第6章 专题拓展 方程思想在多边形中的应用-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（苏科版2024）

1 2×60°=30° ,∴有∠DOE=∠BOE+∠BOD=30°+ 20°=50°,∴,∠DOE 为10°或50°. 变式练习 1. 分 两 种 情 况:如 图 1,∵ ∠AOB =72°, ∠BOC=36°,∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=72°- 36°=36°.如图2,∵∠AOB=72°,∠BOC=36°, ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=72°+36°=108°. ∴∠AOC 的度数是36°或108°.故选:D. 图1 图2 2. (1)∠AOC 在 ∠AOB 外 部 时,如 图 1, ∠BOC=∠AOB+∠AOC=50°+25°=75°; (2)当 ∠AOC 在 ∠AOB 内 部 时,如 图 2, ∠BOC=∠AOB-∠AOC=50°-25°=25°. 图1 图2 基础提升 1. 54°35' 144°35' 2. 37.5° 3. 110° 4. D 5. D 6. C 7. 分为两种情况:①当射线OC 在∠AOB 内 部时,∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°-30°=15°; ②当射线OC 在∠AOB 外部时,∠AOC=∠AOB +∠BOC=45°+30°=75°;故选:C. 8. B 9. 由折叠的性质可知:∠DAE=∠FAE= 1 2∠DAF ,∵ ∠BAF = 60°,∠BAD = 90°, ∴∠DAF=90°-60°=30°,∴∠DAE= 1 2∠DAF= 15°.故选:A. 培优提高 10. (1)∠DOE=45°;(2)不变,∠DOE=45°; 理由:∠DOE=∠COE+∠DOC= 1 2∠COB+ 1 2∠AOC= 1 2 (∠COB+∠AOC)= 1 2∠AOB= 45°;(3)∠DOE 的大小发生变化,∠DOE=45°或 135°.如图1,则为45°;如图2,则为135°.(说明过程 同(2)) 图1 图2 专题拓展 平行线的性质与判定 典型例题 例1 (1)50° (2)∵GM ⊥EF,HN ⊥EF, ∴∠MGH =90°,∠NHF =90°,∴ ∠MGH = ∠NHF,∴HN∥GM. (3)40° 例2 ∠A+∠B+∠C+∠ADC=360° 例3 ∠AMG=∠3. 理由:∵∠1=∠2, ∴AB∥ CD. ∵ ∠3= ∠4,∴CD ∥EF. ∴AB ∥EF. ∴∠AMG=∠5.又∠5=∠3,∴∠AMG=∠3. 基础提升 1. A 2. C 3. D 4. B 5. D 6. A 7. A 8. C 培优提高 9. 75° 10. 270° 11. 平行 12. 对顶角相等 ∠2=∠ANC DB EC 两直线平行,同位角相等 DF AC 内错角相 等,两直线平行 ∠D=∠ABD 等量代换 13. (1)EF∥AB. 理由:∵CD∥AB,∠DCB =70°,∴ ∠ABC =70°. ∵∠CBF=20°,∴∠ABF=50°. ∵∠EFB=130°,∴∠ABF+∠EFB=180°, ∴EF∥AB; (2)∵EF∥AB,CD ∥AB,∴EF∥CD. ∵∠CEF=70°,∴∠ECD=110°.又∵∠DCB= 70°,∴∠ACB=40°. 14. (1)76° 90° (2)90° 90° (3)90° 理 由略 专题拓展 方程思想在多边形中的应用 典型例题 例1 B 变式练习 36° 72° 108° 144° 例2 B 变式练习 60° 例3 十三 变式练习 10 例4 9 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·82· 变式练习 10 基础提升 1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. C 7. B 8. 十二 9. 80° 120° 培优提高 10. 80° 11. 4∶5∶6∶7 12. 4 13. 110 14. 27 15. 4和10 16. 24° 17. 设四边形AEFD 的面积为S,对△CAE 与 截线DFB,由梅氏定理,得 CD DA ·AB BE ·EF FC=1 ,而 CD DA= 18 S+5 ,AB BE = S+23 15 ,EF FC = 5 10 ,则 18 S+5 · S+23 15 ·5 10=1 ,解得S=22.所以四边形AEFD 的 面积为22.(解法不唯一) 周末拓展 平面图形的初步认识 一、 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B 6. ∵OC,OD 分别是∠AOB,∠AOC 的平分 线,∴ ∠AOB =2∠AOC,∠AOC =2∠COD, ∴∠AOB=4∠COD,∵∠COD=25°,∴∠AOB= 4∠COD=4×25°=100°.故选:A. 7. B 二、 8. 10 cm 9. 44°43' 10. 9或21 11. ∵时针经过10分钟所走的度数为:10× 0.5°=5°,∴此时分针指向2的位置,与9之间的夹角 为:5×30°=150°,∴9点10分时,钟面上时针与分针 夹角的度数是:150°-5°=145°.故答案为:145. 12. 40°或80° 三、 13. ∵直线AB,CD 相交于点O,∴∠BOD= ∠AOC=28°,又∵∠DOE=∠BOD,∴∠BOE= 56°,∠AOE =180°-56°=124°,又 ∵OF 平 分 ∠AOE,∴∠EOF= 1 2∠AOE=62°. 14. 如图所示: 由BC=2AB,AB=2,得 BC=4,∴AC= AB+BC=2+4=6, ∵点 D 是线段AC 的中点,∴AD= 1 2AC= 1 2×6=3 ,∴BD=AD-AB=3-2=1. 15. (1)MN=5 (2)MN= a+b 2 (3)线段MN 的长度会变化. ①当点C 在线段AB 上时,由(2)知MN= a+b 2 ②当点C 在线段AB 的延长线上时, 如图: MN= a-b 2 ③当点C 在线段BA 的延长线上时, 如图: MN= b-a 2 ∴综上所述,线段 MN 的长度会变化,MN= a+b 2 或a-b 2 或b-a 2 . 16. (1)直线ON 平分∠AOC.