精品解析：河南省郑州经济技术开发区第四中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

九年级上期第二次课后练习数学学科 分值：120分 时间：90分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列现象中，属于中心投影的是（　　） A. 白天旗杆的影子 B. 阳光下广告牌的影子 C. 舞台上演员的影子 D. 中午小明跑步的影子 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行投影和中心投影的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、白天旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意； B、阳光下广告牌的影子为平行投影，所以B选项不合题意； C、舞台上演员的影子为中心投影，所以C选项符合题意； D、中午小明跑步的影子为平行投影，所以D选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行投影． 2. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【详解】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 3. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程的定义．利用二次方程的定义列方程及不等式解题即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：C 4. 如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，得出，再由矩形的性质得出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴, 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用及勾股定理，注意：矩形的对角线互相平分且相等． 5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 6. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若 ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：D． 7. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，即可求解． 【详解】解：添加，可以判定四边形为菱形，理由： ∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，， ∴四边形为菱形． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定是解题的关键． 8. 若点都在反比例函数函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，点A，B同象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. 【详解】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形ANFD是矩形， ∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目已知条件可推出，AA1=OC=,B1A2=A1B1=,依此类推，第n个等边三角形的边长等于. 【详解】解：∵OB=，OC=1， ∴BC=2， ∴∠OBC=30°，∠OCB=60°． 而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°， ∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°． 在Rt△CAA1中，AA1=OC=, 同理得：B1A2=A1B1=, 依此类推，第n个等边三角形的边长等于. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离为2m，那么这棵大树高___________m． 【答案】9 【解析】 【分析】根据同一时刻影长与物高成比例，先求出CE，再求AB即可． 【详解】解：延长AD交BC延长线于E， 根据同一时刻影长与物高成比例可得CE：CD=1：1.4， ∵CD=2m， ∴CE=m， ∴BE=BC+CE=5+=m， ∴BE：AB=1:1.4， ∴AB=9m． 故答案为：9． 【点睛】本题考查平行投影问题，掌握平行摄影的原理是同一时刻影长与物高成比例是解题关键． 12. 用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把第一个图形分为四等分，然后列表解决． 【详解】如图： 列表： 红 蓝1 蓝2 蓝3 红 红红 红蓝 红蓝 红蓝 黄 黄红 黄蓝 黄蓝 黄蓝 蓝 红蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝 共有12种情况，配成紫色的红蓝有4种，概率为 【点睛】本题考查等可能事件概率的求法，关键是把第一个图中的蓝色分为三块，使其也成为等概率的情况． 13. 如图，反比例函数在第一象限内的图象，直线AB//x轴，并分别交两条曲线A、B两点，若S△AOB=2，则k2-k1的值为________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：设A（a，b），B（c，d）， 代入得：=ab，=cd， ∵， ∴cd-ab=2， ∴cd-ab=4， ∴-=4， 故答案为4． 【点睛】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到=ab，=cd，根据三角形的面积公式求出cd-ab=4，即可得出答案．此题能求出cd-ab=4是解此题的关键． 14. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及斜边中线定理，熟练掌握正方形的性质及斜边中线定理是解题的关键；连接，则根据正方形的性质可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形和是正方形，， ∴， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴； 故答案为． 15. 如图，在矩形ABMN中，AN＝，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为____． 【答案】或 【解析】 【分析】首先证明∠CAB＝∠CBA＝30°．分两种情形画出图形如图1，图2，根据△ADF是等边三角形，△AEF是等边三角形，分别求解即可． 【详解】解：∵四边形ABMN是矩形， ∴，， 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°， ∵DA＝DF， ∴△ADF是等边三角形， ∴∠AFD＝60°， ∵∠DFE＝∠DAE＝30°， ∴EF平分∠AFD， ∴EF⊥AD，此时． ②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，同①，可得． 综上所述，满足条件的EF的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质等知识．解题的关键在于确定EF⊥AC时的图形． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （）利用配方法将方程左边写成，再求解即可； （）利用因式分解法将方程变形成，求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 17. 一个盒子里有标号分别为1，2，3的三个小球，这些小球除标号数字外都相同，每次摸出一个小球，然后放回充分摇匀后再摸，在实验中得到下表中部分数据： 试验次数 20 40 60 80 100 120 150 出现1号小球的频率 0.35 0.325 0.35 0.338 0.34 0.325 0.327 （1）从上表中可以估计摸到“1号小球”发生的概率是______（精确到0.01） （2）甲、乙两人用这三个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若再次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平． 【答案】（1） （2）不公平，表格见解析 【解析】 【分析】（1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到甲、乙获胜的结果数，最后依据概率计算公式求出甲、乙获胜的概率即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，摸到“1号小球”的频率稳定在附近， ∴估计摸到“1号小球”发生的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中标号同为奇数或同为偶数有5种，标号数字为一奇一偶的结果由4种， ∴甲赢的概率为，乙赢的概率为， ∴这个游戏不公平． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 18. 在菱形ABCD中，过点B作于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，求出，利用有一个角是的平行四边形是矩形即可得证； （2）利用勾股定理求出，再根据菱形的性质和勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：在中： ， 设的长为，则， 由勾股定理得： 即：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，以及利用勾股定理求边长．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 19. 已知关于x的方程 （1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式、等腰三角形的性质、三角形三边的关系等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先把方程化为一般式：，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明； （2）先利用因式分解法求出两根：．再分为底边和为腰两种情况，分别确定b，c的值，最后求出三角形的周长即可． 【小问1详解】 证明：方程化为一般形式为：， ∵， ∴， ∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， 当为等腰的底边，则有， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴，解得， ∴三角形的三边长分别为：2，2，4， ∵， ∴不满足三角形三边的关系，应舍去； 当为等腰的腰， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴只能， ∴三角形三边长分别为：2，4，4， ∴三角形的周长为． 所以的周长为10． 20. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）4.9 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12， ∵F是AM的中点， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴AE=16.9， ∴DE=AE－AD=4.9． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式的解集即可； （3）方法一、连接BE，作轴，先求解，可得直线AB的表达式为，由，可得，求解，可得，由，可得即可； 方法二、连接BF，作轴，先求解，结合，可得，可得，由，再设直线CD的表达式为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ， ， 在双曲线上， ， ∴反比例函数的表达式为 ； 【小问2详解】 ∵， ∴不等式的解集为：或 ； 【小问3详解】 方法一：连接，作轴于G， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线CD的表达式为． 方法二： 连接BF，作轴于， 在直线上， ， 直线的表达式为， ， ， ， ， ， ， ∴设直线的表达式为， 在直线上， ， ， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键． 23. （1）特殊发现如图1，正方形与正方形的顶点重合，，分别在，边上，连接，则有： ①=______；②直线与直线所夹的锐角等于______度； （2）理解运用 将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接、． ①如图2，（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由； ②如图3，若、、三点在同一直线上，且过边的中点，，请直接写出的长； 【答案】（1）①，②45； （2）①结论仍然成立，理由见详解；② 【解析】 【分析】（1）①连接，，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到； ②利用等腰直角三角形的性质解答即可； （2）①连接，，延长，交于点N，交于点M，先证明，得到，，进一步推理得，即得答案； ②连接，先证明，即得，进一步求出，由此即得答案． 【详解】（1）①如图，连接，， 四边形和四边形是正方形， ， B，F，D三点在一条直线上， ，， 和为等腰直角三角形， ，， ， ； 故答案为：． ②B，F，D三点在一条直线上，， ∴直线和直线所夹的锐角等于； 故答案为：． （2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接，， 四边形和四边形是正方形， ，， 和为等腰直角三角形， ，，， ，， ， ， 延长，交于点N，交于点M， ， ， ， ， 即直线和直线所夹的锐角等于， （1）中的结论仍然成立； ②．理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， ， ， 边的中点为， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上期第二次课后练习数学学科 分值：120分 时间：90分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列现象中，属于中心投影的是（　　） A. 白天旗杆的影子 B. 阳光下广告牌的影子 C. 舞台上演员的影子 D. 中午小明跑步的影子 2. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 4. 如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在反比例函数函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 10. 如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离为2m，那么这棵大树高___________m． 12. 用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是______． 13. 如图，反比例函数在第一象限内的图象，直线AB//x轴，并分别交两条曲线A、B两点，若S△AOB=2，则k2-k1的值为________． 14. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是___________． 15. 如图，在矩形ABMN中，AN＝，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为____． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 一个盒子里有标号分别为1，2，3的三个小球，这些小球除标号数字外都相同，每次摸出一个小球，然后放回充分摇匀后再摸，在实验中得到下表中部分数据： 试验次数 20 40 60 80 100 120 150 出现1号小球的频率 0.35 0.325 0.35 0.338 0.34 0.325 0.327 （1）从上表中可以估计摸到“1号小球”发生的概率是______（精确到0.01） （2）甲、乙两人用这三个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若再次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平． 18. 在菱形ABCD中，过点B作于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长． 19. 已知关于x的方程 （1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． （3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式． 23. （1）特殊发现如图1，正方形与正方形的顶点重合，，分别在，边上，连接，则有： ①=______；②直线与直线所夹的锐角等于______度； （2）理解运用 将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接、． ①如图2，（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由； ②如图3，若、、三点在同一直线上，且过边的中点，，请直接写出的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $