专题集训21特殊的平行四边形(一)-【授之以渔】备考2025年中考数学全国各地市试题(最新真题、模拟题)分类汇编

6.(2024·黑龙江龙东地区)如图,萎形ARC沙中,点0是RB的中 专题21 特殊的平行四边形(一) 二、填空题(每小题3分,共15分) 点.AV1C.足为.AV交于点0-2.=8. (总分:0分限:0分钟) 11.(2023·)如图.在形ABCv中.A-10.B-60.AC 的长为 ) 也: : 的长为_ cs 在2 A.5 ## 一、选择题(每小题2分,共20分) 1.(2024·W川成考)如图,在矩形ADCD中,对角线AC与BD相交 干点67.则下列结论一定正确的是 (第11题) A.A-AD B.AC1 (第12题) C.AC-m D. 7ACB-LACD 12.(2023·新江合州)如图,短形ABCD中.AB=4.AD=6.在AD 上取一点E.使B=BC.过点C作CF1B.足为点F.则BF (6题) (第题) (8题) 的长为_。 7.(2023·重庆考B)如图,在正方形A2C沙中.0为对角线AC的 3.(2023.山东末A)如图.在正方形A2CD中.对角线AC与程 中点,E为正方形内一点.连接,-副.连接(并延长,与乙A 交于点0.E为RC上一点,CE=7.F为DF的中点.若△CEF的 的平分线交于点F.连接0F.若AB=2.则0r的长为 ) ()题) (高:题) (第2题) 周长为32,则0F的长为. A.2 B.) C.1 D. 2.(2024·山东道)如图.已知A,iC.C沙是正*边形的三条边 8.(2023·)如图.ABCD的积为12.AC=D=6.A {## 在间一平面内,以2C为边在该正:边形的外部作正方形BCM () 若乙ABV:120则。的值% 与D交于点0.分别过点C.D作D.AC的平行线相交干点F 1.6 C.8 A.17 B.10 点C是CD的中点,点P是因边形0CFD边上的动点,则PG的最 3.(2023·河)知图.在B八A&C中.AB-4.点M是斜边BC的中 小值是 (第13题) (第14题) B. C} D.3 A1 第15题 点,以AV为边作正方形AMEE若8r=16.则S 14.(2024·用阳)如图,四边形ARC>是短形,△A7G是正三角 . 9.(2024·内案古选过)如图.一ABCD的对角线AC.交于点0. A.45 8.8 C.12 ) 形,点F是CP的中点,点P是矩形APCD内一点,且APPC是以 D. 16 以下不能环明口A阅CD是萎形的是 C为底的等照三角形,刻△PCD的面积与AFC》的面视的比值 4.(2023·堂)如图.在正方形APCD中.对角线AC.R相交 A.乙aC-6CA B 乙.AB-CP 是_ 于点0.E.F分别为A0,D0上韵一点.且FF/AD.连接AF,DE. C.O.0r-A0 D.A.0-0p 15.(2024·9川文实)如图,正方形ADCD的达长为1..V是边 若乙FAC-15.刚2AED的度数为 ) 8C.CD上的动点.若乙4V-45则MV的题小值为 B.% A.8 C.105* D.115* 三.幅答题(共45分) 16(2023·题)(本小题10分) 如图 AD和BC相交于点0.A限0-DC0-90.0-C (第。题) (第10题) 点.F分别是A0.D0的中点 10.(202·川风山)如图,在正方形ACD中点是(C上一点. (第5) (第4题) (1》求证:0=0f 延长CB至点F使BF=D.连接A,Ar.,F交A于点 5.(2024·长沙)知图.在形AACD中.A-6.乙B-30.点E (2)若乙A=30,求证:回边形F是 过点A作A61E.足为点Iπ.交CF干点G.连接D.PC下列 是既边上的造点,连染A,题,过点A作A上题干点.设 愁. 0=x.A?-y.则,与:之问的画数析式为(不考虑自变量:的 四个结论:A=IC:②I=cD;③.AB=DI;④A -. 0-②}其中正确结论的个数为 ) 丽) 2 (第16题) A1 .-18 B.2 C.3 D.4 3 17.(2023:共共用)(本小题6分) 19(20·热长)(本小题8分) 2(2024·河)(本小题10分) 如图、短形A视CD的对角线AC与相字干点0.(00直线 【同题呈现】小明在数学容趣小组活活时遇到一个几.