第18讲 函数的应用（二）（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第18讲 函数的应用（二） 【人教A版】 模块一 函数的零点 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点】 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【变式1.1】（24-25高一上·广西·阶段练习）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【变式1.2】（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，则函数的零点为（   ） A．， B．， C． D． 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2】（25-26高一上·北京房山·期中）函数的零点所在的区间（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【题型3 求函数零点或方程根的个数】 【例3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3.1】（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3.2】（24-25高一上·福建厦门·期末）已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【题型4 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例4】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数有两个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 【变式4.3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数. (1)若，求关于的方程的解； (2)若关于的方程有三个不同的正实数根且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 模块二 二分法 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【题型5 用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】 【例5】（2026高三·全国·专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【题型6 用二分法求方程的近似解】 【例6】（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【变式6.1】（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【变式6.2】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【变式6.3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 【题型7 用二分法求函数的近似值】 【例7】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【变式7.2】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【变式7.3】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 模块三 函数模型的应用 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型8 指数函数模型】 【例8】（24-25高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（   ）（参考数据：） A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟 【变式8.2】（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高一上·江苏泰州·期末）党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量（单位：mg/L）与时间（单位：min）的关系为，其中，是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤（    ）才能排放（结果保留整数，参考数据：）. A．7 B．8 C．9 D．10 【题型9 对数函数模型】 【例9】（25-26高三上·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（   ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 【变式9.1】（24-25高一下·辽宁·开学考试）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的（    ） A．20倍 B．倍 C．10倍 D．100倍 【变式9.2】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式9.3】（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高一上·北京·期中）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南·月考）研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（，为常数）．若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 4．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 6．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26高一上·广东佛山·期中）如图，某湖泊蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法不正确的是（    ）    A．蓝藻面积每个月的增长率为 B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第4个月时，蓝藻面积就会超过 D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有 8．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为 ． 13．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）国家速滑馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为（为最初污染物数量）.如果前4h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为 . 14．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 16．（25-26高一上·浙江·期中）地震的里氏震级与地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：，其中焦耳（是一个参考能量值）． (1)若某次地震释放的能量约为焦耳，求其里氏震级（精确到0.1级）； (2)若地震每增加1级，则能量约是原来的多少倍（精确到0.1倍）？ （参考数据：） 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，其中为常数，且． (1)若是奇函数，求的值； (2)证明：在上有唯一的零点． 18．（25-26高三上·北京·阶段练习）某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）． (1)求出该模型的函数解析式； (2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？ （参考数据：，，月份保留到整数） 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 函数的应用（二） 【人教A版】 模块一 函数的零点 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点】 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【解题思路】直接解方程即得函数的零点. 