专题集训7 一元二次方程及其应用-【授之以渔】备考2025年中考数学全国各地市试题(最新真题、模拟题)分类汇编

专题集训7一元二次方程及其应用 6,(224,黑龙江中升江)一种药品原价盒我元，经过两次降价 17.(224,江苏连云卷桃梨)定义新运算“：◆“：对于任意实数4， [德分：山分限时：0分钟1 后每盒元，两次释价的百分军相同，期每次降价韵百分率为 ,都有4·6=品+1，其巾等式右边是通常的加法和来法运算. 线： 株电： 得分： 例如，34=3×4+1=13.若关于x的方程x。《如+1)=0有 A20% 从22% C259% D.28W 两个实数根.则实数本的取值范国是 一，选择随（身小理2分，米24分》 7.(2024·内棠古本华)等餐三角形的两边长分别是方程2-10年+ 1像(2024·京东城区模旅))若关于的一元二次方程2-《m+ 1,《20四4，右林)下列方程中.有两个相等实数根的是 21=D的再个根，则这个三角形的周长为 1)1+w=0的两个实数根的差等于2，刚实数m的氧是 A(x-2)2=-1 B.{x-2)2=0 A7或13k13或21C17 0.13 C.(x-2=1 D.(x-212=2 8.(224·河北)淇其在计算正数：的平方时，误草成。与2的积， 三，解答超（共59分） 2.2心·河南)关于x的一元二次方程2+世-8=0的根的情况是 求得的答案比正确答案小「，期？三 1(223·内蒙吉本齐哈尔)（本小见5分） AI 我2-1C2+1 D.1或2+1 解方程：x2-35x+2-0 A有两个不相等的实数根 几.有两个相等的实数根 生(2024·四利总山)若关于x的一元二次方程+2红+P=0的肖 C.只有一个实数制 D.没有实数根 3(223·山末聊城)若一元二次方程m+2红+1=0有实数解，测 限为西且+=3，燜的值为 阳的取植范围是 -号 C-6 h,6 A.m3-1 B用毛I C,m2-1且m-0 D,裤安I且wD 10(23,世川张山)若关于x的一元二次方程x-8x+辉=0的 4《23,背肃兰州)关于￥的…元二次方程x+解+r=0有两个 两腿为东为：且无=5，则m的值为 B.8 相等的实数根.则-2(1+2}= L.4 C12 A.-2 H.2 D.16 G,-4 1L.(223·四对内江)对干实数a,6定义运算@”为9@易=2- 2n(2021·无京东城区展起){本小到11分】 D,4 h.例1.3⊙2=2-3×2=-2，周关于x的程(k-3)@x= 三（加4，山4香大同魏数）古今中外，许多数学家曾研究过一元二张 如图是某停车场的平面常意图.停车场外围的长为3和米，宽为 方程的儿何解法，以方程x2+2:-35=0。即（年+2）■35为例 一」的限的情况，下列说法正确的是 9米，若停车位总占地面积为0平方米，停车场内车道的宽都 人，有两个不相等的实数 三国时期数学家赵爽在其所著的（勾股翼方图谁）中记载的方法 B.有两个相等的实数根 相等，求军道的宽 C设有实数积 是：构迹图1.其中，大正方形的面积是（年+本+2）2，它义等于四个 D.无法确定 12.(2024·四对南克模拉》关于x的方程-2m+四-4=0的两 车 甲形的面积上中间小正方形的度积.甲4×35+2.据此易得 车 个限.马离足，=2斯1+3，且斯>为.则m的值为《) 下=5公元9世配，例2伯数学家阿尔，花拉子米采用的方法是： A.-31 C.3 D.9 停车位 将造图2.其中，大正方形的面积为(+1)，它又等于35+1，据北 二、填空愿（每小题3分，共18分） 可得x=5,上述求解过程中所用的数学思想方法是 13.(223·湖南衡阳)已知关于x的方程3+m-200的一个积 夏度 42 是一4，则它的另一个根是 (第0莲) 14(2024·山东解台)若一元二次方程2-解-1=0的两根为m, 0,划3w2-4柄+后2的值为 42 15,(2024·四对凉山剂)已知y2-=D,2-3+有-3=0，湘x的 值为 第5U) 16.(2023·期止靠州》若实数，b分周满足-3如+2=0,6-36+ A分类讨论思想 B数形站合恩想 C雨数打程思想 D转化思想 11 21.(2m4，营川内江)人来小则12分) 23.(223·山点东营}（本中题8分） 25(223,内繁古道辽)（表小超8分） 已知关于1的一元二次方程x=+1=0〔：为常数)有两个不 如图，老序想用长为m的需栏，再雪用房屋的务增（外墙足够 材料1：关于x的一元二次方程◆x+e=0(u0)的两个实 相等的实数根和 长)围成一个矩形单周ABC0,并在边C上冒一个宽2m的门 《1》填空，+斯= (建在F处.