仿真模拟试卷(6)-【精编高考12套】2025年高考数学仿真模拟卷

(2)因为f(x)=ex-aln(x+1),x>0,则f'(x)=ex- a x+1= (x+1)ex-a x+1 , 令h(x)=(x+1)ex-a,x>0,则h'(x)=(x+2)ex>0 对任意x>0恒成立, 可知h(x)在(0,+∞)内单调递增,则h(x)>h(0)= 1-a, 当1-a≥0,即a≤1时,则h(x)>0对任意x>0恒成 立,即f'(x)>0, 可知f(x)在(0,+∞)内单调递增,无极值,不合题意; 当1-a<0,即a>1时,则h(x)在(0,+∞)内存在唯一 零点x0>0, 当0<x<x0 时,h(x)<0,即f'(x)<0;当x>x0 时, h(x)>0,即f'(x)>0; 可知f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调 递增, 可知f(x)存在极小值f(x0),符合题意. 综上所述:实数a的取值范围为(1,+∞). (3)令F(x)=2f(x)-g'(x)-2=2ex-2aln(x+1)- cosx-1,x∈[0,π], 则F'(x)=2ex- 2ax+1+sinx , 原题意等价于F(x)≥0对任意x∈[0,π]恒成立, 且F(0)=0,则F'(0)=2-2a≥0,解得a≤1, 若a≤1,因为x∈[0,π],则2ex≥2,- 2ax+1≥-2 ,sinx≥0, 则F'(x)=2e2- 2ax+1+sinx≥0 , 可知F(x)在[0,π]内单调递增,则F(x)≥F(0)=0,即a ≤1符合题意. 综上所述:实数a的取值范围为(-∞,1]. 19.解:(1)依题意设双曲线方程为x 2 a2 -y 2 b2 =1(a,b>0), 则渐近线方程为y=±bax , 则 b a = 2 2 c= 3 a2+b2=c2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得 a= 2 b=1 c= 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,所以 E 的方程为x 2 2-y 2 =1; (2)①当直线l1,l2 中又一条直线的斜率为0,另一条直 线的斜率不存在时,直线 MN 与x 轴重合,不符合题意; 所以直线l1,l2的斜率均存在且不为0, 设l1的方程为y=k(x-pn)(k≠0),A(x1,y1),B(x2, y2),M(xM,yM),N(xN,yN), 由 y=k(x-pn) x2 2-y 2=1 , 得(1-2k2)x2+4k2pnx-2k2p2n-2=0, 则1-2k2≠0,所以x1+x2= -4k2pn 1-2k2 , x1x2= -2k2p2n-2 1-2k2 , 所以xM = x1+x2 2 = -2k2pn 1-2k2 ,则yM =k(xM -pn)= k -2k2pn 1-2k2 -pn = -kpn1-2k2, 所以M -2k2pn 1-2k2 ,-kpn 1-2k2 ,同理可得M -2pnk2-2,kpnk2-2 , 因为M、N、Q 三点共线,所以yN(xN-xM)=(yN-yM) (xN-tn), 又 yN - yM ≠ 0,所 以 tn = xMyN-xNyM yN-yM = -2k2pn 1-2k2 · kpn k2-2 - -2pn k2-2 · -kpn 1-2k2 kpn k2-2 - -kpn 1-2k2 =2pn, 因为pn=2n,所以tn=2n+1; ②an=|PQ|=|2n-2n+1|=2n, 所 以∑ 2n k=1 [bk+1-(-1)kbk]ak=∑ n k=1 {[b2k-(-1)2k-1 b2k-1]a2k-1+[b2k+1-(-1)2kb2k]a2k} =∑ n k=1 [(4k-1+4k-3)×22k-1+(4k+1-4k+1)×22k] =∑ n k=1 k×22k+2=∑ n k=1 k×4k+1, 设Tn=∑ n k=1 k×4k+1, 则Tn=1×42+2×43+3×44+…+n×4n+1, 所以4Tn=1×43+2×44+3×45+…+n×4n+2, 所以 -3Tn=42+43+44+ … +4n+1-n×4n+2= 16(1-4n) 1-4 -n×4 n+2=-16- (3n-1)×4n+2 3 , 所以Tn= 16+(3n-1)×4n+2 9 , 所以∑ 2n k=1 [bk+1-(-1)kbk]ak= 16+(3n-1)×4n+2 9 . 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(六) 1.C A={x∈N*|x2-4x≤0}={x∈N*|0≤x≤4}= {1,2,3,4}; B={x∈Z||x-1|≤2}={x∈Z|-2≤x-1≤2}={x∈ Z|-1≤x≤3}={-1,0,1,2,3}; A∩B={1,2,3}. 故选:C. 2.B 由(1+i)z=a-i得,z=a-i1+i= (a-i)(1-i) (1+i)(1-i)= a-1 2 - a+1 2i ,|z|=1 ∴ a-12 2 + -a+12 2 =1,解得a=1或a=-1. 故“|z|=1”是“a=1”的必要不充分条件. 