【解答过程】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一上·广西·阶段练习）函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域，根据零点的定义结合对数的运算求解即可. 【解答过程】由题意可得，解得，故的定义域为， 令，得，即， 因为函数在定义域内单调递增，所以， 整理得，解得或， 又，所以. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的零点是1可得，代入令即可求得的零点. 【解答过程】由题意可得，可得； 可得， 令，因此， 解得或或； 因此函数的零点是. 故选：D. 【变式1.3】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数，则函数的零点为（   ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【解题思路】令分段求解即可. 【解答过程】因为， 当时，令，解得， 当时，令，解得（舍去）， 所以函数的零点为. 故选：C. 【题型2 零点存在性定理的应用】 【例2】（25-26高一上·北京房山·期中）函数的零点所在的区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定函数，构造函数并确定单调性，利用零点存在性定理推理判断. 【解答过程】函数的定义域为，而， 当时，，令函数， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又， 因此函数的零点在上，所以函数的零点在上. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据零点存在定理求解即可. 【解答过程】因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的单调性和零点存在定理计算判断即得. 【解答过程】在上单调递增，，在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，， 函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】首先判断函数的单调性，再由零点存在性定理判断即可. 【解答过程】因为函数定义域为，与均在上单调递增， 所以在上单调递增，又，即， 由零点存在性定理可得，的零点所在区间为，所以． 故选：B． 【题型3 求函数零点或方程根的个数】 【例3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可. 【解答过程】当时，令，解得， 当时，，， ，所以在上存在零点， 又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点． 综上，的零点个数为2. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【解答过程】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 【变式3.2】（24-25高一上·福建厦门·期末）已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案. 【解答过程】设，则化为， 又， 所以，， 作出函数的大致图象，如图 由图可得，当时，有两个根，， 即或，此时方程最多有5个根； 当时，有三个根， 即或或， 此时方程最多有6个根； 当时，有两个根，即或， 此时方程有4个根； 当时，有一个根，即， 此时方程有2个根； 综上，方程的实数解的个数至多是6个. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高一上·福建龙岩·期末）若函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】B 【解题思路】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【解答过程】由得， 在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 记，因此时，， 函数的零点个数，即的正解的个数，即的正解的个数， 即函数与函数的交点个数， 令，它在上是减函数，，，，，当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有三个交点， 所以的零点个数为3. 故选：B． 【题型4 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例4】（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数有两个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题转化为直线与函数的图象有两个交点问题，再利用数形结合求解. 【解答过程】由函数有两个零点， 得直线与函数的图象有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    观察图象，当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以m的取值范围是. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论. 【解答过程】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若有两个零点有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）由函数的零点转化为方程的根，设，利用数形结合法求解； （2）先根据有两个零点和有两个零点，得到，然后由，，利用对数运算构造求解. 【解答过程】（1）解：函数的零点即方程的根， 设， 则函数的零点个数转化为方程根的个数. ， 显然在上单调递减，在上单调递增， 故. 所以，当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有2个零点. （2）由（1）知有两个零点，则， 有两个零点，则有两个根， 令，则有两个不同的交点， 如图所示： 则，综合可得. 结合（1）即，可知，即. 同理可求得， 所以， ， 当且仅当即取等号，所以. 因此的取值范围为. 【变式4.3】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数. (1)若，求关于的方程的解； (2)若关于的方程有三个不同的正实数根且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据题意得由，分类讨论与两种情况去掉绝对值即可得解； （2）（i）分段讨论的解析式，结合对勾函数的性质分析得的单调性，进而得到关于的不等式，解之即可得解；（ii）利用（i）中结论，分析得与关于的表达式，进而得解. 【解答过程】（1）当时，， 则由，得， 当时，则，即，解得或（舍去）； 当时，则，即，无实数解， 综上，. （2）（i）因为， 当时，， 当时，， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 易知在上单调递增， 当时，则在上单调递增，在上单调递增， 又当时，，所以在上单调递增， 故方程不可能存在3个不同正实根， 所以，则在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 故，解得， 即的取值范围为； （ii）是方程，即的两个根，故， 是方程的较大根，即的较大根， 则且在区间上单调递减， 所以. 模块二 二分法 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【题型5 用二分法确定函数零点（方程根）所在的区间】 【例5】（2026高三·全国·专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据零点存在性定理可知结果. 【解答过程】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二分法即可判断. 【解答过程】由题意，，，，，， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二分法的定义和计算方法求解即可. 【解答过程】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为， 故选：B. 