专题2.1 等腰三角形分类讨论问题综合应用（六大类型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题2.1 等腰三角形分类讨论问题综合应用（六大类型） 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 动点引起的分类】 【题型6 等腰三角形中手拉手模型/一线三垂直模型】 【题型1 腰和底不明时需分类】 【典例1】已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【变式1-1】三角形的两边长分别是5和8，则第三边长不可能是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式1-2】已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（   ） A．12 B．12或15 C．15或18 D．15 【变式1-3】一个等腰三角形，相邻两条边的比是，其中最短边长度是20厘米，这个三角形的周长是（    ）厘米． A．80 B．100 C．60 D．80或100 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【典例2】等腰三角形的一个角为，则它的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】若一等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则等腰三角形的顶角为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2-3】等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C． D．或 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【典例3】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【变式3-2】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 【变式3-3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【典例4】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【变式4-1】如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【变式4-3】如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若、、三点均在格点上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式4-4】在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在坐标轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型5 动点引起的分类】 【典例5】如图，在 中， ，，点 在线段 上运动 不与 ， 重合，连接，作 ，与交于点． (1)当 时， ；当点 从 向 运动时，逐渐变 (填大或小)． (2)当 时， 与 是否全等？ 请说明理由． (3)在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？ 若可以，请直接写出 的度数；若不可以，请说明理由． 【变式5-1】如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【变式5-2】在等边中，，动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，当时，求t的值； (3)若在线段上存在一点D，且．在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发在线段上运动，当点Q运动到点D时，立即以原速度返回至终点C，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 【变式5-3】如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 【题型6 等腰三角形中手拉手模型/一线三垂直模型】 【典例6】（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【变式6-1】已知和都是以点A为直角顶点的直角三角形且，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上且点E在下方时，请画图并直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【变式6-2】定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等腰三角形分类讨论问题综合应用（六大类型） 【题型1 腰和底不明时需分类】 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【题型5 动点引起的分类】 【题型6 等腰三角形中手拉手模型/一线三垂直模型】 【题型1 腰和底不明时需分类】 【典例1】已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】根据非负数的意义列出关于、的方程组并求出、的值，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：∵等腰三角形的两边，满足， ∴， 解得：， 若是腰长，则三角形的三边长为：、、， 能组成三角形，周长为：； 若是底边长，则三角形的三边长为：、、， ∵，∴不能组成三角形． 综上所述，等腰三角形的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程组并正确解答是解题的关键． 【变式1-1】三角形的两边长分别是5和8，则第三边长不可能是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系：8-5＜x＜8+5， 解得：3＜x＜13． ∴第三边长不可能是3； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可． 【变式1-2】已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（   ） A．12 B．12或15 C．15或18 D．15 【答案】D 【分析】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解．此题主要考查了三角形三边关系，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想 【详解】 解：等腰三角形的两边长分别是3和6， ①当腰为6时，三角形的周长为：； ②当腰为3时，，三角形不成立； 此等腰三角形的周长是． 故选D． 【变式1-3】一个等腰三角形，相邻两条边的比是，其中最短边长度是20厘米，这个三角形的周长是（    ）厘米． A．80 B．100 C．60 D．80或100 【答案】B 【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题的关键是三角形的腰是长边． 根据题意短边和三角形的腰长度之比是，所以三角形的腰长是20乘以2，再将三条边相加即可． 【详解】解：根据题意分析可知，等腰三角形两腰相等，最短边为20厘米， 长边即为厘米， 故三角形的三边为：20，40，40或20，20，40（不符合三边关系，舍去）， 所以周长为：厘米． 故选：B． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 【典例2】等腰三角形的一个角为，则它的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分的角为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解；当的角为顶角时，则该等腰三角形的顶角度数为， 当的角为底角时，则该等腰三角形的顶角度数为， ∴这个等腰三角形的顶角度数为或， 故选D． 【变式2-1】若一等腰三角形的腰长为，腰上的高为，则等腰三角形的顶角为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形，分两种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，分别画出图形，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时， ， 由题意得：，， ； 如图，当为钝角三角形时， ， 由题意得：，， ， ； 综上所述，等腰三角形的顶角为或， 故选：C． 【变式2-3】等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分当顶角为时，当底角为时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角度数为，成立； 当底角为时，则顶角的度数为，成立； ∴这个等腰三角形的顶角为或， 故选D． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 【典例3】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出顶角的大小． 【详解】解：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题可知：，， 等腰三角形的顶角， 等腰三角形的顶角度数为或， 故选：C． 【变式3-1】已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和性质，解题的关键是要分情况讨论．根据题意外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，分情况讨论，再结合三角形的内角和，可求出顶角的度数． 【详解】解：依题意，等腰三角形的一个外角等于 ∴①若是顶角的外角， 则顶角； ∴②若是底角的外角， 则底角， 即顶角． 故选：D． 【变式3-2】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小． 【详解】①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知， ∴； ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题意可知， ∴． 综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或， 故选：D． 【变式3-3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形两锐角互余即可得． 【详解】解：依题意，分以下两种情况： （1）如图1，等腰为锐角三角形，顶角为， ， ， （2）如图2，等腰为钝角三角形，顶角为， 综上，顶角的度数为或 故选：C． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 【典例4】如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    【变式4-1】如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分三种情况分别画出图形，如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案． 【详解】解：如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 ， 以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形有， 其中是等边三角形， ∴符合条件的点的个数有6个， 故选D． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定，做到不重复不遗漏的得到点P是解本题的关键． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图， 以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便． 【变式4-3】如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若、、三点均在格点上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】分为顶角和为顶角判定即可． 【详解】当为顶角时，符合的点有两个，； 当为顶角时，符合的点有五个； 一共有7个．    故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形，分类思想，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【变式4-4】在平面直角坐标系xOy中，点，，若点C在坐标轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】按照△ABC中A、B、C分别为等腰三角形的三个顶角分三类讨论，画出图形即可求解． 【详解】解：当A为等腰三角形顶点时：，相当于以A点为圆心，为半径画圆，该圆与坐标轴的交点即为所求，如下图中C1、C2、C3； 当B为等腰三角形顶点时：，相当于以A点为圆心，为半径画圆，该圆与坐标轴的交点即为所求，如下图中C4、C5、C6； 当C为等腰三角形顶点时：，则点C在线段AB的垂直平分线上，此时C点刚好和原点重合，如下图中C7； ∴满足条件的点C的个数有7个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题、线段的垂直平分线的判定定理及分类讨论的思想，注意分类讨论，不要漏解． 【题型5 动点引起的分类】 【典例5】如图，在 中， ，，点 在线段 上运动 不与 ， 重合，连接，作 ，与交于点． (1)当 时， ；当点 从 向 运动时，逐渐变 (填大或小)． (2)当 时， 与 是否全等？ 请说明理由． (3)在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？ 若可以，请直接写出 的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，大 (2)当时，．理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定，三角形内角和定理的应用 ； （1）首先利用三角形内角和为可算出；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （3）分类讨论：由（2）可知，所以与不可能相等，于是可考虑和两种情况． 【详解】（1）解：，，， ； 当点从向运动时，逐渐变大， 故答案为： ，大； （2）当时，，理由如下： 理由：， ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ； （3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形，理由如下： 当时， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 当的度数为时， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 【变式5-1】如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1），由点的运动速度与点的运动速度相等，可得，再根据点为的中点，厘米，厘米，得出，，即可证明． （2）当点的运动速度与点的运动速度不相等时，，只能，时两个三角形全等，再根据点的速度为厘米/秒，得出点和点运动运动的时间为，即点的速度为． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，经过秒后， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等， ∴， ∵厘米，厘米，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴在和中，， ∴． （2）解：∵点的运动速度与点的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴使与全等，则，， ∵点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动， ∴点运动的时间为， ∴点运动的时间为， ∴点的速度为， ∴当点的速度为时，． 【变式5-2】在等边中，，动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，当时，求t的值； (3)若在线段上存在一点D，且．在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发在线段上运动，当点Q运动到点D时，立即以原速度返回至终点C，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)当为等腰三角形时，或 【分析】（1）本题考查列代数式，根据运动路程问题结合线段关系直接列式即可得到答案； （2）本题考查直角三角形所对直角边等于斜边一半及等边三角形性质，分别讨论P在线段上或延长线上两类结合所对直角边等于斜边一半列式求解即可得到答案； （3）本题考查等腰三角形的性质，分类讨论P在线段上或延长线上，根据腰长列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设点的运动时间为t秒． ∴， ∵，动点以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动， 当时，， 当时， ， 综上所述，； （2）解：如图所示， ①    当P在线段上时， ∵是等边三角形，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 解得：， ②当P在的延长线上时， ∵，∴ ∴， ∴， ∴， 解得： ； （3）解：如图所示，当时，P在上运动时， ∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形， ∴， ∵，， P点在上运动的时间为：，Q在上运动的时间为，当Q点从点C运动到点D的过程中，，， ∴， 解得：， 当，即点P在的延长线上时，此时点Q从D运动回点C， 当点Q从D点返回时，，， ∴， 解得： ， 综上所述，当为等腰三角形时，或． 【变式5-3】如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点停止运动，设运动的时间为秒，连接、． (1)求的面积； (2)当且点运动的速度也是时，求证：； (3)若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质； （1）根据三角形的面积公式，直接求的面积； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可求：，即，且，即可证，可得； （3）根据的面积是的面积的两倍，列出方程可求的值． 【详解】（1）解：， ； （2）证明：如图：连接， ，是中点， 平分， 又， ， ， 依题意得：， 在与中， ， ， ； （3）解：如图：过点作于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 解得：或 综上所述：当或． 【题型6 等腰三角形中手拉手模型/一线三垂直模型】 【典例6】（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得： ，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 【变式6-1】已知和都是以点A为直角顶点的直角三角形且，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上且点E在下方时，请画图并直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为 (3)存在的数量关系为，位置关系为 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ， ， 又，， ， ， ； （2）解：不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2， ， ， 又，， ， ， ， ； （3）解：存在的数量关系为，位置关系为 如图3， ， ， 又，， ， ，， ． ，， ， ， ， ． 【变式6-2】定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】(1) (2)见解析 (3)修建小路的总造价为元． 【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）过点作，交的延长线为，先证明，则，，依据三角形的面积公式可知，然后再依据偏等积三角形的定义即可得出结论； （3）过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为，由题意可得，由可证得，则米，根据的面积为1500平方米，可得米，即可求解． 【详解】（1）解：如图1中， 当时，， 与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为：； （2）证明：如图2中，过点作，交的延长线为， 和均为等腰直角三角形， ，，，． ． 在和中， ， ． ，， ，， ， 与为偏等积三角形； （3）解：如图3中，过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为， ， ，四边形为矩形， ，， ， 由（2）知，， ， ， 米， 的面积为1500平方米， ， 米， （米）， 修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题考查了新定义，等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 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