何问题:加 情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心0为顶点的等腰直 CE是线段00的直平分线.C分别交0D,AD于点F.6.连 图1.在等边三角形ARC中,AB=3.点.V分别在边AC,BC上. 角三形后得到的,这纸比词过建效,可拼接为图2所示的钻石 提D HAM=CV.试探究线段MV长度的最小值 可不是,数据如例所 (1)判断回边形oCDE的形,并说明理由; 【词题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点题转化为单 (说明:纸片不折叠,拼接不重叠、无建隙、无剩会 动点问题,再涵过定角发现这个法点的运动路径,进面解决上 (2)当cō4时.求的长 操作 嘉离将洲1所示的纸片遥过裁剪,拼成了钻石犁五边形 几向同题 如图3.嘉沿线F,Cf截剪,将该纸片朝成①,②.③三块, 【问题解决】如图2.过点C.M分别作VV.C的平行线.并交干 再接照图4所进行接接,根据高的要拼过程,答间题 点P作射线AP (1首接写出线段的长 在I阅题呈现】的条件下,完成下列问题 (2)宜接写出图3中所有与线段础相等的线段,并计算H (1)i证明:AM-P: (17基) 的长 1.线段V长度的最小值为 (2)CAP的大小为 探究 洪其说:将图1所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼 钻石型五边形 【方法皮用】某种简易房险在整体运输前置用钢经绳进行加因处 请你按翻泄泄的说法设计一种方案;在图5所示纸计的2C边上 理,如图3.小刚收集了该房短的相关数报,并面出了示意图,知 找一点?(可以借助度尺或随规).画出夜线(线段P0)的位 图4.△ABC是等腰三角形,四边形RCDE是矩形,AB=AC 置,并直接写出P的长 CD=2米,乙AC=30.V7V是一条两塌点位置和长度均可调 的经绳,点过在AC上.点V在第上.在型整枢经提点位 18.(20024·查用)(本小题10分) 时,其长度也随之改变.担需始终保持AV-DV.相经绳V长 如图,四边形AC的对角线AC与限相交于点0.AD/BC 的最小值为_米. 图 .ArC-00,有下列条件: #### ①AB/cD②AD-BC ## (1)请风上②中任选1个作为条,求证:到达形4词D是 短稻: 图: 团2 图{ (2)在(1)的条件下.若AB=3.AC-5.求国边形ABCD的面积 图4 ③4 (题) 图5 (第20题) (第18) 40参考笞案摆幽 ∴.AG∥CE,即AN∥CM. AD=ED 同理可得四边形AFCH是平行四边形， 在△ADH和△EDB中， ∠D=∠D. .AM∥CN DH DB .四边形AMCN是平行四边形. ∴.△ADH≌△EDB(SAS). (2)解：连接HG,AC,EF ∴.BE=AH.,BE=2AP :点H,G分别是AD,CD的中点， 专题集训21特殊的平行四边形（一）】 .HG/AC,HG-AC. L.C解析：本题考查矩形的性质.四边形ABCD 是矩形，.AC=BD,∠ADC=90°，AD=BC,AD .△HNG∽△CNA.∴ HN HG 1 CN-AC-2 BC,0A=7ACAC⊥BD,LACB=LACD不 SA4_H八=1 一定成立，AC=BD一定成立，AB=AD不一定成 立，故选C 同理可得匹。 2.A解析：本题考查正多边形的性质.，四边形 BCMN是正方形，∴∠WBC=90°.∠ABN= 1 1 120°，.∠ABC=360°-90°-120°=150°，.正 Smm+=(Sou+Soue)=w=2 n边形的一个外角为180°-150°=30°，.n的 SGAFCH SAA+SAFMC+SGAMCN=6. :点F,H分别是BC,AD的中点， 值为=12，故选人 六.SAABF=S△Aer,Saem=SAcr 3.B解析：本题考查正方形的性质、直角三角形 六.Sa4cn=2Sam=12. 斜边中线的性质、勾股定理.S医方wr=16, 23.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形. ∴.AM=√I6=4.:在Rt△ABC中，M是斜边BC .AD=BC,AD∥BC, 的中点，.BC=2AM=8,∴.AC=√BC-AB= .∠OAD=∠OCB,∠ODA=∠OBC, ∴.△OAD≌△OCB(ASA). 8-4=45Sam=4B·AC=x4× .0A=0C,OB=0D. 4V5=85.故选B. (2)BE =2AP. 4.C解析：本题考查正方形的性质、全等三角形的 证明：如图，过点B作BH∥AE交DE于H,连接 判定及性质.，四边形ABCD是正方形，∴.AO= PH,CH, m,LA0=90F∥A0.8咒-. .OF=OE,·△AOF≌△DOE(SAS),∴.∠FAO= ∠ED0=15°，∴.∠AED=∠E0F+∠ED0=105°.故 P. 选C 5.C解析：本题考查菱形的性质.如图，过D作 D H DH⊥BC交BC的延长线于H,在菱形ABCD中， ∴.∠DBH=∠BAC=60. AB=6,AB∥CD,AB=CD=AD=6,AD∥BC, .AB=CE,AC=BD, ∴.∠DCH=∠B=30°，∠ADF=∠DEH,∴.DH= .AB+BD=AC+CE,即AD=AE ∴.△ADE是等边三角形. CD=3.AF DELAFD=ED ∠D=60°，DE=DA. △M0r△e架-品中=子y ∴.△DBH是等边三角形 .BH=BD=DH.∴.BH=AC ⑧故选C 又，BH∥AC, .四边形ABHC是平行四边形 .AH,BC互相平分 :点P为BC的中点， .A,P,H三点共线.，AH=2AP ·41· 试题分类数学 6.C解析：本题考查菱形的性质，连接AC,如图， 四边形ABCD是菱形，.AC与BD互相垂直平 (分4CDW）=2DW=2PG=l,即PG的装 分，又点0是BD的中点，∴A,O,C三点在同 小值为1.故选A 一直线上，∴.OA=(OC.OM=2,AM⊥BC,.OA= 9.D解析：本题考查菱形的判定，，∠BAC= 0C=0M=2:BD=8,0B=0D=2BD=4, ∠BCA,∴.AB=BC,.□ABCD是菱形，故A不特 合题意：：四边形ABCD是平行四边形，∴，AD∥ .BC=/OB+0C=、4+22=25,tan∠0BC= BC,∴.∠CBD=∠ADB.,∠ABD=∠CBD, 0B-年=2∠ACM+LMAC=90,∠ACM+ 0C21 .∠ABD=∠ADB,.AD=AB,.□ABCD是菱 形，故B不符合题意；OA+OD=AD, ∠OBC=90°，∴.∠MAC=∠OBC.sin∠MAC= ∴.AC⊥BD,∴.□ABCD是菱形，故C不符合题 sin∠OBC= c25=号MC=Ac·sinLMAC 0C25 意；：AD+OA2=OD,∴.AC⊥AD,无法证明 口ABCD是菱形，故D符合题意.故选D. 10.C解析：本题考查正方形的性质、全等三角形的 BM=Bc-MC=25_45_65 45 .MN= 判定及性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定 5 BM·amL0Bc=65x1-35 及性质.四边形ABCD是正方形，AB=AD, 5X2=5 故选C ∠ADC=∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，∴.∠ABF= ∠ADE=90°.，BF=DE,∴.△ABF≌△ADE(SAS), D ∴.∠BAF=∠DAE,AF=AE,∴.∠FAE=∠BAF+ ∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=9O°，∴.△AEF 人0 是等腰直角三角形，∠AEF=∠AFE=45°， M AH1EF,H为EF的中点，AM=ER 7.D解析：本题考查正方形的性质、全等三角形 的判定及性质、直角三角形的性质.连接AF y∠BD=0,C=R,AM=C,故①正 四边形ABCD是正方形，∴AB=BE=BC, 确：：AH=HC,AD=CD,HD=HD,∴.△AHD≌ ∠ABC=90°，AC=√2AB=2V2,∴∠BEC= △GD(sS).LA01=∠CH=3∠Ac=45 ∠BCE,∴.∠EBC=180°-2∠BEC,.∠ABE= :∠ADH+∠EAD=∠AEH+∠DHE,∠ADH= ∠ABC-∠EBC=2∠BEC-90°.：BF平分 ∠AEH=45°，∴∠EAD=∠DIE,.