专题集训40 圆的综合题(一)-【授之以渔】备考2025年中考数学全国各地市试题(最新真题、模拟题)分类汇编

专愿集训40刻的综合题（一） 2.(224·某龙江换化》（本小避D分》 3(23·新江枕剂)（表小题12分） (总分：的分限时：用分钟) 如周1,0是正方形AD对角线上一点.以0为图心，C长为半 如图，在⊙0中.直径AB垂直弦CD于点E,连接AG,D.C,作 ： 林电：了 得分： 径的©0与A》相切于点E,与AG交于点F CF⊥AD于点F,交线段星于点G(不与点0，罪重合)，连接F (1)求证：AR与O0相切： 《I》若BE=1,求E的长： 解答愿（共分） (2)若正方形AD的边长为2+1，求⊙0的半径： (2求证：C=G·0: 1.{224·北京)（本小题了分） (3)知图2，在(2)的条件下，暑点材是半径0C上的一个场点.过 (3)若0-FG,猜想∠CD的度数，并E明你的结论 在平面直角坐标系小中，回0的半径为1.对于回0的弦B和 不在直线AB上的点C,给出如下定文：若点C关于直线AB的对 点M作N⊥C交E于点X.当C:F=:4时，求CV的长 称点G在⊙0上或其内都.L∠4片=.划称点C是：A5的a 可及点” (1)如，点401).B1,0) ①在点c(2.0).G1,2).c(20中.点 是弦AR的a (第3赠) 可及点”，其中m” 4第1题) 2若点D是弦A的90可及点”，期点D的桃坐标的悬大值为 (2》已知P是直线y=,5x-3上一点，且存在⊙0的点N,使得 点P是弦N的60可及点”，记点P的横坐标为，直接写出1的 取蓝范班 (第1题1 79 4.(2m3,潮南卷底)表小避9分) 5,(22·广画梧州模拉)（本小超12分》 6(224,第南)（本小是10分》 知图1，点G为等边三角形汇的重心，点D为C边的中点，连 已知⊙0是△C的外接圆，D是∠AG的平分线，交⊙0于点 【问竖背景】 接GD并廷长至点0，使得0=DG,连接G,6C,B,0C D,过点D作EAAC,交C的延长线于点E. 已知点A是半径为r的⊙0上的定点，连接04，将线段04绕点) (1》求证：四边形mG是菱形： (1)小明新究发观，点作在AG上，如图1.连接00，D,CD,时证 按逆时针方向院转a(0°<a<0)得到E.连接AB,过点A作 (2》如图2，以点0为置心，0G为半径作⊙0 明低是⊙0的切线，现在请保证明这个结论： ⊙0的切线1.在直线/上取点G,使得LC4E为锐角 ①判斯直线B与⊙0的位置美系，并子以证明： (2)若点0不在C上，如因2 【初步感知】 2如图3，点M为劣薰BC上一动点（与点B,点C不重合），连接 ①E是⊙0的切线是否还载立若成立，请证明：若不成立，请说 (1}如阁1，当a=60时，∠C4E-: W并廷长交AC于点E,连後C井廷长交AB于点F,求证：E+ 明理由 【问抛探究】 F为定值 2证明：8=AB·E (2)以线段AG为对角线作矩形ABCD,使得边AD过点E,连接 E,对角线C,D相交于点尺 如图2，当AC2:时，求正：无论：在给定的范围内如何变化 C=CD+D总成立； ②如图3，当C-多德·时，请补全图形，并求ma及瓷 谓2 的算 (第5道 图2 3 (第4题) 2 (第6题) 80参考笞富愕丝 “点P的坐标为，)】 直线AQ的表达式为y=k(x+1) (2)如图，当点K'在x轴上方时， 过点C作CK'∥x轴交抛物线于点K', y C 将点Q的坐标代入得-子㎡+ 3m+2=k(m+ 则∠K'CB=∠ABC. 1), ∴.点C,K'关于抛物线对称轴对称， “点K'(2,2) 则=子m-3. 当点K在x轴下方时， 直线40的表达式为y=-号(m-3x+1. 设直线CK交x轴于点H, 由抛物线的表达式知，点B(3,0) 3m+4, ∠KCB=∠ABC,∴.CH=HB. 当=1时=-子m-3+): 设点H(x,0),则2+x2=(3-x)2 .EM=- 4 3m+4 解得x=名点川各 由点C,H的坐标，得直线CH的表达式为 同理可得，直线0的表达式为y=一号（a+) y=、 (x-3) 5+2. 当x=1时，y=- 号(m+1(x-)=亭m+ 22 4 =-3+3x+2, 联立 12 3=EN, =- 5t+2, ∴.EM+EN=- 3m+4+ 4 和+号-5为定值。 