另用其他材料) 数根乌和系数06有如下关系+与=一名=后 2浓1,1 .1 (1)当羊周的长和宽分别为多少米时，能圆成一，个面积为640m 材料2：已知一元二次方程￥一车-1=0的两个实量根分别为m, 的羊圆？ 8,求m鲜+n的值 (3)已知+=2p+1.求p的值， (2)羊周的面积能达到650m写？如果挂，请你给出设计方案； 解：m,是一元二次方程子一一1=0的霄个实致根 如果不能，请说明理由 w+n=1,m团=-1 月国n+mu2三uw(+起)三一1名1三-1 根据上述材料，姑合你所学的知识，完成下列问思： (1)成用1一元二次方程22+3红-1=0的何个实数积为，与， 月x,+新三南三 ； 拉（四4·江苏晴江根想）{本小则8分) (第23思) (2)比：已卸一元二次方程2x2+3#-1-0的两个实数根为m, 大钓于公无前0年，古巴比伦人用长”“宽”及“而积”未代表 n,求m◆n子的值： 术数及它们的来肌加图I,长代表，宽代表&.长方形的面积代 (3)是升：已知实数，t满足22+3s-1=0,2+3-1=0,且 表，大约于公元830年，同尔·花拉子米{A-imi)在（代 4,求号-}的值 数学)中介绍了用儿学方式求方程的解 《》某实现小组对（代数学》的内容进行研习后，也尝其用几判学 方式解+4好-12=0(x>0),并形成以下操作步豫！ 24.(2023·期北天门)（本小题7分】 第一壶：将方程变形成？+4标=2： 已地关于x的一元二次方程x-(2w+》x+m+m=0. 第二多：构造边长为￥+2的正方彩（如图2）： (1)求证：无论丽取何值时，方程霜有两个不相等的实数根： 第三步：求得右下角正方形而积的值是①： (2)设该方程的两个实数根为m,6,若(2a+)(a+2动)=0.求 第四步：川两种方法表示图中大正方形的面积， m的值. 《x+2)°=2+2r+2x+5, 将x+4:=2代人， 可得(x+2·2 120, 92 (霜拉题 请补全该实我小组1求组过程中①2家所缺的内容： (2》请参照上述方法解方程x245缸-6-0(：>0)， 12试题分类数学 墙漆每千克的价格是24元 2)2=0,化简为x2-4x+4=0,.a=1,b=-4, (2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米， c=4,△=(-4)2-4×1×4=0，.此方程有 则乙每小时粉刷外墙的面积是号m平方米 两个相等的实数根，符合题意：C.(x-2)2=1, 化简为x2-4x+3=0,a=1,b=-4,c=3, 根据题意，得500.500 .4=(-4)2-4×1×3=4>0,此方程有两 4 5 个不相等的实数根，不符合题意：D.方程(x 2)2=2,化简为x2-4x+2=0,:a=1,b=-4, 解得m=25. c=2,.△=(-4)2-4×1×2=16-8=8>0， 经检验，m=25是所列方程的解，且符合题意。 二此方程有两个不相等的实数根，不符合题意。 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 故选B. 19.解：(1)设该公司购买杂酱面x份，则购买牛肉 2.A解析：本题考查一元二次方程根的判别式 面(170-x)份. ,△=m2-4×1×(-8)=m2+32>0,该方程 由题意，得15x+20(170-x)=3000. 有两个不相等的实数根.故选A 解得x=80. .170-x=90 3.D解析：本题考查一元二次方程根的判别式。 答：该公司购买杂酱面80份，牛肉面90份. 由题意，得△=22-4m=4-4m≥0且m≠0，解 (2)设该公司购买牛肉面y份，则购买杂酱面 得m≤1且m≠0.故选D. 4.A解析：本题考查一元二次方程根的判别式。 (1+50%)y份. 由题意，得40y =1200-6. 由题意，得△=b2-4c=0,.b2-2(1+2c)= b2-4c-2=0-2=-2.故选A. 解得y=60. 5.B解析：本题考查一元二次方程的应用.由题 经检验，y=60是原分式方程的解，且符合题意 意可知，数学思想方法是数形结合思想.故选B. 答：该公司购买牛肉面60份 6.C解析：本题考查一元二次方程的实际应用. 20.解：(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类 设每次降价的百分率为x,由题意，得48(1 生产线 02=27,解得气=4=25%，与=子（合） 根据题意，得+y=30, 13x+2y=70. 故选C 部码化三品 7,C解析：本题考查解一元二次方程一因式分解 法.x2-10x+21=0,(x-3)(x-7)=0,解 答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生 得x1=3,x2=7.