仿真模拟试卷(2)-【精编高考12套】2025年高考数学仿真模拟卷

—9— —10— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(二) 数 学 时间:120分钟 分数:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|x2>1},则A∩(∁RB)= ( ) A.{-2,-1,0,1} B.{-1,0,1} C.{-2,2} D.{-1,1} 2.若复数z满足iz=1-3i,则|z|= ( ) A.5 B.10 C.5 D.10 3.已知平面向量a=(2,1),b=(-2,4),若(2a+b)⊥(λa-b),则实数λ= ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 4.若sin(α-β)= 1 6 ,且tanα=2tanβ,则sin(α+β)= ( ) A.32 B. 2 2 C. 2 3 D. 1 2 5.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活,蒙古包下 半部分近似一个圆柱,高为2m;上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥,其母线长为2 3m, 轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是面积为3 3m2 的等腰钝角三角形,则该蒙古包的体积约为 ( ) A.21πm3 B.18πm3 C.(18+3 3)πm3 D.(20+3 3)πm3 6.已知函数f(x)= ax2+2x-1(x>2) 1 2 x -54 (x≤2) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 是R上的减函数,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞-1] B.-∞,-12 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 C.(-∞,0] D.(-∞,1] 7.函数f(x)=lnx-cos4x的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8.定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f x5 =12f(x),且当0≤x1<x2≤1 时,f(x1)≤f(x2),则f 1 2024 = ( ) A.1256 B. 1 128 C. 1 64 D. 1 32 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列说法中,正确的是 ( ) A.数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32 B.已知随机变量ζ服从正态分布N(2,δ 2),P(ζ<4)=0.84,则P(2<ζ<4)=0.34 C.已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为ŷ=̂a+̂bx;若̂b=2,x=1,y=3,则̂a=1 D.若样本数据x1,x2,…,x10的方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为4 10.已知函数f(x)=x3-x+1,则 ( ) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有一个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星 及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(2,0),动点P 满足 |PA|·|PB|=5,其轨迹为一条连续的封闭曲线C,则下列结论正确的是 ( ) A.曲线C与y 轴的交点为(0,1)和(0,-1) B.曲线C关于x 轴、y轴对称,不关于原点O对称 C.点P 的横坐标的范围是[-3,3] D.|OP|的取值范围为[1,2] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.2x3-1x2 5 的展开式中常数项是 .(用数字作答) 13.若斜率为 3的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB| . 14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格,某小九宫格如图 所示,小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数,小明通过推理已经得到了4个小格 子中的准确数字,a,b,c,d,e这5个数字未知,且b,d为奇数,则a+b>5的概率为 . 