专题09 几何压轴四种题型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（苏科版2024）

专题09几何压轴四种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段中点有关计算-分类讨论 2 类型二、双角平分线模型-分类讨论 3 类型三、角度综合运算-分类讨论 5 类型四、角的折叠综合问题 7 压轴能力测评（10题） 10 1.线段双中点模型 模型一：两线段无公共部分（ 作和） 已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB+BN=AB+BC= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半 模型二：两线段有公共部分（ 作差） 1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB-NB=AB-BC= 2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=NB-MB=BC-AB= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半解： 速记口诀：一半一半又一 2.双角平分线模型 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这 个角的平分线。 已知 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB= ∠AOB 1、 双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。 模型一：两角有公共部分（作和） 已知 OC 是∠AOB 内的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC= ∠AOC,∠CON= ∠BOC ∴∠MON=∠MOC+∠CON= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半 模型二：两角有公共部分（作差） 已知 OC 是∠AOB 外的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC ∴∠MON=∠MOC-∠CON= ∠AOC- ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半 总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半. 类型一、线段中点有关计算-分类讨论 【典例1】已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C． D．或 【变式1-1】点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 【变式1-2】已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-3】已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 【变式1-4】若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 类型二、双角平分线模型-分类讨论 【典例2】刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【变式2-1】已知，过O点作射线，，使得，是的平分线，则的度数为 ． 【变式2-2】点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【变式2-3】定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．    (1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？ (3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）． 【变式2-4】如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒．    （1）当t=2时，求∠POQ的度数； （2）当∠POQ=40°时，求t的值； （3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 类型三、角度综合运算-分类讨论 【典例3】如图，和的度数都是． (1)若，求的度数； (2)若射线，恰好分别是和的平分线，求的度数； (3)当射线在内部，时，我们称k为射线在内的比值，记作．在（2）的条件下，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点O顺时针旋转，射线绕点O逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为t秒．若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当t为何值时，？    【变式3-1】如图1，在直线上取点，从点引射线．直角三角尺的直角顶点在点处（注：），现将直角三角尺绕点逆时针转动，起始时三角尺的边在直线上． (1)图1中的度数为______． (2)如图2，若平分，请说明所在射线是的平分线． (3)记为，若满足，求的度数． 【变式3-2】如图，点A、O、B在同一条直线上，为直角，且在直线的上方，将绕点O旋转（大于，且小于或等于），射线是的平分线． (1)当时，求的度数﹔ (2)若恰好将分成了的两个角，求此时的度数． 【变式3-3】点O直线上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； (3)将三角板绕点O在直线上方逆时针旋转，若，求的度数． 【变式3-4】定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．    (1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数． (2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值． 类型四、角的折叠问题 【典例4】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【变式4-1】将一张长方形纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A．40.5° B．41° C．41.5° D．42° 【变式4-3】利用折纸可以作出角平分线，如图1则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，若点恰好落在上，且，则 ； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数为 ． 【变式4-4】如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【变式4-5】利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝　 　． （2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'． ①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由； ②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数． 一、单选题 1．已知数轴上有两条线段，，则这两条线段的中点之间的距离为（    ） A．2 B．4 C．2或22 D．4或44 2．已知线段，在直线上有一点C，且是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．，平分，以为一边作，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题 5．将一张长方形纸片按如图所示折叠，和为折痕，点落在点处，点落在点处，若，，则的度数为 ． 三、解答题 6．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 7．已知直线过点O，，是的平分线． (1)操作发现：①如图1，若，则______． ②如图1，若，则______． ③如图1，若，则______．（用含a的代数式表示） (2)操作探究：将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由． (3)如图3，已知，，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求运动多少秒后，． 8．如图：已知，射线绕点从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角)的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在．请说明理由． 9．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 10．如图，长方形纸片，点分别是边上的动点，将，分别沿，折叠，点的对应点分别是点，点． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若点在同一直线上，探索与的关系，并说明理由． (3)若，直接写出折叠后的度数（用含的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09几何压轴四种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段中点有关计算-分类讨论 2 类型二、双角平分线模型-分类讨论 6 类型三、角度综合运算-分类讨论 14 类型四、角的折叠综合问题 22 压轴能力测评（7题） 28 1.