当等腰三角形的边长是3、3、7 产线 时，3+3<7，不符合三角形的三边关系，应舍去； (2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入 当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的 m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需 周长是7+7+3=17.故选C. 投人(m+5)万元. 8.C解析：本题考查一元二次方程的应用.根据 根据题意，得200-180 题意，得a2-2a=1,解得a=1±√2.a>0, m+5=m ∴.a=V2+1.故选C. 解得m=45. 9.A解析：本题考查根与系数的关系.关于x 经检验，m=45是所列方程的解，且符合题意 的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1、2, ∴.10(m+5)+20m-70=10×(45+5)+ 20×45-70=1330. +5=-2,4所=p,心1+1=3，+五 xX2 答：还需投入1330万元资金更新生产线的 设备。 3即号=3，解得p=-子长选人 专题集训7一元二次方程及其应用 10.C解析：本题考查一元二次方程根与系数的 1.B解析：本题考查一元二次方程根的判别式。 关系.：关于x的一元二次方程x2-8x+m=0 A.(x-2)2=-1化简为x2-4x+5=0,:a=1, 的两根为x1,2,.1+x2=8.X=3x2, b=-4,c=5,4=(-4)2-4×1×5=-4< 4x2=8,x2=2,x1=6,.m=x1x7=12.故 0,,此方程没有实数根，不符合题意；B.(x- 选C. ·10 参考答室摆垫 11.A解析：本题考查一元二次方程根的判别式 m=-1. (k-3)☒x=k-1,.x2-(k-3)x=k-1, 19.解：a=1,b=-3,c=2. 整理，得x2-(k-3)x+1-k=0,∴.A=[-(k △=b2-4ae=(-3)2-4×1×2=1>0. 3)]2-4(1-)=2-2k+5=(k-1)2+4>0 ·,该方程有两个不相等的实数根，故选A. 方程有两个不等的实数根x=-b±，公-4c。 2a 12.C解析：本题考查一元二次方程的解.x2 -(-3)±13±1 2mx+m-4=0,∴.(x-m+2)(x-m-2)=0. 2×1 2 ∴.x-m+2=0或x-m-2=0.x1>x2, 即x1=2,x=1 .x1=m+2,x2=m-2.,x1=2x2+3,∴.m+ 20.解：设车道的宽为x米， 2=2(m-2)+3,解得m=3.故选C. 根据题意，得(30-x)(19-x)=390, 13.5解析：本题考查一元二次方程的解及根与系 整理得x2-49x+180=0, 数的关系.设该方程的两个实数根为x1,,由 解得x1=4,x2=45(不符合题意，舍去)， 题意，得x1x2=-20.令名1=-4，-4x2= 答：车道的宽为4米 -20,解得x2=5. 21.解：(1)p1 146解析：本题考查根与系数的关系.一元二 (2)x1+x2=p,x1x2=1, 次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,2m2- 4n=1,m+n=-2=2,m= 23m2 4m+n2=2m2-4m+m2+2=1+(m+n)2- :关于x的一元二次方程x2-pm+1=0(p为 2m=1+2-2×(-）=6 常数)有两个不相等的实数根x,和x, .x-x,+1=0, 15.3解析：本题考查一元二次方程的解.y2 t=0y=x≥0，x2-3y2+x-3=0,x2 六x-p+=0,即x+=n. 3x+x-3=0,即x2-2x-3=0,解得x1=3, (3)由根与系数的关系得x1+x2=P,x,x2=1, 2=-1(舍去)，即x的值为3. x+x行=2印+1， 解析：本题考查一元二次方程根与系数的关 .(x1+x2)2-2x1x1=2p+1, ∴p2-2=2p+1, 系.由题意可知，a和b是x2-3x+2=0的两个实 解得P1=3,P3=-1. 数根，a+6=3,b=2人+=8+b=3 a= b=2 当p=3时，4=p2-4=9-4=5>0: 当p=-1时，4=p2-4=1-4=-3<0. 17.k≤且k≠0解析：本题考查一元二次方程的 ∴p=3. 根的判别式x*(x+1)=0,∴.x(kx+1)+1= 22.解：(1)①4216③2 0,整理可得kx2+x+1=0.