仿真模拟试卷(3)-【精编高考12套】2025年高考数学仿真模拟卷

—17— —18— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(三) 数 学 时间:120分钟 分数:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A,B,若A={-1,1},A∪B={-1,0,1},则一定有 ( ) A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B=⌀ D.0∈B 2.已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 ( ) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 3.函数f(x)=(ex+e-x)sinx-2x在区间[-2,2]的大致图象为 ( ) A B C D 4.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列说法对的是 ( ) A.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α B.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥n C.若l∥m,m⊥α,n⊥α则l⊥n D.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α 5.在正三棱台ABC-A1B1C1 中,AB=4,A1B1=2,A1A 与平面ABC 所成角为 π 4 ,则该三棱台的体积 为 ( ) A.523 B. 28 3 C. 14 3 D. 7 3 6.设a=2π,b=log2π,c= π,则 ( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 7.若函数f(x)= log2(x+1),-1<x≤3 x+ax ,x>3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A.[-3,9] B.[-3,+∞) C.[0,9] D.(-∞,9] 8.设函数f(x)=(x2+ax+b)lnx,若f(x)≥0,则a的最小值为 ( ) A.-2 B.-1 C.2 D.1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列函数中最小值为4的是 ( ) A.y=lnx+ 4lnx B.y=2 x+22-x C.y=4|sinx|+ 1|sinx| D.y= x2+5 x2+1 10.定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+2)-f(x)=f(1),则 ( ) A.f(1)=0 B.f(1-x)+f(1+x)=0 C.f(1+2x)=f(1-2x) D.∑ 20 i=1 f(i)=10 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为AC,A1B 的中点,则 ( ) A.MN∥平面ADD1A1 B.MN⊥AC1 C.直线 MN 与平面AA1C1C所成角为 π 4 D.平面 MND1 经过棱A1B1 的三等分点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的 .(在“充分不必要条件”,“必要不充分条件”, “充要条件”,“既不充分又不必要条件”中选择一个填空) 13.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的侧面积为 . 14.已知3a=2+3b,则2a-b的最小值为 . —19— —20— 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演练步骤。 15.(13分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,D,E,F分别为AB,BC,B1B 的中点. (1)证明:A1C1∥平面B1DE; (2)若AB=1,AB⊥AC,B1D⊥A1F,求点E 到平面A1FC1 的距离. 16.(15分)已知函数f(x)=log2 1-x 1+x. (1)判断并证明f(x)的奇偶性; (2)若对任意x∈ -13 ,1 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ,t∈[-2,2],不等式f(x)≥t2+at-6恒成立,求实数a的取值范围. 17.(15分)如图,四边形ABCD 为菱形,PB⊥平面ABCD. (1)证明:平面PAC⊥平面PBD; (2)若PA⊥PC,二面角A-BP-C 的大小为120°,求PC 与BD 所成角的 余弦值. 18.(17分)设函数f(x)=aex+bx2+cx. (1)若a=1,b=c=-1,求证:f(x)有零点; (2)若a=0,b=-1,是否存在正整数m,n,使得不等式m≤f(x)-c≤n的解集为[m,n],若存在, 求m,n;若不存在,说明理由; (3)若b≠0,非空集合{x∈R|f(x)=0}={x∈R|f(f(x))=0},求a+c的取值范围. 19.