专题12.9 整式的乘除全章专项复习【3大考点10种题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题12.9 整式的乘除全章专项复习【3大考点10种题型】 【华东师大版】 【考点1 整式的乘法】 1 【题型1 整式的化简求值】 4 【题型2 整式乘法的应用】 7 【题型3 利用整式的乘法求字母的值】 10 【题型4 运用幂的乘方比较大小】 14 【考点2 乘法公式】 17 【题型5 利用乘法公式化简求值】 17 【题型6 利用乘法公式解方程或不等式】 20 【题型7 乘法公式的整体应用】 22 【题型8 利用乘法公式解决规律探究问题】 23 【考点3 因式分解】 26 【题型9 利用因式分解求代数式的值】 28 【题型10 因式分解与三角形知识的综合应用】 32 【考点1 整式的乘法】 1．同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 2．幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 3．积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 4．单项式与单项式相乘 法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． （2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． （3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 【注意】 （1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． （2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． 5．单项式与多项式相乘 法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）． 【注意】 （1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． （2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 6．多项式与多项式相乘 （1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc． 【注意】 （1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． （2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 7．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 8．零指数幂的性质 零指数幂的性质： 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0． 于是规定：a0=1（a≠0）． 语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1． 【注意】 （1）底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义． （2）底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等． （3）a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0． 9．单项式除以单项式 单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性． 10．多项式除以单项式 多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【注意】 （1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． （2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． （3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 【题型1 整式的化简求值】 【方法总结】首先依据整式的混合运算顺序和运算法则进行化简,然后代入求值.对于幂的运算问题,首先要判断出幂的运算类型,然后根据幂的运算性质计算,要注意底数和指数的变化特点. 【例1】（2024·河北唐山·三模）在化简题中，◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．当，时，的值为22，则◆所表示的符号为（    ） A． B． C．＋ D．－ 【答案】B 【分析】根据四个选项，依次代入原式，进行化简求值，即可得到答案． 【详解】解：A．若◆所表示的符号为，则原式==，当，时，原式=，不符合题意； B．若◆所表示的符号为，则原式==，当，时，原式=，符合题意； C．若◆所表示的符号为＋，则原式==，当，时，原式=，不符合题意； D．若◆所表示的符号为－，则原式==，当，时，原式=，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，理清运算顺序，正确进行相关计算是解题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】（1），；（2），； 【分析】本题考查整式的化简求值： （1）先根据乘法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； （2）先根据乘除法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）原式 ， 当，时， ∴原式， ． 【变式1-2】（23-24八年级·重庆北碚·期中）已知实数a，b，x，y满足，，则 . 【答案】20 【分析】本题考查因式分解的应用、整式的乘法、代数式求值，解答的关键利用整体思想求解．先求得，再将所求代数式因式分解，转化为求的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ， 故答案为：20． 【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)计算：______； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)16 (2)， (3)1 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及整式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义，进行有理数的混合运算； （2）根据新定义，得到一元二次方程，再用因式分解法求解； （3）根据新定义，进行整式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：16； （2）解：由得：， 化简得：， 解得：，； （3）解： ， ∵ ∴， ∴， 即的值为1． 【题型2 整式乘法的应用】 【例2】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)涂漆这个铁盒需要元钱 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用． （1）根据长方形的面积等于长乘宽表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积减去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，再乘单价即可得到结果． 【详解】（1）原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：； 则油漆这个铁盒需要的钱数是：元． 所以涂漆这个铁盒需要元钱． 【变式2-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）位于太原市三给片区的天美杉杉超级奥特莱斯是一座集现代化商业、中式文化与绿色园林三位一体的大型综合商业体，值得期待的是将于2023年9月开始正式营业．如图，在园区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，现规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形． (1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)5400元 【分析】本题考查整式运算的实际应用，代数式求值： （1）用长方形的面积减去正方形的面积，即可； （2）将代入（1）中的结果，求值后，再乘以单价即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）当时，， （元）． 【变式2-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边的长度分别为．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中已知线段长度，结合图形，数形结合表示出阴影部分面积，按要求求差即可得到答案． 【详解】解：两个正方形的边长分别为和（），且长方形中边的长度分别为， 在图1中，； 在图2中，； ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查求阴影部分面积关系，数形结合，准确表示出阴影部分面积是解决问题的关键． 【变式2-3】（23-24八年级·上海青浦·期中）如图所示，有4张宽为，长为b的小长方形纸片，不重叠的放在矩形内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． (1)用含、b的代数式表示：______________；______________． (2)用含、b的代数式表示区域①、区域②的面积； (3)当=，时，求区域①、区域②的面积的差． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用，找到图中的线段间的关系是解题的关键． （1）线段为2个小长方形的宽加1个小长方形的长，线段为1个小长方形的宽加1个小长方形的长，列出式子并化简即可； （2）区域①的面积为长，宽的长方形的面积减去一个边长为的小正方形的面积列式化简即可得出；区域②的面积：长为小长方形纸片的长，宽为的长方形的面积加上一个边长为的小正方形的面积列式化简即可得出； （3）将两式相减化简后，将值代入即可得出答案． 【详解】（1）小长方形纸片宽为，长为b ， 故答案为：，； （2）由图可知，，， ， 区域①的面积为： 区域②的面积为： ； （3）由（2）知，区域①的面积为：，区域②的面积为： 区域①、区域②的面积的差为： 当=，时，原式 【题型3 利用整式的乘法求字母的值】 【方法总结】当多项式的乘积中不含某一项时,说明将多项式的乘积化简合并后该项的系数为0,可利用方程思想求字母的值. 【例3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如与，，则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3． (1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与（m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”； (3)关于x的多项式与的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2) (3)能，， 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解； （3）先求得，，再将根据“组合数”为0，列方程解方程即可； 【详解】（1） ，不是常数， ①组多项式不是互为“组合多项式”； ，是常数， ②组多项式是互为“组合多项式”； ，2是常数， ③组多项式是互为“组合多项式”， 故答案为：②③ （2） ， ， 与（m，n为常数）互为“组合多项式”， ，，为常数， 解得：，， ， 它们的“组合数”为3； （3）能为0，理由如下： ，， ， 若C和D的“组合数”能为0， 解得：． 【变式3-1】（23-24八年级·山东济南·期中）已知，，，若的值与x的取值无关，则a的值为（   ） A． B．3 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，正确化简是解本题的关键． 先求出，再根据取值与x无关，得出，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式3-2】（23-24八年级·山西临汾·期中）甲同学计算一道关于的整式乘法题：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，请你计算出a，b的值，并计算出这道整式乘法题的正确结果． 【答案】，，． 【分析】本题考查了整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则进行化简，得，进而可得，，再将其代入原式即可求解，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键 ． 【详解】解： ， ，， ，， ． 【变式3-3】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为． 请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题． （1）计算所得多项式的一次项系数为______． （2）若计算所得多项式不含一次项，求的值； （3）若，则______． 【答案】（1）-11；（2）；（3）2021． 【分析】根据题意可得出结论多项式和多项式相乘所得结果的一次项系数是每个多项式的一次项系数分别乘以其他多项式的常数项后相加所得． （1）中每个多项式的一次项系数分别是1、3、5，常数项分别是2、1、-3，再根据结论即可求出所得多项式的一次项系数． （2）中每个多项式的一次项系数分别是1、-3、2，常数项分别是1、a、-1，再根据所得多项式的一次项系数为0，结合结论即可列关于a的一元一次方程，从而求出a． （3）中每个多项式一次项系数为1，常数项系数也为1，为所得多项式的一次项系数．所以根据结论为2121个相加，即可得出结果． 【详解】（1）根据题意可知的一次项系数为： ． 故答案为-11． （2）根据题意可知的一次项系数为： ∵该多项式不含一次项，即一次项系数为0， ∴ 解得． （3）根据题意可知即为所得多项式的一次项系数． ∴ 故答案为2021 【点睛】本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键． 【题型4 运用幂的乘方比较大小】 【例4】（23-24八年级·广东佛山·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值． (2)比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算求解． （2）将a、b、c化简为相同的指数进行比较大小． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 【点睛】此题考查了幂的计算法则及拓展应用，解题的关键是正确运用计算法则及逆运算． 【变式4-1】（23-24八年级·全国·单元测试）比较下列各题中幂的大小： （1）已知，比较a、b、c的大小关系; （2）比较这4个数的大小关系; （3）已知，比较P、Q的大小关系; （4）_______（填“>”“<”或“=”）. 【答案】（1 ;(2) ;(3) ;(4) ． 【分析】（1）根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；（2）根据幂的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；（3）用求商法比较大小；（4）由易得结果. 【详解】（1)因为，，，所以． (2)因为，，，，，所以． (3)因为，所以. (4)因为，所以． 【点睛】考核知识点：幂的乘方运用.灵活运用幂的运算性质比较数的大小. 【变式4-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点2 乘法公式】 1．平方差公式 （1）平方差公式 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． （2）平方差公式的特点 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式． 2．完全平方公式 （1）完全平方公式 ， 语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． （2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 3．添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． （1）首先要清楚括到括号里的是哪些项． （2）括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不变． （3）添括号后是否正确，可以用去括号来检验． 【题型5 利用乘法公式化简求值】 【方法总结】解题时要注意分析算式的结构特征,符合“两个数的和与这两个数的差的积”要考虑平方差公式,符合“两数和(或差)的平方”要考虑完全平方公式. 【例5】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）已知，．求代数式下列代数式的值：①②． 【答案】①11；② 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，掌握完全平方公式及其变形形式是解题的关键． ①由完全平方公式得，整体代入即可求解； ②先求出，再开方即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②， ∴． 【变式5-1】（23-24八年级·贵州毕节·期中）已知，求的值 【答案】23 【分析】本题考查了运用完全平方公式变形求值，先运用完全平方公式将展开，再求出的值即可． 【详解】， 即， ． 【变式5-2】（23-24八年级·湖南永州·阶段练习）已知：，，求： (1)； (2)的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查野运用完全平方公式求代数式的值，熟练运用完全平方公式是正确解决本题的关键． （1）根据完全平方公式，即可解答． （2）根据完全平方公式，即可解答． 【详解】（1）解：由，， ∴，① ，② 得：， ． （2）解，由，， ∴，① ，② 得：，． ， 的值为． 【变式5-3】（23-24八年级·贵州毕节·期中）（1）已知，，求和的值； （2）已知，，求和的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）， （3）5 【分析】本题考查的是利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形，计算即可． （2）利用完全平方公式变形，计算即可． （3）利用完全平方公式变形，计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，， ； （2），， ①，②， ①②，得， ， ①②，得， ； （3）， ， ， ， ． 【题型6 利用乘法公式解方程或不等式】 【例6】（23-24八年级·上海宝山·期中）解不等式：． 【答案】． 【分析】此题主要考查完全平方公式，平方差公式及一元一次不等式的解法，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键，先根据完全平方公式，平方差公式去括号化简，再按照一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】解： ． ． 【变式6-1】（23-24八年级·广东深圳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式运算，涉及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握、运用整式运算法则． （1）利用多项式乘以多项式化简，再按照解方程步骤即可得解． （2）利用多项式乘以多项式化简，再按照解方程步骤即可得解． 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）， ， ， ． 【变式6-2】（23-24八年级·上海静安·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式与平方差公式将不等式化简为一元一次不等式，然后按照去分母、去括号、移项、合并、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：将原不等式变形为： 即：， 去分母，得 移项合并，得 系数化为1，得； 故不等式的解集为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握利用乘法公式化简计算以及熟悉解一元一次不等式的方法步骤是解答此题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级·湖北·阶段练习）计算 (1)解方程：； (2)解不等式：. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）方程整理后，移项合并，把系数化为，即可求出解； （2）不等式整理后，移项合并，把x系数化为，即可求出解集． 【详解】（1）解： ； （2） 【题型7 乘法公式的整体应用】 【例7】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，运用完全平方公式将括号展开即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式7-1】（23-24八年级·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】原式， ， ， ． 故答案为： 【变式7-2】（23-24八年级·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式变形为，再利用平方差公式去括号，接着利用完全平方公式去括号即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式7-3】（23-24八年级·上海宝山·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的混合运算，原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ． 