仿真模拟试卷(11)-【精编高考12套】2025年高考数学仿真模拟卷

—81— —82— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(十一) 数 学 时间:120分钟 分数:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知i为虚数单位,z=1-2i,复数z的共轭复数为􀭵z,则 􀭵z+2z = ( ) A.0 B.10 C.13 D.3 2.已知命题p:∀x∈[0,+∞),x2-4x+4>0,命题q:∃x∈R,ex=10x,则 ( ) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 3.已知向量a,b满足 a =1,4a+b ·a=2,b=(1,2),则 2a+b = ( ) A.12 B.1 C.2 D.2 4.某市原来都开小车上班的唐先生统计了过去一年每一工作日的上班通行时间,并进行初步处理, 得到频率分布表如下(T 表示通行时间,单位为分钟): 通行时间 15≤T<20 20≤T<25 25≤T<30 30≤T<35 35≤T<40 频率 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 该市号召市民尽量减少开车出行,以绿色低碳的出行方式支持节能减排.唐先生积极响应政府号 召,准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种.如果唐先生选择骑自行车,当天 上班的通行时间为30分钟.将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,对唐先生上班通行时间 的判断,以下正确的是 ( ) A.开小车出行的通行时间的中位数为27.5分钟 B.开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为0.01 C.选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费5分钟 D.若选择骑自行车和开小车的概率相等,则平均通行时间为28.5分钟 5.若 x+1x n 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.120 6.已知椭圆C:x 2 a2 +y2=1(a>0),则“a=2”是“椭圆C的离心率为 32 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图,在正三棱台ABC-A1B1C1 中,AB=2AA1=2A1B1,M,N 分别是AB,A1B1 的中点,则异面 直线 MN,BC1 所成角的余弦值为 ( ) A.-14 B. 1 4 C. 2 3 D.- 2 3 8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinC+3bsinAcosC=bsinB,则tanA 的最大 值是 ( ) A.3 2 B.2 2 C.26 D. 2 4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< π 2 )的部分图象如图所示, 下列结论正确的是 ( ) A.f(0)= 3 B.函数f(x)在区间 -π3,0 上单调递增 C.将f(x)的图象向左平移π6 个单位,所得到的函数是偶函数 D.f(x)=f 2π3-x 10.已知三次函数f(x)=x3+bx2+5(b<0)有极小值点x=2,则下列说法中正确的有 ( ) A.b=-3 B.函数f(x)有三个零点 C.函数f(x)的对称中心为(1,3) D.过(-1,1)可以作两条直线与y=f(x)的图象相切 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P 是C 上位于第一象限的动点,点M 为l与x 轴 的交点,则下列说法正确的是 ( ) A.F到直线l的距离为2 B.以P 为圆心,|PF|为半径的圆与l相切 C.直线 MP 斜率的最大值为2 D.若|FM|=|FP|,则△FMP 的面积为2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6-S3=6,a3=1,则a7= . 13.若sin(π-θ)-cosθ=12tanθtan π 2-θ ,则sin2θ的值为 . 14.若函数f(x)=(ex+x)[ln(-x)+kx]有2个不同的零点,则实数k的取值范围是 . —83— —84— 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演练步骤。 