故选:B. 3.B 设等差数列{an}的公差为d≠0, 若a2,a4,a5 成等比数列,则a24=a2·a5,即(2+3d)2= (2+d)(2+4d), 整理可得5d2+2d=0,解得d=-25 或d=0(舍去), 所以公差为-25. 故选:B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —511— 4.C cos 2α-5π6 =-cos 2α-5π6+π =-cos 2α+π6 =- 1-2sin2 α+π12 =-1+2× 45 2 =725. 故选:C. 5.A 球的体积为43πR 3=203 5π ,可得其半径R= 5, 圆柱的底面直径为2,半径为r=1,在轴截面中,可知圆柱 的高为h=2 R2-r2=4, 所以圆柱的侧面积为2πrh=8π. 故选:A. 6.B 因为|b|=2|a|,a与b的夹角为60°, 所以a·b=|a||b|cos60°=|a|×2|a|×12=|a| 2, 则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|2-4|a|2=-2|a|2, 所以2a-b 在b 上 的 投 影 向 量 为 (2a-b)·b |b| × b |b|= -2|a|2 2|a| × b 2|a|=- 1 2b. 故选:B. 7.A 由(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),f(1)=e可得, 令x=y=12 ,代入可得f(1)=12× 1 2f 2 12 =e,即a =f 12 =±2e, 令x=y=1,代入可得2f(2)=f2(1)=e2,即b=f(2) =e 2 2 , 令x=1,y=2,代入可得3f(3)=2f(1)f(2)=2e×e 2 2= e3,即c=f(3)=e 3 3 ; 由e≈2.71828…可得±2e<e 2 2< e3 3 , 显然可得a<b<c. 故选:A. 8.C 函数f(x)=lnx-mx2+x的定义域为(0,+∞), 不等式f(x)>0化为:mx-1<lnxx . 令h(x)=mx-1,g(x)=lnxx ,g'(x)=1-lnxx2 , 故函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上 单 调 递减. 当x>1时,g(x)>0,当x=1时,g(x)=0, 当0<x<1时,g(x)<0, 当x→+∞时,g(x)→0,当x>0,且x→0时, g(x)→-∞, 画出g(x)及h(x)的大致图象如下, 因为 不 等 式f(x)>0的 解 集 中 恰 有 两 个 不 同 的 正 整 数解, 故正整数解为1,2. 故 h(2)<g(2) h(3)≥g(3) , 即 2m-1<ln22 3m-1≥ln33 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 . 故3+ln3 9 ≤m< 2+ln2 4 . 故选:C. 9.BC (2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,∴a=0.005,A项 错误; [50,70]内频率为:5×0.005×10=0.25<0.5, [50,80]内频率为:12×0.005×10=0.6>0.5, 则中位数在[70,80]内,设中位数为x,则0.25+(x-70) ×7×0.005=0.5, 则x=77.14,B正确; 成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为34×85+ 1 4×95=87.5 分, 方差为3 4× [12+(87.5-85)2]+14× [10+(87.5- 95)2]=30.25,C正确,D错误. 故选:BC. 10.AD 因为 x+ 12 x n 的展开式共有8项,所以n=7. 故所有项的二项式系数和为27=128,故A正确; 令x=1,可得所有项的系数和为 1+12 7 ≠ 32 8 ,故 B错误; 因为二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为:Tr+1=Cr7·x7-r· 12 x r = 12 r ·Cr7·x7- 3r 2.r=0,1,2,…,7. 当r∈N*,1≤r≤6,设Tr+1项系数最大, 由 12 r ·Cr7≥ 12 r-1 ·Cr-17 12 r ·Cr7≥ 12 r+1 ·Cr+17 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得 r≤83 r≥53 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 则r=2, 且T3=C27 12 2 x4=214x 4,第3项系数为214. 当r=0时,T1=x7,系数为1; 当r=7时,T8=C77 12 7 x- 7 2= 1128x -72,系数为 1 128 ; 由 1 128< 21 4 ,1<214 ,故第3项的系数最大;故C错误; 由7-3r2 为整数,且r=0,1,2,…,7可知,r的值可以为: 0,2,4,6, 所以二项展开式中,有理项共有4项,故D正确. 