第07讲 函数性质的综合应用（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第07讲 函数性质的综合应用 【人教A版2019】 模块一 函数的单调性与最值 1．函数单调性的判断 (1)定义法； (2)图象法； (3)简单函数单调性； (4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； (5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 2．函数单调性的应用 函数单调性的主要应用有以下几个方面： (1)利用函数的单调性求参数； (2)利用函数的单调性比较大小； (3)利用函数的单调性解不等式. 3．利用函数的单调性求参数的方法 (1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. (2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解. 需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 4．利用函数的单调性比较大小的方法 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上. 5．利用函数的单调性解不等式的方法 解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可. 6．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型1 函数的单调性的综合应用】 【例1.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D. 【例1.2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合函数的对称性及单调性即可比较大小 【解答过程】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 即； 故选：D. 【变式1.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可. 【解答过程】任取， 从而 , 因为，所以， 所以， 则在R上单调递增． 不等式等价于不等式 ， 即． 因为在R上单调递增， 所以，解得． 故选：A. 【变式1.2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解. 【解答过程】令， 因为对，且，都有，即成立， 不妨设，则，故，则， 即，所以在上单调递增，又因为，所以， 故可化为，所以由的单调性可得， 即不等式的解集为. 故选：A. 【题型2 函数的最值问题】 【例2.1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【解答过程】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 当时，开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，解得； 当，即时，，则在上单调递增， 所以在处取得最小值，，解得； 当时，开口向下，则在上必存在比小的值，不满足题意； 当时，，易得，不满足题意； 综上，. 故选：A. 【例2.2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据的单调区间，分、、和讨论即可. 【解答过程】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D. 【变式2.1】（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知函数在时有最大值. (1)求实数的值； (2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值. 【解题思路】（1）依题意可得，即可求出、的值； （2）由（1）可得，即可得到，从而得到且，从而得到，是关于的方程的两个解，即可求出、的值. 【解答过程】（1）因为在时有最大值， 则，解得，所以； （2）由（1）可得， 则，又，所以，则， 所以当时单调递减， 所以，且， 所以，是关于的方程的两个解， 即， 解方程得，，， 又，所以，. 【变式2.2】（23-24高一上·上海虹口·期末）已知是定义在上的奇函数，且时有． (1)写出函数的单调区间（不要证明）； (2)解不等式； (3)求函数在,上的最大值和最小值． 【解题思路】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得的单调区间； （2）根据题意，由函数的奇偶性可得函数的解析式，则有或，解可得不等式的解集，即可得答案； （3）由函数的解析式可得在区间上为增函数，在上为减函数，在为增函数；对的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案 【解答过程】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，且时有； 则的单调递增区间为,,,，递减区间为,； （2）是定义在上的奇函数，且时有， 设，则， 则， 则， 综合可得：， 若或， 解可得：或， 则不等式的解集为； （3）由（2）的结论，，在区间上为增函数，在上为减函数，在为增函数； 对于区间，，必有，解可得； 故当时，，， 当，时，，（2）， 当时，，. 模块二 函数的奇偶性及其应用 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． (4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． (5)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 3．函数奇偶性的应用 函数奇偶性的主要应用有三个方面： (1)利用函数的奇偶性求值、求解析式：根据题目条件，利用函数的奇偶性，进行转化求解； (2)利用函数的奇偶性求参数： ①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程； ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值. (3)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型3 函数奇偶性的判断】 【例3.1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【解答过程】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C. 【例3.2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【解题思路】根据奇偶函数的定义进行判定即可. 【解答过程】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数. 所以选项中C的说法不正确， 故选：C. 【变式3.1】（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【解答过程】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 【变式3.2】（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【解题思路】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额. 【解答过程】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中， ， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 【题型4 函数的奇偶性的综合应用】 【例4.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数是偶函数，定义域为R，且满足，其中，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【解题思路】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，可得，再利用赋值法求出，进而求出，即可求得. 