15.(13分)已知在正项数列{an}中,a1=2,点An an,an+1 在双曲线y2-x2=1上.在数列{bn}中, 点(bn,Tn)在直线y=- 1 2x+1 上,其中Tn 是数列{bn}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式并求出其前n项和Sn; (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 16.(15分)已知函数f(x)=lnx-ax2+ax. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数g(x)=f(x)+ax2 的单调性. 17.(15分)如图,已知四边形ABCD 为矩形,AB=4,AD=2,E 为DC 的中点,将△ADE 沿AE 进行 翻折,使点D 与点P 重合,且PB=2 3. (1)证明:PA⊥BE; (2)求平面PAE 与平面PCE 所成角的正弦值. 18.(17分)某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定:三人组队参赛,每次只派一个人,且每人只派一 次:如果一个人闯关失败,再派下一个人重新闯关;三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利,无 需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛,他们各自闯关成功的概率分别为p1、p2、p3,假定p1、 p2、p3 互不相等,且每人能否闯关成功的事件相互独立. (1)计划依次派甲乙丙进行闯关,若p1= 3 4 ,p2= 2 3 ,p3= 1 2 ,求该小组比赛胜利的概率; (2)若依次派甲乙丙进行闯关,则写出所需派出的人员数目X 的分布,并求X 的期望E(X); (3)已知1>p1>p2>p3,若乙只能安排在第二个派出,要使派出人员数目的期望较小,试确定甲、 丙谁先派出. 19.(17分)已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x和l2:y=-2x,右 焦点坐标为(5,0),O为坐标原点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)设 M,N 是双曲线C 上不同的两点,Q 是MN 的中点,直线 MN、OQ 的斜 率分别为k1,k2,证明:k1k2 为定值; (3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点A1,B1(A1 在B1 的上方),过点 A1,B1 分别作l2,l1 的平行线,交于点P1,过点P1 且斜率为4的直线与双曲 线交于点A2,B2(A2 在B2 的上方),再过点A2,B2 分别作l2,l1 的平行线,交 于点P2,…,这样一直操作下去,可以得到一列点P1,P2,…,Pn,n≥3,n∈ N*.证明:P1,P2,…,Pn 共线. —85— —86— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(十一) 数学 答题卡 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 条 形 码 粘 贴 处 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的学校、班级、 姓名、准考证号填写清楚。 2.选择题使用2B 铅笔填涂;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选择其他答案标 号;非选择题使用黑色碳素笔书写,字 体工整、笔迹清楚,按照题号顺序在各 题目的答题区域内作答,超出答题区 域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上 答题无效。 3.保持卡面清洁,不折叠、不破损。 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 填 涂 范 例 正确填涂: 错误填涂: 缺考 标记 准 考 证 号 [0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][1][1][1][1][1] [2][2][2][2][2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3][3][3][3] [4][4][4][4][4][4][4][4][4] [5][5][5][5][5][5][5][5][5] [6][6][6][6][6][6][6][6][6] [7][7][7][7][7][7][7][7][7] [8][8][8][8][8][8][8][8][8] [9][9][9][9][9][9][9][9][9] 选择题(请用2B铅笔填涂) 1 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 非选择题(请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写) 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 —87— —88— 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 又由1≤ an an+1 ≤2,1≤ an+1 an+2 ≤2,…,1≤ a2023 a2024 ≤2,1≤ a2024 a2025 ≤2,1≤a2025≤a2025, 累乘得1≤an≤22025-na2025②; 将①②相乘得1≤a2n≤22024a2025, 又an∈N*,a2025=16,所以1≤an≤21014. 给出数列{an},通项公式为 an= 2n-1 (n=1,2,…,1015) 22029-n (n=1016,1017,…,2025) . 数列的最大项为a1015=21014. 综上所述,数列{an}的最大项的最大值为21014. (3)①讨论满足1≤k≤M 的项ak 的取值情况: 因为数列{an}满足:当1≤n≤M-1时1≤ an+1 an ≤2, a1=1,则有an≤an+1恒成立. 所以1≤a2≤2,又因为当1≤i≤M-1,都有ai∈N*, 所以a2=1或a2=2, 当a2=2时,a4≥a3≥2,此时a1·a2=2<a3·a4, 这与“在剩下的项中总存在满足1≤p<q≤M 的项ap 和 aq,使得as·at=ap·aq”矛盾,所以a2=1, 同理可得,a3=1,a4=1,要使得m 值要尽量小,则需要 每项尽可能大,a5=2, 则a6=2或4,若a6=4,a5a6=8,由4≤a6≤a7≤a8, 同样 不 存 在 项 ap 和aq,使 得 8=a5a6=ap ·aq, 故a6=2, 验证知,前5项满足条件“在剩下的项中总存在满足1≤ p<q≤M 的项ap 和aq,使得as·at=ap·aq”; 再由每项尽可能大的原则,a7=22 且满足a5·a6=4= a1·a7, 且前6项也满足条件“在剩下的项中总存在满足1≤p< q≤M 的项ap 和aq,使得as·at=ap·aq”; 同理,a8=23,a9=24,…,aM-6=22023, 由对称性同理可得, 最后6项为aM=aM-1=aM-2=aM-3=22025,aM-4= aM-5=22024. 当{an}中间各项为公比为2的等比数列时,可使得 M 值 最小, 且 M 的最小值为Mmin=6+2022+6=2034,满足已知 条件. ②讨论满足 M≤k≤m 的项ak 的取值情况: 因为数列{an}满足:当M≤n≤m 时 1 2≤ an+1 an ≤1,am=1, 则有an≥an+1恒成立. 类比①可知 aM=aM+1=aM+2=aM+3=22025,aM+4=aM+5=22024 aM+6=22023,aM+7=22022,…,am-7=23,am-6=22, am-5=2,am-4=2,am-3=am-2=am-1=am=20=1. 综上所述,m 的最小值为2034×2-1=4067. 故满足上述性质的m 的最小值为4067. 2025年普通高等学校招生 仿真模拟试卷(十一) 1.C 因为z=1-2i,所以􀭵z=1+2i,􀭵z+2z=1+2i+2-4i =3-2i, 故 􀭵z+2z = 32+(-2)2= 13. 故选:C. 2.B 对于p而言,取x=2,则x2-4x+4=0,故p 是假命 题,􀱑p是真命题. 对于q而言,令h(x)=ex-10x,h(0.1)=e0.1-1>e0-1 =0,h(1)=e-10<0, 由零点存在性定理可知,存在x0∈(0.1,1),使得h(x0) =0, 故q是真命题,􀱑q是假命题. 综上,􀱑p和q都是真命题. 故选:B. 3.B 因为(4a+b)·a=2, 则4a2+a·b=2,即4+a·b=2,解得a·b=-2,b=(1,2), 则 b = 12+22= 5, |2a+b|= (2a+b)2= 4a2+b2+4a·b= 4+5-8 =1. 故选:B. 4.D 由频率分布表可知中位数在[25,30)内,若设中位数 为a,则有0.1+0.3+0.35 (a-25)=0.5,解得a=803≠ 27.5,所以A错误; 由频率分布表可知开小车出行两天的总通行时间少于40 分钟的概率为1,所以B错误; 由频率分布表可得开小车平均通行时间为0.1×17.5+ 0.3×22.5+0.3×27.5+0.2×32.5+0.1×37.5=27,所 以选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费3 分钟,所以C错误; 由上面的计算可知平均通行时间为27+30 2 =28.5 ,所以 D正确. 故选:D. 5.B 根据题意可得2n=64,解得n=6, 则 x+1x 6 展开式的通项为Cr6x6-r 1x r =Cr6x6-2r, 令6-2r=0,得r=3, 所以常数项为:C36x6-3 1 x 3 =C36= 6×5×4 3×2×1=20. 故选:B. 6.A 由椭圆C的方程x 2 a2 +y2=1(a>0),可得: 当a>1时,可得c= a2-1,此时椭圆的离心率为e=ca = 1-1 a2 , 由e= 32 ,可得 1-1 a2 = 32 ,解得a=2; 当0<a<1时,可得c= 1-a2,此时椭圆的离心率为e= c 1= 1-a 2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —431— 由e= 32 ,可得 1-a2= 32 ,解得a=12. 所以a=2是椭圆C的离心率为 32 的充分不必要条件. 故选:A. 7.C 如 图 所 示,连 接 MC,NC1,取 MC 的 中 点P,连 接 C1P,PB, 在正三棱台ABC-A1B1C1中,设AB=2AA1=2A1B1= 4,则 MC=2 3,NC1= 3, 因为 M,N 分别是AB,A1B1 的中点,所以 MC∥NC1,且 MC=2MP=2NC1, 所以四边形 MPC1N 是平行四边形,所以 MN∥PC1, 所以∠PC1B(或 其 补 角)即 为 异 面 直 线 MN,BC1 所 成角, 在梯形ABB1A1中,MN 为梯形的高,过A1作A1O⊥AB 于O,则AO=1, 所以A1O= 22-12= 3,所以∠A1AB=60°,MN= 3, 所以A1B= A1O2+OB2= 3+9=2 3, 即C1P= 3,C1B=A1B=2 3, 在△MPB 中,BP= 22+ 3 2= 7. 所以cos∠PC1B= C1P2+C1B2-PB2 2C1P·C1B =23 , 即异面直线 MN,BC1所成角的余弦值为 2 3. 故选:C. 8.D 因为csinC+3bsinAcosC=bsinB, 由正弦定理得c2+3abcosC=b2, 所以c2+3ab·a 2+b2-c2 2ab =b 2, 所以a2=c 2-b2 3 , 由 余 弦 定 理 得 cosA =b 2+c2-a2 2bc = b2+c2-c 2-b2 3 2bc = 4b2 3 + 2c2 3 2bc , ≥ 2 4b 2 3 ·2c 2 3 2bc = 2 2 3 , 当且仅当4b 2 3 = 2c2 3 ,即c= 2b时,等号成立, 所以A∈ 0,π2 , 所以当cosA=2 23 时,tanA 取得最大值, 此时sinA= 1-cos2A=13 ,tanA=sinAcosA= 2 4 , 所以tanA 的最大值是 24. 故选:D. 9.AB 观 察 图 象 得 A=2,f(x)的 周 期 T= 43 7π12- -π6 =π,ω=2πT=2, 由f 7π12 =-2,得2×7π12=-π2+2kπ,k∈Z,而|φ|< π 2 ,则k=1,φ= π 3 ,因此f(x)=2sin 2x+π3 , f(0)=2sinπ3= 3 ,A正确; 由x∈ -π3,0 ,得2x+π3∈ -π3,π3 ,而正弦函数y =sinx在 -π3,π3 上递增, 因此函数f(x)在区间 -π3,0 上单调递增,B正确; f x+π6 =2sin 2x+2π3 不是偶函数,C错误; f 2π3-x =2sin 2 2π3-x +π3 =2sin 2π- 2x+ π 3 =-2sin(2x+π3),D错误. 故选:AB. 10.ACD f'(x)=3x2+2bx, 因为函数f(x)=x3+bx2+5(b<0)有极小值点x=2, 所以f'(2)=12+4b=0,解得b=-3, 所以f(x)=x3-3x2+5,f'(x)=3x2-6x, 当x>2或x<0时,f'(x)>0, 当0<x<2时,f'(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在 (0,2)上单调递减, 所以f(x)极大值=f(0)=5,f(x)极小值=f(2)=1, 又f(-2)=-15 所以函数f(x)仅有1个在区间(-2,0)上的零点,故A 正确,故B错误; 由f(x)=x3-3x2+5=x2(x-3)+5, 得f(1+x)+f(1-x)=(1+x)2(1+x-3)+5+(1- x)2(1-x-3)+5=6, 所以函数f(x)的图象关于(1,3)对称,故C正确; 设切点为(x0,x30-3x20+5),则f'(x0)=3x20-6x0, 故切线方程为y-(x30-3x20+5)=(3x20-6x0)(x- x0), 又过点(-1,1),所以1-(x30-3x20+5)=(3x20-6x0) (-1-x0), 整理得x30-3x0-2=0,即(x0+1)2(x0-2)=0, 解得x0=-1或x0=2, 所以过(-1,1)可以作两条直线与y=f(x)的图象相 切,故D正确. 故选:ACD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —531— 11.ABD 易知F(1,0),准线l:x=-1,所以F 到直线l的 距离为2,A选项正确; 由抛物线的定义,点P 到准线的距离等于|PF|,所以以 P 为圆心,|PF|为半径的圆与l相切,B选项正确; 当直线 MP 与抛物线相切时,MP 的斜率取得最大值. 设直线 MP:x=my-1, 与抛物线y2=4x联立可得:y2-4my+4=0, 令Δ=16m2-16=0得:m=±1, 所以直线 MP 斜率的最大值为1,C选项错误; |FM|=|FP|=2,设P y 2 0 4 ,y0 ,则y 2 0 4+1=2 , 解得y0=2, 所以△FMP 的面积为12×2×y0=2 ,D选项正确. 故选:ABD. 12.答案:3 解析:设公差为d, 因为S6-S3=6,所以a4+a5+a6=6,所以3a5=6,所 以a5=2, 所以d= a5-a3 5-3 = 1 2 ,所以an=a3+ 1 2 (n-3)=12n -12 , 则a7=3. 故答案为:3. 13.答案:34 解析:由sin(π-θ)-cosθ=12tanθtan π 2-θ , 所以sinθ-cosθ=12 ·sinθ cosθ · sin π2-θ cos π2-θ , 即sinθ-cosθ=12 ·sinθ cosθ ·cosθ sinθ= 1 2 , 所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=14 , 即1-sin2θ=14⇒sin2θ= 3 4. 故答案为:3 4. 14.答案:(-∞,-1)∪(-1,0]∪ 1e 解析:由已知函数f(x)的定义域为(-∞,0), 设g(x)=ex+x,明显g(x)单调递增,且g(-1)=1e- 1<0,g(0)=1>0, 所以存在唯一的x1∈(-1,0)使g(x1)=0,即ex1+x1 =0,即x1=ln(-x1), 令ln(-x)+kx=0,得k=-ln (-x) x , 设h(x)=-ln (-x) x ,可得h'(x)=-1+ln (-x) x2 当x∈(-e,0)使h'(x)<0,h(x)单 调 递 减,当x∈ (-∞,-e)使h'(x)>0,h(x)单调递增, 又h(-e)=1e>0 ,当x→-∞时,h(x)>0且h(x)→0, 又h(-1)=0,当x→0时,h(x)→-∞ 所以当k∈(-∞,0)∪ 1e 时,存在唯一的x2∈(-∞, 0)使h(x2)=k,即k=- ln(-x2) x2 , 当x1=x2时,由x1=ln(-x1)得k=- ln(-x1) x1 =-1, 此时不符合题意,舍去, 综上 实 数 k 的 取 值 范 围 是(- ∞,-1)∪(-1,0] ∪ 1e . 故答案为:(-∞,-1)∪(-1,0]∪ 1e . 15.解:(1)由点An 在y2-x2=1上,则an+1-an=1. 数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列. 所以an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1,Sn = n(a1+an) 2 = n(n+3) 2 . (2)因为点(bn,Tn)在直线y=- 1 2x+1 上,Tn=- 1 2bn +1①,Tn-1=- 1 2bn-1+1 (n≥2)②, 两式相减,得bn= - 1 2bn+ 1 2bn-1 (n≥2),则bn= 1 3bn-1. 由①式,令n=1得b1=- 1 2b1+1 ,故b1= 2 3 , 所以数列{bn}是以 2 3 为首项,1 3 为公比的等比数列. 所以Tn= 2 3 1- 1 3n 1-13 =1-1 3n . 16.