(17分)已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2,n∈N),若a1+a2+…+an=a1a2…an,则称A 为 “完全集”. (1)判断集合{-1,- 2,2-1,2 2+2}是否为“完全集”,并说明理由; (2)若集合{a,b}为“完全集”,且a,b均大于0,证明:a,b中至少有一个大于2; (3)若A 为“完全集”,且A⊆N*,求A. —21— —22— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(三) 数学 答题卡 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 条 形 码 粘 贴 处 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的学校、班级、 姓名、准考证号填写清楚。 2.选择题使用2B 铅笔填涂;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选择其他答案标 号;非选择题使用黑色碳素笔书写,字 体工整、笔迹清楚,按照题号顺序在各 题目的答题区域内作答,超出答题区 域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上 答题无效。 3.保持卡面清洁,不折叠、不破损。 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 填 涂 范 例 正确填涂: 错误填涂: 缺考 标记 准 考 证 号 [0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][1][1][1][1][1] [2][2][2][2][2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3][3][3][3] [4][4][4][4][4][4][4][4][4] [5][5][5][5][5][5][5][5][5] [6][6][6][6][6][6][6][6][6] [7][7][7][7][7][7][7][7][7] [8][8][8][8][8][8][8][8][8] [9][9][9][9][9][9][9][9][9] 选择题(请用2B铅笔填涂) 1 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 非选择题(请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写) 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 —23— —24— 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 其中∑ i=1 n -35 i = -35- - 3 5 n+1 1- -35 = 5 8 - 3 5- - 3 5 n+1 =-38-58 -35 n+1 , 所以 E(Y)= ∑ i=1 n bi= ∑ i=1 n 1 4- 1 4 - 3 5 i = n4 + 3 32 1- - 3 5 n ,(n∈N*). 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(三) 1.D 对 于 选 项 A,当 集 合 B={0}时,A⊄B,故 此 选 项 错误; 对于选项B,当集合B={0}时,B⊄A,故此选项错误; 对于选项C,当集合B={0,1}时,A∩B={1}≠⌀,故此 选项错误; 对于选项D,因为A∪B={-1,0,1},0∈{-1,0,1},且 0∉A,所以0∈B,故此选项正确. 故选:D. 2.B 对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p 是 假命题,􀱑p是真命题, 对于q而言,取x=1,则有x=13=1=x,故q是真命题, 􀱑q是假命题, 综上,􀱑p和q都是真命题. 故选:B. 3.C 当x∈[-2,2]时,f(-x)= (e-x+ex)sin(-x)-2(-x)=-[(ex+e-x)sinx-2x] =-f(x), 故f(x)在[-2,2]为奇函数, 因此f(x)的图象关于(0,0)对称,故可以排除A,B, 又f'(x)=h(x)=(ex-e-x)sinx+(ex+e-x)cosx-2, h'(x)=(ex+e-x)sinx+(ex-e-x)cosx+(ex-e-x) cosx+(ex+e-x)(-sinx)=2(ex-e-x)cosx, 当x∈ 0,π2 时,h'(x)=2(ex-e-x)cosx>0, 因此可得f'(x)在 0,π2 单调递增, 故f'(x)>f'(0)=0, 即当x∈ 0,π2 时,f'(x)>0, 因此可得f(x)在 0,π2 单调递增,结合图象知C正确, 故选:C. 4.D 对于A中,由m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,只有直线m 与 n 相交时,可得l⊥α,所以A不正确; 对于B中,由m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l与m 平行、相交或异 面,所以B错误; 对于C中,由l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n,所以C错误; 对于D中,由l∥m,l⊥α,可得m⊥α,又因为m∥n,所以 n⊥α,所以D正确. 