4 4 3t+2= 1 5t+2. 解得x=28 即EM+N的值为定值，定值为 专题集训40圆的综合题（一） 六点K的坐标为（停-曾）， 1.解：(1)①C245 综上，点太的坐标为(2,2)成（袋） ②1+2 2 (3)设点Q的坐标为(m,-子m2+子m+2列， 2 （2)1的取值范憫是3≤1<或1< ·91 试题分类数学 1s3+g 设CM=k, 4 C:FM=1:4. 2.(1)证明：如图，连接0E,过点0作OG⊥AB于 ∴.CF=CM+FM=5k. 点G. ∴.0C=0N=2.5k. ∴.OM=OC-CM=L.5k 在R△OMN中，由勾股定理得：MN=2k. 在RL△CMN中，由勾股定理得：CN=√5k 又：FC=5k=2R=2×2=22, .⊙O与AD相切于点E, 6 5 .OE⊥AD. :四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对 GW=5×22210 5 5 角线， 3.(1)解：AB⊥CD,CF⊥AD, ∴.∠BAC=∠DAC=45°..OE=OG ∴.∠BAD+∠D=∠BAD+∠AGF=90. :OE为⊙0的半径，.0G为⊙0的半径. ∴.∠D=∠AGF :0G⊥AB,.AB与⊙0相切. 又，∠B=∠D,∠AGF=∠CGB. (2)解：如图. .∠B=∠CGB.CB=CG 又.AB⊥CD,∴.GE=BE=1. (2)证明：连接OC. .OC=OB,∴∠OCB=∠B=∠CGB. 又.'∠OBC=∠CBG, B △0CBn△cGR82-8% AC为正方形ABCD的对角线， .BC=BG·BO ∴.∠DAC=45 (3)∠CAD=45° ⊙O与AD相切于点E, 证明：延长FO交AC于点H. ∴.∠AE0=90° FO=FG. .AE OE. ∴.∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B. 设AE=OE=OC=OF=R, ∴.FO∥BC 在Rt△AEO中， ,AB是⊙O的直径，，∠ACB=90 AE2+E02=A02,.A0=R2+R2 ∴.FH⊥AC.∴.AH=CH..FA=FC R>0,.A0=2R ∴.△ACF是等腰直角三角形..∠CMD=45 又：正方形ABCD的边长为2+1， 4.证明：(1)，D是BC的中点，∴BD=CD. 在Rt△ADC中 又.D0=DG, AC=AD+CD=√2(2+1). 二四边形BOCG是平行四边形， .0A+OC=AC, 连接AG. ∴.N2R+R=w2(W2+1).∴.R=2 :点G是△ABC的重心，D是BC的中点， ∴A,G,D三点共线 ∴.⊙0的半径为√2 ,:△ABC是等边三角形，∴.AD⊥BC. (3)解：如图，连接FV,ON. ∴.四边形BOCG是菱形. (2)①直线AB与⊙O相切. :△ABC是等边三角形，.∠ABC=60° :点G是等边三角形ABC的重心， ∴，∠GBC=∠GBA=30° :四边形BOCG是菱形. ·92· 参考答室摆整 ∴.∠GBC=∠0BC=30°.∴，∠OBA=90° ∴.OD⊥DE. 0B是⊙0的半径， :OD是⊙0的半径， :.直线AB与⊙0相切. .DE是⊙O的切线. ②.△ABC是等边三角形， B ∴.BC=AC,∠A=∠ACB=60° .0B=0C,∴.∠0CB=∠0BC=30. ∴.∠B0C=120 ∠Bnc=7(360P-∠B0)=12o ∴.∠CBE+∠BCM=60 图2 图3 :∠ACF+∠BCM=60°，∴.∠ACF=∠CBE. ②证明：连接AD,如图3. .△ACF≌△CBE(ASA).∴.AF=CE. :BD是∠ABC的平分线， ∴，AE+AF=AE+CE=AC,即AE+AF为定值 ∴.∠ABD=∠CBD. 5.(1)证明：连接OD,AD,CD,如图1. :DE∥AC,∴.∠ACB=∠E ∠ADB=∠ACB,∴.∠ADB=∠E. :∠ABD=∠CBD,∴.△ABDn△DBE AB BD ·BDBE D ,BD=AB·BE. 图1 6.解：(1)30 :DE∥AC,∴.