9 a 7 b c d 4 e 5 —11— —12— 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演练步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ 3cosA=2. (1)求A; (2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的周长. 16.(15分)已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0),且离心率为 63. (1)求椭圆C的方程; (2)直线l:y=x+m 与椭圆C 交于A,B 两点,若△ABO面积为 3,求直线l的方程. 17.(15分)已知函数f(x)=a(ex+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+32. 18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,PA=PD=AB,E 为线段PB 的中 点,平面AEC⊥底面ABCD. (1)求证:AE⊥平面PBD; (2)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值. 19.(17分)中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一,曾是世界上第一个“五连冠”得 主,并十度成为世界冠军,2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军.她们那种团结协 作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信,为我们在新征程上奋进提供了强 大的精神力量.如今,女排精神广为传颂,家喻户晓,各行各业的人们在女排精神的激励下,为中 华民族的腾飞顽强拼搏.某中学也因此掀起了排球运动的热潮,在一次排球训练课上,体育老师 安排4人一组进行传接球训练,其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形(如图),已知当某人控 球时,传给其相邻同学的概率为2 5 ,传给对角线上的同学的概率为1 5 ,由甲开始传球. (1)求第3次传球是由乙传给甲的概率; (2)求第n次传球后排球传到丙手中的概率; (3)若随机变量Xi 服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E ∑ n i=1 Xi = ∑ n i=1 qi,记前n次(即从第1次到第n次传球)中排球传到乙手中的次数为Y,求E(Y). —13— —14— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(二) 数学 答题卡 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 条 形 码 粘 贴 处 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的学校、班级、 姓名、准考证号填写清楚。 2.选择题使用2B 铅笔填涂;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选择其他答案标 号;非选择题使用黑色碳素笔书写,字 体工整、笔迹清楚,按照题号顺序在各 题目的答题区域内作答,超出答题区 域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上 答题无效。 3.保持卡面清洁,不折叠、不破损。 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 填 涂 范 例 正确填涂: 错误填涂: 缺考 标记 准 考 证 号 [0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][1][1][1][1][1] [2][2][2][2][2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3][3][3][3] [4][4][4][4][4][4][4][4][4] [5][5][5][5][5][5][5][5][5] [6][6][6][6][6][6][6][6][6] [7][7][7][7][7][7][7][7][7] [8][8][8][8][8][8][8][8][8] [9][9][9][9][9][9][9][9][9] 选择题(请用2B铅笔填涂) 1 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 非选择题(请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写) 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 —15— —16— 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 19.解:(1)函数f(x)=ax2-(lnx)2(x>0), 则f'(x)=2ax-2lnxx ,令f'(x)=0,解得a=lnxx2 , 设p(x)=lnxx2 , 故导函数f'(x)的零点个数等价于直线y=a 与函数 p(x)=lnxx2 图象的交点个数. ∵p'(x)=1-2lnxx3 ,x>0 ∴当x∈(0,e)时,p'(x)>0,p(x)在(0,e)上单调 递增; 当x∈(e,+∞)时,p'(x)<0,p(x)在(e,+∞)上单调 递减, 故p(x)max=p(e)= 1 2e. 又当x→+∞时,p(x)→0,当x→0时,p(x)→-∞, ∴当0<a<12e 时,y=a与p(x)=lnxx2 的图象有2个交 点,此时导函数f'(x)有2个零点; 当a≤0或a=12e 时,y=a与p(x)=lnxx2 的图象有1个 交点,此时导函数f'(x)有1个零点; 当1 2e<a 时,y=a与p(x)=lnxx2 的图象没有交点,此时 导函数f'(x)没有零点. 综上,当0<a<12e 时有2个零点;当a≤0或a=12e 时有 1个零点;当12e<a 时没有零点. (2)(ⅰ)由(1)可知,不妨设0<x2<e<x1, 要证 x1-x2 lnx1-lnx2 > x1x2,即证 x1-x2 x1x2 >lnx1-lnx2= ln x1 x2 , 不妨令x= x1 x2 (0<x2<e<x1),即证 x- 1 x >lnx(x>1), 只需证明x-1- xlnx>0(x>1), 令g(x)=x-1- xlnx(x>1),则 g'(x)= x-1-ln x x (x>1), 令h(x)= x-1-ln x(x>1),则h'(x)= x-12x (x>1), 当x>1时,h'(x)= x-12x >0 , ∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,即h(x)>h(1),故g'(x) >0,g(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以g(x)>g(1)=0,即 x1-x2 lnx1-lnx2 > x1x2. (ⅱ)由(ⅰ)可知,要证 x1-x2 lnx1-lnx2 > e,只需证明x1x2 >e, 不妨设0<x2<e<x1, ∵x1,x2是导函数f'(x)的两个零点,∴2ax21=lnx21, 2ax22=lnx22, 令t1=x21,t2=x22,即证t1t2>e2, 由2at1=lnt1,2at2=lnt2得2a= lnt1-lnt2 t1-t2 , 要证t1t2>e2成立,只需证明lnt1+lnt2>2,即证lnt1+ lnt2=2a(t1+t2)=(t1+t2)· lnt1-lnt2 t1-t2 >2, 即证lnt1-lnt2> 2(t1-t2) t1+t2 ,即证ln t1 t2 = 2t1t2 -1 t1 t2 +1 , 令m= t1 t2 ,则m>1,只需证明lnm>2 (m-1) m+1 (m>1), 令s(m)=lnm-2 (m-1) m+1 (m>1),则s'(m)= (m-1)2 m(m+1)2 >0, ∴s(m)在(1,+ ∞)上 单 调 递 增,∴s(m)>ln1- 2×(1-1) 1+1 =0 , ∴t1t2>e2,即证得 x1-x2 lnx1-lnx2 >e. 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(二) 1.B 因为B={x|x2>1},则∁RB={x|x2≤1}={x|-1≤ x≤1}, 所以A∩(∁RB)={-1,0,1}. 故选:B. 2.B 因为iz=1-3i,所以z=1-3ii =-3-i , 所以|z|= (-3)2+(-1)2= 10. 故选:B. 3.D 因为a=(2,1),b=(-2,4), 所以2a+b=(2,6),λa-b=(2λ+2,λ-4), 因为(2a+b)⊥(λa-b), 所以(2a+b)·(λa-b)=(2,6)·(2λ+2,λ-4)=4λ+4 +6λ-24=0, 解得λ=2. 故选:D. 4.D 因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= 1 6 , 又tanα=2tanβ,即 sinα cosα= 2sinβ cosβ , 则sinαcosβ=2cosαsinβ, 所以sinαcosβ= 1 3 ,cosαsinβ= 1 6 , 故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= 1 3+ 1 6= 1 2. 