【题型8 利用乘法公式解决规律探究问题】 【例8】（23-24八年级·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第 个“智慧数”． 【答案】1516 【分析】本题考查了新定义“智慧数”以及平方差公式的运用；分别考虑奇数、4的倍数的数，及被4除余2与3的数；设两个数分别为，其中，且k为整数，即，表明大于1的奇数都是“智慧数”；考虑，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”；证明不是“智慧数”；据此可以判断自然数中的 “智慧数”；找到规律后，即可完成求解． 【详解】解：对于相邻两个自然数，其中，且k为整数， 由于， k为正整数， 因而和就是两个自然数， 表明大于1的奇数都是“智慧数”； 对于两个自然数，其中，且k为整数， 则，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”； 对于的自然数，下面证明它不是“智慧数”； 若它是“智慧数”，则必有m、n，满足， 当m、n奇偶性不同时，都是奇数，其积也是奇数，但上式左边是偶数，矛盾，即不是“智慧数”；是奇数，故是“智慧数”； 综上知，所有正整数中，1、4及不是“智慧数”外，其余都是“智慧数”； 则“智慧数”3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，中除前两个3与5外，其余都是3个一组的连续整数，且中间一个数为4的倍数，且2024所在的组三个数为：2023，2024，2025，而2022则不是“智慧数”，由于，即从2开始到2022，形如的数共有506个数不是“智慧数”，去掉1与4两个，共有508个数不是“智慧数”，故2024是第个“智慧数”； 故答案为：1516． 【变式8-1】（23-24八年级·重庆南岸·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： （1）第5个等式为： ； （2）若第个等式为，则 ． 【答案】 【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）第n个等式为，再将写成等式结构即可求解． 【详解】解：（1）观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律， 可知第5个等式为：， 故答案为：； （2）第n个等式为， 证明如下： 等式左边：， 等式右边： ， 故等式成立． ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【变式8-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、数字的变化类，根据所列式子所反映的规律得出答案即可，发现规律是解此题的关键． 【详解】解： ……… ， 故答案为：． 【变式8-3】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）． 1 11 121 1331 14641… 根据上述规律，展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，首先确定是展开式中第三项，先求出的第三项的系数，再把，代入计算即可． 【详解】解：∵是展开式中第三项， 且第三项系数为1，字母为， 第三项系数为，字母为， 第三项系数为，字母为， ∴第三项系数为，字母为， 当，时第三项系数为，字母为， 即展开式中含项为， 故答案为：． 【考点3 因式分解】 1．因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【注意】 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 2．用提公因式法分解因式 （1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． （2）怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． （3）提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （4）提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 【注意】 （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 3．用平方差公式分解因式 （1）平方差公式的等号两边互换位置，得 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． （2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 4．用完全平方公式分解因式 （1）完全平方公式的等号两边互换位置，得 ， 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． （2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． （3）公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【题型9 利用因式分解求代数式的值】 【例9】（23-24八年级·四川内江·期中）若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：，，， ，，， 则 ， 当，，时，原式． 故选：D． 【变式9-1】（23-24八年级·河北保定·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． (1)分解因式：； (2)当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，二次三项式取得最小值，最小值为 【分析】（）仿照阅读例子，加减一个适当的数计算即可； （）利用配方法，结合实数的非负性，计算即可； 本题考查了配方法的应用，因式分解的应用，利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ， ∵， ∴ ∴当时，二次三项式取得最小值，最小值为． 【变式9-2】（2024·福建厦门·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（    ） A．﹣1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解将多项式分解，利用0＜m＜1即可得0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1，进而可得结果． 【详解】解： ∵x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1）， ∴x﹣2y＝2， ∴4m＝4y2﹣x2＝（2y＋x）（2y﹣x）， ∴x＋2y＝﹣2m， ∴2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy ＝（2mx﹣4my）﹣（x2＋4y2＋4xy） ＝2m（x﹣2y）﹣（x2＋4y2＋4xy） ＝2m（x﹣2y）﹣（x＋2y）2 ＝4m﹣4m2 ＝﹣（2m﹣1）2＋1， ∵0＜m＜1， ∴0＜2m＜2， ∴﹣1＜2m﹣1＜1， ∴0＜（2m﹣1）2＜1， ∴0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解，不等式的性质等知识，能将已知条件变形和将多项式因式分解是解题关键． 【变式9-3】（23-24八年级·重庆璧山·阶段练习）一个各数位均不相等且不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“明德数”．