第28章 锐角三角函数 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（人教版 陕西专版）

第二十八章综合评价 事 (时间：120分钟满分：120分) 第一部分（选择题共24分）》 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,则下列选项正确的是 毅 A.sin A=6 B.cos B=b C.tan A=4 D.tan B=b B 6 B C (第1题图) (第2题图) (第3题图) 弥 2.如图，一根3m长的木头AB斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度AC 为1m时，木头AB的倾斜角a的余弦cosa的值为 ( 号 B C.22 n号 3.如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C.当跷跷板的一端B 着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m,则O℃的长为 ( A品品m B0.8 c0s20°m C.0.8sin20°m D.0.8cos20°m 4.在△ABC中，若 smA-2+( cos B) =0,则∠C的度数是 A.120 B.105 C.759 D.45 5.在△ABC中，∠B=90,若AC=10,smA=号，则AB的长是 ( A鳄 B婴 C.60 D.80 6.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为 A号 C.23 3 D2⑤ 5 线 (第6题图) (第7题图) 站 7.如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E,且点E是AB的中点，则 tan∠BFE的值是 () A号 B.2 C③ D.3 3 昙 8.在锐角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,bc,有以下结论：A sin B-sin C=2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立.在△ABC中，若∠A=75°， b E ∠B=45°，c=4,则△ABC的外接圆的面积为 ( A C.16π D.64π 第1页（共6页） 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=3,则∠A的正弦值为 10.一斜坡的坡角为a,坡长比坡高多100m,那么斜坡的高为 .（用α的锐角三角 函数表示) 1山.如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B,连接AC,OC若im∠BAC-寻，则 tan∠BOC的值为 307 15 (第11题图) (第12题图) (第13题图) 12.某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造.如图，改造前的斜坡AB= 80√17m,坡度为1：4.将斜坡AB的高度AE提高20m(即AC=20m)后，斜坡AB 改造成斜坡CD,其坡度为1：1.5，则改造后斜坡CD的长为 13.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15时，如图，在 Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，a延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°，所以 2-√3 5S2十32+5)223.类比这种方法，计算am2.5的值 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14.(5分)计算：(W2-1)-1十√8-6sin45°+(-1)224」 15.(5分)计算：sin30°-2cos230°+(-tan45°)2024. 16.(5分)在△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=5,求∠A的正弦值、余弦值和正切值. 第2页（共6页） 17.(5分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，∠A=60°，c= 23十4，解这个直角三角形. 18.(5分)如图，在△ABC中，∠C=90°，inA=号，D为AC上一点，∠BDC=45,DC= 6,求AB的长. 45 D 19.(5分)已知锐角a使关于x的-元二次方程x2-2sina·x+3sin。一子=0有两个相 等的实数根，求aα的度数. 20.(6分)如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每 个小正方形的顶，点)B,并连接OB,AB,使△AOB为直角三角形，并且： (1)使tan∠AOB的值为1： (2)使1am∠AOB的值为2： 图① 图② 21.(6分)如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选一点C,连接AC,BC.测得BC=221m, ∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长.