故选:D. 5.C 如图所示为该圆锥轴截面,设顶角为α π2<α<π , 因为其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是腰长为2 3m,面 积为3 3m2的等腰三角形, 所以1 2l 2sinα=12× (2 3)2×sinα=3 3,解得sinα= 3 2 ,则α=2π3 或α=π3 (舍去), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —001— 由α=2π3 得h=lcosα2=2 3×cos π 3= 3 ,r=lsinα2= 2 3×sinπ3=3 , 则上半部分的体积为1 3πr 2h=13π×3 2× 3=3 3πm2, 下半部分体积为πr2h=18π, 故蒙古包的体积为(18+3 3)πm3. 故选:C. 6.A 当x≤2时,f(x)= 12 x -54 单调递减,a∈R,且 f(x)最小值为f(2)=-1, 当x>2时,当a=0时,f(x)=2x-1单调递增,不符 题意, 又注意到f(x)是R上的减函数, 故只能抛物线f(x)=ax2+2x-1的开口向下即a<0, 其对称轴为x=-1a , 则由题意有 a<0 -1a≤2 a×22+2×2-1≤-1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得a≤-1. 故选:A. 7.B 函数f(x)=lnx-cos4x,定义域为(0,+∞), 令g(x)=lnx,h(x)=cos4x(x>0), 函数f(x)=lnx-cos4x 的 零 点 个 数 即 函 数g(x)与 h(x)的图像在区间(0,+∞)上的交点个数, 作出函数g(x)与h(x)的图像,如图所示, g π2 =lnπ2<1,h π2 =cos2π=1,g π2 <h π2 , g(π)=lnπ>1,h(π)=cos4π=1,g(π)>h(π),函数g(x) 与h(x)的图像在区间(0,+∞)上有3个交点,即函数 f(x)=lnx-cos4x的零点有3个. 故选:B. 8.D ∵f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1, 令x=1得:f(1)=1,又f x5 =12f(x)⇒f 15 =12, 反复利用f x5 =12f(x)可得: f 13125 = 12f 1625 = 14f 1125 = 18f 125 = 1 16f 1 5 =132①, 再令x=12 ,由f(x)+f(1-x)=1,可求得f 12 =12, 同理反复利用f x5 =12f(x)可得: f 11250 = 12f 1250 = 14f 150 = 18f 110 = 1 16f 1 2 =132②, 由①②可得:有f 11250 =f 13125 =132, ∵0≤x1<x2≤1,f(x1)≤f(x2),而0< 1 3125< 1 2024< 1 1250<1 , 所以f 12024 ≥f 13125 = 132,f 12024 ≤f 11250 =132 , 故f 12024 =132. 故选:D. 9.BC 对数据排列:27,30,31,32,38,40,50,54,因为第50 百分位数为中位数,所以50百分位数为35,故A错误; 因为随 机 变 量ζ 服 从 正 态 分 布 N(2,δ2),P(δ<4)= 0.84,所以P(ζ≥4)=0.16,所以P(ζ≤0)=0.16,所以 P(0<ζ<4)=0.68,所以P(2<ζ<4)=0.34,故B正确; 因为b̂=2,x=1,y=3,则â=y-̂bx=3-2=1,故C 正确; 因为样本数据x1,x2,…,x10的方差为2,所以数据2x1- 1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22×2=8,故D错误. 故选:BC. 10.ABC f'(x)=3x2-1, 令f'(x)>0得x> 33 或x<- 33 ,令f'(x)<0得- 33 <x< 33 , 所以 f(x)在 -∞,- 33 , 33,+∞ 上 单 调 递 增, - 33 ,3 3 上单调递减, 所以x=± 33 时取得极值,故A正确; 因为f - 33 =1+2 39 >0,f 33 =1-2 39 >0, f(-2)=-5<0, 所以函数f(x)只在 -∞,- 33 上有一个零点,即函数 f(x)只有一个零点,故B正确; 令h(x)=x3-x,该 函 数 的 定 义 域 为 R,h(-x)= (-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x), 则h(x)是奇函数,(0,0)是h(x)的对称中心,将h(x)的 图象向上移动一个单位得到f(x)的图象, 所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确; 令f'(x)=3x2-1=2,可得x=±1,又f(1)=f(-1)=1, 当切点为(1,1)时,切线方程为y=2x-1, 当切点为(-1,1)时,切线方程为y=2x+3,故D错误. 