专题04 因式分解重难点题型培优专题训练（10大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题04 因式分解重难点题型培优专题训练 知识要点精讲 知识点01、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明： （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点02、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点03、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点04、首项系数为1十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点05、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间”； （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点06、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点07、添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点08：因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明： 落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 重难点题型训练 题型一：提公因式法 1．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法因式分解是解题的关键，根据提取公因式法因式分解，即可求解． 【详解】解：，故选：D． 2．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：，故选：D． 3．因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查利用提公因式法分解因式．直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：，故答案为：． 4．已知，，则_______． 【答案】96 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，将原式整理为，再整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴原式．故答案为：96． 5．因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法与单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先提取公因式，再对余下的进行单项式乘多项式，最后合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 6．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键； （1）提公因式法提取分解因式即可求解； （2）提公因式法提取分解因式即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型二：平方差公式分解因式 1．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断． 【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、是y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 分别利用平方差公式分解因式进行判断即可解答． 【详解】解：A、，可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意； B、的两个项均为负数，不可以用平方差公式分解因式，故此选项错误，符合题意； C、，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意； D、，可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）因式分解的结果为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；用平方差公式“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式；故答案：． 4．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如果满足，那么代数式的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解--公式法，把代数式分解得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵满足， ∴ ∴，故答案为： 5．（24-25八年级上·北京·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 6．（22-23八年级下·四川达州·期末）因式分解： (1) ； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解： （1）先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可； （2）用平方差公式法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型三：完全平方公式分解因式 1．（22-23八年级下·江西抚州·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另-项是这两个数(或式)的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，不符合完全平方公式，故此选项错误； B、，不符合完全平方公式，故此选项错误； C、，不符合完全平方公式，故此选项错误； D、，符合完全平方公式，故此选项正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）下列各式中，①；②；③；④；⑤；⑥．能用完全平方公式分解因式的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据利用完全平方公式进行分解因式即可排除选项． 【详解】解：①，能利用完全平方公式进行分解因式； ②，所以不能利用完全平方公式进行分解因式； ③，所以不能利用完全平方公式进行分解因式； ④，所以不能利用完全平方公式进行分解因式； ⑤，能利用完全平方公式进行分解因式； ⑥，能利用完全平方公式进行分解因式； 综上所述：能利用完全平方公式进行分解因式的有3个； 故选B． 3．（2024·西藏·中考真题）分解因式：_________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：，故答案为：． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）一个正方形的面积是，则该正方形的周长是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方的方法化简求值、正方形的周长计算公式，掌握用完全平方的方法因式分解是解题关键. 由于正方形的面积是边长的平方，而，由此即可得到该正方形的边长，再根据周长计算公式即可得出结论． 【详解】解：，， 该正方形的边长是：， 周长是：．故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 6．（20-21七年级上·上海·期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36． 【答案】（x2﹣2x﹣6）2 【分析】仔细观察把看做一个整体，可以发现正好是一个完全平方式，直接利用公式法分解因式得出答案． 【详解】解：原式＝（x2﹣2x﹣6）2．故答案为：（x2﹣2x﹣6）2． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够准确观察出原式是一个完全平方式． 题型四：综合运用公式法分解因式 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式，故选：D． 2．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）把因式分解得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】解：；故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键. 3．（22-23八年级上·山东泰安·期末）分解因式：___________________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 4．（2024·河南周口·二模）分解因式______________________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解； 先利用平方差公式进行分解，再分别利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：原式 ． 6．（23-24七年级下·湖南永州·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型五：综合运用提公因式法和公式法分解因式 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）把分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式分解因式得到结果，即可做出判断． 【详解】解：原式．故选：C 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值．对所求式子因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式，故选：C． 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：____________________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先提公因式法，再进行平方差公式即可因式分解． 【详解】解：， ， ．故答案为：． 4．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）分解因式：__________________． 【答案】 【分析】此题主要考查了提公因式和公式法因式分解；熟记公式是解题的关键．先提公因式3，然后利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ，故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】此题考查了分解因式．熟练掌握因式分解的方法并能根据式子灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式继续分解因式； （2）先提取公因式，再用完全平方公式继续分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型六：因式分解在有理数简算中的应用 1．（2024·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：，故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】原式 ， 故选：C． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：=__________． 【答案】8016 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：，故答案为：8016． 4．（23-24八年级下·云南文山·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ．故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先提取公因式，再计算即可； （2）先把前面两个数提取公因式，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查的是提公因式法进行简便运算，掌握提公因式的方法是解本题的关键． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型七：十字相乘法 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个．故选：． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期中）若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把看做一个整体，先把原式变形为，进而分解因式得到，再证明，从而得到，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故选：B． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取，再对进行因式分解，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式；故答案：． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）如果关于x的二次三项式(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的可能取值为：___________． 【答案】， 【分析】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键． 根据十字相乘法的分解方法和特点可知：的值应该是的两个因数的和，即7，2，，，从而得出m的值． 【详解】解：∵， 则的值可能为：， 故的值可能为：． 故答案为：，． 5．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 6．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 题型八：分组分解法 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，先分组，再提取公因式即可. 【详解】解： ；故选A 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案. 【详解】解：，故选B． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式：______________________． 【答案】 【分析】本题考查的是分组分解因式，公式法分解因式，把原式化为，再进一步分解因式即可. 【详解】解： ； 故答案为： 4．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式：______________________ 【答案】 【分析】本题主要考查了分组法分解因式．熟练掌握分组分解法依据，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，是解决问题的关键． 前三项分为一组，后一项分为一组，前三项先用完全平方公式分解，而后整体用平方差公式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，解决本题的关键是进行分组．先去括号，再进行分组，利用提公因式法，即可解答． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 题型九：添、拆项法 1．（20-21七年级下·湖南永州·期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+64 （2）x4+4y4； （3）x2﹣2ax﹣b2+2ab． 【答案】（1）（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；（2）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（3）（x﹣b）（x+b﹣2a） 【分析】（1）根据苏菲•热门的做法，将原式配上16x2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）根据苏菲•热门的做法，将原式配上4x2y2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （3）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【详解】解：（1）原式＝x4+16x2+82﹣16x2 ＝（x2+8）2﹣（4x）2 ＝（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）； （2）原式＝x4+4y4+4x2y2﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣（2xy）2 ＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）； （3）原式＝（x2﹣b2）+（﹣2ax+2ab） ＝（x+b）（x﹣b）﹣2a（x﹣b） ＝（x﹣b）（x+b﹣2a）． 【点睛】本题考查了添项法凑公式因式分解，用公式法因式分解，分组分解法，掌握因式分解的方法是解题的关键． 2．（22-23七年级下·安徽池州·期中）【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式． (2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案； （2）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是读懂题目的实例，配完全平方． 3．（21-22八年级下·河南郑州·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，并且△ABC的三边长是a，b，c，且c为奇数，求△ABC的周长． 【答案】(1)；(2)16或18或20 【分析】（1）根据题干中提供的方法进行解答即可； （2）根据，得出，求出，，根据三角形三边关系得出，根据c为奇数，求出，7，9，然后分别求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴， ∵c为奇数， ∴，7，9， 当，，时，△ABC的周长是：， 当，，时，△ABC的周长是：， 当，，时，△ABC的周长是：． ∴△ABC的周长为16或18或20． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握配方法分解因式． 4．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； (2)已知：，，为△ABC的三条边，，求△ABC的周长． 【答案】(1)①，见解析；②，见解析；(2) 【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式； ②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式； （2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得的值，即可求解． 【详解】（1）①； ② （2），，为△ABC的三条边，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴△ABC的周长为． 【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键． 5．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式：； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式____________； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ①____________； ②_____________； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式：． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②；综合应用： 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式法可进行分解因式； （2）①根据十字相乘法可进行分解因式；②先移项，然后再对方程左边进行十字相乘，进而问题可求解； （3）①把拆分，然后再根据提公因式和完全平方公式可进行分解因式；②把拆开，然后根据提公因式和平方差公式可进行分解因式； 综合应用：根据完全平方公式、十字相乘法及整体思想可进行分解因式． 【详解】解：（1）； 故答案为； （2）①； 故答案为； ② ∴或， ∴； （3）① ； ② ； 故答案为；； 综合应用： ； 故答案为． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2） ， ， ， （3）， ， ， ， ， ， ， 当时，最小值为． 题型十：因式分解的应用 1．（24-25八年级上·全国·期末）若，则的值是（ ） A．9 B．7 C．13 D．14 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．把所给代数式变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ．故选：C． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（   ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用．先将因式分解，进而可以得出答案． 【详解】解：，   的值总可以被11整除，即，故选：A． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设a为正整数，且满足是完全平方数，则a的值是___________． 【答案】4或18 【分析】此题考查了完全平方数的性质，平方差公式和完全平方公式因式分解，解题的关键分类讨论a的范围． 设（x为正整数），整理得到，，然后求出，然后得到或，然后分情况求解即可． 【详解】解：根据题意得，设（x为正整数）， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵a，x为正整数， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴或 ∴当时， 解得，； ∴当时， 解得， 综上所述，a的值是4或18．故答案为：4或18． 4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知，，，满足关系式，，则的值为___________． 【答案】74 【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键． 将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可. 【详解】由题意得，①， ②， 得③， 得④， 得， ， ．故答案为：74． 5．