∠FAB LABE,LABF=∠BFP=3LABE=∠BEC- ∠EAD=∠DHE,故③正确；，·∠FAB=∠DHE, 45°，.∠BFE=∠BEC-∠EBF=45°.AB= ∠AFK=∠HDE=45°，∴.△AFK∽△HDE, BE,∠ABF=∠EBF,BF=BF,∴.△BAF≌△BEF 福能又AF=厄=E从： (SAS),∴.∠BFA=∠BFE=45°，.LAFC= D=√2HE,故④正确：根据已知条件无法得到 ∠BFA+∠BFE=90°.，O为对角线AC的中点， HD=CD,故②错误.综上，正确的有①③④，共 0F=4C=万.故选D 3个.故选C 8.A解析：本题考查平行四边形的性质、矩形的 11.10解析：本题考查菱形的性质、等边三角形的 判定及性质、菱形的判定及性质、最值问题.·四 判定及性质.：四边形ABCD是菱形，AB三 边形ABCD是平行四边形，AC=BD=6,,四边 BC.又：∠B=60°，.△ABC是等边三角形， .AC=AB=10. 形ABCD是矩形，二OC=OD.:OC∥DF,OD∥ CF,,四边形OCFD是菱形.G是CD的中点， 12.2√5解析：本题考查矩形的性质、全等三角形 P是菱形OCFD边上的动，点，∴.当PG垂直于菱 的判定及性质.四边形ABCD是矩形，，BC= 形OCFD的任一边时，PG有最小值.过点D作 AD=6,AD∥BC,∠A=90°，∴.∠CBF=∠AEB DM⊥AC于点M,当PG⊥AC时，易得PG为 ,CF⊥BE,.∠BFC=∠A=90°.，BC=BE, ∴.△FCB≌△ABE(AAS),.CF=AB=4, △CDW的中位线PG=DMSm=2× ∴.BF=1BC-CF=2√5. ·42… 参考答案将渔 13.号解析：本题考查正方形的性质、直角三角 x..BC=CD=1,..CM =1-x,CN =x-y+1, 在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2=CM+ 形的性质、三角形中位线定理.四边形ABCD CN2,即y2=(1-x)2+(x-y+1)2,整理可得： 是正方形，.∠BCD=90°.F为DE的中点， y=1=+I=2+)+2=+1+ EF-DF-CF-DE CE+EF+CF-CE+ x+1 x+1 DE 32.CE 7,.DE 25,.CD -2+1+12+1：2 2 /DE2 CE2 =24,..BC CD 24,..BE 22.∴.y≥22-2，此时，x=2-1.故MN的 BC-CE=17.又：O为BD的中点，，OF是 最小值为2√2-2. △B0E的中位线0F=号BE=号 G 14.2解析：本题考查矩形的性质.如图，取BC, AD中点为M,N,连接MN,GN,过F作FR⊥CD 交CD的延长线于R点，延长RF,与GN交于Q 点.设BC=a,CD=b,,△PBC是以BC为底的 B 等腰三角形，∴.P在MN上，∴，P到CD的距离 16.证明：(1)∠AB0=∠DC0=90°，0B=OC, 11 即为20,5am=2×b×2a=4b,在△G0F ∠AOB=∠DOC ∴.△AOB≌△DOC(ASA). GF=DF ∴.0A=0D 和△DRF中 ∠GFQ=∠DFR ,.△GQF≌ 又：E,F分别是AO,D0的中点， ∠OG=∠FRD=90° △DRF(AAS),QF=RF=2×2a=4a, 1 1 1 0E=240.0F=000E=0k (2)0B=0C,0E=0F ,四边形BECF是平行四边形，BC=2OB,EF= 20E. 1 ab ∠A=30°，∠AB0=90 4 -=2. 86 :0B=2A0 ∴.OB=OE.∴.BC=EF .四边形BECF是矩形 17.解：(1)四边形OCDE是菱形. 理由如下： CD∥OE,∴.∠FDC=∠FOE. :CE是线段OD的垂直平分线， ∴.FD=FO,DE=OE.CD=OC 15.22-2解析：本题考查正方形的性质.如图，延 又，∠DFC=∠OFE, 长CD到点G,使DG=BM.四边形ABCD为正方 ∴.△FDC≌△FOE(ASA)..CD=OE. 形，∴.AD=BA,∠ADG=∠ADN=∠ABM=90°，又 ∴.DE=OE=CD=OC. :BM=DG,∴.△ABM≌△ADG(SAS), ∴.四边形OCDE是菱形 ∴.∠BAM=∠DAG,AM=AG,.