理由:设ON 的 反向延长线为OD,∵OM 平分∠BOC,∴∠MOC= ∠MOB,又∵OM ⊥ON,∴∠MOD=∠MON= 90°,∴∠COD=∠BON, 又 ∵ ∠AOD = ∠BON (对 顶 角 相 等), ∴∠COD=∠AOD,∴OD 平分∠AOC, 即直线ON 平分∠AOC. (2)10或40 (3)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,∴∠AOM= 90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON,∴∠AOM- ∠NOC=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)=30°. 期末复习 期末专题 方程思想 典型例题 例1 A 变式练习 1. C 2. 1990 例2 设CP0=x,可得CP1=x,AP2=AP1=9- x,BP3=BP2=x-1,∵P0P3=1,当P0 在BP3 上,可列方程x-1+x-1=10,x=6; 当P0 在BP3 延长线上,可列方程x-1+x+ 1=10,x=5; ∴CP0 的长度为5或6. 变式练习 8 cm 例3 (1)AB=9-(-3)=12; (2)AC=x+3,BC=9-x,MN = x+3 2 + 9-x 2 =6 ; (3)∵AC+BC=30,显然点C 不在A,B 两点 之间,∴C 点在A 点左边或B 点的右边.当C 点在 A 点的左边时,-3-x+9-x=30,解得x=-12; 当C 点在B 点的右边时,x+3+x-9=30,解 得x=18;∴x 的值为-12或18. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·92· 数学 七年级上册 183 专题拓展 方程思想在多边形中的应用 例1 在△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则△ABC 是 三角形. ( ) A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定 点拨:(1)本题考查三角形的内角和定理与三角形形状的判定; (2)根据三角形内角和是180°和三个角的比值关系,设未知数,利用方程思想解决问题. 变式练习 四边形ABCD 中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4,则∠A= ;∠B= ;∠C= ;∠D= . 例2 在△ABC 中,如果∠A=∠B=4∠C,那么∠C 的度数是 ( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 点拨:(1)本题考查三角形内角和定理; (2)此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算. 变式练习 在△ABC 中,如果6∠A=4∠B=3∠C,那么∠B 的度数为 . 例3 一个多边形的内角和是1980°,则它是 边形. 点拨:(1)本题考查多边形内角和定理; (2)此类题利用多边形内角和公式列方程求解可得结果. 变式练习 一个多边形的内角和是外角和的4倍,则此多边形的边数是 . 例4 一个多边形的每一个内角都相等,且比它的一个外角大100°,则这个多边形的边数 为 . 点拨:(1)本题考查正多边形内角与多边形的外角; (2)利用正多边形内角与外角的关系列方程求解. 变式练习 一个正多边形,它的一个外角度数是它相邻的内角度数的 1 4 ,则这个正多边形的边 数为 . 1. 一个多边形的内角和与外角和之比为11∶2,则这个多边形的边数是 ( ) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 2. 在△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C 等于 ( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 3. 一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后,所形成的多边形的内角和是2520°,那么原多 数学 七年级上册 184 边形的边数是 ( ) A. 19 B. 17 C. 15 D. 13 4. 已知在△ABC 中,∠A 与∠C 的度数比是 5∶7,且∠B 比∠A 大10°,那么∠B 为 ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 5. 如果在△ABC 中,∠A=60°+∠B+∠C,则∠A 等于 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 140° 6. 已知一个多边形的内角和是900°,则这个多边形是 ( ) A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 7. 如图,在Rt△ADB 中,∠D=90°,C 为AD 上一点,∠ACB=6x,则x 值可以是 ( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 8. 若正多边形的一个外角为30°,则这个多边形为正 边形. 9. 在△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=4∶3∶2,则∠A= ;∠B 的外角等于 . 10. 如图,在△ABC 中,点D 在△ABC 的边BC 的延长线上,∠ACD∶∠A=3∶2,∠B= 40°,则∠A= . 11. 四边形ABCD 中,若∠A∶∠B∶∠C∶∠D=7∶6∶5∶4,则它们的外角的比是 . 12. 已知△ABC 的边长a,b,c满足下列条件:(1)(a-2)2+|b-4|=0;(2)c为偶数.则c的 值为 . 13. 求出图形中的x 值. 数学 七年级上册 185 14. 三角形三边的比为2∶3∶4,且最大边与最小边之差是6,求三角形的周长. 15. 已知两个多边形内角的和为1800°,且这两个多边形的边数之比为2∶5,求这两个多边形 的边数. 16. 如图,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC 的度 数. 17. 如图,△ABC 内三个三角形的面积分别为5,8,10,求四边形AEFD 的面积.