专题10 平行线压轴四种模型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（苏科版2024）

专题10平行线压轴四种模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、”猪蹄”型 2 类型二、“铅笔”型 4 类型三、“臭脚”型 5 类型四、“骨折”型 7 压轴能力测评（11题） 9 模型一：“M型” 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型二：“笔尖型” 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD 模型三：“臭脚模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“骨折模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 类型一、“猪蹄”型 【典例1】如图，，一点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，． (1)求的值； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值； (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、．若，求n的值． 【变式1-1】如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【变式1-2】阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 类型二、“铅笔”型 【典例2】如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【变式2-1】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【变式2-2】如图，如果，那么 ． 【变式2-3】（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 类型三、“臭脚”型 【典例3】【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【变式3-1】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【变式3-2】已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 【变式3-3】已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 类型四、“骨折”型 【典例4】已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【变式4-1】已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 【变式4-2】已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则 ． (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，并说明理由． (3)如图，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数并说明理由． 1．如图，，=（    ）    A． B． C． D． 2．如图，若直线，，，则的度数为 ． 3．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ． 4．已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． (1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由． 5.如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，则∠F＝ ； (2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； (3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 6．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    7.（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 8．已知．    (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 9．已知直线，E、F分别为直线上的点，P为直线上方一点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，的角平分线的反向延长线与的角平分线交于点N，试说明：．（不能利用三角形的内角和） (3)如图3，若的角平分线与的角平分线交于点H，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 10．已知． (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数． 11．如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由） （2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案） （3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10平行线压轴四种模型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、”猪蹄”型 2 类型二、“铅笔”型 7 类型三、“臭脚”型 13 类型四、“骨折”型 20 压轴能力测评（11题） 27 模型一：“M型” 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型二：“笔尖型” 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD 模型三：“臭脚模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“骨折模型” 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 类型一、“猪蹄”型 【典例1】如图，，一点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，． (1)求的值； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值； (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、．若，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点O作，根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据，可得，即可求解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可设，，由，求得，进而求解即可； （3）设直线与交于点H，与交于点K，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得，从而可得，再结合题意可得，即可得出关于n的方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：过点O作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点M作，过点N作， ∵平分，平分， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴； （3）解：如图，设直线与交于点H，与交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，在内，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义和性质、三角形外角的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 【变式1-1】如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴；    （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．   + 【变式1-2】阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②结论： 【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可； （2）①利用基本结论求解即可； ②利用基本结论，，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过作， ， ， ， , ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：①如图2中，由题意，， 平分，平分， ， ， 故答案为：； ②结论：． 理由：如图3中，由题意，，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 类型二、“铅笔”型 【典例2】如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 【变式2-1】如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 【变式2-2】如图，如果，那么 ． 【答案】540 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线，是解答本题的关键． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 故答案为：540． 【变式2-3】（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确过拐点作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行． （1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （3）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型三、“臭脚”型 【典例3】【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 【变式3-1】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 【变式3-2】已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案． 【详解】（1）证明： ； （2）过点E作，延长DC至Q，过点M作 ，，， AF平分 FH平分 设 ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 【变式3-3】已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105° 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）①如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥DM， ∴∠C=∠CBG， ∠ABD=∠C； ②如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）知∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β， 则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 类型四、“骨折”型 【典例4】已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【答案】(1)证明见详解 (2)①；证明见详解；②；证明见详解 【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； （2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； ②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出． 