故选:AD. 11.AD f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>1, 故x∈(-∞,0)∪(a,+∞)时f'(x)>0,故f(x)在 (-∞,0),(a,+∞)上单调递增, x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 则f(x)在x=0处取到极大值,在x=a处取到极小值, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —611— 由f(0)=1>0,f(a)=1-a3<0,则f(0)f(a)<0, 根据零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点, 又f(-1)=-1-3a<0,f(2a)=4a3+1>0,则f(-1) f(0)<0,f(a)f(2a)<0, 则f(x)在(-,0),(a,2a)上各有一个零点,于是a>1 时,f(x)有三个零点,A选项正确; f'(x)=6x(x-a),a<0时,x∈(a,0),f'(x)<0,f(x) 单调递减, x∈(0,+∞)时f'(x)>0,f(x)单调递增, 此时f(x)在x=0处取到极小值,B选项错误; 假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴, 即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x), 即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2a-x)2+1, 根据二项式定理,等式右边(2b-x)3 展开式含有x3 的 项为2C33(2b)0(-x)3=-2x3, 于是等式左右两边x3 的系数都不相等,原等式不可能 恒成立, 于是不存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴,C 选项错误; 法一:利用对称中心的表达式化简 f(1)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3a)为f(x) 的对称中心, 则f(x)+f(2-x)=6-6a,事实上, f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2- x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a, 于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a 即 12-6a=0 12a-24=0 18-12a=6-6a ,解得a=2,即存在a=2使得(1, f(1))是f(x)的对称中心,D选项正确. 法二:直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶 导数的零点, f(x)=2x3-3ax2+1,f'(x)=6x2-6ax,f″(x)=12x -6a, 由f″(x)=0⇔x=a2 ,于是该三次函数的对称中心为 a2,f a2 , 由题意(1,f(1))也是对称中心,故a2=1⇔a=2 , 即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心,D选项 正确. 故选:AD. 12.答案:2 解析:由题意得,a-3+2a+1=2×2,解得a=2. 故答案为:2. 13.答案:45 /0.8 解析:圆(x-1)2+y2=25的圆心为F(1,0),故p2=1 即p=2, 由 (x-1)2+y2=25 y2=4x 可得x2+2x-24=0,故x=4或x =-6(舍), 故A(4,±4),故直线AF:y=±43 (x-1)即4x-3y-4 =0或4x+3y-4=0, 故原点到直线AF 的距离为d=|4|5 = 4 5. 故答案为:4 5. 14.答案:40482025 解析:由an+1=an+n+1可得an+1-an=n+1, 则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+ a1=1+2+…+(n-1)+n= n(n+1) 2 , 则1 an = 2n(n+1)=2 1n- 1n+1 , 故数列 1 an 的前2024项和为2 1-12 +2 12-13 +…+2 12024- 12025 =2 1- 12025 =40482025. 故答案为:4048 2025. 15.解:(1)因 为 acos2 C2 +ccos 2 A 2 = 3 2b ,则 a(1+cosC)+c(1+cosA) 2 = 3 2b , 即a+c+acosC+ccosA=3b, 由正弦定理可得3sinB=sinA+sinC+(sinAcosC+ cosAsinC)=sinA+sinC+sin(A+C)=sinA+sinC +sin(π-B)=sinA+sinC+sinB, 因此,sinA+sinC=2sinB. (2)因为sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可得a+c= 2b=4, 由平面向量数量积的定义可得AB→·AC→=cbcosA=3, 所以,2c·b 2+c2-a2 2bc = 4+c2-a2 2 =3 ,可得c2-a2=2, 即(c-a)(c+a)=4(c-a)=2,所以,c-a=12 ,则c= 9 4 ,a=74 , 所以,cosA=3bc= 3 2×94 =23 ,则A 为锐角,且sinA= 1-cos2A= 1- 23 2 = 53 , 因此,S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2×2× 9 4× 5 3= 3 5 4 . 16.解:(1)由 题 意:BC=AB=2,∠ABC=90°,∴AC= AB2+BC2=2 2,同理CD=2 2, 又AD=4,∴CD2+AC2=AD2,∴CD⊥AC.而CD= 2 2= PD2+PC2,即PC⊥PD 又平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD= CD,AC⊂平面ABCD, ∴AC⊥平面PCD,PD⊂平面PCD,∴PD⊥AC,又PC ⊥PD,且 PC⊂面 PCA,AC⊂面 PCA,PC∩AC=C, ∴PD⊥平面PCA. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —711— (2)以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,0,0),A(0,2 2,0),D(2 2,0,0),P(2,0,2), ∴CD→=(2 2,0,0),CP→=(2,0,2),PA→=(- 2,2 2, - 2), 设PQ→=λPA→(0<λ<1),有CQ→=CP→+λPA→=(2(1- λ),2 2λ,2(1-λ)), 取平面PCD 的一个法向量m=(0,1,0), 则cos<CQ→,m>= 2 2λ 4(1-λ)2+8λ2 = 63 ,λ=12 , 故CQ→= 22,2,22 . 令n= (x,y,z)是 平 面 CDQ 的 一 个 法 向 量,则 n·CD→=0 n·CQ→=0 ,即 2 2x=0 2 2x+ 2y+ 2 2z=0 , 令y=1,有n=(0,1,-2),则|cos<n,m>|=|n ·m| |n||m| = 55. 故平面PCD 与平面CDQ 夹角的余弦值为 55. 17.解:(1)M 为PA 的 垂 直 平 分 线 上 一 点,则|MP|+ |MA|, 则||MA|-|MC||=||MP|-|MC||=2<|AC|=4 ∴点 M 的轨迹为以A,C 为焦点的双曲线,且2a=2, c=2, 故点 M 的轨迹方程为H:x2-y 2 3=1. (2)(ⅰ)设 M(x0,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),双曲线的 渐近线方程为:y=± 3x, 如图所示: 则y1= 3x1 ①,y2=- 3x2 ②, ①+②得,y1+y2= 3(x1-x2), ①-②得,y1-y2= 3(x1+x2), 则 y1+y2 3(x1+x2) = 3(x1-x2) y1-y2 ,得 y1+y2 x1+x2 = 3(x1-x2) y1-y2 由题可知|MS|=|MT|,则x1+x2 =2x0,y1+y2=2y0, 得y0 x0 = 3(x1-x2) y1-y2 ,即kST= 3x0 y0 , ∴直线ST 的方程为y-y0= 3x0 y0 (x-x0),即3x0x- y0y=3x20-y20, 又∵点M 在曲线H 上,则3x20-y20=3,得3x0x-y0y=3, 将方程联立 x2-y 2 3=1 3x0x-y0y=3 ,得(y20-3x20)x2+6x0x-3 -y20=0, 得-3x2+6x0x-3x20=0, 由Δ=(6x0)2-4×(-3)×(-3x20)=0,可知方程有且 仅有一个解, 得直线l与曲线H 有且仅有一个交点. (ⅱ)由(ⅰ)联立 y= 3x 3x0x-y0y=3 ,可得x1= 33x0-y0, 同理可得,x2= 3 3x0+y0 , 则|OS|·|OT|= x21+y21· x22+y22=4|x1x2|=4× 3 3x20-y20 =4, 故 2 |OS|+ 1 |OT|= 2 |OS|+ |OS| 4 ≥2 2 |OS|× |OS| 4 = 2, 当且仅当 2 |OS|= |OS| 4 ,即|OS|=2 2时取等号. 故 2 |OS|+ 1 |OT| 的取值范围为[2,+∞). 18.