（结果取整数，参考数据： sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60) 45 第3页（共6页） 22.(6分)文峰木塔，又名木塔寺，位于陕西省三原县，是西北地区唯一一座木质古塔，曾 被陕西省人民委员会公布为第二批省级重点文物保护单位.小婷和同学们想用所学的 几何知识测量文峰木塔的高度以检验自己运用知识解决实际问题的能力.如图，小婷 在地面上的点C处竖立一根可升降的标杆，发现当标杆顶端位于点F处时，点F与地 面上的点G、塔顶A恰好在一条直线上，当标杆顶端位于点D处时，在点D处用测角 仪测得塔顶A的仰角∠ADE=26.6°.已知B,C,G三点在一条直线上，D,F,C三点在 一条直线上，ABI BG,DC⊥BG,图中所有的点都在同一平面内.经测量，CD=3m, CF=1.6m,CG=3m,请你根据以上测量结果计算文峰木塔的高度AB.(参考数据： sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50) 23,(6分)如图，在△ABD中，ACLBD,BC=8,CD-4,os∠ABC-号，BF为AD边上 的中线， (1)求AC的长； (2)求tan∠FBD的值. 第4页（共6页） 24.(8分)高空抛物极其危险，被称为“悬在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的 行为.某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头.已知某一型号的摄像头安装完成后 的示意图如图①，镜头B到地面的距离BD为3.6m,镜头的拍摄广角a=90°，BF为水 平线，图②是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部C时，测得 ∠CBF=20°，求此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到地面的距离AC约为多少米. (结果精确到0.1m,参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36) 摄像头 摄像头 D 地面D 地所 图① 图② 25.(8分)“风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电” 的身影.某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下： 活动目的 测量风力发电机的搭杆高度 测量工具 无人机、皮尺等 说明：塔杆PD安装在斜坡CD上且垂直于地面，用皮尺测 测量示意图 量出CD的长度，利用无人机分别在点A,B(点B在，点A的 正上方)测量出塔杆顶端P的仰角和俯角 斜坡CD的坡角 30° CD的长度 18m 测量数据 AB的长度 53m 点A处测量的仰角 45° 点B处测量的俯角 18 请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度PD.(参考数据：sin18°≈0.309， cos18°≈0.951，tan18°≈0.325) 第5页（共6页） 26.(11分)阅读下列材料： 题目：如图①，在△ABC中，已知∠A<45°，∠C=90°，AB=1,请用sinA,cosA表示 sin 2A. 解：如国②，作△ABC的中线CE,过点C作CDLAB于点D.则CE=AE-AB=7, CD=AC·sinA,AC=AB·cosA=cosA,∴.∠CED=2∠A. 在R△CED中，sim∠CED-8罡=AC:mA=2AC·smA=2 cos A sin A,即 2 sin 2A=2cos A sin A. 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)如图③，在△ABC中，∠C=90°.若BC=1,AB=3,求sinA,sin2A的值； (2)在上面的阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或cosA表示cos2A. 上D 图① 图② 图③ 第6页（共6页）∠ADB=90°，∴.∠FBM=90°-∠BAC,∠N=90°-∠BAC.∴.∠FBM=∠N.又∠BFM=∠NFA,'.△BFM∽ △NFA:(2△BFM△NFA-FM,FN=FB,FA“∠FBD+∠FDB=9O,∠FBD+∠FAD 9O∠PDB-∠FAD又：∠BFD-∠DFA△BFD△DFA-:DF-FB,AF-FM:FN:(3 AC=BC,∴∠BAC=∠ABC.:∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=9O°，由(1)得，∠FBM=∠N,∴.∠FDB=∠N= ∠FBM.△ENM△FB△FDB-答-E-FB=2FMFD=2FB=4MDF=M,FN FN=FD+DN,.(4FM0=FM·(4FM+12),∴.FM=1,或FN=0(不合题意，舍去).∴.FB=2,FD=4,FN=4+12 =16.:△BF△NFA职-器分FA=8AB=FA+BF=10.在R△BFD中，由勾股定理，得BD √BF+DF=√2+4平=2√5.在R△ADB和R△ADC中，由勾股定理，得AD=AB-BD=AC-CD,即10 (25)=AC-(AC-25)2,∴.AC=55. 第二十八章综合评价 1.D 2.A 3.C 4A 5.D 6D 7.D 10 10 15 12.50√13m13.√2-1 4原武g+28-6x号+1-+12店-3+1=2指：原大专2x(图 (-Dm=专-2×是+1=号-2+1=0.16，解：在△ABC中，∠C=90,AB=13,BC=5,由勾股定理，得AC 5-=E=可=12∴mA-器-高osA-品-最mA-%-意解：∠C-90,∠A=60. ∴∠B=90°-∠A=90°-60=30.：c=25+4,b=2c=号×(25+40=5+2.a=6:mA=(5+2)·m60 =(3+2)×3=3+23,∴.∠B=30°，b=√3+2，a=3+23.18.解：∠C=90°，∠BDC=45°，∴∠DBC=45. ∴∠DC=-∠BCC=C=6又：smA-%-号AB=号C=号×6=15.19解：由题意，得(-2ano -4(3sin a ）=0,即4r。一4原sna十3=0，解得sm8=复.“a为锐角，∴a=60.20解：D(2)如图. 图① 图② 2L.解：过点A作AD⊥BC于点D.,∠ACB=45°，AD=CD.设AB=xm在Rt△ADB 中，∠ABD=58,AD=AB·sin∠ABD≈0.85.x(m),BD=AB·cos∠ABD≈0.53x(m).又BC=221m,即CD+BD =221m,∴.0.85.x十0.53x=221,解得x≈160.答：AB的长约为160m.22.解：延长DE交AB于点H,则四边形 RDH是矩形，BH=CD=3mDH=化：CF/AB.△GCP△GBA需-2CF=.6m,G=3m 0g-高设AB=8cm,G=15xmDH=c=BG-CG=(15-3mAH=AB-BH=(8r-3m在 R△ADH中，∠ADE=26.6m∠ADE-鼎-号≈050，=3，AB=24m答：文蜂木塔的商度AB约 为2Am2A解，I:ACLBD.∴∠ACB=∠ACD=90.在R△ABC中，m∠ABC=%=专BC=8AB= 景BC-是×8=10，由勾股定理，得AC=√AB-C=√0-8=6，即AC的长为6：(2)连接CR,过点F作FEL BD于点E.:BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，：在R△ACD中，则有CF=2AD=FD,∴.△CDF是等腰 三角形，：FE⊥CD,易得E是CD的中点EF是△ACD的中位线CE=2CD=号×4=2，EF=AC=号×6= 第32页（共42页） 3BE=C+(CE=8+2=10.∴an∠FBD-能=品24解：曲题意，可知在图②中BF=CD.CF=BD=86m 在R△BFC中，∠CBF=20,m∠CBF-f∴BF=So≈是-10Cm.:∠Ax-=∠AFB=90∠CBE an20≈.36 +∠ABF=∠AF+∠ABR,∠BF=∠CBF=2.:在R△BFA中，∠BAF=20,m∠BAF-g器.∴AF BF 20≈096≈27.8(m.“AC=AF+C下=27.8十3,6=3礼.4(m.答：此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到地 的距离AC约为31.4m.25.解：在过点B且平行于AC的直线上取一点E,把PD向两边延长，交BE于点G,交AC 的延长线于点F,由题意，得BG=AF,AB=FG=53m,DG⊥BE,PF⊥AF设BG=AF=xm在Rt△DCF中，∠DCF =30,CD=18m,DF=CD=号×18=9(m.在R△AFP中，∠PAF=45.PF=AF=Em在R△BPG中， ∠GBP=18°，.GP=BG·tan∠GBP≈0.325x(m).GP+PF=GF,.0.325.x十x=53,解得x=40..PF=40m, .PD=PF-DF=40-9=31(m),∴.风力发电机的塔杆高度PD为31m.26.解：(1)：在△ABC中，BC=1,AB=3, ∠C=90∴由勾股定理，得AC=VAB-一C=V3-可=2区.nA-%=方msA福-2号由阅读材料可 知，血2A-2 A sinA-2x22×有-4号，（）②在图@中，msA-光-6AD-4AC·csA.AC-AB·sA 3 3 =sAAD-=eABD=AD-AE-A专，在R△CD中ms∠CED-2-A-立-2A-.用 1 EC cos 2A=2cosA-1. 第二十九章综合评价 1.A2.B3.D4.B5.C6.D7.B8.B9.四棱锥10.3π11.4.512.313.414.解：如图. 15.解：(1)中心投影(2)：AB⊥CP,POLPC,.∠ABC=∠OPC=90°.又，∠ACB= :视图 左视图 ∠0CP△ABCn△0PC品-瓷由题意，得AB=2m,BC=3n,BP=45m∴PC=BP+BC=45+3= 2 3 75(m)心OP5OP=5m答：路灯的高度OP为5m16.解：如图，光线恰好照在墙角D,E处时，延长AV交 DE于点M. 由题意，得AN=8cm=0.08m,AM=2m,由于房间的地面为边长为4m的正方形，则DE 三4+=42m).BC∥DE,△ABCn△ADE.是=，即-00÷BC0,23m答：灯罩的直径BC 约为0.23m.17.解：(1) (2) 18.解：分别连接AD,EM,过点D作DN⊥ 主视图 左机图 主视坚图 左视图 附视图 视图 AB,垂足为N由题意，得△EFMO△AND,四边形CDN为矩形，∴票=别BN=CD=2m,ND=BC=9m ÷六-号AN=6m,AB=AN十BN=6+2=8(m.答：旗杆AB的高度为8m 19.解：(1)如图； 第33页（共42页）