精品解析：山西省大同市阳高县第四中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

阳高四中2024—2025学年九月月考 高二数学试卷 本试卷共4页 满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的减法运算的坐标表示即可得出答案. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：D 2. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可. 【详解】. 故选：B. 3. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于z轴的对称点为B， 所以. 故选：A. 4. 已知向量满足条件：，，且与互相垂直，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的垂直的数量积表示求得，从而由数量积的定义可得，再得出角的大小． 【详解】因为与互相垂直,所以, , 又,所以. 故选：B. 5. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量对应线段的位置及数量关系，结合向量加减、数乘的几何意义用表示即可. 【详解】. 故选：A 6. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值. 【详解】若共面，则， 即， 所以，解得：. 故选：B 【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型. 7. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 8. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一组基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C. 、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D. 已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量组成基底的条件逐项判断即可. 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面， 则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 故选：BCD. 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 11. (多选题)在正方体中，有下列说法，其中正确的有（ ） A. B. C. 的夹角为60° D. 正方体的体积为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量的加减运算法则及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图所示， ，故A正确； ，故B正确； 与的夹角是夹角的补角， 而的夹角为，故的夹角为，所以C错误； 正方体的体积为. 故选：AB. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算及空间向量的夹角问题，较简单，解答时类比平面向量的解法进行即可. 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是______． 【答案】垂直 【解析】 【分析】以为空间一组基底，得到，得到⊥，即⊥. 【详解】以为空间一组基底， 则 ＝· ＝· ， 所以⊥，即⊥. 故答案为：垂直 13. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量的线性运算求得，即可解答. 【详解】因为 ， 又， 所以，，，所以. 故答案为：2 14. 已知在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，则点到直线的距离为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量点到线的距离公式即可得解. 【详解】，， 所以， 则点到距离为 . 故答案为：1. 四、解答题：本题包括5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，．当时，若向量与垂直，求实数的值； 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量模长得到方程，求出，从而，根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，解得，即， 故， 由得，解得，即k的值为3. 16. 如图，在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是与的交点，，是的中点． （1）设，，，用，，表示向量； （2）在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算法则计算可得． （2）由于，，再求出点坐标，即可得到的坐标，再代入即可得出． 【小问1详解】 解： ，，，，， ． 【小问2详解】 解：因为，，，，． ． ． 17. 如图，在直三棱柱中，，， D，E分别为，的中点． （1）求证； （2）求异面直线CE与所成角的余弦值． 【答案】（1） 设  ，，  ， 根据题意得， ，易知 ， ， ， ，即． （2） 【解析】 【分析】（1）先 ，，建立一个基底，再用基底表示，，然后计算其数量积，可得答案； （2）由（1）表示，，再用向量的夹角求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知 ，， 又 ，， ， ， 即异面直线CE与所成角的余弦值为． 18. 如图，为正方体． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量垂直证明； （2）利用向量法，线面角的求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，侧面底面，为等边三角形，G为其重心，PG交AB于点E，AC交DE于点F. （1）求证：平面； （2）求平面GFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）证明，证得，证得，从而证得平面； （2）先证得是边长为2的正三角形，得到，再以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求平面GFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值. 【详解】解：（1）G为正的重心，为AB中点.，又， ，， ，又面，面， 面. （2）因为侧面底面，，面，连BD， 则是边长为2的正三角形，. 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示 ， ，， ，， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，. 设为平面GFC的法向量，则， 即，令，则，，， ， 所以平面GFC与平面PDC所成的锐面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了线面平行的证明，求向量法求二面角，还考查了空间想象能力，运算能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳高四中2024—2025学年九月月考 高二数学试卷 本试卷共4页 满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知向量满足条件：，，且与互相垂直，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 8. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一组基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C. 、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D. 已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 10. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 11. (多选题)在正方体中，有下列说法，其中正确的有（ ） A. B. C. 的夹角为60° D. 正方体的体积为 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是______． 13. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 14. 已知在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，则点到直线的距离为______. 四、解答题：本题包括5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，．当时，若向量与垂直，求实数的值； 16. 如图，在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是与的交点，，是的中点． （1）设，，，用，，表示向量； （2）在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 17. 如图，在直三棱柱中，，， D，E分别为，的中点． （1）求证； （2）求异面直线CE与所成角的余弦值． 18. 如图，为正方体． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，侧面底面，为等边三角形，G为其重心，PG交AB于点E，AC交DE于点F. （1）求证：平面； （2）求平面GFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $