仿真模拟试卷(8)-【精编高考12套】2025年高考数学仿真模拟卷

—57— —58— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(八) 数 学 时间:120分钟 分数:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.设全集U={1,2,3,4,5},集合 M 满足∁UM={2,4},则 ( ) A.1⊆M B.4⊆M C.5∈M D.3∉M 2.“ln(x-1)<0”的一个必要不充分条件是 ( ) A.-1<x<-1e B.x>0 C.-1<x<0 D.1<x< 3 2 3.若a=0.20.3,b=0.30.2,c=log0.50.3,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b 4.函数f(x)=ln (x+2) x-1 的图象大致是 ( ) A B C D 5.已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0关于直线l:ax+by-1=0(ab>0)对称,则12a+ 1 3b 的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.6 D.4 6.已知函数f(x)=loga[x(a-x)](a>0,且a≠1)在(1,2)上单调递增,则a的取值范围为 ( ) A.(1,2] B.(1,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞) 7.若函数f(x)= 2x-m,x<1 x2-4mx+3m2,x≥1 有3个零点,则实数m 的取值范围是 ( ) A.13 ,1􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 B.(-∞,0)∪[1,+∞) C.[1,2) D.13 ,1􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 ∪[2,+∞) 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,f(1+x)=f(3-x),当x∈[1,2]时,f(x) =x3-2x2+x,则方程6f(x)-x+1=0所有根之和为 ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中正确的是 ( ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b,且1a> 1 b ,则ab<0 D.若a>b>0,则ba< b+1 a+1 10.已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1 的直线与C的左支相 交于P,Q 两点,若PQ⊥PF2,且4|PQ|=3|PF2|,则 ( ) A.|PQ|=2a B.PF1 → =-2QF1 → C.C的离心率为 173 D. 直线PQ 的斜率为±4 11.用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱,若两个截面都是椭圆形状,则称夹在这两个平行平 面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面,两底面之间的距离称为斜圆柱的高, 斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍,已知某圆柱的 底面半径为2,用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱,得到一个高为6的斜圆柱,对于这 个斜圆柱,下列选项正确的是 ( ) A.底面椭圆的离心率为 22 B. 侧面积为24 2π C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π D.底面积为4 2π 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知f(x)=2-x-2x-x,则f(x2-3)+f(2x)<0的解集为 . 13.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边,a=2,且(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC, 则△ABC面积的最大值为 . 14.已知函数f(x)=xa-logbx(a>1,b>1)有且只有一个零点,则ab的取值范围为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演练步骤。 15.(13分)若一个数列从第二项起,每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列,则称这个 数列是一个“二阶等差数列”,已知数列{an}是一个二阶等差数列,其中a1=1,a2=3,a3=6. (1)求a4 及{an}的通项公式; (2)设bn= 8an-4n 8an-4n-1 ,求数列{bn}的前n项和Sn. —59— —60— 16.