【变式5.3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解. 【解答过程】由二分法可知，第一次计算，又，， 由零点存在性定理知零点在区间上， 所以第二次应该计算，又， 所以零点在区间上． 故选：A． 【题型6 用二分法求方程的近似解】 【例6】（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解题思路】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【解答过程】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【解题思路】由图表知，故由二分法思想再取的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【解答过程】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 【变式6.2】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【解题思路】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【解答过程】 ， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 【变式6.3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示， 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（   ） A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125 【答案】D 【解题思路】由零点存在性定理和，得到方程的一个近似根为1.3125. 【解答过程】由于在R上为连续函数， ，， 且， 而，均不合要求， 故方程的一个近似根为1.3125，D正确 故选：D. 【题型7 用二分法求函数的近似值】 【例7】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数单调性结合零点存在性定理分析零点所在区间，再根据二分法可得结果. 【解答过程】根据题干所给数据可知，，，且函数在上为增函数， 由零点存在定理可知，函数的唯一零点在区间内， 区间长度为，结合选项可知，其近似值为. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高一上·全国·课后作业）借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【答案】A 【解题思路】利用零点存在性定了即可判断. 【解答过程】因为，故的零点在区间内， 区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 此时区间长度，因此1.5625是一个近似解． 故选：A. 【变式7.2】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【解题思路】根据二分法的性质即可求解. 【解答过程】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B. 【变式7.3】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【解答过程】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C. 模块三 函数模型的应用 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型8 指数函数模型】 【例8】（24-25高一上·湖北·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【解答过程】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（   ）（参考数据：） A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟 【答案】C 【解题思路】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题意可知，， 即，则，即， 即至少大约需要的时间为42分钟. 故选：C. 【变式8.2】（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意，时，求时的值. 【解答过程】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D. 【变式8.3】（24-25高一上·江苏泰州·期末）党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量（单位：mg/L）与时间（单位：min）的关系为，其中，是常数.若时，该类污染物的含量降为过滤前的，那么废气至少需要过滤（    ）才能排放（结果保留整数，参考数据：）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解题思路】依题意可得，两边取对数求出的值，再令，根据指数与对数的关系及对数的运算法则计算可得. 【解答过程】解：依题意可得，所以，两边取对数可得， 所以，则， 所以，令，即，所以， 即， 所以， 所以废气至少需要过滤 才能排放. 故选：C. 【题型9 对数函数模型】 【例9】（25-26高三上·北京房山·开学考试）生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（   ） A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟 【答案】A 【解题思路】由题意可知，，求出，再代入，结合对数的运算性质，即可求出的值. 【解答过程】由题意可知，，解得， 若一只小狗的体重为克，则 ， 即， ， 比较选项，，， 所以最接近的脉搏率， 故选：A. 【变式9.1】（24-25高一下·辽宁·开学考试）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的（    ） A．20倍 B．倍 C．10倍 D．100倍 【答案】D 【解题思路】根据给定条件求得，再分别求出取7和5时的即可得解. 【解答过程】由，得，当时，，当时，， ，所以“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的100倍. 故选：D. 【变式9.2】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【解题思路】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【解答过程】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 【变式9.3】（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得，即，再分析求解即可. 【解答过程】由题意知，所以， 即，计算得，即， 解得，所以燃料质量约为. 故选：C． 一、单选题 1．（25-26高一上·北京·期中）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【解答过程】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可. 【解答过程】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 3．（25-26高三上·河南·月考）研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（，为常数）．若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】C 【解题思路】依题意，列出关于的方程组，利用对数的运算性质，求出的值，即得函数的关系式，将代入，利用指对数互化计算即得答案. 【解答过程】依题意，， 解得，，则时，， 则焦耳. 故选：C. 4．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【解答过程】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解题思路】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【解答过程】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 6．