线段双中点模型 模型一：两线段无公共部分（ 作和） 已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB+BN=AB+BC= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半 模型二：两线段有公共部分（ 作差） 1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=MB-NB=AB-BC= 2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=AC 证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点 ∴MBAB，BNBC 则MN=NB-MB=BC-AB= 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半解： 速记口诀：一半一半又一 2.双角平分线模型 角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这 个角的平分线。 已知 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB= ∠AOB 1、 双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。 模型一：两角有公共部分（作和） 已知 OC 是∠AOB 内的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC= ∠AOC,∠CON= ∠BOC ∴∠MON=∠MOC+∠CON= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半 模型二：两角有公共部分（作差） 已知 OC 是∠AOB 外的一条射线，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON . 证明：∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠BOC ∴∠MON=∠MOC-∠CON= ∠AOC- ∠BOC= ∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半 总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半. 类型一、线段中点有关计算-分类讨论 【典例1】已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是两点间的距离，首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段上时和当点C在线段的延长线上时． 【详解】解：如图， 当点C在线段上时，则； 当点C在线段的延长线上时，则． 综合上述情况，线段的长度是． 故选：B． 【变式1-1】点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 【答案】C 【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点C是线段AB的中点， ∴AC=BC=AB=6cm 当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm ∴BD=BC+CD=6+2=8cm； 当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm ∴BD=BC+CD=6+4=10cm； 故选C． 【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系． 【变式1-2】已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段和差，根据题意分点在线段上时，点在线段延长线上时两种情况分析即可，画出图形，利用数形结合求解是解题的关键． 【详解】解：点在线段上时，如图所示： ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴ 又∵点是的中点， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴ 点在线段延长线上时，如图所示， 同理可求出，， 又∵， ∴， 综上所述：的长度为或， 故选：． 【变式1-3】已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论． 由点C是线段的三等分点，可知分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可求解． 【详解】解：∵是线段的中点， ， ①若，如图1所示： ， ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴． ∴； ②若，如图： ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ， ， 故选：C． 【变式1-4】若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．考虑到、、三点之间的位置关系的多种可能，即点在点与之间或点在点的右侧两种情况进行分类讨论． 【详解】解：①如图1所示，当点在点与之间时， 线段，， ． 是线段的中点， ， ②当点在点的右侧时， ， 是线段的中点， ． 综上所述，线段的长为或． 故选：C． 类型二、双角平分线模型-分类讨论 【典例2】刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 【变式2-1】已知，过O点作射线，，使得，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，分当在外部时和当在内部时两种情况求解即可． 【详解】当在外部时，如图， ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． 当在内部时，如图， ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． 综上可知，的度数为或． 【变式2-2】点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ； （2） 平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 【变式2-3】定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．    (1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？ (3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）． 【答案】(1)③ (2)是关于边的补线，理由见解答 (3)可以表示为或或或 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行判断即可； （2）根据是的平分线，得出，求出，根据不与重合，结合补线定义进行判断即可； （3）分情况讨论：当为钝角，且在内部时，当为钝角，且在外部时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在外部，当为直角时，只能在的外部，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部； ②当这个角是直角时，它的补线只有1条； ③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条； 故答案为：③； （2）解：是关于边的补线，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵不与重合， ∴是关于边的补线． （3）解：当为钝角，且在内部时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴． 当为钝角，且在外部时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴． 当为锐角，且在内部，且时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴； 当为锐角，且在内部，且时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 当为锐角，且在外部，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 当为直角时，只能在的外部，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 综上分析可知：可以表示为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握新定义，数形结合，注意进行分类讨论． 【变式2-4】如图，已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t秒．    （1）当t=2时，求∠POQ的度数； （2）当∠POQ=40°时，求t的值； （3）在旋转过程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∠POQ =104°；（2）当∠POQ=40°时，t的值为10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ． 【解析】当OQ，OP第一次相遇时，t=15；当OQ刚到达OA时，t=20；当OQ，OP第二次相遇时，t=30； （1）当t=2时，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出结果即可； （2）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可； （3）分三种情况：当0≤t≤15时，当15＜t≤20时，当20＜t≤30时，分别列出等量关系式求解即可． 