(15分)如图,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PQ∥CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2, 点E,F,M 分别为AP,CD,BQ 的中点. (1)求证:EF∥平面CPM; (2)若N 为线段CQ 上的点,且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6 ,求QN:NC的值. 17.(15分)已知函数f(x)=x(ex-ax2). (1)若曲线y=f(x)在x=-1处的切线与y轴垂直,求y=f(x)的极值; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. 18.(17分)新高考数学试卷出现多项选择题,即每小题的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选 对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.若正确答案为两项,每对一项得3分;若正确答 案为三项,每对一项得2分. (1)学生甲在作答某题时,对四个选项作出正确判断、判断不了(不选)和错误判断的概率如下表: 选项 作出正确判断 判断不了(不选) 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得6分的概率; (2)某数学小组研究发现,多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确答案是三个选项的概率 为1-p(0<p<1).现有一道多选题,学生乙完全不会,此时他有两种答题方案:Ⅰ.随机选一个 选项;Ⅱ.随机选两个选项. ①若p=12 ,且学生乙选择方案Ⅰ,分别求学生乙本题得0分、得2分的概率. ②以本题得分的数学期望为决策依据,p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好? 19.(17分)定义:若椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)上的两个点A(x1,y1),B(x2,y2)满足 x1x2 a2 +y1y2 b2 = 0,则称A,B 为 该 椭 圆 的 一 个“共 轭 点 对”,记 作[A,B].已 知 椭 圆 C 的 一 个 焦 点 坐 标 为 F1 -2 2,0 ,且椭圆C过点A(3,1). (1)求椭圆C的标准方程; (2)求“共轭点对”[A,B]中点B 所在直线l的方程; (3)设O为坐标原点,点P,Q 在椭圆C 上,且PQ∥OA,(2)中的直线l与椭圆C 交于两点B1, B2,且B1 点的纵坐标大于0,设四点B1,P,B2,Q 在椭圆C 上逆时针排列.证明:四边形B1PB2Q 的面积小于8 3. —61— —62— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(八) 数学 答题卡 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 条 形 码 粘 贴 处 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的学校、班级、 姓名、准考证号填写清楚。 2.选择题使用2B 铅笔填涂;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选择其他答案标 号;非选择题使用黑色碳素笔书写,字 体工整、笔迹清楚,按照题号顺序在各 题目的答题区域内作答,超出答题区 域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上 答题无效。 3.保持卡面清洁,不折叠、不破损。 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 填 涂 范 例 正确填涂: 错误填涂: 缺考 标记 准 考 证 号 [0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][1][1][1][1][1] [2][2][2][2][2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3][3][3][3] [4][4][4][4][4][4][4][4][4] [5][5][5][5][5][5][5][5][5] [6][6][6][6][6][6][6][6][6] [7][7][7][7][7][7][7][7][7] [8][8][8][8][8][8][8][8][8] [9][9][9][9][9][9][9][9][9] 选择题(请用2B铅笔填涂) 1 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 非选择题(请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写) 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 —63— —64— 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 ∴B 18 ,-12 ∵kAF= 4 3=kBF ∴A ,F,B 共 线,∴ S△ACF S△BCF =|AF||BF|= 2+12 1 8+ 1 2 =4. 19.解:(1)ⅰ函数y=2|x|= -2x,x<0 2x,x≥0 ,当x∈(-∞,0] 时,单调递减,当x∈[0,+∞)时,单调递增,所以y=2| x|是含谷函数,谷点x=0; ⅱ函数y=x+cosx,求导y'=1-sinx≥0恒成立,函 数单调递增,所以不是含谷函数. (2)由题意可知函数y=x2-2x-mln(x-1)在区间 [2,4]内先减后增,且存在谷点, 令g(x)=x2-2x-mln(x-1),所以g'(x)=2x-2 - mx-1 , 设q(x)=g'(x)=2x-2- mx-1 , 所以q'(x)=2+ m(x-1)2 ,由 m>0可知q'(x)=2+ m (x-1)2 >0恒成立, 所以g'(x)在区间[2,4]上单调递增, 若满足谷点,则有 g'(2)=2-m<0 g'(4)=6-m3>0 ,解得2<m<18, 故m 的取值范围是(2,18). (3)因为h(x)=-x4+px3+qx2+(4-3p-2q)x, 所以h'(x)=-4x3+3px2+2qx+(4-3p-2q)= 4(1-x)x2+ 1-3p4 x+ 1-3p4-q2 , 若x2+ 1-3p4 x+ 1-3p4-q2 ≥0恒成立, 则函数y=h(x)在x≤1时严格增,在x≥1时严格减,不 是谷函数,不满足题意; 因此关于x的方程x2+ 1-3p4 x+ 1-3p4-q2 =0 有两个相异实根,即Δ>0, 设两根为α,β且α<β, 因为h(1)≤0=h(0),所以函数y=h(x)在区间(-∞, 1]上不为严格增, 但是当x<min{1,α,β}时,h'(x)>0,y=h(x)为严格增, 所以y=h(x)在区间(-∞,1]上的单调性至少改变一 次,从而必有一个驻点,即α<1, 同理,因为h(1)≤h(2),所以β>1, 因此,y=h(x)在区间(-∞,α]和[1,β]上严格增,在区 间[α,1]和[β,+∞)上严格减, 从而函数y=h(x)的含谷区间[a,b]必满足[a,b]⊆[α, β], 即L(p,q)=β-α= Δ= 1- 3p 4 2 -41-3p4- q 2 = 916p 2+32p-3+2q , 因为h(1)=-1+p+q+4-3p-2q=3-2p-q, h(2)=-16+8p+4q+8-6p-4q=-8+2p, 由h(1)≤h(2)得3-2p-q≤-8+2p,所以4p+q≥11, 由h(1)≤0得3-2p-q≤0,所以2p+q≥3, 所以q≥ 11-4p,p≤4 3-2p,p>4 , 当p≤4时,L(p,q)≥ 916p 2-132p+19≥ 2 , 当p>4时,L(p,q)≥ 916p 2-52p+3≥ 2 , 因此L(p,q)的最小值为 2,当p=4,q=-5时成立. 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(八) 1.C 因为全集U={1,2,3,4,5},∁UM={2,4},所以 M= {1,3,5}, 根据元素与集合的关系可知,ABD错误,C正确. 故选:C. 2.B ln(x-1)<0等价于0<x-1<1,即1<x<2, 因为1<x<2可以推出x>0,而x>0不能推出1<x<2, 所以x>0是1<x<2的必要不充分条件,其它选项均不 满足; 所以“ln(x-1)<0”的一个必要不充分条件是x>0. 故选:B. 3.C 根据函数y=x0.3在(0,+∞)单调递增,知道0.20.3 <0.30.3, 根据函数y=0.3x 在(0,+∞)单调递减,知道0.30.3< 0.30.2<0.30=1, 根据函数y=log0.5x 在(0,+∞)单 调 递 减,知 道1= log0.50.5<log0.50.3, 综上所得,a=0.20.3<0.30.3<0.30.2=b<0.30=1= log0.50.5<log0.50.3=c. 故选:C. 4.D 当x>1时,ln(x+2)>0,x-1>0,则f(x)>0,排除 选项B和C; 当x=0时,f(0)=ln2-1=-ln2<0 ,排除选项A,选项D 符合题意. 故选:D. 5.D 因为圆C:(x-2)2+(y-3)2=9关于直线l:ax+by -1=0(ab>0)对称, 所以直线l过圆心(2,3),即2a+3b=1, 则1 2a+ 1 3b= 1 2a+ 1 3b (2a+3b)=2+3b2a+2a3b 因为ab>0,且2a+3b=1,所以a>0,b>0, 所以1 2a+ 1 3b=2+ 3b 2a+ 2a 3b≥2+2 3b 2a× 2a 3b=4 , 当且仅当3b 2a= 2a 3b 即a=14 ,b=16 等号成立, 则1 2a+ 1 3b 的最小值是4. 故选:D. 6.D 若0<a<1,则x(a-x)<0在(1,2)上恒成立,不符 合条件. 若a>1,则f(x)在(1,2)上单调递增,得 a-1>0, a 2≥2 , 解得a ≥4. 故选:D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —321— 7.C 当x<1时,函数f(x)=2x-m 单调递增,则函数 f(x)在(-∞,1)上至多一个零点, 当x≥1时,函数f(x)=x2-4mx+3m2=(x-m)(x- 3m)至多两个零点, 因为函数f(x)有三个零点,则函数f(x)在(-∞,1)上有 一个零点,在[1,+∞)上有两个零点, 当x<1时,令f(x)=2x-m=0,可得m=2x, 必有m>0,解得x=log2m, 所以,log2m<1,解得0<m<2; 当x≥1时,由f(x)=(x-m)(x-3m)=0,可得x=m 或 x=3m, 所以, m≥1 3m≥1 m≠3m ,解得m≥1. 综上所述,实数m 的取值范围为[1,2). 故选:C. 8.D 由f(x)+f(2-x)=0,得函数f(x)的图象关于点 (1,0)对称, 由f(1+x)=f(3-x),得f(2+x)=f(2-x),则函数 f(x)的图象关于直线x=2对称, 且有f(2+x)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)= f(x),于是f(x)是以4为周期的周期函数, 又当x∈[1,2]时,f'(x)=3x2-4x+1≥0,即函数f(x) 在[1,2]上单调递增, 则函数f(x)在[0,1]上单调递增,在[0,2]上单调递增,在 [2,4]上单调递减,f(x)min=-2,f(x)max=2, 由6f(x)-x+1=0,得f(x)=16 (x-1), 则方程6f(x)-x+1=0的根即为函数y=f(x)的图象 与直线y=16 (x-1)交点的横坐标, 而直线y=16 (x-1)关于点(1,0)对称,即函数y=f(x) 的图象与直线y=16 (x-1)都关于点(1,0)对称, 在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y= 1 6 (x-1),如图: 当x∈(1,2)时,方程6f(x)-x+1=0,即(x-1)(6x2- 6x-1)=0,化为6x2-6x-1=0, 令g(x)=6x2-6x-1,函数g(x)在(1,2)上单调递增, g(1)=-1<0,g(2)=11>0, 因此函数g(x)在(1,2)上有唯一零点,即函数y=f(x)的 图象与直线y=16 (x-1)在(1,2)上有一个交点, 而当x=10时,y=32<2=f (10),当x=14时,y=136> 2=f(14), 观察图象得,函数y=f(x)的图象与直线y=16 (x-1)在 (1,+∞)上有6个交点, 由中心对称的性质知,函数y=f(x)的图象与直线y=16 (x-1)在(-∞,1)上有6个交点, 因此函数y=f(x)的图象与直线y=16 (x-1)的所有交 点横坐标和为1+6×2=13, 所以方程6f(x)-x+1=0所有根之和为13. 故选:D. 9.BCD 若a=-1>b=-2,c=-3>d=-4,则ac=3<8 =bd,故A错误; 若ac2>bc2,显然c≠0,即c2>0,则a>b,故B正确; 若b-a<0,且1a- 1 b= b-a ab >0 ,则ab<0,故C正确; 若a>b>0,则ba - b+1 a+1= b(a+1)-a(b+1) a(a+1) = b-a a(a+1) <0,即ba< b+1 a+1 ,故D正确. 故选:BCD. 10.ACD 如图,由4|PQ|=3|PF2|,可 设|PQ|=3m, |PF2|=4m. 因为PQ⊥PF2,所以|QF2|=5m. 设|PF1|=x,|QF1|=y,则4m-x=2a,5m-y=2a, x+y=3m,解得m=2a3 , 则x=2a3 ,y=4a3 , 所以|PQ|=2a,故A选项正确; QF1 →=2F1P→,故B选项错误; 在△PF1F2中,由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,得 4a2 9 +64a 2 9 =4c 2,则c 2 a2 =179 , 从而C的离心率为 173 ,故C选项正确; 又tan∠PF1F2= |PF2| |PF1| =4,所以直线 PQ 的 斜 率 为 ±4,故D选项正确. 故选:ACD. 11.ABD 不妨过斜圆柱的最高点D 和最低点B 作平行于 圆柱底面的截面圆,夹在它们之间的是圆柱,如图,矩形 ABCD 是圆柱的轴截面,平行四边形BFDE 是斜圆柱的 过底面椭圆的长轴的截面, 由圆柱的性质知∠ABF=45°, 则BF= 2AB,设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则 2a= 2·2b,a= 2b,c= a2-b2= a2- 2 2a 2 = 2 2a , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —421— 所以 离 心 率 为 e= ca = 2 2 ,A 正确; EG⊥BF,垂足为G,则EG=6, 易知∠EBG=45°,BE=6 2,又 CE=AF=AB=4, 所以斜圆柱侧面积为S=2π×2× (4+6 2)-2π×2×4=24 2π,B 正确; 2b=4,b=2,2a=4 2,a=2 2, 椭圆面积为πab=4 2π,D正确; 由于斜圆锥的两个底面的距离为6,而圆柱的底面直径 为4,所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2,球表面积 为4π×22=16π,C错. 