【详解】（1）解：如图4所示：过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； （2）解：①如图5过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； ②如图6过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键． 【变式4-1】已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错． （1）过点作，得，得，两式相减便可得出结论； （2）由（1）中结论可得，设，因为平分平分，所以，即得，即可得解； （3）过H作，得出，，结合分别平分，得出，过P作，同理可得，根据 ，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作，如图， ， ， ， ， 即； （2）解：如图： 设， ∵平分平分， ∴， 由（1）中结论可得， ． ， ， 即， ∴； （3）解：过H作， ， ， ， ， 分别平分， ， ， 过P作， ， ， ， ， ， ∴． 【变式4-2】已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则 ． (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，并说明理由． (3)如图，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等，角平分线的定义 （1）过作，根据平行线的性质得到，，即可求得； （2）过作，根据平行线的性质得到，，可得结论； （3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出的值再通过三角形内角和求； 正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过作， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）． 理由如下： 过作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）过作，过作，设交于点， ∵，，， 设，则， ∴， ∵，点在延长线上， ∴， ∴， ∵，点在延长线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的度数为． 1．如图，，=（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可. 【详解】    如图，过C点作直线， ，     ， ，， ， 即. 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 2．如图，若直线，，，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】如图，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】如图所示，点在直线上，点、在直线上，点在、之间，为， 直线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质与判定定理是解本题的关键． 3．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ． 【答案】 【分析】过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数． 【详解】解：过点O作， ∵直线a向下平移得到直线b， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 4．已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． (1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)；理由见详解 【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故； （2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：，利用三角形内角和是180°，可得． 【详解】（1） 解：如图：过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点作， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵∠AGM＝∠HGQ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用． 5.如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，则∠F＝ ； (2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； (3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论； （2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论． 【详解】（1）解：如图1，分别过点，作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：如图1，分别过点，作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （3）解：如图2，过点作， 由（2）知，， 设，则， 平分，平分， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 6．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 7.（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点作．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴． ，而， ∴， ， （2）， 理由：如图2，过点作， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ， ； （3）如图3，过点作． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得，， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义，角的和差运算灵活运用平行线的性质是解题的关键． 8．已知．    (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过E作，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可； （2）①过F作，交于H点，过点作，则，，根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质结合，从而得出，进而得出答案； ②过点F作，设，则，，所以，，然后分当K在上；当K在延长线上两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过E作，    ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）①如图， 过F作，交于H点，过点作，则，，    ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②如图，过点F作，则，作，    设，则， ∵， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴ ∴，即 ∴，， 当K在上，， 同推出的道理可证： ∴， ∵平分， ∴，即， ∴； 当K在延长线上时，    同推出的道理可证： ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴，即， ∴； 综上所述，或． 故答案是：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键． 9．已知直线，E、F分别为直线上的点，P为直线上方一点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，的角平分线的反向延长线与的角平分线交于点N，试说明：．（不能利用三角形的内角和） (3)如图3，若的角平分线与的角平分线交于点H，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)．见解析 【分析】（1）过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求得，再证明，利用两直线平行，内错相等求得，据此即可求解； （2）过点P作，过点N作，推出，由平分，平分，设，，求得，，据此即可证明结论； （2）过点H作，过点P作，过点G作，推出，由平分，设，同（2）用表示相关的角，计算角的和差即可求解． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作，过点N作， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 而， ∴； （3）解：．理由如下， 过点H作，过点P作，过点G作， ∵， ∴， ∵平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，解题的关键是学会利用参数表示各个角之间的关系解决问题． 10．已知． (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过E作，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可； （2）①过F作，交于H点，过点作，则，, 根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质结合，从而得出，进而得出答案； ②过点F作，设，则，，所以，，然后分当K在上；当K在延长线上两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：如图， 过E作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）①如图， 过F作，交于H点，过点作，则，, ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ②如图，过点F作， 设，则，， ∴， ∴，， 当K在上，， ∴， ∴， ∴； 当K在延长线上时，，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键． 11．如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由） （2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案） （3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示） 【答案】（1）110°；（2）80°；（3） 【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得； （2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°； （3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论． 【详解】解：（1）如图1， 过点P作PH∥AB∥CD， ∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH， 而∠EPF=∠EPH+∠FPH， ∴∠EPF=∠1+∠2=110°； （2）过点P作,， ， ， ， ， ，， ，， ∴∠1+∠4=∠2+∠3， ∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°， ∴∠4=80°， 故答案为：80°； （3）过点P作， 平分， ， 同理， ∴ ， 同理， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$