故选:D. 5.C 由 题 设,将 棱 台 补 全 为 正 棱 锥 P-ABC,如 下 图,且 △A1B1C1,△ABC均为正三角形, 其中O 为底面ABC 中心,连接PO,则PO⊥面ABC,而 AO⊂面ABC,即PO⊥AO, 所以A1A 与平面ABC 所成角为∠PAO= π 4 ,而AB=4, 则AO=23×AB ·sin60°=4 33 ,所以PO=AO=4 33 , 令P-A1B1C1的高为h,结合棱台的结构特征,知 h PO= A1B1 AB ⇒h= PO 2 = 2 3 3 , 所 以 棱 台 体 积 V =VP-ABC-VP-A1B1C1 = 1 3 × 3 4 × 42×4 33 -2 2×2 33 =143. 故选:C. 6.C 由a=2π>2,1<b=log2π<log24=2,1<c= π< 4 =2,知a>b,a>c, 又π3<25,所以π<2 5 3,故b=log2π<log22 5 3=53 , 又 5 3 2 =259<π ,故5 3< π=c ,所以b<c, 因此可得a>c>b. 故选:C. 7.A 当-1<x≤3时,y=log2(x+1)单调递增且值域为 (-∞,2],而f(x)在(-1,+∞)上单调递增, 则y=x+ax 在(3,+∞)上单调递增, 且3+a3≥2⇒a≥-3 , 当-3≤a≤0时,y=x+ax 在(3,+∞)上单调递增,满足 题设; 当a>0时,y=x+ax 在(a,+∞)上单调递增,此时只需 a≤3,即0<a≤9. 综上,-3≤a≤9. 故选:A. 8.B 函数f(x)定义域为(0,+∞),而0<x<1⇒lnx<0, x=1⇒lnx=0,x>1⇒lnx>0, 要使f(x)≥0,则二次函数y=x2+ax+b,在0<x<1上 y<0,在x>1上y>0, 所以x=1为该二次函数的一个零点,易得b=-a-1, 则y=x2+ax-(a+1)=(x-1)[x+(a+1)],且开口 向上, 所以,只需-(a+1)≤0⇒a+1≥0⇒a≥-1,故a的最小 值为-1. 故选:B. 9.BCD 当lnx<0时,y=lnx+ 1lnx<0 ,故A错误; y=2x+22-x≥2 2x×22-x=4,当且仅当2x=22-x,即 x=1时取等号,故B正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —501— 令t=|sinx|,则0<t≤1,y=4t+1t≥2 4t ·1 t =4 ,当 且仅当t=12 时取等号,而0<t≤1,故C正确; 由 x2+1≥1,故y=x 2+5 x2+1 = x2+1+ 4 x2+1 ≥4, 当且仅当 x2+1= 4 x2+1 ,即x=± 3时取等号,故 D 正确. 故选:BCD. 10.AC 由f(x+2)-f(x)=f(1),令x=-1,则f(1)- f(-1)=f(1)⇒f(-1)=0, 又f(x)为偶函数,则f(1)=f(-1)=0,A对; 由上,得f(x+2)-f(x)=0⇒f(x+2)-f(-x)=0①, 在①式,将x-1代换x,得f(x+1)-f(1-x)=0②, B错; 在②式,将2x 代换x,得f(2x+1)-f(1-2x)=0⇒ f(2x+1)=f(1-2x),C对; 由f(x+2)=f(x)且f(x+1)=f(1-x),即f(x)周期 为2且关于x=1对称, 显然f(x)=0是满足题设的一个函数,此时∑ 20 i=1 f(i)=0, D错. 故选:AC. 11.ABD 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别以DA,DC, DD1为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系, 设正方体边长为2a, 则A(2a,0,0),A1(2a,0,2a),B1(2a,2a,2a),C1(0,2a, 2a),D1(0,0,2a),M(a,a,0),N(2a,a,a), 所以 MN→=(a,0,a), 设平面ADD1A1的一个法向量n=(0,1,0), 因为 MN→·n=0,所 以 MN∥平 面 ADD1A1,A 说 法 正确; 因为AC1 →=(-2a,2a,2a),MN→·AC1→=-2a2+2a2=0, 所以 MN⊥AC1,B说法正确; 因为正方体ABCD-A1B1C1D1中BD⊥平面AA1C1C, 所以DB→=(2a,2a,0)是平面AA1C1C的一个法向量, 设直线 MN 与平面AA1C1C所成角为θ, 则sinθ=|MN →·DB→| |MN→||DB→| = 2a 2 2a×2 2a =12 ,所以θ=π6 ,C 说法错误; 在棱A1B1上取一点E(2a,t,2a)(0≤t≤2a),则D1M →= (a,a,-2a),D1E →=(2a,t,0), 设平面D1NM 的法向量m1=(x1,y1,z1),平面D1EM 的法向量m2=(x2,y2,z2), 则 m1·MN →=ax1+az1=0 m1·D1M →=ax1+ay1-2az1=0 ,解 得 平 面 D1NM 的一个法向量m1=(1,-3,-1), m2·D1M →=ax2+ay2-2az2=0 m2·D1E →=2ax2+ty2=0 ,解 得 平 面 D1EM 的 一个法向量m2= t,-2a, t 2-a , 因为平面D1NM∩平面D1EM=D1M, 所以当m1∥m2时,D1,N,E,M 共面,此时m2=λm1, 即 t=λ -2a=-3λ, t 2-a=-λ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得t= 2 3a , 所以平面 MND1 经过棱 A1B1 的三等分点 E,D说法 正确. 