又，关于x的方程x* (2)第一步：将方程变形成x2+5x=6: 「k≠0， 第二步：构造边长为x+2.5的正方形（如图）： (+1)=0有两个实数根，， 12-4k×1≥0， 解 x2 2.5x 得≤4且0 2.5x S 18.3或-1解析：本题考查根的判别式及根与系数 的关系.，方程x2-(m+1)x+m=0有两个不 相等的实数根，∴.4=[-(m+1）]2-4m=(m- 第三步：求得右下角正方形面积S的值是 1)2>0,解得m≠1.设一元二次方程x2-(m+1) 6.25; x+m=0的两个实数根为x1、x2,.无，+无2=m+ 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积， 1,x12=mx1-=2,1=2+无2，.2+ (x+2.5)2=x2+2.5x+2.5x+S, 将x2+5x=6代入， 2x,=m+1,2+)·2=m六="2，（出为 可得(x+2.5)2=6.25+6=12.25. =m+1(2+=m+1,解得m=3浅23.解：设矩形ABCD的边AB=m,则边C x>0,.x=1 试题分类数学 70-2x+2=(72-2x)(m) 专题集训8一元一次不等式（组） 由题意，得x(72-2x)=640, 及其应用 化简，得x2-36x+320=0. L,B解析：本题考查一元一次不等式的解集.解 解得x1=16,x2=20. 不等式x-I≤m,得x≤m+I,由数轴可知该不 当x=16时，72-2x=40: 等式的解集是x≤3，∴.m+1=3,解得m=2.故 当x=20时，72-2x=32. 选B. 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为 2.B解析：本题考查不等式的性质.，a-1>0, 32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m 的羊圈。 .a>1..-a<-1..-a<-1<1<a.故选B. (2)不能 3.C解析：本题考查解一元一次不等式组解不等 理由：由题意，得x(72-2x)=650, 式①，得x<2,解不等式②，得：x≥-3，将两个不 化简，得x2-36x+325=0. 等式的解集表示在数轴上如下，故选C 4=(-36)2-4×1×325=-4<0, .该一元二次方程没有实数根。 -3 0 .羊圈的面积不能达到650m。 4.A解析：本题考查不等式的性质.由题意得，a> 24.(1)证明：4=[-(2m+1)]2-4(m2+m)= b,.a+c>b+c,∴图中两人的对话体现的数学 1>0, 原理是若a>b,则a+c>b+c.故选A ,无论m取何值，方程都有两个不相等的实 5.A解析：本题考查一元一次不等式的应用.由 数根 题意，得52+15n>70+12m.故选A. (2)解：：方程x-(2m+1)x+m2+m=0的6.B解析：本题考查一元一次不等式组的解法以 两个实数根为a,b, ∴.a+b=2m+1,ab=m2+m. 及解 21>00解①，得x>2,解②，得 L-2x+4>0②， (2a+b)(a+2b)=20. .2(a+b)2+ab=20. <2.则不等式组的解集是}<x<2x落在 .2(2m+1)2+m2+m=20. 段③.故选B. 解得m1=1,m2=-2. 7.B解析：本题考查一元一次不等式组的解集 ∴.m的值为1或-2. 解不等式x-a>2,得x>2+a.解不等式x+1< 25解：1)-号-号 -2 b,得x<b-1.不等式组的解集是-1<x<1, .2+a=-1,b-1=1,.a=-3,b=2,.(a+ 3 (2)m+n=- 2,mn= 2 b)2m=(-3+2)2四=-1.故选B. m2+=(m+n)-2m=(-)-2× 8.B解析：本题考查不等式的性质、数轴.，-1< a<0,0<b<1,.a<ab<0.,ab=c,.a<c< ()是 0,只有B选项正确.故选B. 9.A解析：本题考查一元一次不等式的应用.设 (3)经分析可知8,1是一元二次方程2x+3x- 降价幅度为x,成本为m,根据题意，得(1+ 1=0的两个实数根， 25%)(1-x)m≥m,解得x≤20%，∴.降价幅度 4=-2+1=-2 最多为20%.故选A. 10.A解析：本题考查一元一次不等式组解集的 (s-)2=(s+)2-4=(-2-4× 求法.：-x>1,x<-1.根据“大大小小，无 (? 期判S2.无条故达人 11.B解析：本题考查解一元一次不等式组和数 8-1=±) 轴.由题意可知2m-1<m<4-m,即 2m-1<m解得m<1.故选B 2 m<4-m, -=±17 1 12.C解析：本题考查解一元一次不等式.：a 2 b+1=0,∴.b=a+1,,0<a+b+1<1,.0< ·12…