故选:ABC. 11.AC 设点P(x,y),因为|PA|·|PB|=5,可得[(x+ 2)2+y2]·[(x-2)2+y2]=25, 整理得:x2+y2= 16x2+25-4, 对于A中,当x=0时,解得y=±1,即曲线C与y 轴的 交点为(0,-1),(0,1),所以A正确; 对于B中,因为x2+y2= 16x2+25-4, 用-y替换y,方程不变,则曲线C关于x 轴对称, 用-x替换x,方程不变,则曲线C关于y 轴对称, 同时用-x替换x,用-y替换y,方程不变,可得曲线C 关于原点对称,所以B错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —101— 对于C中,因为x2+y2= 16x2+25-4, 即可得y2= 16x2+25-4-x2≥0, 即 16x2+25≥4+x2,即x4-8x2-9≤0, 解得0≤x2≤9, 即-3≤x≤3,所以点P 的横坐标的取值范围是[-3, 3],所以C正确; 对于D中,因为|OP|2=x2+y2= 16x2+25-4, 由C项知-3≤x≤3,所以|OP|2∈[1,9], 故1≤|OP|≤3,所以D错误. 故选:AC. 12.答案:-40 解析:由 2x3-1 x2 5 的 展 开 式 的 通 项 得:Tr+1= Cr5(2x3)5-r.- 1 x2 r =(-1)rCr525-rx15-5r, 令15-5r=0,得r=3,故T4=-C3522=-40. 故答案为:-40. 13.答案:3 解析:设直线AB 的方程为y= 3x+b,则点A(0,b), 由于直线 AB 与圆x2+(y-1)2=1相 切,且 圆 心 为 C(0,1),半径为1, 则|b-1| 2 =1 ,解得b=-1或b=3,所以|AC|=2, 因为|BC|=1,故|AB|= |AC|2-|BC|2= 3. 故答案为:3. 14.答案:23 解析:这个试验的等可能结果用下表表示: a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果,其中a+b>5的结果有8种, 所以a+b>5的概率为812= 2 3. 故答案为:2 3. 15.解:(1)方法一:常规方法(辅助角公式) 由sinA+ 3cosA=2可得12sinA+ 3 2cosA=1 ,即 sin A+π3 =1, 由于A∈(0,π)⇒A+π3∈ π 3 ,4π 3 ,故A+π3=π2,解 得A=π6. 方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sinA+ 3cosA=2,又sin2A+cos2A=1,消去sinA 得到: 4cos2A-4 3cosA+3=0⇔(2cosA- 3)2=0,解得 cosA= 32 , 又A∈(0,π),故A=π6. 方法三:利用极值点求解 设f(x)=sinx+ 3cosx(0<x<π),则 f(x)= 2sinx+π3 (0<x<π), 显然x=π6 时,f(x)max=2,注意到f(A)=sinA+ 3 cosA=2=2sin A+π3 , f(x)max=f(A),在开区间(0,π)上取到最大值,于是 x=A 必定是极值点, 即f'(A)=0=cosA- 3sinA,即tanA= 33 , 又A∈(0,π),故A=π6. 方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式) 设a=(1,3),b=(sinA,cosA),由题意,a·b=sinA+ 3cosA=2, 根据向 量 的 数 量 积 公 式,a·b=|a||b|cos<a,b>= 2cos<a,b>, 则2cos<a,b>=2⇔cos<a,b>=1,此时a,b=0,即a,b同 向共线, 根据向量共线条件,1·cosA= 3·sinA⇔tanA= 33 , 又A∈(0,π),故A=π6. 方法五:利用万能公式求解 设t=tanA2 ,根据万能公式,sinA+ 3cosA=2= 2t 1+t2 + 3 (1-t2) 1+t2 , 整理可得,t2-2(2- 3)t+(2- 3)2=0=(t-(2- 3))2, 解得tanA2=t=2- 3 ,根据二倍角公式,tanA= 2t 1-t2 = 33 , 又A∈(0,π),故A=π6. (2)由题设条件和正弦定理 2bsinC=csin2B⇔ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —201— 2sinBsinC=2sinCsinBcosB, 又B,C∈(0,π),则sinBsinC≠0,进而cosB= 22 ,得到 B=π4 , 于是C=π-A-B=7π12 , sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)= sinAcosB+sinBcosA= 2+ 64 , 由正弦定理可得,a sinA= b sinB= c sinC ,即 2 sinπ6 = b sinπ4 = c sin7π12 , 解得b=2 2,c= 6+ 2, 故△ABC的周长为2+ 6+3 2. 16.解:(1)由焦点为F(2,0)得c=2,又离心率e=ca = 6 3 , 得到a= 6, 所以b2=a2-c2=6-4=2,所以椭圆C 的方程为x 2 6+ y2 2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 x2 6+ y2 2=1 y=x+m ,消y得4x2+6mx+3m2-6=0, Δ=36m2-16(3m2-6)=-12m2+96>0,得到m2<8, 由韦达定理得,x1+x2=- 3m 2 ,x1x2= 3m2-6 4 , 又因为AB= 1+k2|x2-x1|= 2× -12m2+96 4 = 6 2 8-m2, 又原点到直线的距离为d=|m| 2 , 所以S△ABO= 1 2 ·d·|AB|=12× |m| 2 × 62 8-m 2= 3 4× m 2(8-m2)= 3, 所以m4-8m2+16=0,所以m2=4, 即m=±2,满足m2<8, 所以直线l的方程为y=x±2. 17.解:(1)因为f(x)=a(ex+a)-x,定义域为 R,所以 f'(x)=aex-1, 当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0,故f'(x)=aex-1<0 恒成立, 所以f(x)在R上单调递减; 当a>0时,令f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna, 当x<-lna时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,-lna)上 单调递减; 当x>-lna时,f'(x)>0,则f(x)在(-lna,+∞)上 单调递增; 综上:当a≤0时,f(x)在R上单调递减; 当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,f(x)在 (-lna,+∞)上单调递增. (2)方法一: 由(1)得,f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1 +a2+lna, 要证f(x)>2lna+32 ,即证1+a2+lna>2lna+32 , 即证a2-12-lna>0 恒成立, 令g(a)=a2-12-lna (a>0),则g'(a)=2a-1a =2a 2-1 a , 令g'(a)<0,则0<a< 22 ;令g'(a)>0,则a> 22 ; 所以g(a)在 0,22 上单调递减,在 22,+∞ 上单调 递增, 所以g(a)min=g 22 = 22 2 -12-ln 2 2=ln 2>0 , 则g(a)>0恒成立, 所以当a>0时,f(x)>2lna+32 恒成立,证毕. 方法二: 令h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1, 由于y=ex 在R上单调递增,所以h'(x)=ex-1在 R 上单调递增, 又h'(0)=e0-1=0, 所以当x<0时,h'(x)<0;当x>0时,h'(x)>0; 所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调 递增, 故h(x)≥h(0)=0,则ex≥x+1,当且仅当x=0时,等 号成立, 因为f(x)=a(ex+a)-x=aex+a2-x=ex+lna+a2- x≥x+lna+1+a2-x, 当且仅当x+lna=0,即x=-lna时,等号成立, 所以要证f(x)>2lna+32 ,即证x+lna+1+a2-x> 2lna+32 ,即证a2-12-lna>0 , 令g(a)=a2-12-lna (a>0),则g'(a)=2a-1a =2a 2-1 a , 令g'(a)<0,则0<a< 22 ;令g'(a)>0,则a> 22 ; 所以g(a)在 0,22 上单调递减,在 22,+∞ 上单调 递增, 所以g(a)min=g 22 = 22 2 -12-ln 2 2=ln 2>0 , 则g(a)>0恒成立, 所以当a>0时,f(x)>2lna+32 恒成立,证毕. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —301— 18.解:(1)因为平面AEC⊥平面ABCD,且平面AEC∩平 面ABCD=AC,BD⊥AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥ 平面AEC,AE⊂平面AEC,所以BD⊥AE,又因为AP =AB,E 为PB 中点,所以AE⊥PB, 又PB∩BD=B,PB,BD⊂平面 PBD,所以 AE⊥平 面PBD; (2)设点P 在底面ABCD 的射影为点Q,则PQ⊥平面 ABCD,又AD⊂平面ABCD,所以PQ⊥AD,取AD 中 点M,因为PA=PD,所以AD⊥PM, 又PQ∩PM=P,PQ,PM⊂平面PQM,所以AD⊥平面 PQM,因为QM⊂平面 PQM,所以 AD⊥QM,即 Q 在 AD 的中垂线上, 如图建立空间直角建系,不妨取AB=2, 则设P的坐标为(1,a,b),a2+b2=3,A(2,0,0),B(2,2,0), 所以 E 32 ,a+2 2 ,b 2 ,AE→= -12,a+22 ,b2 ,DB→= (2,2,0),AB→=(0,2,0), 由(1)可知AE→·DB→=0,计算得a=-1,b= 2,所以P (1,-1,2), 又CB→=(2,0,0),CP→=(1,-3,2), 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), 则 m·CB→=0 m·CP→=0 ,即 2x=0x-3y+ 2z=0 ,取m=(0,2,3), 所以sinθ=|cosAB→·m|= AB →·m |AB→|·|m| = 2 2 2× 2+9 = 2211 . 所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为 2211 . 19.解:(1)设第n次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率 分别为an,bn,cn,dn,(n∈N*), 则a1=0,b1= 2 5 ,c1= 1 5 ,d1= 2 5. 第2次传球到乙手中的概率b2= 2 5c1+ 1 5d1= 2 5× 1 5 +15× 2 5= 4 25 , 所以第3次传球是由乙传给甲的概率为25b2= 8 125. (2)根据已知条件可得,当n≥2时, an= 2 5bn-1+ 1 5cn-1+ 2 5dn-1 ,① bn= 2 5an-1+ 2 5cn-1+ 1 5dn-1 ,② cn= 2 5bn-1+ 1 5an-1+ 2 5dn-1 ,③ dn= 2 5an-1+ 1 5bn-1+ 2 5cn-1 ,④ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 联立则有 an-cn=- 1 5 (an-1-cn-1), bn-dn=- 1 5 (bn-1-dn-1) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 所以{an-cn}是首项为- 1 5 ,公比为-15 的等比数列, 故an-cn= - 1 5 n . 因为b1=d1= 2 5 ,所以bn=dn, 代入①②式得 4 5bn-1=cn+ - 1 5 n -15cn-1 ,⑤ bn= 2 5 - 1 5 n-1 +45cn-1+ 1 5bn-1 ,⑥ 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 将⑤代入⑥得bn= 1 4cn+ 3 4cn-1- 7 4 - 1 5 n ,cn= 2 5 cn-1+ 3 5cn-2- 6 5 - 1 5 n-1 , 则 cn+ 3 5cn-1 - cn-1+35cn-2 =-65 -15 n-1 , (n≥3), 其中c2= 2 5b1+ 2 5d1= 2 5× 2 5+ 2 5× 2 5= 8 25 , 故c2+ 3 5c1= 8 25+ 3 5× 1 5= 11 25 , c3+ 3 5c2 - c2+35c1 =-65 -15 2 , c4+ 3 5c3 - c3+35c2 =-65 -15 3 , ……, cn+ 3 5cn-1 - cn-1+35cn-1 =-65 -15 n-1 , 由累加法可得cn+ 3 5cn-1= 11 25- 6 5 - 1 5 2 + -15 2 +…+ -15 n-1 = 25 + -15 n , 所以cn+ 1 2 - 1 5 n -14= -35 cn-1+ 1 2 - 1 5 n-1 -14 , 所以 cn+ 1 2 - 1 5 n -14 是 以c1+ 12 -15 1 - 1 4=- 3 20 为首项,公比为-35 的等比数列, 所以cn= 1 4- 1 2 - 1 5 n +14 - 3 5 n , 故第n 次传球后排球传到丙手中的概率为cn= 1 4- 1 2 - 1 5 n +14 - 3 5 n . (3)随机变量Yi 服从两点分布,设第i次未传到乙手中 的概率为P(Yi=0), 则排球第i次传到乙手中的概率为P(Yi=1)=1-P(Yi =0)=bi,(i=1,2,…,n), 则E ∑ i=1 n Yi =∑ i=1 n bi. 由(2)知bn= 1 4cn+ 3 4cn-1- 7 4 - 1 5 n =116- 1 8 - 1 5 n +116 - 3 5 n +316- 3 8 - 1 5 n-1 +316 - 3 5 n-1 -74 - 1 5 n =14- 1 4 - 3 5 n , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —401— 其中∑ i=1 n -35 i = -35- - 3 5 n+1 1- -35 = 5 8 - 3 5- - 3 5 n+1 =-38-58 -35 n+1 , 所以 E(Y)= ∑ i=1 n bi= ∑ i=1 n 1 4- 1 4 - 3 5 i = n4 + 3 32 1- - 3 5 n ,(n∈N*). 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(三) 1.D 对 于 选 项 A,当 集 合 B={0}时,A⊄B,故 此 选 项 错误; 对于选项B,当集合B={0}时,B⊄A,故此选项错误; 对于选项C,当集合B={0,1}时,A∩B={1}≠⌀,故此 选项错误; 对于选项D,因为A∪B={-1,0,1},0∈{-1,0,1},且 0∉A,所以0∈B,故此选项正确. 故选:D. 2.B 对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p 是 假命题,􀱑p是真命题, 对于q而言,取x=1,则有x=13=1=x,故q是真命题, 􀱑q是假命题, 综上,􀱑p和q都是真命题. 故选:B. 3.C 当x∈[-2,2]时,f(-x)= (e-x+ex)sin(-x)-2(-x)=-[(ex+e-x)sinx-2x] =-f(x), 故f(x)在[-2,2]为奇函数, 因此f(x)的图象关于(0,0)对称,故可以排除A,B, 又f'(x)=h(x)=(ex-e-x)sinx+(ex+e-x)cosx-2, h'(x)=(ex+e-x)sinx+(ex-e-x)cosx+(ex-e-x) cosx+(ex+e-x)(-sinx)=2(ex-e-x)cosx, 当x∈ 0,π2 时,h'(x)=2(ex-e-x)cosx>0, 因此可得f'(x)在 0,π2 单调递增, 故f'(x)>f'(0)=0, 即当x∈ 0,π2 时,f'(x)>0, 因此可得f(x)在 0,π2 单调递增,结合图象知C正确, 故选:C. 4.D 对于A中,由m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,只有直线m 与 n 相交时,可得l⊥α,所以A不正确; 对于B中,由m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l与m 平行、相交或异 面,所以B错误; 对于C中,由l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n,所以C错误; 对于D中,由l∥m,l⊥α,可得m⊥α,又因为m∥n,所以 n⊥α,所以D正确. 故选:D. 5.C 由 题 设,将 棱 台 补 全 为 正 棱 锥 P-ABC,如 下 图,且 △A1B1C1,△ABC均为正三角形, 其中O 为底面ABC 中心,连接PO,则PO⊥面ABC,而 AO⊂面ABC,即PO⊥AO, 所以A1A 与平面ABC 所成角为∠PAO= π 4 ,而AB=4, 则AO=23×AB ·sin60°=4 33 ,所以PO=AO=4 33 , 令P-A1B1C1的高为h,结合棱台的结构特征,知 h PO= A1B1 AB ⇒h= PO 2 = 2 3 3 , 所 以 棱 台 体 积 V =VP-ABC-VP-A1B1C1 = 1 3 × 3 4 × 42×4 33 -2 2×2 33 =143. 故选:C. 6.C 由a=2π>2,1<b=log2π<log24=2,1<c= π< 4 =2,知a>b,a>c, 又π3<25,所以π<2 5 3,故b=log2π<log22 5 3=53 , 又 5 3 2 =259<π ,故5 3< π=c ,所以b<c, 因此可得a>c>b. 故选:C. 7.A 当-1<x≤3时,y=log2(x+1)单调递增且值域为 (-∞,2],而f(x)在(-1,+∞)上单调递增, 则y=x+ax 在(3,+∞)上单调递增, 且3+a3≥2⇒a≥-3 , 当-3≤a≤0时,y=x+ax 在(3,+∞)上单调递增,满足 题设; 当a>0时,y=x+ax 在(a,+∞)上单调递增,此时只需 a≤3,即0<a≤9. 综上,-3≤a≤9. 故选:A. 8.B 函数f(x)定义域为(0,+∞),而0<x<1⇒lnx<0, x=1⇒lnx=0,x>1⇒lnx>0, 要使f(x)≥0,则二次函数y=x2+ax+b,在0<x<1上 y<0,在x>1上y>0, 所以x=1为该二次函数的一个零点,易得b=-a-1, 则y=x2+ax-(a+1)=(x-1)[x+(a+1)],且开口 向上, 所以,只需-(a+1)≤0⇒a+1≥0⇒a≥-1,故a的最小 值为-1. 故选:B. 9.BCD 当lnx<0时,y=lnx+ 1lnx<0 ,故A错误; y=2x+22-x≥2 2x×22-x=4,当且仅当2x=22-x,即 x=1时取等号,故B正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —501—