例如：四位数，，是“明德数”．若是一个“明德数”，则这个数的最小值为 ；若是一个“明德数”，为整数，，则满足条件的的值是 ． 【答案】 1243 5346 【分析】本题主要考查了新定义，因式分解的应用，要使“明德数”最小，则千位，百位，再根据新定义得到，可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，由为整数，得到，分别列出的值，根据是，得到，分别求出b的值，再根据题意即可得出结果． 【详解】解：根据题意：要使“明德数”最小， 则， ∵是一个“明德数”， ∴， ∴，即， 时，这个数最小， ∴这个数为； ∵是一个“明德数”， ∴， ， ， ， ， 为整数， 为整数， 为整数，即为9的整数倍， ， ，则， 或或或或或或或或， ， ，即， ， ，即， ， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意，此时，即； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：1243；． 【题型10 因式分解与三角形知识的综合应用】 【例10】（23-24八年级·贵州铜仁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，用配方法求的最小值； (3)已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值是5 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，整式的混合运算，非负性，等边三角形的判定和性质， （1）根据材料提示的配方法即可求解； （2）运用配方法及非负性即可求解； （3）运用分组配方法可得，根据非负性可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ， 所以，的最小值是； （3）解：是等边三角形： ， ， ， 是等边三角形． 【变式10-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， 且， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则______，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1，0 (2)； (3)11． 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，根据三角形三边的关系得到的范围，根据是正整数得到的值是解第（3）题的关键． （1）根据配方法和非负数的性质求解； （2）根据配方法和非负数的性质求出，的值，代入代数式求值即可； （3）根据配方法和非负数的性质求出，的值，根据三角形三边的关系得到的范围，根据是正整数得到的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， 故答案为：1，0； （2）解：， ， 即：， 则：，， 解得：， ； （3）解：， ， ， 则，， 解得：，， ， 即，且是正整数， ， 即三角形三边分别为1，5，5， 的周长为． 【变式10-2】（23-24八年级·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：若，求m、n的值． ， ， ， ．根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值 【答案】(1) (2)6 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，即可求出的值； （2）将已知等式25分为，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出与的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出的长． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 又是正整数， 的边c的值2,3,4，5，6； 的边c的最大值6． 【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长、、均为整数，且满足，则这样的三角形共有 个． 【答案】3 【分析】先将a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合，讨论是否符合题意即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵等腰的三边长、、均为整数， ∴a+b，c+1为大于或等于2的正整数， 那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2， ①a+b =2，c+1 =12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解； ②a+b =3，c+1 =8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解； ③a+b =4，c+1 =6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解； ④a+b =6，c+1 =4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形； ⑤a+b =8，c+1 =3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形； ⑥a+b =12，c+1 =2时，可得 a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形． ∴一共有3个这样的三角形． 故答案是：3． 【点睛】本题考查因式分解的应用及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.9 整式的乘除全章专项复习【3大考点10种题型】 【华东师大版】 【考点1 整式的乘法】 1 【题型1 整式的化简求值】 4 【题型2 整式乘法的应用】 4 【题型3 利用整式的乘法求字母的值】 6 【题型4 运用幂的乘方比较大小】 7 【考点2 乘法公式】 8 【题型5 利用乘法公式化简求值】 8 【题型6 利用乘法公式解方程或不等式】 9 【题型7 乘法公式的整体应用】 9 【题型8 利用乘法公式解决规律探究问题】 9 【考点3 因式分解】 10 【题型9 利用因式分解求代数式的值】 12 【题型10 因式分解与三角形知识的综合应用】 12 【考点1 整式的乘法】 1．同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 2．幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 3．积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 4．单项式与单项式相乘 法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． （2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． （3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 【注意】 （1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． （2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． 