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【解答过程】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C. 7．（25-26高一上·广东佛山·期中）如图，某湖泊蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法不正确的是（    ）    A．蓝藻面积每个月的增长率为 B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第4个月时，蓝藻面积就会超过 D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有 【答案】B 【解题思路】根据图象过的点求出函数解析式，分别计算增长量，增长率可判断AB，根据解析式计算判断C，利用指数式与对数的转化，由对数运算可判断D. 【解答过程】因为，图象可知，函数过点，则，即函数解析式为， 对于A，蓝藻每月的增长率为，即增长率为，故A正确； 对于B，因为不是常数，所以蓝藻每月增加的面积不相等，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由题，故， 又，所以，故D正确. 故选：B. 8．（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有 ，然后利用函数单调性求解范围即可． 【解答过程】作出函数的图象如下图所示：    若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以 ，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】作出与的图象，可判断有两个零点，即可结合零点存在性定理求解. 【解答过程】令可得，函数的零点即为方程的根， 作出函数与的图象，由函数图象可知，两函数图象有两个交点， 则存在两个零点． 又因为， 而，存在，使得，， 所以函数的零点所在区间为和，A，D正确，B，C错误． 故选：AD. 10．（24-25高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】根据二分法的适用条件可得出合适的选项. 【解答过程】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点. 故选：AC. 11．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 【答案】BCD 【解题思路】分析函数的性质，将方程零点问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再作出函数图象，利用图象，结合二次函数性质逐项求解判断. 【解答过程】函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为；在上单调递减，函数值集合为， 方程恰有3个不同的实数根，即函数的图象与直线有3个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图： 对于A，的取值范围是，A错误； 对于B，为方程，即的两个根，，B正确； 对于C，由，得，又，解得， 因此，C正确； 对于D，由选项B知，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，而，则， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为 ． 【答案】 【解题思路】根据二分法逐进行求解即可. 【解答过程】因为，所以在内函数必有零点， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 而， 所以方程的一个近似根精确到为， 故答案为：. 13．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）国家速滑馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为（为最初污染物数量）.如果前4h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为 . 【答案】4 【解题思路】先列出关于还需要过滤时间x小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为4小时. 【解答过程】根据题意有，，可得，即 设污染物消除至最初的还需要过滤x小时， 则，即 则，即， 则，解之得 故答案为：4. 14．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】或 【解题思路】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【解答过程】令 ， 所以或，如图，画出函数的大致图象，    时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【答案】 【解题思路】由零点的存在性定理，用二分法，逐步计算，直到区间长度小于等于为止，最后所得区间内的任何一个数均可作为函数的零点. 【解答过程】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 16．（25-26高一上·浙江·期中）地震的里氏震级与地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：，其中焦耳（是一个参考能量值）． (1)若某次地震释放的能量约为焦耳，求其里氏震级（精确到0.1级）； (2)若地震每增加1级，则能量约是原来的多少倍（精确到0.1倍）？ （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用对数的运算法则求解即可； （2）设地震原来的里氏震级为，对应的能量为，地震每增加1级后的里氏震级为，对应的能量为，可得，利用对数的运算求解即可. 【解答过程】（1）由题可得：， 所以 （2）设地震原来的里氏震级为，对应的能量为，地震每增加1级后的里氏震级为，对应的能量为， 所以，， 所以，即， 解得：， 所以地震每增加1级，则能量约是原来的倍. 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，其中为常数，且． (1)若是奇函数，求的值； (2)证明：在上有唯一的零点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由奇函数的性质有，求解即可； （2）根据指数函数、分式型函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性判断区间零点个数，即可证. 【解答过程】（1）函数 的定义域为，关于原点对称， 由是奇函数，得 ， 解得； （2）函数，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，又在上单调递增， 因此在上单调递增， 而，， 所以在上有唯一的零点. 18．（25-26高三上·北京·阶段练习）某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）． (1)求出该模型的函数解析式； (2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？ （参考数据：，，月份保留到整数） 【答案】(1)（）. (2)个月 【解题思路】（1）利用指数函数模型，结合经过2个月和3个月时的覆盖面积，列方程组求解； （2）先求出初始投放面积，再根据生物面积是初始投放的倍列方程求解． 【解答过程】（1）该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间（）个月的关系适合函数模型（，）， 又经过2个月其覆盖面积为平方米，经过3个月其覆盖面积达到平方米， ，解得， ∴该模型的函数解析式为（）． （2）， 当时，， 此生物的初始投放面积为平方米， 设经过个月该水域的生物的面积是当初投放的倍，则 ，即，解得． ，取， 约经过个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合函数图像，即可求出的取值范围； （2）是方程的两根，则有，即，是方程的两根，根据韦达定理得，进而可求的值． 【解答过程】（1）由，得，作出的大致图象， 如图所示， 结合图像可知的取值范围是． （2）由知，是方程的两根，所以， 故，即； 又是方程的两个根，即方程的两个根， 所以，所以． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $