级上·四川凉山·期中）解下列方程： (1)； (2)． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 9．（23-24七年级上·全国·单元测试）解方程 (1) (2) 10．（23-24七年级上·山东济宁·期末）解方程： (1) (2) 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 11．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1)； (2)； 14．（23-24七年级上·河南漯河·期中）解方程： (1) (2) 15．（23-24七年级上·广东韶关·期中） 解方程： (1) (2) 16．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）解方程． (1) (2) (3) 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“”连接； ，，，，，． (2)如果，那么 ． 22．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________． (2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 23．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接： ，，，，， (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． 24．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 25．（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 26．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）由绝对值的几何意义可知，数轴上表示数的点到原点的距离为．小小进一步探究发现，在数轴上，表示3和5的两点之间的距离为；表示和5的两点之间的距离为；表示和的两点之间的距离为． 根据以上内容回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离为________． (2)若，则________； (3)若，则________． 27．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 28．（2023七年级上·浙江·专题练习）根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 29．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）一个数在数轴上对应的点到原点的距离是这个数的绝对值，如数轴上表示2的点到原点的距离为，数轴上表示的点到原点的距离，数轴上表示的点到原点的距离为，则表示的意义是数轴上表示的点与表示4的点之间的距离． 根据你对上述文字的理解，解答下列问题： (1)数轴上表示和5两点之间的距离___________． (2)若数轴上表示的点满足，则的值为___________； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得，则的值为___________； 30．（22-23七年级上·安徽池州·期末）我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 32．（2024·安徽阜阳·一模）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 33．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x 0 1 2 a 0 1 b 5 7 2 1 10 (1)【初步感知】 ①根据表中信息可知，________，________； ②若的值比的值大27.求x的值． (2)【归纳规律】 表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________． (3)【问题解决】 若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式． 34．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）如下表，方程①、方程②、方程③、方程④是按照一定规律排列的一列方程： 序号 方程 方程的解 ① ② ③ 　　 ④ 　　 (1)将上表补充完整； (2)写出表内这列方程中的第（为正整数）个方程和它的解． 35．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）用相同的小木棒按如图方式拼成图形． (1)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 5 … 所用木棒根数 6 14 22 … (2)按这种方式拼下去，第个图形需要___________根小木棒（用的代数式表示）； (3)小颖同学说他按这种方式拼出来的一个图形共用了2024根小木棒，你认为可能吗?如果可能，那是第几个图形?如果不能，请说明理由． 36．（2023七年级上·江苏·专题练习）（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 37．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)图5有多少颗黑色棋子？ (2)若第个图形比第n个图形中多2021颗棋子，试求n的值． 38．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）【观察与发现】用火柴棒以下图中的方式按规律搭图形： 图形编号 ① ② ③ ④ …… 火柴棒根数 5 9 13 …… 【归纳与应用】 (1)直接填写：___________． (2)第n个图形需要的火柴棒的根数是___________． (3)若搭第n个图形恰好需要97根火柴棒，求n的值． 39．（22-23七年级上·广东河源·阶段练习）观察算式：；；；；… (1)按照这个规律可得：__________； (2)请你用以上规律计算：； (3)解方程：． 40．（22-23七年级上·浙江金华·期末）已知一列，数，，，…，具有以下规律：，． 例：若，则，， ，， ，… 请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题． (1)若，求下列两个问题． ①______，______． ②在数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为，求线段AB的长． (2)已知，求的值． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 42．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 43．（11-12七年级上·全国·课后作业）当x取何值时，代数式与的值互为相反数？ 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于的方程的解是关的方程的解的6倍，求的值． 45．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 46．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，，解答下列问题： (1)当时，求x的值； (2)当x取何值时，比大3？ 47．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 48．（2024七年级上·江苏·专题练习）当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 49．（2024七年级上·江苏·专题练习）当x取什么值时，代数式与的差等于5． 50．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）为何值时，关于的方程的解是的解的倍． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 52．（2024七年级·全国·竞赛）若是整数，且，求的值． 53．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 54．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）； (2)解方程：； (3)若关于x的方程：的解为整数，求正整数a的值． 55．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 56．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 57．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 58．（2023七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 59．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 60．（2023七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 62．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 63．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：若，则称与是关于3的平衡数， (1)3与______是关于3的平衡数，与______是关于3的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断a与b是否是关于3的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平衡数，同时满足一元一次方程，求的值． 64．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数．我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程：和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程：与方程是“兄弟方程”．求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n．求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 65．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数， (1)与_____是关于的平衡数，与_____是关于的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于的平衡数，同时满足一元一次方程求的值． 66．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称与是关于3的平安数． (1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式） (2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值． 67．（22-23七年级上·江西赣州·期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 68．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）观察下列两个等式，，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数a，b为“金桥有理数对”，记为，如：数对，都是“金桥有理数对”． (1)数对，中是“金桥有理数对”的是______； (2)若是“金桥有理数对”，求a的值； (3)若是“金桥有理数对”，则______“金桥有理数对”（填“一定是”、“一定不是”或“不确定”）． 69．（23-24六年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 70．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 72．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 73．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 74．（16-17七年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 75．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 76．（22-23七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 77．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 78．（22-23七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 79．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 80．（21-22七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$