5．单项式与多项式相乘 法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）． 【注意】 （1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． （2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 6．多项式与多项式相乘 （1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc． 【注意】 （1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． （2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 7．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 8．零指数幂的性质 零指数幂的性质： 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0． 于是规定：a0=1（a≠0）． 语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1． 【注意】 （1）底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义． （2）底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等． （3）a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0． 9．单项式除以单项式 单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性． 10．多项式除以单项式 多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【注意】 （1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． （2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． （3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 【题型1 整式的化简求值】 【方法总结】首先依据整式的混合运算顺序和运算法则进行化简,然后代入求值.对于幂的运算问题,首先要判断出幂的运算类型,然后根据幂的运算性质计算,要注意底数和指数的变化特点. 【例1】（2024·河北唐山·三模）在化简题中，◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．当，时，的值为22，则◆所表示的符号为（    ） A． B． C．＋ D．－ 【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【变式1-2】（23-24八年级·重庆北碚·期中）已知实数a，b，x，y满足，，则 . 【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)计算：______； (2)已知，求的值； (3)当时，求的值． 【题型2 整式乘法的应用】 【例2】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【变式2-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）位于太原市三给片区的天美杉杉超级奥特莱斯是一座集现代化商业、中式文化与绿色园林三位一体的大型综合商业体，值得期待的是将于2023年9月开始正式营业．如图，在园区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，现规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形． (1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）； (2)若，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？ 【变式2-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边的长度分别为．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，的值为（    ）      A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级·上海青浦·期中）如图所示，有4张宽为，长为b的小长方形纸片，不重叠的放在矩形内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． (1)用含、b的代数式表示：______________；______________． (2)用含、b的代数式表示区域①、区域②的面积； (3)当=，时，求区域①、区域②的面积的差． 【题型3 利用整式的乘法求字母的值】 【方法总结】当多项式的乘积中不含某一项时,说明将多项式的乘积化简合并后该项的系数为0,可利用方程思想求字母的值. 【例3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如与，，则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3． (1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与（m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”； (3)关于x的多项式与的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由． 【变式3-1】（23-24八年级·山东济南·期中）已知，，，若的值与x的取值无关，则a的值为（   ） A． B．3 C．5 D．4 【变式3-2】（23-24八年级·山西临汾·期中）甲同学计算一道关于的整式乘法题：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，请你计算出a，b的值，并计算出这道整式乘法题的正确结果． 【变式3-3】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为． 请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题． （1）计算所得多项式的一次项系数为______． （2）若计算所得多项式不含一次项，求的值； （3）若，则______． 【题型4 运用幂的乘方比较大小】 【例4】（23-24八年级·广东佛山·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值． (2)比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 【变式4-1】（23-24八年级·全国·单元测试）比较下列各题中幂的大小： （1）已知，比较a、b、c的大小关系; （2）比较这4个数的大小关系; （3）已知，比较P、Q的大小关系; （4）_______（填“>”“<”或“=”）. 【变式4-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来： ． 【变式4-3】（23-24八年级·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【考点2 乘法公式】 1．