∠ACD=∠CDE (2)①证明：：四边形ABCD是矩形，AC=2r, AC是⊙0的直径，，∠ABC=90. ∴.OA=OE=CF=DF=r BD是∠ABC的平分线， .'∠OAC=∠ADC=90°. ∴.∠ABD=45°.·∠ACD=∠ABD=45. ∴.∠OAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD. .∠CDE=45. .∠OAE=∠ACD.,OA=OE,CF=DF, OC=OD,∴.∠ODC=∠ACD=45° .∠OAE=∠OEA=∠ACD=∠CDF. ∴.∠0DE=∠0DC+∠CDE=45°+45°=90. 在△OAE和△FCD中， .OD⊥DE. r∠OEA=∠FDC …0D是⊙0的半径. ∠OAE=∠FCD ∴，DE是⊙O的切线. LOA=CF (2)①DE是⊙O的切线还成立. ∴.△OAE≌△FCD(AAS). ∴.AE=CD 证明：连接OD,CO,延长CO交⊙0于点F,连接 AD =AE ED, FD,如图2， ∴.BC=CD+ED. DE∥AC,.∠ACD=∠CDE. 即无论：在给定的范围内如何变化，BC=CD+ ∠ABD=∠ACD. ∴，∠ABD=∠CDE. ED总成立 ②解：补全图形如图. :BD是∠ABC的平分线， .∠ABD=∠CBD ∠F=∠CBD,∴.∠F=∠ABD ∴.∠F=∠CDE 又，CF是⊙O的直径，∴.∠FDC=90 .∠F+∠FCD=90°，∴.∠CDE+∠FCD=90° H OC=OD,.∠ODC=∠FCD. ∴.∠ODC+∠CDE=90. .∠0DE=90. ·93· 试题分类数学 :AC是⊙O的切线，.∠OAC=90° 如图. 设0A=3m,则4C=号=4m,0C=5m 能-号，0E=0A=3m, .CE 2m,OE CE =5m=OC. D 即点E在线段OC上， ∠BA,C=60°，∠A,BC=90° 4 lana=tan∠A0C=3 .∠C=30°，A,C为⊙0的直径. ⊙0的半径为5， 如图，过点O作OH⊥AE,垂足为H,则AH=EH. .∠OHE=90°=∠D,∠OEH=∠CED, AC=10,A,B=2AC=5.BC=55 .△OEH∽△CED, .EH OE 3 由①知，BD=CD ·ED-CE=2 设EH=AH=3a,则DE=2a, =c 22,∠BMD=90 .AD =AH EH ED =8a. ∠FBC=180°-∠A,BC=90°，∠FDM=90°， 在Rt△ACD中.CD=AC2-AD=16m2-64a2, .四边形BFDM是矩形. 在Rt△CED中，CD2=CE2-ED2=4m2-4a2, 六16m-64a2=4m2-4d2,解得a=5 =侧=3海 当∠A,CB为直角时，连接OD,BD,如图. ·BC=AD=85 5 m.CD=CE-DE 4/5 5 m=AB. 45 .5m ·.BC 85=2 了m D 专题集训41圆的综合题（二） :∠A,CB=90°，∠BA,C=60°， 1.(1)证明：连接0B,OC,OD. .A,B是⊙0的直径，∠A2BC=30° :∠BAC=60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D, :DF∥BC..∠F=∠A,BC=30°. ÷∠BAD=3∠BAC=30 :DF与⊙0相切，∴.∠FD0=90° ∴.0F=20D=10. .∠BOD=2∠BAD=60. .DF=0F-0D=√102-5=55. .BD的度数是60° 由图可知，当A由A运动到A(不包括A,,A2) B为定点， 时，△ABC是锐角三角形， D为BC上一定点 <DF<53. (2)解：①DF与⊙O相切. F的取值范图是 理由如下： 2.解：(1)如图，连接OA,OB. 连接OD. ,∠BAC的平分线交⊙O于点D, N(B) .∠BAD=∠CAD BD CD.:OD L BC. .DF∥BC,.OD⊥DF :0D为⊙0的半径， ,⊙0的半径为3，AB=3. .DF与⊙0相切； ∴.OA=OB=AB=3. ②当∠A,BC为直角时，连接OD交BC于点M,△AOB为等边三角形..∠AOB=60°. ·94