热点专题08锐角三角函数（10个热点）-2023-2024学年九年级下册数学重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

热点专题08锐角三角函数 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在中，所对的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边，所对的边记为，叫做的对边，也是的邻边，直角所对的边记为，叫做斜边． 锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； 锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； 锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即. 同理；；． 注意： （1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． （2）分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不能理解成与，与，与的乘积．书写时习惯上省略的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如)，其正切应写成“”，不能写成“”； 另外,常写成. （3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． （4）由锐角三角函数的定义知：当角度在间变化时， 考点二、特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 考点三、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在中，所对的边分别为，则有： ①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系：. ③边角之间的关系： ④，为斜边上的高. 注意：（1）直角三角形中有一个元素为定值(直角为)，是已知值. （2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). （3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 考点四、解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 考点五、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 1.坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 2.仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 3.方位角问题 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，的方位角分别为是. （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 注意：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 题型一 利用定义求三角函数值 【例1】如图，在中，已知，，，那么的长为（    ） A． B． C．4 D．5 【例2】如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-1】在中，，则边的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在边长为 的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，，相交于点P．    (1)求线段的长； (2)求的值． 【变式1-3】如图所示，在菱形中，，，垂足为，若，则菱形周长为 ．    题型二 比较三角函数值的大小 【例3】如果，那么与的差（    ） A．大于0 B．小