精品解析：山东省济南市平阴县实验高级中学2024-2025学年高二上学期10月学情检测数学试题

高二10月份学情检测 数学试题 本试卷共4页19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线的斜率及在轴上的截距分别为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式，根据斜截式方程的定义求解即可. 【详解】直线，即， 故直线的斜率为，在轴上的截距为， 故选：C. 2. 已知空间向量，，，若，则（ ） A. 2 B. C. 14 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行的性质即可. 【详解】因为空间向量，，， 如果，则， 所以， 解得， 所以， 故选：C. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解． 【详解】由与圆， 可得圆心，半径， 则， 且， 所以，所以两圆相内切． 故选：C． 4. 在四面体中，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B 5. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C 6. 已知矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算的几何表示可得，然后利用向量数量积的定义及运算法则即得. 【详解】在矩形中，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N． ∵，， 则可得，，，，． 因为平面平面，平面，， 又平面平面， 则平面，所以， 由题可得， 所以 ， 所以． 故选：C. 7. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为 时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径 时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案. 【详解】由已知条件得的圆心坐标为， 圆心到直线为， ∵圆上至少有三个点到直线的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是. 故选：. 8. 若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得直线分别过定点和且垂直，可得交点的轨迹是以为直径的圆（挖去点），利用数形结合即可求解. 【详解】因为，所以两直线垂直， 又直线过定点，直线过定点， 所以， 故交点的轨迹是以为直径的圆（挖去点）， 如图所示，其中圆心，半径为1， 所以线段的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题是隐形圆问题，根据题意得到直线分别过定点和且垂直，推断出的轨迹是以为直径的圆（挖去点）是解决本题的关键. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 过定点 B. 的半径为9 C. 与可能相切 D. 被截得的弦长最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断项；根据直线所过定点在圆内，知直线与圆必相交判断项；当直线与过定点和圆心的直线垂直时，被截得的弦长最小，从而计算弦长最小值可判断项. 【详解】对于，可变形为， 由得所以直线过定点，故正确； 对于，圆，化为标准方程为，所以圆的半径为，故错误； 对于，因为，所以点在圆内部，所以直线与不可能相切，故错误； 对于，设直线所过定点为，则当直线时，直线被截得的弦长最小. 因为圆心，所以，所以直线的斜率，解得， 此时直线. 因为圆心到直线的距离，所以弦长，故正确. 故选：. 10. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直接法求点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项. 【详解】由题意，设点， 又， 所以， 化简可得， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确； 又点满足， 所以，B选项正确； 点到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项错误； 由D选项可知圆与圆有公共点，所以， 且， 即， 所以，D选项正确； 故选：ABD. 11. 在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 长最小值为 B. 最小值为 C. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，得，然后用空间向量法求得，判断A，求得数量积计算最小值判断B，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C，结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则，，，， ，设，，所以， ， ，所以时，，A错； ， ， 所以时，，B正确； ，则是上靠近的三等分点，， 取上靠近的三等分点，则， ，显然与平面的法向量垂直，因此平面， 所以截面与平面的交线与平行，作交于点， 设，则，由得，解得， 则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形， ，，，梯形的高为， 截面面积为，C正确； ，，，，， ，，同理， 所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转．D正确． 故选：BCD． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡上. 12. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，请写出一条与l垂直的直线方程________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据直线平移规则得到，一条与l垂直的直线方程为，代入化简即可. 【详解】设直线方程为：，变换后：， 即，故. 一条与l垂直的直线方程为：，即. 故答案为：. 13. 正方体的棱长为，点满足，则到的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，求得和，结合距离公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为方体的棱长为， 则， 可得， 所以， 可得， 所以 又由，所以点到的距离为. 故答案为： 14. 已知直线l：图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合可得解. 【详解】由可得，即直线过定点， 由可得，即曲线C：， 作出曲线与直线的图象，如图， 当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 直线与曲线相切时，圆心到直线的距离， 即，解得或（由图可知不符合题意，舍去）， 由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点. 故答案为：或 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线． （1）当时，求两直线的交点坐标； （2）当时，求两直线间的距离． 【答案】（1）、 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直求得，进而求得交点坐标. （2）根据直线平行求得，进而求得两直线间的距离. 【小问1详解】 若，所以， 解得或； 当时，， 即，所以交点为. 当时，， 即， 由解得，所以交点为. 综上所述，交点为、. 【小问2详解】 若，所以， ，解得或. 当时，， 两直线间的距离为. 当时，， 即，两直线重合，不符合题意. 综上所述，两直线间的距离为. 16. 已知圆过三个点，，． （1）求圆的标准方程； （2）若点的坐标为，求过点的切线方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，代入三点的坐标，求解即可； （2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求解． 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将三个点，，代入得， 解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程为． 【小问2详解】 圆：的圆心，半径， 当切线斜率不存在时，易知切线方程为， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则依题意可得，解得， 此时切线方程为，即， 综上所述，过点的切线方程为和． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． （1）求直线到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，则可得∥平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解； （2）求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接． 因为是的中点，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面． 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由题知，，，两两垂直，所以，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，． 所以，，．设面的一个法向量， 则，令，则 又， 所以点到平面的距离为． 即直线到平面的距离为． 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量． 又，， 设平面的一个法向量面，则 ，所以，取． 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． （1）求曲线的方程； （2）已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；（2）利用韦达定理结合题意求解. 【小问1详解】 设，， 由中点坐标公式得． 因为点M的轨迹方程是， 所以， 整理得曲线C的方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，，，， 由，得， 所以，， 所以 ， 所以，且即， 即， 所以直线的方程为，即直线过定点． 因为为定值，且为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，为定值． 因为，，所以由中点坐标公式得． 所以存在定点使得为定值． 19. 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，为正三角形，E，F分别是PC，PB上的动点． （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的外接球体积； （3）若E，F分别是PC，PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质及判定定理即可； （2）建立空间直角坐标系，确定球心坐标，可得球的半径大小即可求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量表示出直线PQ与平面AEF所成角的正弦值即可确定范围. 【小问1详解】 因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，所以, 又平面平面ABC, 且平面平面ABC,平面ABC, 所以平面,平面, 所以. 【小问2详解】 以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为轴，轴，过C 且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以， , 因为的外接圆为圆, 所以设三棱锥的外接球球心为, 则有,即， 解得，所以球心为， 所以球的半径, 所以外接球的体积 . 【小问3详解】 由E，F分别是PC，PB的中点，所以BC//EF， 由（1）知，所以， 所以在中，就是异面直线AF与BC所成的角, 因为异面直线AF与BC所成角的正切值为, 所以 , 又EF平面AEF,BC平面AEF,所以BC平面AEF， 又BC平面ABC，平面EFA平面ABC=l,所以BCl, 所以在平面ABC中，过点A作BC 的平行线即为直线l, 以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为轴，轴，过C 且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，设AC=2. 因为△PAC为正三角形，所以AE=，从而EF=2， 由已知E，F分别是PC,PB的中点，所以BC=2EF=4, 则 , 所以, 因为BCl，所以可设，平面AEF的一个法向量为， 则 ,取，得, 又,设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二10月份学情检测 数学试题 本试卷共4页19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 直线的斜率及在轴上的截距分别为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知空间向量，，，若，则（ ） A. 2 B. C. 14 D. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 相离 4. 在四面体中，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 过定点 B. 的半径为9 C. 与可能相切 D. 被截得的弦长最小值为 10. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 11. 在棱长为1正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的长最小值为 B. 的最小值为 C. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡上. 12. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来位置，请写出一条与l垂直的直线方程________． 13. 正方体的棱长为，点满足，则到的距离为__________. 14. 已知直线l：图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是_____________． 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线． （1）当时，求两直线的交点坐标； （2）当时，求两直线间的距离． 16. 已知圆过三个点，，． （1）求圆的标准方程； （2）若点坐标为，求过点的切线方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． （1）求直线到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． （1）求曲线的方程； （2）已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 19. 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，为正三角形，E，F分别是PC，PB上的动点． （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的外接球体积； （3）若E，F分别是PC，PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$