平方差公式 （1）平方差公式 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． （2）平方差公式的特点 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式． 2．完全平方公式 （1）完全平方公式 ， 语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． （2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 3．添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． （1）首先要清楚括到括号里的是哪些项． （2）括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不变． （3）添括号后是否正确，可以用去括号来检验． 【题型5 利用乘法公式化简求值】 【方法总结】解题时要注意分析算式的结构特征,符合“两个数的和与这两个数的差的积”要考虑平方差公式,符合“两数和(或差)的平方”要考虑完全平方公式. 【例5】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）已知，．求代数式下列代数式的值：①②． 【变式5-1】（23-24八年级·贵州毕节·期中）已知，求的值 【变式5-2】（23-24八年级·湖南永州·阶段练习）已知：，，求： (1)； (2)的值 【变式5-3】（23-24八年级·贵州毕节·期中）（1）已知，，求和的值； （2）已知，，求和的值； （3）已知，求的值． 【题型6 利用乘法公式解方程或不等式】 【例6】（23-24八年级·上海宝山·期中）解不等式：． 【变式6-1】（23-24八年级·广东深圳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【变式6-2】（23-24八年级·上海静安·期中）解不等式：． 【变式6-3】（23-24八年级·湖北·阶段练习）计算 (1)解方程：； (2)解不等式：. 【题型7 乘法公式的整体应用】 【例7】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）计算： ． 【变式7-1】（23-24八年级·上海青浦·期中）计算： ． 【变式7-2】（23-24八年级·上海·阶段练习）计算： 【变式7-3】（23-24八年级·上海宝山·期中）计算：． 【题型8 利用乘法公式解决规律探究问题】 【例8】（23-24八年级·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第 个“智慧数”． 【变式8-1】（23-24八年级·重庆南岸·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： （1）第5个等式为： ； （2）若第个等式为，则 ． 【变式8-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 【变式8-3】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）． 1 11 121 1331 14641… 根据上述规律，展开式中含项的系数为 ． 【考点3 因式分解】 1．因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【注意】 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 2．用提公因式法分解因式 （1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． （2）怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． （3）提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （4）提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 【注意】 （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 3．用平方差公式分解因式 （1）平方差公式的等号两边互换位置，得 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． （2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 4．用完全平方公式分解因式 （1）完全平方公式的等号两边互换位置，得 ， 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． （2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． （3）公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【题型9 利用因式分解求代数式的值】 【例9】（23-24八年级·四川内江·期中）若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式9-1】（23-24八年级·河北保定·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 阅读以上材料，解决下列问题． (1)分解因式：； (2)当为何值时，二次三项式取得最小值，最小值是多少？ 【变式9-2】（2024·福建厦门·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（    ） A．﹣1 B．0 C． D． 【变式9-3】（23-24八年级·重庆璧山·阶段练习）一个各数位均不相等且不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“明德数”．例如：四位数，，是“明德数”．若是一个“明德数”，则这个数的最小值为 ；若是一个“明德数”，为整数，，则满足条件的的值是 ． 【题型10 因式分解与三角形知识的综合应用】 【例10】（23-24八年级·贵州铜仁·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． (1)按照上述方法，将代数式变形为的形式； (2)若，用配方法求的最小值； (3)已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 【变式10-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）阅读材料：若，求、的值． 解：， ， 且， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则______，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【变式10-2】（23-24八年级·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：若，求m、n的值． ， ， ， ．根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值 【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长、、均为整数，且满足，则这样的三角形共有 个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$