解:(1)当a=2时,f(x)=lnx-2x2+2x,f'(x)=1x- 4x+2,所以f'(1)=1-4+2=-1, 则f(1)=ln1-2+2=0,k=f'(1)=-1 所以曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=-x +1. (2)g(x)=f(x)+ax=lnx+ax,x∈(0,+∞), 则g'(x)=1x+a= 1+ax x , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —631— 当a≥0时,g'(x)=1x+a>0 ,则g(x)在(0,+∞)上单 调递增; 当a<0时,g'(x)=1+axx >0 得出0<x<-1a ,则 g(x)在 0,-1a 上单调递增, g'(x)=1+axx <0 得 出 x> - 1a ,所 以 g(x)在 -1a ,+∞ 上单调递减. 综上所述:若a≥0时,g(x)在(0,+∞)上单调递增; 若 a<0 时,g(x)在 0,-1a 上 单 调 递 增,在 -1a ,+∞ 上单调递减. 17.解:(1)证明:由题知AE=BE=2 2, 所以AB2=AE2+BE2, 所以BE⊥AE, 因为PB=DE=2,BE=2 2,PB=2 3, 所以PB2=PE2+BE2, 所以BE⊥PE, 因为AE∩PE=E,AE,PE⊂平面PAE, 所以BE⊥平面PAE,因为PA⊂平面PAE, 所以PA⊥BE; (2)由 题 知 以 B 为 原 点 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系B -xyz, 取AE 中点M,由题知PE=AE,所以PM⊥AE, 由(1)知BE⊥平面PAE,所以PM⊥BE, 因为AE∩BE=E,所以PM⊥平面ABE, B(0,0,0),A(0,4,0),C(2,0,0),E(2,2,0),M(1,3,0), P 1,3,2 , CE→=(0,2,0),CP→= -1,3,2 , 设平面PCE 的一个法向量为m=(x,y,z), 则 m·CE→=0 m·CP→=0 ⇒ 2y=0-x+3y+ 2z=0 ⇒m= 2,0,1 , 由(1)知BE⊥平面PAE, 所以BE→是平面PAE 的一个法向量,BE→=(2,2,0), 设平面PAE 与平面PCE 所成角为θ, 所以|cosθ|= |m ·BE→| |m|·|BE→| = 2 2 3·2 2 = 33 , 因此sinθ= 1-cos2θ= 1-39= 6 3. 18.解:(1)设事件A 表示“该小组比赛胜利”, 则P(A)=34+ 1 4× 2 3+ 1 4× 1 3× 1 2= 23 24 ; (2)由题意可知,X 的所有可能取值为1,2,3, 则P(X=1)=p1,P(X=2)=(1-p1)p2,P(X=3)=(1 -p1)(1-p2), 所以X 的分布为: X 1 2 3 P p1 (1-p1)p2 (1-p1)(1-p2) 所以E(X)=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)= p1p2-2p1-p2+3; (3)若依次派甲乙丙进行闯关,设派出人员数目的期望 为E1, 由(2)可知,E1=p1p2-2p1-p2+3, 若依次 派 丙 乙 甲 进 行 闯 关,设 派 出 人 员 数 目 的 期 望 为E2, 则E2=p3p2-2p3-p2+3, 则E1-E2=(p1p2-2p1-p2+3)-(p3p2-2p3-p2+ 3)=p1p2-2p1-p3p2+2p3 =p2(p1-p3)-2(p1-p3)=(p1-p3)(p2-2), 因为1>p1>p2>p3,所以p1-p3>0,p2-2<0, 所以E1-E2<0,即E1<E2, 所以要使派出人员数目的期望较小,先派出甲. 19.解:(1)因为双曲线C的两条渐近线分别为l1:y=2x和 l2:y=-2x,右焦点坐标为 5,0 , 所以 c= 5 b a =2 a2=b2+c2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得a=1,b=2,则双曲线C 的标准 方程为x2-y 2 4=1 ; (2) 证 明: 设 M (x1,y1 ),N (x2,y2 ), Q x1+x22 ,y1+y2 2 , 因为 M,N 为双曲线C 上的两点,所以 x21- y21 4=1 x22- y22 4=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2) 4 ,整 理得 4(x1+x2) y1+y2 =y1 -y2 x1-x2 , 则k1k2= y1-y2 x1-x2 · y1+y2 2 x1+x2 2 =y1 -y2 x1-x2 ·y1+y2 x1+x2 =4, 得证; (3)证明:设斜率为4,与双曲线右支相交于Ak,Bk 两点 的直线方程为y=4x+mk(mk<0),1≤k≤n,k∈N*, 联立 y=4x+mk x2-y 2 4=1 ,消去y并整理得12x2+8mkx+m2k+ 4=0, 因为该方程有两个正根,则Δ>0,解得mk<-2 