∠MAN=45°， (2):四边形ABCD是矩形 .∠BAM+∠DAN=45°，∴.∠DAG+∠DAN= ∴.∠CDA=90°，0D=0C 45°，即∠GAN=45°.在△GAN和△MAN中， :CE是线段OD的垂直平分线， AG=AM .CE⊥OD,CD=OC. ∠GAN=∠MAN,∴，△GAN≌△MAN(SAS), .CD OC OD. LAN =AN ∴.△OCD是等边三角形 .GN=MN.设BM=x,MN=y,则GN=y,DG= .∴.OD=CD=4,∠ODC=60 ·43… 试题分类数学 80r=号0=2 轴于点N,过点A作AM⊥x轴于点M.,点C的坐 标为(3,4)，：0N=3,CN=4,∴.0C= .CF=√CD2-DF=25 √ON2+CW=5,:四边形ABOC是菱形，AC= 由(1)可知四边形OCDE是菱形， OC=5,AC∥BO,∴.四边形AMNC是矩形， .EF=CF=23. .MN=AC=5,,OM=MN-ON=2,∴.点A的 ,∠GDF=∠CDA-∠ODC=30°. 坐标为(-2,4).故选C. GF=DF·tan∠GDF=2 2.C解析：本题考查矩形的性质.四边形ABCD 3 为矩形，对角线AC,BD相交于点O,AB=2. EG=EF-GF=4 ∴.OA=OB=OC=OD,∠ABD=60°，∴.△OAB 3 为等边三角形，.OA=OB=AB=2,二，OC= 18.(1)选择①，证明：，AD∥BC,AB∥CD: OA=2,∴.AC=0A+0C=4.故选C. ,.四边形ABCD是平行四边形 3.C解析：四边形ABCD是菱形，AB∥CD, ∠ABC=90°， .四边形ABCD是矩形. ∠BD=2L1=40,L2=7∠AC.:AB/CD, 选择②，证明：：AD∥BC,AD=BC, ∴.∠ADC+∠BAD=180°，∴.∠ADC=140°， ∴.四边形ABCD是平行四边形. .∠2=70°.故选C. ,∠ABC=90°， 4.D解析：本题考查矩形的性质、锐角三角函数 .四边形ABCD是矩形 :四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°，OA= (2)解：：四边形ABCD是矩形， OB.又∠AOB=60°，∴，△OAB是等边三角形， ∴.∠ABC=90°， ∴.∠0AB=60°，∴，∠ACB=30°，∴.tan∠ACB= AB=3,AC=5. AB .BC=√AC-AB=4, 配m30=9线选n .四边形ABCD的面积=AB·BC=3×4=12. 5.A解析：本题考查正方形的性质、全等三角形 19.解：(1)证明：CP∥MN,MP∥NC, 的判定及性质.如图，延长CB至，点G,使BG= ∴.四边形CPMN是平行四边形. DF,连接AG.:四边形ABCD是正方形，∴AB= .MP=NC. AD,∠ABC=∠ABG=∠D=∠BAD=90°， 又.AM=CN,∴AM=MP ∴.△ABG≌△ADF(SAS),.∠BMG=∠DAF,AG= (2)303 AF,∴.∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE= ∠BAD-∠EAF=45°=∠EAF.又AE=AE, (3)6 .△AEG≌△AEF(SAS),∴.∠AEG=∠AEF, 20.解：操作(1)EF=1. ∴.∠FEC=180°-2∠AEG=180°-2(90°- (2)与BE长度相等的线段有AH,GH,GE. ∠BAE)=2∠BAE=2a.故选A. 由题意，得△AEF是等腰直角三角形， D ∴.EF=AF=I. .AE=EF +AF =2. ∴BE=AB-AE=2-√2 探究如图1，BP=√2或如图2，BP=2-√2. GB E D 6.A解析：本题考查菱形的性质.四边形ABCD是 菱形，CD=5,BD=8,∴.BC=CD=5,B0=D0=4, 0. OA=0C,AC⊥BD,∴.∠BOC=90°，在RL△OBC中， 由勾股定理得：0C=√BC-B0=√3-4=3， B P ∴.AC=2OC=6,:菱形ABCD的面积=AE·BC= 图1 图2 专题集训22特殊的平行四边形（二） BDXAC-0B .AC.AEOC46 BC 55 1.C解析：本题考查菱形的性质.过，点C作CN⊥x 故选A ·44