解:(1)由f(x)≥g(x)得aex≥lnx+1,则a≥lnx+1ex , 设F(x)=lnx+1 ex ,F'(x)= 1 x-lnx-1 ex , 由于y=1x ,y=-lnx 均为(0,+∞)上的单调递减函 数,故y=1x-lnx-1 为(0,+∞)上的单调递减函数, 结合F'(1)=0, ∴F'(x)在(0,1)为正,在(1,+∞)为负,故F(x)在(0, 1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减, ∴F(x)max=F(1),则a≥F(1)= 1 e , 即a的取值范围是 1e,+∞ . (2)设直线l是f(x),g(x)的公切线,设g(x)的切点为 (x1,lnx1+b),f(x)的切点为(x2,aex2),f'(x)=aex, g'(x)=1x , 所以切线方程为y=1x1 (x-x1)+lnx1+b,y=aex2(x -x2)+aex2, 因此aex2=1x1 且lnx1+b-1=aex2-ax2ex2 结合a=e-1,故ex2-1=1x1 ⇒x2-1=-lnx1,故lnx1+ b-1=aex2(1-x2)= lnx1 x1 , 进而可得b= lnx1 x1 -lnx1+1, 令h(x)=lnxx -lnx+1 ,故h'(x)=1-lnx-x x2 , 由于y=1-lnx-x为单调递减函数,且h'(1)=0, 故当x∈(0,1),h'(x)>0,h(x)在(0,1)单调递增; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —811— 当x∈(1,+∞),h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)单调递减; 故h(x)≤h(1)=1, 又当x→+∞,h(x)→-∞,且x→0,h(x)→-∞, 故b= lnx1 x1 -lnx1+1总有两个不相等的实数根,因此 直线l有两条. (3)由题意得:存在实数s,t,使f(x)在x=s处的切线和 g(x)在x=t处的切线重合, ∴f'(s)=g'(t)=f (x)-g(t) s-t ,即 aes = 1t = aes-lnt-b s-t = 1 t-lnt-b s-t , 则s-t=1-tlnt-bt,s=1-tlnt-(b-1)t, 又∵aes=1t⇒lna+s=-lnt , ∴lna=-lnt-s=-lnt-1+tlnt+(b-t)t, 题目转化为p(t)=-lnt-1+tlnt+(b-1)t=lna有两 个不等实根,且互为倒数,不妨设两根为m,1m , 则由p(m)=p 1m 得-lnm-1+mlnm+(b-1)m= -ln1m-1+ 1 mln 1 m+ (b-1)1m , 化简得lnm= (b-1) 1m-m m+1m-2 = (b-1)(1-m2) m2+1-2m =(b- 1)1+m1-m , ∴lna=(m-1)lnm-1+(b-1)m=(b-1)(-1-m) -1+(b-1)m=-b, ∴b=-lna. 19.解:(1)由 于 an =2n-1 为 等 差 数 列,所 以 An = (1+2n-1)n 2 =n 2,bn=-2n-1为等比数列,Bn= 1-2n 1-2 =1-2n, 任意的n∈N*,都有An+An+2-2An+1=n2+(n+2)2 -2(n+1)2=2>0, 故An+An+2>2An+1,所以数列{An}是为“T数列”, 任意的n∈N*,都有Bn+Bn+2-2Bn+1=-2n-2n+2+ 2×2n+1=-2n<0, 故Bn+Bn+2<2Bn+1,所以数列{Bn}不是为“T数列”, (2)先证明必要性: 因为{an}为“T数列”,所以对任意的n∈N*,都有an+ an+2≥2an+1,即an+2-an+1≥an+1-an, 所以对任意的k,m,n∈N*,当k<m<n时,有an-am= (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(am+1-am)≥(n- m)(am+1-am), 所以 an-am n-m ≥am+1-am , 又am-ak=(am-am-1)+(am-1-am-2)+…+(ak+1 -ak)≤(m-k)(am-am-1), 所以 am-ak m-k ≤am-am-1 , 又am-am-1≤am+1-am, am-ak m-k ≤am+1-am 故 am-ak m-k ≤am+1-am≤ an-am n-m ,即am-ak m-k ≤ an-am n-m ,故 (n-m)ak+(m-k)an≥(n-k)am, 再证明充分性: 对于任意的k,m,n∈N*,当k<m<n时,有(n-m)ak+ (m-k)an≥(n-k)am, 即 am-ak m-k ≤ an-am n-m , 对于任意的k∈N*,m=k+1,n=k+2,则有 ak+1-ak 1 ≤ ak+2-ak+1 1 , 即可ak+2+ak≥2ak+1,所以{an}为“T数列”, (3)数列{bn}为“严格 T数列”,且对任意的n∈N*,有 bn+2+bn≥2bn+1,即bn+2-bn+1>bn+1-bn, 设cn=bn+1-bn,则{cn}为单调递增数列,且cn∈Z, 所以bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…(b2-b1) =cn-1+cn-2+…+c1 因为b1=-8,b128=-8.所以b128-b1=c127+c126+… +c1=0, 所以存在m∈N*,2≤m≤127时,cm-1<0,cm≥0, 所以,当n≤m,n∈N*,bn-bn-1<0,数列{bn}为单调递 减数列, 当n≥m,n∈N*,bn+1-bn≥0, 因此{bn}存在最小值,且最小值为bm, 由于cn∈Z,所以cm≥0,cm+1≥1,…,c127≥127-m,且 cm-1≤-1,cm-2≤-2,…,c1≤-m+1, 所以bm-b1=cm-1+cm-2+…+c1≤- m(m-1) 2 ,即 bm≤-8- m(m-1) 2 , b128-bm=c127+c126+…+cm≥ (127-m)(128-m) 2 ,即 bm≤-8- (127-m)(128-m) 2 所以 bm ≤ min -8- (127-m)(128-m)2 ,-8- m(m-1) 2 -m(m-1)2 +(127-m)(128-m)2 =127(64 -m), 当 m =64 时,-8- (127-m)(128-m) 2 = -8 -m (m-1) 2 , 当 m >64 时,-8- (127-m)(128-m) 2 > -8 -m (m-1) 2 , 当0<m<64 时,-8- (127-m)(128-m) 2 < -8 -m (m-1) 2 , 所以当 m=64时,bm 的 最 大 值 为 -8- m(m-1) 2 = -2024, 此时cn=n-64,(n=1,2,3,…,127),因为c64=b65-b64 =0, 所以数列{bn}的最小项的最大值为b65=b64=-2024. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —911— —41— —42— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(六) 数 学 时间:120分钟 分数:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={x|∈N*|x2-4x≤0},b={x∈Z||x-1|≤2},则A∩B= ( ) A.{0,1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D.{1,2,3,4} 2.若复数z满足(1+i)z=a-i(其中i是虚数单位,a∈R),则“|z|=1”是“a=1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.等差数列{an}的首项为2,公差不为0.若a2,a4,a5 成等比数列,则公差为 ( ) A.25 B.- 2 5 C.1 D.-1 4.若sin π12+α =45,则cos 2α-5π6 = ( ) A.-1225 B.- 7 25 C. 7 25 D. 12 25 5.已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个体积为203 5π 的球面上,该圆柱的侧面 积为 ( ) A.8π B.6π C.5π D.4π 6.已知|b|=2|a|,若a与b的夹角为60°,则2a-b在b上的投影向量为 ( ) A.12b B.- 1 2b C.- 3 2b D. 3 2b 7.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),f(1)=e,记a=f 12 , b=f(2),c=f(3),则 ( ) A.a<b<c B.b<c<c C.a<c<b D.c<b<a 8.已知函数f(x)=lnx-mx2+x,若不等式f(x)>0的解集中恰有两个不同的正整数解,则实数m 的取值范围是 ( ) A. 2+ln28 ,3+ln39 B. 3+ln39 ,2+ln24 C. 3+ln39 ,2+ln24 D. 2+ln28 ,3+ln39 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了 100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分 析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于[80, 90)内的学生成绩方差为12,成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为 10.则 ( ) A.a=0.004 B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32 10.已知 x+ 12 x n (n∈N*)展开式中共有8项.则该展开式结论正确的是 ( ) A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为 32 8 C.系数最大项为第2项 D.有理项共有4项 11.设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 ( ) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知随机变量ξ~N(2,3 2),若P(ξ<a-3)=P(ξ>2a+1),则实数a的值为 . 13.圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点 到直线AF的距离为 . 14.数列{an}满足a1=1,且an+1=an+n+1(n∈N*),则数列 1 an 的前2024项和为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演练步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知acos2C2+ccos 2A 2= 3 2b. (1)证明:sinA+sinC=2sinB; (2)若b=2,AB→·AC→=3,求△ABC的面积. —43— —44— 16.(15分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD=PC=CB=BA=12AD=2 ,AD∥CB,∠CPD= ∠ABC=90°,平面PCD⊥平面ABCD,E 为PD 中点. (1)求证:PD⊥平面PCA; (2)点Q 在棱PA 上,CQ 与平面PDC 所成角的正弦值为 63 ,求平面PCD 与平面CDQ 夹角的余 弦值. 17.(15分)已知点P 为圆C:(x-2)2+y2=4上任意一点,A(-2,0),线段PA 的垂直平分线交直线 PC 于点M,设点 M 的轨迹为曲线H. (1)求曲线 H 的方程; (2)若过点 M 的直线l与曲线H 的两条渐近线交于S,T 两点,且 M 为线段ST 的中点. (ⅰ)证明:直线l与曲线H 有且仅有一个交点; (ⅱ)求 2|OS|+ 1 |OT| 的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx+b(a,b∈R). (1)当b=1时,f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围; (2)证明:当a=e-1,b<1时,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)总存在两条公切线; (3)若直线l1,l2 是曲线y=f(x)与y=g(x)的两条公切线,且l1,l2 的斜率之积为1,求a,b的关 系式. 19.(17分)已知无穷数列{an},给出以下定义:对于任意的n∈N*,都有an+an+2≥2an+1,则称数列{an} 为“T数列”;特别地,对于任意的n∈N*,都有an+an+2>2an+1,则称数列{an}为“严格T数列”. (1)已知数列{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,且an=2n-1,bn=-2n-1,试判断数列{An},数 列{Bn}是否为“T数列”,并说明理由; (2)证明:数列{an}为“T数列”的充要条件是“对于任意的k,m,n∈N*,当k<m<n时,有(n-m) ak+(m-k)an≥(n-k)am”; (3)已知数列{bn}为“严格T数列”,且对任意的n∈N*,bn∈Z,b1=-8,b128=-8.求数列{bn}的 最小项的最大值. —45— —46— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(六) 数学 答题卡 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 条 形 码 粘 贴 处 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的学校、班级、 姓名、准考证号填写清楚。 2.选择题使用2B 铅笔填涂;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选择其他答案标 号;非选择题使用黑色碳素笔书写,字 体工整、笔迹清楚,按照题号顺序在各 题目的答题区域内作答,超出答题区 域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上 答题无效。 3.保持卡面清洁,不折叠、不破损。 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 填 涂 范 例 正确填涂: 错误填涂: 缺考 标记 准 考 证 号 [0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][1][1][1][1][1] [2][2][2][2][2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3][3][3][3] [4][4][4][4][4][4][4][4][4] [5][5][5][5][5][5][5][5][5] [6][6][6][6][6][6][6][6][6] [7][7][7][7][7][7][7][7][7] [8][8][8][8][8][8][8][8][8] [9][9][9][9][9][9][9][9][9] 选择题(请用2B铅笔填涂) 1 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 非选择题(请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写) 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 —47— —48— 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效