3,mk >2 3(舍) 由韦达定理得xAk+xBk=- 2mk 3 ,xAkxBk= m2k+4 12 , 直线AkPk 的方程为y-yAk=-2(x-xAk), 因为yAk=4xAk+mk,即y=-2x+6xAk+mk,① 直线BkPk 的方程为y-yBk=2(x-xBk), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —731— 因为yBk=4xBk+mk,即y=2x+2xBk+mk,② 联立①②,两式相加得yPk=3xAk+xBk+mk,两式相减 得xPk= 3xAk-xBk 2 , 因为xAk+xBk=- 2mk 3 ,则yPk=3xAk+xBk+mk=3xAk -xAk - 2mk 3 +mk =2xAk + mk 3 ,xPk = 3xAk-xBk 2 = 3xAk- -xAk- 2mk 3 2 =2xAk+ mk 3 , 所以xPk=yPk, 则P1,P2,…,Pn 都 在 直 线y=x 上,故 P1,P2,…,Pn 共线. 2025年普通高等学校招生 仿真模拟试卷(十二) 1.B 因为z=a-1+(a-2)i为纯虚数,所以a-1=0且a -2≠0,得a=1, 故|z|=|-i|=1. 故选:B. 2.C 由向量a=(m,-1),b=(4,m2+9),可得a+b= (m+4,m2+8), 因为a⊥ a+b ,可得a· a+b =(m,-1)·(m+4, m2+8)=4m-8=0,解得m=2. 故选:C. 3.A 由 题 可 知 A = (- ∞,-3]∪ [3,+ ∞), B= -∞,a2 , 由B⊆A,可得a2≤-3 , 所以a≤-6. 故选:A. 4.C 由题意可得f(x)= 22cosx- 2 2sinx+ 2 2sinx= 2 2 cosx, 所以f(x)的最大值为 22. 故选:C. 5.D 设圆锥的母线长为l,则圆锥的底面半径r=lsinα2 , 侧面展开图的扇形弧长,即圆锥底面的周长C=lβ, 因此lβ=2πlsin α 2 ,即β=2πsin α 2 又因为0<α<π,故0<α2< π 2 , 所以β关于α单调递增, 验证选项可知当α=π3 时,β=π=3α符合题意. 故选:D. 6.A 易知当x∈(0,1]时,f(x)单调递增, 由题意,需h(x)=ax2+3x+2在(1,2)上单调递增,且 h(1)≥lg(1+9)=1,即a≥-4. 若a<0,则-32a≥2 ,解得-34≤a<0 ; 若a=0,则h(x)=3x+2,满足题意; 若a>0,则-32a≤1 恒成立. 综上,a的取值范围是 -34 ,+∞ . 故选:A. 7.C 1 3tan50°-1 = cos50° 3sin50°-cos50° = cos50°2sin(50°-30°) =sin40°2sin20°= 2sin20°cos20° 2sin20° =cos20°=a. 故选:C. 8.D 下图所示为l的斜率大于0的情况. 如图,设点A,B 在C 的准线上的射影分别为A1,B1,BH ⊥AA1,垂足为 H. 设|FA|=2|FB|=2a,a>0,则|AB|= 5a. 而|AH|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=a,所以 |BH|= |AB|2-|AH|2=2a, l的斜率为|BH||AH|=2. 同理,l的斜率小于0时,其斜率为 -2. 另一种可能的情形是l经过坐标原点O,可知一交点为 O,则FO⊥FA, 可求得|FA|=2|FO|=p,可求得l斜率为|FA||FO|=2 , 同理,l的斜率小于0时,其斜率为-2. 故选:D. 9.CD 设c= a2+b2,易知C1 的左、右焦点坐标分别为 (-c,0)和(c,0), 而C2的标准方程为 x2 (2a)2 - y 2 (2b)2 =1,故其左、右焦点坐 标分别为(-2c,0)和(2c,0), 显然C1和C2的焦点和焦距均不相同,故A,B错误; C1和C2的离心率均为 c a ,渐近线方程均为y=±bax ,故 C,D正确. 故选:CD. 10.ACD 事件“X=2”和“Y=4”都相当于掷出两个1点和 一个2点,故A正确; 事件“X=4”和“Y=6”都包含掷出两个1点和一个4点, 故B错误; X 为奇数等价于“3次掷出的点数都为奇数”,因此其概 率为 1 2 3 =18 ,故C正确; 事件“Y<17”的对立事件为“Y=17或Y=18”,P(Y= 18)= 16 3 = 1216 ,P(Y=17)=C13 1 6 3 =172 , 因此P(Y<17)=1- 1216- 1 72= 53 54 ,故D正确. 故选:ACD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —831—