故选:ABD. 12.答案:(-∞,-3)∪(1,+∞) 解析:函数f(x)=2-x-2x-x 的定义域为 R,f(-x) =2x-2-x+x=-f(x),则f(x)是R上的奇函数, 函数y=2-x,y=-2x,y=-x 在 R上都单调递减,则 函数f(x)在R上单调递减, 不等式f(x2-3)+f(2x)<0⇔f(x2-3)<-f(2x)= f(-2x),因此x2-3>-2x, 即x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1, 所以原不等式的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞). 故答案为:(-∞,-3)∪(1,+∞) 13.答案:3 解析:因为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC, 根据正弦定理可知(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2- a2=bc, 由余弦定理可知cosA=12 ,又A∈(0,π),故A=π3 , 又因为a=2,所以b2+c2-4=bc, 4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c时取等号), 即bc≤4, 所以S=12bcsinA≤ 1 2×4× 3 2= 3 ,即△ABC 面积的 最大值为 3. 故答案为:3. 14.答案:(e 1 e,+∞) 解析:依题意得g(x)=xa 与h(x)=logbx 只有一个交 点,即两曲线相切, 则g'(x)=h'(x)只有一个解, ∴axa-1= 1xlnb ,化简得x= 1alnb 1 a ,将其代入f(x) 得 1 alnb+ 1 alogb (alnb)=0, ∴logbe+logb(alnb)=0,即ealnb=1,∴a= 1 elnb. ∵a>1,∴ 1elnb>1 ,∴1<b<e 1 e, 则ab= belnb , 设Q(b)= belnb (1<b<e 1 e),则Q'(b)=lnb-1 e(lnb)2 <0, ∴Q(b)在(1,e 1 e)单调递减,∴Q(b)>Q(e 1 e)=e 1 e, ∴ab>e 1 e, ∴ab的取值范围是 e 1 e,+∞ . 故答案为:e 1 e,+∞ . 15.解:(1)由a1=1,a2=3,a3=6,得a2-a1=2,a3-a2= 3,(a3-a2)-(a2-a1)=1, 由数列{an}是一个二阶等差数列,得{an+1-an}是以2 为首项,1为公差的等差数列, 因此an+1-an=2+(n-1)×1=n+1,a4=4+a3=10, 当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an- an-1)=1+2+3+…+n= n2+n 2 , a1=1满足上式,则an= n2+n 2 , 所以{an}的通项公式是an= n2+n 2 . (2)由(1)知,bn= 8an-4n 8an-4n-1 = 8·n 2+n 2 -4n 8·n 2+n 2 -4n-1 = 4n2 4n2-1 =1+ 1(2n-1)(2n+1)=1+ 1 2 12n-1- 1 2n+1 , 所以Tn=n+ 1 2 1-13 + 13-15 + 15-17 + …+ 12n-1- 12n+1 =n+12 1- 12n+1 =n+ n2n+1. 16.解:(1)连接EM,由AB∥CD,PQ∥CD,得AB∥PQ, 又AB=PQ,则四边形PABQ 为平行四边形, 由点E 和M 分别为AP 和BQ 的中点,得EM∥AB 且 EM=AB, 而AB∥CD,CD=2AB,F 为CD 的中点,则EM∥CF 且EM=CF, 四边形EFCM 为平行四边形,则EF∥MC,又EF⊄平 面 MPC,CM⊂平面CPM, 所以EF∥平面CPM. (2)由PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,得直线DA,DC,DP 两两垂直, 以D 为原点,直线DA,DC,DP 分别为x,y,z轴建立空 间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0, 2),Q(0,1,2),M(1,1,1), PM→=(1,1,-1),PQ→=(0,1,0),QC→=(0,1,-2), 设 n = (x,y,z)为 平 面 PQM 的 法 向 量, 则 n·PM→=x+y-z=0 n·PQ→=y=0 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —521— 取z=1,得n=(1,0,1), 设QN→=λQC→(0≤λ≤1),即QN→=(0,λ,-2λ), 则N(0,λ+1,2-2λ),DN→=(0,λ+1,2-2λ), 由直线 DN 与平面PMQ 所成 的 角 为π6 ,得sinπ6= |cos<DN→,n>|=|DN →·n| |DN→||n| , 即1 2= |2-2λ| (λ+1)2+(2-2λ)2· 2 ,整理得3λ2-10λ+3 =0,而0≤λ≤1,解得λ=13 , 所以QN∶NC=1∶2. 17.解:(1)函数f(x)=x(ex-ax2)的定义域为 R,求导得 f'(x)=(x+1)ex-3ax2,f'(-1)=-3a, 依题意,f'(-1)=0,则a=0,f(x)=xex,f'(x)=(1+ x)ex, 当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0, 因此函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞) 上单调递增, 所以函数f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-1e , 无极大值. (2)函数f(x)=x(ex-ax2)在(0,+∞)只有一个零点, 等价于y=ex-ax2在(0,+∞)只有一个零点, 设g(x)=ex-ax2,则函数g(x)在(0,+∞)只有一个零 点,当且仅当g(x)=0在(0,+∞)只有一解, 即a=e x x2 在(0,+∞)只有一解,于是曲线y=e x x2 (x>0) 与直线y=a只有一个公共点, 令φ(x)= ex x2 (x>0),求导得φ'(x)= ex(x-2) x3 ,当x<2 时,φ'(x)<0,当x>2时,φ'(x)>0, 因此函数φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调 递增, 函数φ(x)在x=2取得极小值同时也是最小值φ(2) =e 2 4 , 当x→0时,φ(x)→+∞;当x→+∞时,φ(x)→+∞, 画出φ(x)= ex x2 大致的图象,如图, g(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=φ(2)= e2 4 , 所以f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=e 2 4. 18.解:(1)设事件 M 表示“学生答此题得6分”,即对于选项 A、C作出正确的判断,且对于选项B、D作出正确的判 断或判断不了, 所以P(M)=0.8×(0.7+0.1)×0.6×(0.5+0.3)= 0.3072; (2)①记 X 为“从四个选项中随机选择一个选项的得 分”, P(X=0)=12× 2 C14 +12× 1 C14 =38 ,P(X=2)=12× C13 C14 =38. ②对于方案Ⅰ:记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项 的得分”, 则ξ的所有可能取值为0,2,3, 则P(ξ=0)=p× 2 C14 +(1-p)×1C14 =1+p4 , P(ξ=2)=(1-p)× C13 C14 =34 (1-p), P(ξ=3)=p× C12 C14 =12p , 所以E(ξ)=0× 1+p 4 +2× 3 4 (1-p)+3×12p= 3 2 ; 对于方案Ⅱ:记ε为“从四个选项中随机选择两个选项的 得分”,则ε的所有可能取值为:0,4,6, 则P(ε=0)=p× C24-1 C24 +(1-p)× C13 C24 =13p+ 1 2 , P(ε=4)=(1-p)× C24-C13 C24 =12 (1-p), P(ε=6)=p×1C24 =16p , 所以E(ε)=0× 13p+ 1 2 +4×12(1-p)+6×16p= 2-p; 要使唯独选择方案Ⅰ最好,则 2-p<32 0<p<1 , 解得:1 2<p<1 ,故P 的取值范围为 12 ,1 . 19.解:(1)依题意,椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的另一焦 点为F2(2 2,0), 因此 2a=|AF1|+|AF2|= (3+2 2)2+12 + (3-2 2)2+12 =(2 3+ 6)+(2 3- 6)=4 3, 于是a=2 3,b= (2 3)2-(2 2)2=2, 所以椭圆C的标准方程为x 2 12+ y2 4=1. (2)设“共轭点对”[A,B]中点B 的坐标为B(x,y),由 (1)知,点A(3,1)在椭圆C:x 2 12+ y2 4=1 上, 依题意,直线l的方程为3x12+ y 4=0 ,整理得x+y=0, 所以直线l的方程为x+y=0. (3)由(2)知,直线l:x+y=0,由 y=-x x2+3y2=12 ,解得 x=- 3 y= 3 或 x= 3y=- 3 ,则B1(- 3,3),B2(3,- 3), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —621— 设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),则 x2P 12+ y2P 4=1 x2Q 12+ y2Q 4=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,两式相减 得 (xP-xQ)(xP+xQ) 12 + (yP-yQ)(yP+yQ) 4 =0 , 又PQ∥OA,于是yP -yQ xP-xQ =13 ,则yP+yQ=-(xp+ xQ),有 yP+yQ 2 =- xP+xQ 2 ,线段PQ 被直线l平分, 设点P 到直线x+y=0的距离为d,则四边形B1PB2Q 的面积SB1PB2Q=2S△PB1B2=2× 1 2×|B1B2|×d , 而|B1B2|= - 3- 3 2+ 3+ 3 2=2 6,则有 SB1PB2Q=2 6d, 设过点P 且与直线l平行的直线l1的方程为x+y=m, 则当l1与C相切时,d取得最大值, 由 x+y=m x2 12+ y2 4=1 消去y得4x2-6mx+3(m2-4)=0, 令Δ=36m2-48(m2-4)=0,解得m=±4, 当m=±4时,此时方程为4x2±24x+36=0,即(x± 3)2=0,解得x=±3, 则此时点P 或点Q 必有一个和点A(3,1)重合,不符合 条件PQ∥OA,从而直线l1与C不可能相切, 即d小于平行直线x+y=0和x+y=4(或x+y=-4) 的距离4 2 =2 2, 所以SB1PB2Q<2 6×2 2=8 3. 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(九) 1.D 将 抛 物 线 方 程 化 为 标 准 方 程 为 x2= 12y ,可 知 p=14 ,所以焦点坐标为 0,18 . 故选:D. 2.D 由题意,若学生甲每天的读书时长xi,则学生乙该周 内每天的读书时长yi=xi+0.5, 所以E(Y)=E(X)+0.5=􀭺x+0.5,D(Y)=D(X)=s2. 故选:D. 3.C 依题意μ=2,σ=1, 根据正态分布的对称性可知: P(1<ξ<3)=1-2P(ξ>3)=1-2m. 故选:C. 4.A 因为2018a=3,2018b=6,2018c=12,所以a=log20183, b=log20186,c=log201812, 而b-a=log20186-log20183=log20182,c-b=log201812- log20186=log20182, 所以b-a=c-b,数列a、b、c为等差数列; 而b a≠ c b ,所以数列a、b、c不为等比数列. 故选:A. 5.A 函数f(x)=2f'(1)x-x3+lnx-2,求导得f'(x)= 2f'(1)-3x2+1x , 取x=1,得f'(1)=2,f(x)=4x-x3+lnx-2, 所以f(1)=1. 故选:A. 6.B 令m=x-12y ,则直线2x-y-2m=0与x 2 3+ y2 4=1 有交点情况下,直线在x轴上截距最大, 假设直线与椭圆相切,则x2+3(x-m)2=3,即4x2- 6mx+3m2-3=0, 所以Δ=36m2-48(m2-1)=0,可得m2=4,即m=±2, 要使2x-y-2m=0在x轴上截距最大,即m=2. 故选:B. 7.D 由题中图像可知,f'(x)、g'(x)的图像有三个不同交 点,其交点横坐标按从小到大的顺序,依次记为x1,x2, x3,其中x2=0, 由图像可得,当x<x1时,g'(x)>f'(x),即y'=g'(x)- f'(x)>0,则函数y=g(x)-f(x)单调递增; 当x1<x<0时,g'(x)<f'(x),即y'=g'(x)-f'(x)<0, 则函数y=g(x)-f(x)单调递减; 当0<x<x3时,g'(x)>f'(x),即y'=g'(x)-f'(x)>0, 则函数y=g(x)-f(x)单调递增; 当x>x3时,g'(x)<f'(x),即y'=g'(x)-f'(x)<0,则 函数y=g(x)-f(x)单调递减; 所以y=g(x)-f(x)有两个极大值点x1和x3,有一个极 小值点0. 故选:D. 8.C 由题意得,f'(x)=-2ωsin(ωx+φ),则f'(0)=-2ω sinφ=-ω,即sinφ= 1 2 , 又0<φ< π 2 ,解得φ= π 6 ,∴f(x)=2cosωx+π6 - 3, 由f(x)=0得cosωx+π6 = 32,∵x∈(0,π),ω>0, ∴ωx+π6∈ π 6 ,ωπ+π6 ,又cosπ6= 32, ∵f(x)在(0,π)上只有一个零点x0, ∴11π6 <ωπ+ π 6≤ 13π 6 ,解得5 3<ω≤2 , ∴ω的最大值为2. 故选:C. 9.AD 由S11= 11(a1+a11) 2 =11a6>0 ,得a6>0, 又S12= 12(a1+a12) 2 =6 (a6+a7)<0,得,a6+a7<0, 所以a6>0,a7<0,数列{an}是递减数列,其前6项为正, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —721—