【解答过程】由题意知定为域为R的函数满足为偶函数， 即， 所以的图象关于直线对称， 又因为， 所以的图象关于点对称， 所以函数的一个周期为， 故， 因为，又， 则，又，即， 所以. 故选：A. 【例4.2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【解题思路】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【解答过程】因为为奇函数，所以， 所以，而，得到， 解得，经验证符合题意， 所以，故A正确. 故选：A. 【变式4.1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求函数定义域，研究其奇偶性及的符号即可判断. 【解答过程】因为定义域为且，， 所以为奇函数，则图象关于原点对称，故排除B项、D项， 又，故排除C项. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到函数的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可求解. 【解答过程】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 模块三 函数的周期性与对称性 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数的对称性的应用】 【例5.1】（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对称性定义，再加赋值可解. 【解答过程】的图象关于中心对称，则（∗）； 是偶函数，则， 则的图象关于轴对称，则（∗∗）； 令代入（∗）得，，解得，代入 （∗∗）得到. 故选：D. 【例5.2】（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据条件得到的对称中心，再根据对称得到的对称中心. 【解答过程】因为为奇函数，所以， 即， 故的对称中心为，即， 由于函数与的图象关于直线对称， 且关于的对称点为， 故的对称中心为. 故选：D. 【变式5.1】（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的对称性、单调性、奇偶性得到，从而得，从而得到结果． 【解答过程】解：的图象关于点对称， 的图象关于原点对称， 为奇函数． ， ， 在R上是减函数， ， ， 在区间上是减函数，则 故选：B. 【变式5.2】（23-24高一下·湖北·开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据函数的性质作出简图，结合函数图象可得不等式的解集. 【解答过程】由函数的图象关于对称可得图象关于对称， 所以为R上的奇函数，则函数图象大致如图所示． 要解，即，即， 当时，即时，，所以或者，解得或； 当时，即时，，所以，解得 综上可得不等式的解集为. 故选：D. 【题型6 对称性与周期性的综合应用】 【例6.1】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 【解题思路】先由函数图象平移的性质得到为偶函数，再利用函数周期性的判定得到为周期函数，进而利用赋值法即可得解. 【解答过程】因为函数的图象关于直线对称， 又的图象由的图象向左平移一个单位长度得到， 所以的图象关于直线对称，故为偶函数， 因为4，所以 ， 所以是以8为一个周期的偶函数， 所以， 由 ，得，则. 故选：C. 【例6.2】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用已知条件得到关于对称，也关于对称，进而得到周期4.再用赋值法，得到.进而得到. 【解答过程】的图象关于直线对称，则. 即，令，则， 则也关于对称. 是奇函数，则，， 令，则，则也关于对称.且令，得. 由前面知道，且令，则. 且，令，则， 故周期为4.则.，，都不确定是否为0． 故选：B. 【变式6.1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期是2 B．是奇函数 C．不一定是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【解题思路】对于A，根据函数周期性的定义分析判断，对于BC，根据函数奇偶性的定义结合题意分析判断，对于D，根据函数的周期性、偶函数和对称性分析判断即可. 【解答过程】对于A，因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，所以的一个周期是4，所以A错误， 对于BC，因为，所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称， 所以，所以， 所以是偶函数，不是奇函数，所以BC错误， 对于D，因为为偶函数，的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称， 因为的一个周期是4，所以的图象关于点对称， 即的图象关于点中心对称，所以D正确， 故选：D. 【变式6.2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据所给等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可. 【解答过程】因为， 所以， 所以，即， 所以是周期为4的周期函数，则③正确. 令，得， 则，从而，故①错误； 因为， 所以， 所以， 所以的图象关于直线对称，则②正确； 易得的周期为4，且其图象关于直线及对称， 则直线及均为图象的对称轴， 从而. 令，得， 即， 则， 故 ，故④正确. 故选：C. 【题型7 抽象函数的性质】 【例7.1】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【解题思路】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【解答过程】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 【例7.2】（2024·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【解答过程】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 【变式7.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明 (2)解不等式： 【解题思路】（1）由单调性的定义结合已知条件证明即可 （2）结合条件将所求不等式化为，由函数的单调性解出不等式即可. 【解答过程】（1）函数在上单调递减，证明如下： 任取，且， 可得 ， 因为，且时，， 所以， 所以 即， 所以在上单调递减． （2）令，得， ∴    ∴ ∴， 又在上的单调递减且 ∴， ∴．   ∴， 即不等式解集为. 【变式7.2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，. （1）判断的奇偶性； （2）讨论的区间上的单调性； （3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）首先令得到，再令得到，即可判断函数是奇函数. （2）首先设任意，根据题意得到，即可证明. （3）根据题意得到的最大值为，再根据恒成立求解即可. 【解答过程】（1）因为有， 令，得， 所以， 令可得：， 所以，所以为奇函数. （2）由题意设， 因为是定义在上的奇函数， 则 因为时，有， 所以，即. 所以是在上为单调递减函数； （3）因为在上为单调递减函数， 所以在上的最大值为， 所以要使，对所有恒成立， 只要，即， 令 由得， 所以或. 【题型8 函数性质的综合应用】 【例8.1】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数. (1)求； (2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性； (3)设，若在时有解，求的取值范围. 【解题思路】（1）直接代入求解即可. （2）利用单调性定义法证明即可. （3）根据与时的单调性，求解不等式在定区间上有解问题即可. 【解答过程】（1）因为， 所以. （2）当时，设，则， ， 显然，， 当有一个值为0时，因为，所以有； 当时，因为，所以有； 当时，，所以有； 当时，，所以有； 综上，当时，必有， 当时，在上是单调递增函数； （3）由上知当时，在上是单调递增函数； 同理可证明：当时，在上是单调递减函数； 令，所以，可得，在时有解，等价于在时有解， 当时，由的单调性知，令，得； 当时，由的单调性知，令，得； 当时，无解； 综上，的取值范围这或. 【例8.2】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数b的值； (2)当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； (3)当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围. 【解题思路】（1）利用奇函数性质求解参数并检验； （2）利用单调性的定义按照步骤证明即可； （3）由题意函数在上的值域为函数在上的值域的子集，利用单调性求解的值域，分类讨论利用二次函数的单调性求解值域，然后列不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为函数为定义在上的奇函数，所以. 经检验为奇函数，所以. （2）由（1）可得，下面证明函数在区间上是减函数. 证明：任取，则有 . 再根据，可得，，，， 又，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减，则当时，，， 所以，记函数在区间内的值域为. 当时，在上单调递减， 则，，得在区间内的值域为． 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. 当时，为开口向下的二次函数，对称轴， 所以在上单调递减，则，， 所以在区间内的值域为， 因为，所以，所以，所以， 当时， （i）当时，，在上单调递减，且， 则，， 得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. （ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为， 所以，该不等式组无解； （iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为，不符合题意. 综上，实数m的取值范围为. 【变式8.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的奇函数且 (1)求函数的解析式； (2)判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论； (3)设，当，使得成立，试求实数的所有可能取值. 【解题思路】（1）利用题给条件列出关于a、b的方程，解之即可求得a、b的值，进而得到函数的解析式； （2）利用函数单调性定义去证明函数在上为增函数； （3）利用函数在上为增函数，构造关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【解答过程】（1）由在上的奇函数， 所以，则，则 由，得，所以.经检验符合题意； （2）函数在上增函数，证明如下： 设，且， 则， 又，所以，因为，所以， 所以，则， 故函数在上增函数； （3），使得成立， 即，使得成立， 即， ∵，即， 使得成立， ，使得， 即，且， 即且， 当时，， 即且，解得：. 【变式8.2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数. (1)求证：函数在定义域上单调递增. (2)若在区间上，；在上的图象关于点对称. （i）求函数和函数在区间上的解析式. （ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系. 【解题思路】（1）令，应用作差法判断的符号，即可证单调性； （2）（i）由题设函数为奇函数，且，即可求上，再应用奇偶性、对称性求区间上的解析式； （ii）根据题设可得在上单调递减，写出的分段形式，结合二次函数性质，讨论、求的最大值关于a的函数关系. 【解答过程】（1）任取，使，则 ， 因为，所以，则，故 所以函数在定义域上单调递增. （2）（i）令中，则，. 令，，即且函数定义域为R， 所以函数为奇函数. 由，则， 联立两式，可得， 所以，且，而， 令，则，故； 令，则，故； 综上，， 对在的部分，存在，其中， 则，所以对均成立. （ii），化简得， 则在上单调递减，， 若，即，此时在上递减，故， 若，即，此时，， 即在定义域上单调递减，所以. 综上所述，. 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数式可确定函数奇偶性，可排除C选项，再根据，，时值可排除B,D选项. 【解答过程】由题意知，且， 则，所以为奇函数，关于原点对称，可排除C选项， 又因当时，则，故可排除B选项， 当时，则，可排除D选项， 故选：A. 2．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解. 【解答过程】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 3．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由为奇函数可得，即可得，由为偶函数，则有，即可得，即有. 【解答过程】由为奇函数，则有， 则，即， 由为偶函数，则有，即， 则，即， 即，故D正确； A、B、C都不能得到，故A、B、C错误. 故选：D. 4．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知分段函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过分段函数的单调性，结合区间，转化求解的取值范围即可. 【解答过程】分段函数的图象如下：    函数的单调增区间为：，， 所以分段函数在区间上单调递增， 则或，解得：或， 故选：D. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【解题思路】根据函数为奇函数及函数图象关于轴对称可得函数周期为8，再求出一个周期内函数值的和，即可得解. 【解答过程】因为是奇函数，，所以的图象关于直线对称， 所以， 故，所以是周期为8的周期函数． 由奇函数知，， ，， ，，， 所以， 由于，所以， 故选：B. 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 7．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【解答过程】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以， 所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，则在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上，. 故选：D. 8．（24-25高二上·江苏·开学考试）若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于直线对称 D． 【解题思路】对于A：根据，赋值令，即可得结果；对于C：根据结合奇函数定义可得，即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得，即可得结果；对于D：分析可知：4为的周期，结合周期性分析求解. 【解答过程】因为，， 对于选项A：令，可得，故A正确； 对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则， 则，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于选项B：因为，可得， 则， 即，所以的图象关于点中心对称，故B正确； 对于选项D：因为， 令，可得， 令，可得， 又因为，则， 可知4为的周期，可得，即， 因为，所以，故D错误； 故选：D. 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【解题思路】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值. 【解答过程】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 当，即时，在上单调递减，所以， ， 所以，解得，不符合题意，故舍去； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或，两个解均舍去； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD. 10．（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【解题思路】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【解答过程】A选项，中，令得，， 又，故， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，，， 又，故， 又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 【解题思路】利用与得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用与得到为偶函数；利用得到，最后利用得到的值即可. 【解答过程】因为，所以． 又因为，所以． 又，则， 即，所以，故是周期为4的周期函数． 因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确； 因为，则，则， 所以，所以为偶函数，选项A正确； 因为，令，得，即， 令，得，即， 故，选项C正确； 由， 得 ， 所以，选项D错误． 故选：ABC． 三、填空题 12．（23-24高一下·全国·课后作业）已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 或 ． 【解题思路】根据奇函数的定义域关于原点对称的性质列方程求即可． 【解答过程】因为，为奇函数， 又奇函数的定义域关于原点对称， 所以，， 解得或， 故答案为：或． 13．（23-24高二下·福建三明·期末）已知是定义域为的函数，的图象关于点对称，且，当时，，则 . 【解题思路】由平移变换确定函数为奇函数，进而结合周期求出. 【解答过程】因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称， 即函数为奇函数，，即， 所以函数的周期为4， . 故答案为：. 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数对任意，，满足条件，且当时，，，则不等式的解集为 . 【解题思路】法一：利用赋值法结合函数的单调性定义可得该函数的单调性，结合题目所给条件可将原不等式转化为，计算即可得； 法二：可利用模型法设，结合题意可得满足题意条件，代入计算即可得，计算即可得. 【解答过程】法一：设，则， 当时，，， 则， 即，为增函数， ， 又，，， ，即，解得不等式的解集为. 法二：由，即， 可设函数，由，得，即， 即，满足当时，， 则不等式可化为， 即，解得，故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【解题思路】（1）先对函数解析式化简变形，再根据函数单调性的定义即可证明. （2）先根据判断的范围；再比较和的大小关系；最后根据函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】（1）证明：由题目条件得：， 任取， 则. 因为， 所以，， 则，即. 故在上单调递增. （2）解：因为， 所以. 又因为，当且仅当时，等号成立，而. 所以. 因为在上单调递增， 所以. 16．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数． (1)若在区间上是减函数，求a的取值范围． (2)若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 【解题思路】（1）分和两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数性质分析求解. 【解答过程】（1）由题意可知：，且二次函数的对称轴为， 若，则，解得； 若，则，符合题意； 综上所述：a的取值范围. （2）因为，则开口向上，且的对称轴为， 若，即时，则在区间上单调递增， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减， 可得； 若，即时，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 可得； 综上所述：. 17．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 【解题思路】（1）根据函数奇偶性的定义可得，结合可得，故可求函数的解析式. （2）根据单调性的定义可得在上为增函数； （3）根据（2）中的单调性可求不等式的解. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：， ∴，而，解得， ∴，． （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意，且， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以函数在上为减函数． （3）由题意，不等式可化为， 所以，解得,所以该不等式的解集为． 18．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足． (1)求证：是周期函数 (2)若，求的值． (3)若时，，试求，时，函数的解析式． 【解题思路】（1）由题意条件推出，得到函数的周期； （2）由（1）中的函数周期得到； （3）根据函数的周期和时的函数解析式，求出时的函数解析式，再由函数周期及，求出时的函数解析式，得到答案. 【解答过程】（1）证明：由题意知，则．用代替x得，故是周期为4的周期函数． （2）若，则． （3）当时，，则，又周期为4， 所以． 当时，，则， 根据周期为4，则． 又，所以． 所以解析式为 19．（23-24高二上·陕西安康·期末）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，证明：函数在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）先求函数的定义域，确定关于原点对称，然后利用奇函数的定义判定为奇函数. （2）任取，将通分，提取公因式，转化为数个因式的乘积的的形式，然后得到，从而证明函数在上单调递减. （3）化简整理，并利用换元法转化为恒成立.然后分与分别求解，综合得到的取值范围. 【解答过程】（1）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称. ， 所以是奇函数. （2）任取，则 . 因为，所以， 又，所以， 所以，所以函数在上单调递减. （3）. 令(且)，则有恒成立. 当时显然恒成立； 当时，因为对称轴为，故有，即. 综上所述，的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 函数性质的综合应用 【人教A版2019】 模块一 函数的单调性与最值 1．函数单调性的判断 (1)定义法； (2)图象法； (3)简单函数单调性； (4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； (5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 2．函数单调性的应用 函数单调性的主要应用有以下几个方面： (1)利用函数的单调性求参数； (2)利用函数的单调性比较大小； (3)利用函数的单调性解不等式. 3．利用函数的单调性求参数的方法 (1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. (2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解. 需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 4．利用函数的单调性比较大小的方法 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上. 5．利用函数的单调性解不等式的方法 解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可. 6．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【题型1 函数的单调性的综合应用】 【例1.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型2 函数的最值问题】 【例2.1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2.1】（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知函数在时有最大值. (1)求实数的值； (2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值. 【变式2.2】（23-24高一上·上海虹口·期末）已知是定义在上的奇函数，且时有． (1)写出函数的单调区间（不要证明）； (2)解不等式； (3)求函数在,上的最大值和最小值． 模块二 函数的奇偶性及其应用 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． (4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． (5)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 3．函数奇偶性的应用 函数奇偶性的主要应用有三个方面： (1)利用函数的奇偶性求值、求解析式：根据题目条件，利用函数的奇偶性，进行转化求解； (2)利用函数的奇偶性求参数： ①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程； ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值. (3)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型3 函数奇偶性的判断】 【例3.1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【变式3.1】（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【题型4 函数的奇偶性的综合应用】 【例4.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数是偶函数，定义域为R，且满足，其中，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【例4.2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【变式4.1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块三 函数的周期性与对称性 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数的对称性的应用】 【例5.1】（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高一下·湖北·开学考试）已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型6 对称性与周期性的综合应用】 【例6.1】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 【例6.2】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期是2 B．是奇函数 C．不一定是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【变式6.2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7 抽象函数的性质】 【例7.1】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【例7.2】（2024·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【变式7.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明 (2)解不等式： 【变式7.2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，. （1）判断的奇偶性； （2）讨论的区间上的单调性； （3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【题型8 函数性质的综合应用】 【例8.1】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数. (1)求； (2)当时，试运用函数单调性的定义判定的单调性； (3)设，若在时有解，求的取值范围. 【例8.2】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数b的值； (2)当时，用单调性定义判断函数在区间上的单调性； (3)当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围. 【变式8.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的奇函数且 (1)求函数的解析式； (2)判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论； (3)设，当，使得成立，试求实数的所有可能取值. 【变式8.2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数. (1)求证：函数在定义域上单调递增. (2)若在区间上，；在上的图象关于点对称. （i）求函数和函数在区间上的解析式. （ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系. 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知分段函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．－2 B．0 C．2 D．4 6．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏·开学考试）若函数是定义域为的奇函数，且，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于直线对称 D． 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 10．（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 11．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 三、填空题 12．（23-24高一下·全国·课后作业）已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 ． 13．（23-24高二下·福建三明·期末）已知是定义域为的函数，的图象关于点对称，且，当时，，则 . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数对任意，，满足条件，且当时，，，则不等式的解集为 . 四、解答题 15．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 16．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知二次函数． (1)若在区间上是减函数，求a的取值范围． (2)若，设函数在区间的最小值为，求的表达式． 17．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性； (3)解不等式. 18．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足． (1)求证：是周期函数 (2)若，求的值． (3)若时，，试求，时，函数的解析式． 19．（23-24高二上·陕西安康·期末）已知函数，． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，证明：函数在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$