【详解】解：当OQ，OP第一次相遇时，2t+6t=120，t=15； 当OQ刚到达OA时，6t=120，t=20； 当OQ，OP第二次相遇时，2t6t=120+2t，t=30； （1）当t=2时，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°， ∴∠POQ =∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°. （2）当0≤t≤15时，2t +40+6t=120， t=10； 当15＜t≤20时，2t +6t=120+40， t=20； 当20＜t≤30时，2t =6t-120+40， t=20（舍去）； 答：当∠POQ=40°时，t的值为10或20. （3）当0≤t≤15时，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12； 当15＜t≤20时，2t –(120-6t）=(120 -6t），t=. 当20＜t≤30时，2t –(6t -120）=(6t -120），t=. 答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ. 【分析】本题考查了角的和差关系及列方程解实际问题，解决本题的关键是分好类，列出关于时间的方程． 类型三、角度综合运算-分类讨论 【典例3】如图，和的度数都是． (1)若，求的度数； (2)若射线，恰好分别是和的平分线，求的度数； (3)当射线在内部，时，我们称k为射线在内的比值，记作．在（2）的条件下，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点O顺时针旋转，射线绕点O逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为t秒．若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当t为何值时，？    【答案】(1)； (2)； (3)3或7 【分析】本题考查角的和差，角的旋转问题以及一元一次方程的应用． （1）根据角的和差进行计算即可； （2）先求出和的度数，再根据计算即可； （3）由题意可知，，，可得，根据条件可得，当时，，，由定义可得，解得；当时，，可得，解得． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴ （2）若射线是的平分线， 则有 若射线是的平分线， 则有 此时， （3）由题意可知， ∴， ∴， ∴ ∵运动到时，，停止运动，， ∴ 当时，， ∴ ∵ ∴若， 则，解得 当时， ∴，此时有，解得， 综上，t的值为3或7． 【变式3-1】如图1，在直线上取点，从点引射线．直角三角尺的直角顶点在点处（注：），现将直角三角尺绕点逆时针转动，起始时三角尺的边在直线上． (1)图1中的度数为______． (2)如图2，若平分，请说明所在射线是的平分线． (3)记为，若满足，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据 求解； （2）根据角平分线的定义及角的和差关系可得； （3）分在内部与外部两种情况，结合，，根据列式求出，进而可得的度数． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为：； （2）证明： 平分， ， ， ， ， ， 即所在射线是的平分线； （3）解：分两种情况： 当在内部时，如图： ，， ， ， ， ， 解得， ； 当在外部时，如图： ，， ， ， ， ， 解得， ； 综上可得，的度数为或． 【变式3-2】如图，点A、O、B在同一条直线上，为直角，且在直线的上方，将绕点O旋转（大于，且小于或等于），射线是的平分线． (1)当时，求的度数﹔ (2)若恰好将分成了的两个角，求此时的度数． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形并且运用好有关性质准确计算角的和差倍分是解题的关键． （1）利用平角的定义求得，利用角平分线的性质求得，再利用余角的性质即可求得结果； （2）分：①；②；两种情况讨论，利用平角的定义和角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴； （2）∵恰好将分成了的两个角， ∴有两种情况：①；②； ①如答图1，当时， 设， 则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴； ②如答图2，当时， 设， 则， ∵ ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述或． 【变式3-3】点O直线上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； (3)将三角板绕点O在直线上方逆时针旋转，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据和的度数可以得到的度数． （2）根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数． （3）由可得的度数，再分在左边和在右边两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：． （2）解：∵，是的角平分线， ∴， ∴， ， 即； （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， 当在左边时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，三角板的知识，角的计算，准确识图、理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【变式3-4】定义：从一个角（小于）的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所构成的角等于这个角的，那么这两条射线所构成的角叫做这个角的“三分角”．如图1所示，若，则是的“三分角”．    (1)如图1，已知，，是的“三分角”，求的度数． (2)如图2，已知，是的平分线，射线从出发，绕点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为t秒，当是的“三分角”时，求t的值． 【答案】(1)； (2)秒或秒． 【分析】（1）根据“三分角”的定义及角的和差关系，列式计算即可求解； （2）分两种情况讨论，当和时，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的“三分角”， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是的平分线， ∴， ∵是的“三分角”， ∴， 分两种情况讨论， 当，此时秒； 当，此时秒； 综上，t的值为秒或秒． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，“三分角”的定义，掌握新定义是解题的关键． 类型四、角的折叠问题 【典例4】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】【知识初探】，45；【类比再探】；；；【拓展探究】 【分析】本题考查角平分线有关的计算问题，掌握角平分线的定义与审清题意是解题的关键． 【知识初探】根据题意得出是的角平分线，和分别是与的角平分线，据此可解； 【类比再探】由沿折叠可得，同理由沿折叠可得，再根据，即可得到； 【拓展探究】由（2）知，从而得到，再用与（2）相同的方法可得． 【详解】解：【知识初探】由题意可知：是的角平分线， ∴， 同理可得：和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，45； 【类比再探】证明：沿折叠， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：；；； 【拓展探究】，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∵和分别沿和再折叠， ∴， ∴． 【变式4-1】将一张长方形纸如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据等量代换，得出方程，解出即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可得：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的度数为． 故选：B． 【点睛】本题考查了角之间的数量关系、折叠的性质，解一元一次方程，解本题的关键在理清角之间的数量关系． 【变式4-2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A．40.5° B．41° C．41.5° D．42° 【答案】B 【分析】由长方形和折叠的性质结合题意可求出．再根据，即可求出答案． 【详解】由长方形的性质可知：． ∴，即． 由折叠的性质可知， ∴． ∵， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查长方形的性质，折叠的性质．利用数形结合的思想找到角之间的关系是解题关键． 【变式4-3】利用折纸可以作出角平分线，如图1则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，若点恰好落在上，且，则 ； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数为 ． 【答案】 【分析】①由题意知，，根据，计算求解即可；② 由题意知，，根据，求出的值，进而根据计算求解即可． 【详解】解：①由题意知， ∵， ∴ 故答案为：58°． ②由题意知， ∵，， ∴ ∴ 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于找出角度的数量关系． 【变式4-4】如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠知，再根据即可求解； （2）由折叠知，，再根据即可求解； （3）由折叠知，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠知， 由题意得： ； 故答案为：； （2）由折叠可知： ， ， ， ， ， ， ； （3）由折叠知：，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键． 【变式4-5】利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝　 　． （2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'． ①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由； ②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数． 【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30° 【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论； （2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论； ②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论． 【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB， ∵∠AOB＝58°， ∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°， 故答案为：29°； （2）①∠AOC+∠BOD＝90°， 理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC， ∴∠AOA'＝2∠AOC， 由折叠知，∠BOD＝∠B'OD， ∴∠BOB'＝2∠BOD， ∵点B'落在OA'， ∴∠AOA'+∠BOB'＝180°， ∴2∠AOC+2∠BOD＝180°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°； ②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD， ∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°， ∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°， ∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°， 即∠A'OB'的度数为30°． 【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 一、单选题 1．已知数轴上有两条线段，，则这两条线段的中点之间的距离为（    ） A．2 B．4 C．2或22 D．4或44 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出、的长是解题关键．分两种情况讨论，根据线段中点的性质，可得、的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】 解：如图，若点B在线段上时，设点M为的中点，点N为的中点， ，点M为的中点，点N为的中点， ，． ． 如图，若点A在线段上时，设点M为的中点，点N为的中点， ，点M为的中点，点N为的中点， ，． ． 综上所述，这两条线段的中点之间的距离为2或22， 故选：C 2．已知线段，在直线上有一点C，且是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】应考虑到、、三点之间的位置关系的多种可能，即点在点与之间或点在点的右侧两种情况进行分类讨论．本题主要考查的是两点间的距离，线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【详解】解：①如图1所示，当点在点与之间时， 线段，， ， 是线段的中点， ； ②当点在点的右侧时，如图所示： 线段，， ， 是线段的中点， ； 综上所述，线段的长为或，故D正确． 故选：D． 3．，平分，以为一边作，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了角有关的计算，解题的关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． 分两种情况讨论：①如图当射线在的内部时，根据求出答案；②当射线在的内部时，根据求出答案即可． 【详解】分两种情况讨论： 如图所示：当射线在的内部时， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 如图所示：当射线在的内部时， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 二、填空题 5．将一张长方形纸片按如图所示折叠，和为折痕，点落在点处，点落在点处，若，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查折叠的性质等知识，利用数形结合的思想是解题的关键．根据折叠的性质求得，的度数，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质得： ，， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 6．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 7．已知直线过点O，，是的平分线． (1)操作发现：①如图1，若，则______． ②如图1，若，则______． ③如图1，若，则______．（用含a的代数式表示） (2)操作探究：将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由． (3)如图3，已知，，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求运动多少秒后，． 【答案】(1)①；②；③ (2)成立，理由见解析 (3)运动秒或秒后， 【分析】本题主要考查角度的和差计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，由图形得到角度之间的关系是解题的关键． （1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义求出，再利用角的差即可解答； （2）由，可得，则，根据平分，可得；所以 ； （3）设t秒后，可得或然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ③， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ∴． 故答案为：． （2）解：成立，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∴． ∴③中所求出的结论还成立． （3）解：设t秒后， 根据题意得：可得或， 解得或， 经检验，或均符合题意， 答：运动或秒后，． 8．如图：已知，射线绕点从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角)的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在．请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)，9，秒 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，角的计算和角平分线定义，为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点． （1）分两种情况求解：①当时，②当时； （2）当第二次达到时，射线在的左侧，根据列方程求解可得； （3）射线是由射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线有三种情况： ①两次平分时，根据，列方程求解， ②两次平分时，根据，列方程求解， ③平分时，根据，列方程求解． 【详解】（1）秒， ①当时， ； ②当时， ． 综上可知，的度数为或； （2）根据题意知：， 当第二次达到时，， 即， 解得：， 故秒时，第二次达到； （3）射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： ①平分时， ∵， ∴， 解得：； ②平分时， ∵，即， ∴， 解得：； ③平分时， ∵， ∴， 解得：； 综上，当t的值分别为、9、秒时，射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角的平分线． 9．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 10．如图，长方形纸片，点分别是边上的动点，将，分别沿，折叠，点的对应点分别是点，点． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若点在同一直线上，探索与的关系，并说明理由． (3)若，直接写出折叠后的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）根据折叠的性质即可求解； （）根据折叠的性质分两种情况即可求解； 本题考查了折叠的性质，角的和差关系，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠可得， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当折叠后的图形如图时，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 当折叠后的图形如图时，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$