故选:ABD. 12.答案:充分不必要条件 解析:由xy>0,即x,y同号, 当x>0,y>0,则|x+y|=x+y=|x|+|y|; 当x<0,y<0,则|x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y)= |x|+|y|; 所以充分性成立, 由|x+y|=|x|+|y|,存在x=0或y=0使之成立, 但此时xy>0不成立, 所以必要性不成立. 综上,“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的充分不必要 条件. 故答案为:充分不必要条件. 13.答案:3π 解析:由题设,已知球为圆柱的外接球,且球体半径R= 1,圆柱高为h=1, 根据 球 的 对 称 性,圆 柱 底 面 半 径 为r= R2- h2 2 = 32 , 则圆柱侧面积S=2πrh= 3π. 故答案为:3π. 14.答案:3log32 解析:令t=3a=2+3b,t>2,则a=log3t,b=log3(t-2), ∴2a-b=2log3t-log3(t-2)=log3 t2 t-2 , 令m= t 2 t-2 ,t>2,则m= (t-2)2+4(t-2)+4 t-2 = (t-2) + 4t-2+4≥2 (t-2)× 4t-2+4=8 ,当且仅当t-2= 4 t-2 ,即t=4时等号成立, ∴log3 t2 t-2≥log38 ,即2a-b≥log38=3log32. 故答案为:3log32. 15.解:(1)因 为 ABC-A1B1C1 为 直 三 棱 柱,所 以 A1C1 ∥AC, 又D,E,分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC, 所以DE∥A1C1, 又A1C1⊄平面B1DE,DE⊂平面B1DE, 所以A1C1∥平面B1DE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —601— (2) 因为ABC-A1B1C1为直三棱柱,且AB⊥AC, 以A 为坐标原点,分别以AB,AC,AA1 所在直线为x, y,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 设AA1=a(a>0),且 AB =1,则 B1(1,0,a), D 12 ,0,0 ,A1(0,0,a),F 1,0,a2 , 则B1D →= -12 ,0,-a ,A1F→= 1,0,-a2 , 由B1D⊥A1F 可得B1D →·A1F→=0,即-12+ a2 2=0 ,且 a>0,解得a=1, 设AC=b(b>0),则C1(0,b,1),即A1F →= 1,0,-12 , A1C1=(0,b,0), 设平面A1FC1的法向量为n=(x,y,z), 则 n·A1F →=x-12z=0 n·A1C1 →=by=0 ,解 得 z=2xy=0 ,取 x=1,则 z=2, 所以平面A1FC1的一个法向量为n=(1,0,2), 又E 12 ,b 2 ,0 ,即A1E→= 12,b2,-1 , 所以 点 E 到 平 面 A1FC1 的 距 离 d= |A1E →·n| |n| = 1 2-2 5 =3 510. 16.解:(1)f(x)为奇函数,证明如下: 由解析式易知1-x 1+x>0⇒ (x-1)(x+1)<0⇒-1<x<1, 函数定义域为(-1,1), 而f(-x)=log2 1+x 1-x=-log2 1-x 1+x=-f (x),故f(x) 为奇函数. (2)由m=1-x1+x= 2 1+x-1 在x∈ -13 ,1 3 上为减函 数,而y=log2m 在定义域上为增函数, 所以f(x)在x∈ -13 ,1 3 上为减函数,故f(x)min= f 13 =-1, 要使任意x∈ -13 ,1 3 ,t∈[-2,2],不等式f(x)≥ t2+at-6恒成立, 只需t2+at-6≤-1在t∈[-2,2]上恒成立,即t2+at -5≤0在t∈[-2,2]上恒成立, 由y=t2+at-5开口向上,则 4-2a-5≤0 4+2a-5≤0 ⇒-12≤a ≤12 , 综上,-12≤a≤ 1 2. 17.解:(1)∵PB⊥平面ABCD 且AC⊂平面ABCD ∴PB⊥AC, 在菱形ABCD 中,BD⊥AC,且PB∩BD=B,PB,BD⊂ 平面PBD, ∴AC⊥平面PBD 又∵AC⊂平面PAC ∴平面PAC⊥平面PBD. (2)∵PB⊥平面 ABCD 且AB⊂平面 ABCD,BC⊂平 面ABCD ∴AB⊥BP,BC⊥BP,即二面角A-BP-C 是∠ABC, ∴∠ABC=120°, 取AC与BD 交点为O,设AB=BC=2, 则AC=2 3, ∴PA=PC= 6,∴PB= 2, 以O 为坐标原点,OB 为x 轴,OC为y 轴,如图建立空间 直角坐标系, 则B(1,0,0),D(-1,0,0),P(1,0,2),C(0,3,0) DB→=(2,0,0),PC→=(-1,3,- 2) ∴|cos<BD→,PC→>|=|BD →·PC→| |BD→||PC→| = 2 2× 6 = 66. 所以BD,PC所成角的余弦值为 66. 18.解:(1)若a=1,b=c=-1,则f(x)=ex-x2-x, 因为 f(1)=e-2>0,f(-2)=e-2-2<0所 以 f(1)f(-2)<0. 又f(x)在R 上的图象是连续不断的, 所以f(x)有零点. (2)若a=0,b=-1,则f(x)=-x2+cx, 因为不等式m≤f(x)-c≤n的解集为[m,n], 所以,其中一个充分条件为 c2 4-c≤n① f(m)-c=m② f(n)-c=m③ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 由②③得,m,n是方程f(x)-c=m 的两个不等实根, 即m,n是方程x2-cx+m+c=0的两个不等实根, 所以 m+n=c mn=m+c ,得mn=2m+n, 所以(m-1)(n-2)=2. 又因为m,n∈N*,m<n, 所以 m-1=1 n-2=2 ,解得 m=2n=4 ,此时c=6符合①, 所以m=2,n=4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —701— (3)设f(x0)=0,则f(f(x0))=f(0)=a,所以a=0. 所以f(x)=bx2+cx=x(bx+c), f(f(x))=x(bc+c)(b(bx2+cx)+c). 设g(x)=b2x2+bcx+c(b≠0), 因为非空集合{x∈R|f(x)=0}= {x∈R|f(f(x))=0}, 所以g(x)=0无实根或g(x)=0的解是f(x)=0的解. 1°若g(x)=0无实根,则 Δ=b2c2-4b2c<0,c2-4c<0,解得0<c<4. 2°若g(x)=0的解是f(x)=0的解, 令f(x)=0,得x=0或x=-cb , 当x=0时,g(0)=0,c=0,g(x)=b2x2,f(x)=bx2,符 合题意; 当x=-cb 时,g -cb =0,c=0,符合题意. 综上,0≤c<4, 所以a+c的取值范围是[0,4). 19.解:(1)由-1+(- 2)+(2-1)+(2 2+2)=2 2,- 1×(- 2)×(2-1)×(2 2+2)=2 2, 所以-1+(- 2)+(2-1)+(2 2+2)=-1×(- 2) ×(2-1)×(2 2+2), 故集合{-1,- 2,2-1,2 2+2}是“完全集”. (2)由题设,令a+b=ab=t>0,则a,b是x2-tx+t=0 的两个不同的正实数根, 所以Δ=t2-4t>0⇒t>4或t<0(舍),即t=ab>4, 又a>0,b>0,若a,b都不大于2,则ab≤4,矛盾,所以 a,b至少有一个大于2. (3)不妨令1≤a1<a2<…<an,则a1a2…an=a1+a2+ …+an<nan, 所以a1a2…an-1<n, 当n=2,即a1<2,故a1=1,显然1+a2=1×a2无解,不 满足; 当n=3,即a1a2<3,只能有a1=1,a2=2,a3=3,故存在 一个“完美集”A={1,2,3}; 当n≥4,a1a2…an-1≥1×2×…×(n-1),即n>1×2× …×(n-1), 又n-(n-2)(n-1)=-n2+4n-2=-(n-2)2+2< 0,且(n-2)(n-1)≤1×2×…×(n-1), 此时n<1×2×…×(n-1),显然有矛盾, 所以n≥4时不存在“完美集”. 综上,A={1,2,3}. 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(四) 1.B 因 为 A = x -12≤x≤ 1 2 ,所 以 A ∩ B = x 0<x≤12 . 故选:B. 2.B 当x=-1时,|x+1|=0<1,故命题p 为假命题,命 题􀱑p为真命题; 当x=0时,x2+1=1∈N,故命题q为真命题,命题􀱑q 为假命题; 故􀱑p和q都是真命题. 故选:B. 3.B 因为z=1+i i3 =1+i-i= (1+i)·i -i2 =i 2+i 1 =-1+i , 所以z=-1-i,则|z|= (-1)2+(-1)2= 2. 故选:B. 4.B a·b=-4⇒(1-x)(1+x)-2(x+3)=-4⇒x= -1⇒a=(2,-2), b=(0,2)⇒a+2b=(2,2), ∴cos<a+2b,b>= (a+2b)·b |a+2b||b|= 0+4 2 2×2 = 22 , ∵<a+2b,b>∈[0,π],∴<a+2b,b>=π4. 故选:B. 5.A tan α+π4 =-13,得tan α+π4 =tanα+11-tanα= -13 ,解得tanα=-2. α是第二象限角,α终边取点(-1,2),则sinα=yr = 2 5 =2 55 . 故选:A. 6.C 由题意,设F1(-4,0)、F2(4,0)、P(4,-6), 则|F1F2|=2c=8,|PF1|= 62+(4+4)2=10,|PF2|= 62+(4-4)2=6, 则2a=|PF1|-|PF2|=10-6=4,则e= 2c 2a= 8 4=2. 故选:C. 7.C x=0时,y=2sinπ3= 3 , 令2x+π3= π 2 ,得x=π12 , 此时y=2sin2×π12+ π 3 =2, 令2x+π3=π ,得x=π3 , 此时y=2sin2×π3+ π 3 =0, 令2x+π3= 3π 2 ,得x=7π6 , 此时y=2sin2×7π6+ π 3 =-2, 令2x+π3=2π ,得x=5π3 , 此时y=2sin2×5π3+ π 3 =0, x=2π时,y=2sin2×2π+π3 =2sinπ3= 3, 函数y=2sin2x+π3 的周期T=2π2=π, 结合周期,利用五点法作出图象, 由图知,共有4个交点. 故选:C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —801—