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：，可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______； (2)试解一元二次不等式 (3)试解不等式． 【答案】(1)或；(2)或；(3) 【分析】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则． （1）利用平方差公式进行因式分解； （2）利用十字相乘法对不等式进行因式分解，再求解可得； （3）需要分类讨论：①     ②据此求解可得． 【详解】（1）解：由原不等式得：， ∴ 或 ， 解得：或； （2）解：∵， ∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ① ②， 解不等式组①，得； 解不等式组②，； ∴的解集为得或， 即一元二次不等式的解集为：或； （3）解：由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得 ① ② 解不等式组①，得； 解不等式组②，无解， ∴的解集为． 6．（24-25八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)；(2)9；(3)；(4)，，16 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用， （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得，，进而可得的值； （3）用减得，利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （4）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∴，即； （4）解： ， ∴当且时，有最小值16， 此时得：，， ∴，时，多项式有最小值为16． ( 28 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 因式分解重难点题型培优专题训练 知识要点精讲 知识点01、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明： （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点02、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点03、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点04、首项系数为1十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 知识点05、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间”； （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点06、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 知识点07、添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点08：因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明： 落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 重难点题型训练 题型一：提公因式法 1．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式，结果是（   ） A． B． C． D． 3．因式分解：__________． 4．已知，，则_______． 5．因式分解：． 6．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型二：平方差公式分解因式 1．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）因式分解的结果为_______________． 4．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如果满足，那么代数式的值为_________． 5．（24-25八年级上·北京·期中）因式分解：． 6．（22-23八年级下·四川达州·期末）因式分解： (1) ； (2)； 题型三：完全平方公式分解因式 1．（22-23八年级下·江西抚州·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）下列各式中，①；②；③；④；⑤；⑥．能用完全平方公式分解因式的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·西藏·中考真题）分解因式：_________． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）一个正方形的面积是，则该正方形的周长是_________． 5．（24-25七年级上·上海·期中）分解因式： 6．（20-21七年级上·上海·期中）分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36． 题型四：综合运用公式法分解因式 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）把因式分解得（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·山东泰安·期末）分解因式：___________________． 4．（2024·河南周口·二模）分解因式______________________． 5．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）分解因式：． 6．（23-24七年级下·湖南永州·期中）因式分解 (1)； (2)． 题型五：综合运用提公因式法和公式法分解因式 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）把分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：____________________． 4．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）分解因式：__________________． 5．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）分解因式 (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）因式分解： (1)； (2)． 题型六：因式分解在有理数简算中的应用 1．（2024·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：=__________． 4．（23-24八年级下·云南文山·期末）计算：______． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）简便计算： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）简便计算： (1)； (2) 题型七：十字相乘法 1．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 2．（24-25八年级上·四川乐山·期中）若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：___________． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）如果关于x的二次三项式(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的可能取值为：___________． 5．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 题型八：分组分解法 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式：______________________． 4．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式：______________________ 5．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）因式分解： 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 题型九：添、拆项法 1．（20-21七年级下·湖南永州·期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+64 （2）x4+4y4； （3）x2﹣2ax﹣b2+2ab． 2．（22-23七年级下·安徽池州·期中）【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了． 我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． (1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式． (2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：． 3．（21-22八年级下·河南郑州·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，并且△ABC的三边长是a，b，c，且c为奇数，求△ABC的周长． 4．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①用分组分解法：； ②用拆项法：； (2)已知：，，为△ABC的三条边，，求△ABC的周长． 5．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式：； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式____________； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ①____________； ②_____________； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式：． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 题型十：因式分解的应用 1．（24-25八年级上·全国·期末）若，则的值是（ ） A．9 B．7 C．13 D．14 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（   ） A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）设a为正整数，且满足是完全平方数，则a的值是___________． 4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知，，，满足关系式，，则的值为___________． 5．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：，可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______； (2)试解一元二次不等式 (3)试解不等式． 6．（24-25八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$