专题2.2 等边三角形重难点题型归纳（三大模型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题2.2 等边三角形重难点题型归纳（三大模型） 【题型01 ：等边三角形中动点综合问题】 【题型02： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型03： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型01 ：等边三角形中动点综合问题】 【典例1】如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． (1)当运动秒时，的度数为______． (2)开始运动几秒时，是直角三角形？ (3)若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 【变式1-1】已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 【变式1-2】在边长为的等边三角形中，点是上一动点，以每秒个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为秒． (1)如图，若点是上一定点，，，求的值； (2)如图，若点从点向点运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 【变式1-3】如图，是边长是的等边三角形，动点同时从A，B两点出发，分别沿方向 匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： (1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由． (2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (3)当t为何值时，是直角三角形？ 【变式1-4】如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【变式1-5】如图1，已知等边三角形的边长为，点分别从点同时出发，沿边向点和点运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点．    (1)求证：； (2)在点分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形? (3)连接，当点运动____________秒时，是直角三角形； (4)如图2，若点在运动到后继续在射线上运动，直线交于点，当是直角三角形时，求点的运动时间． 【题型02： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【典例2】【基本作图】在正中，分别在、上各取一点O、P，连结，分别以O、P为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点Q，连结、、，如图(1)． 【初步感知】根据作图过程判断是____________三角形； 【尝试探索】当点O重合到顶点C上，如图2，与存在怎样的数量关系？为什么？ 【深入研究】点P在边上运动，且点O不与点B、C重合，如图3，确定线段，，之间的数量关系； 【灵活运用】若点P在直线边上运动，点O恰好为边的中点，的周长为24，，求线段的长． 【变式2】如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，点E是直线BC上一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF． （1）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CD＝2CE； （2）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+CF＝CD； （3）如图2，若点E在射线CB上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【题型03： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【典例3】如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形； （2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）求DE的长． 【变式3-1】如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． (1)当时，求的长； (2)过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 【变式3-2】在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点是中点时，求证：． (2)当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【变式3-3】如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，． (1)当_____时，是直角三角形； (2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形 (3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【变式3-4】在等边三角形中，点从点出发沿射线运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，、两点运动的速度相同，与直线相交于点. （1）如图①，过点作交于点，求证：. （2）如图②，过点作直线的垂线，垂足为. ①当点在线段上运动时，求证：. ②当点在线段延长线上运动时，直接写出、与之间的数量关系. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 等边三角形重难点题型归纳（三大模型） 【题型01 ：等边三角形中动点综合问题】 【题型02： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型03： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型01 ：等边三角形中动点综合问题】 【典例1】如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． (1)当运动秒时，的度数为______． (2)开始运动几秒时，是直角三角形？ (3)若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】（1）计算出运动秒时、、的长，再证明，得，则即可求得； （2）设运动的时间为秒，分两种情况，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的值即可； （3）分三种情况，一是点在边上，则，可列方程；二是点在边上，则，可列方程；三是点在边上，则，可列方程，解方程求出相应的值即可． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 运动秒时，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：设运动的时间为秒， 如图， 当时，则 ∴， ， 解得， 如图3， 当时，则 ， ， 解得 综上所述，运动秒或秒，是一个直角三角形． （3）解：如图， 当时， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图4， 当时，则'， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图5， 当时，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得 综_上所述，的值是秒或秒或秒时，线段与的某一边平行． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想．的运用等知识与方法，正确地用代数式表示点M、点N运动的距离是解题的关键． 【变式1-1】已知，如图，在中，，，．动点从点出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1) ． (2)求当是等边三角形时对应的值？ (3)在运动过程中，的形状不断发生变化，当为何值时，是直角三角形？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当为或时，是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）求出，得出要使是等边三角形，则有，由题意表示出，，从而得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）求出，由题意表示出，，由是直角三角形结合含角的直角三角形的性质得出或，分情况列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：∵在中，，， ， ∴要使是等边三角形，则有， 由题意得：，，则， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时对应的值为； （3）解：当为或时，是直角三角形，理由如下： ∵在中，，， ， 由题意得：，，则， 是直角三角形， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得：， 综上所述，当为或时，是直角三角形． 【变式1-2】在边长为的等边三角形中，点是上一动点，以每秒个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为秒． (1)如图，若点是上一定点，，，求的值； (2)如图，若点从点向点运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、平行线的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，据此列方程求解即可； （2）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ，， 又∵， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：，则， ，解得：， 当的值为时，； （2）解：如图：①当点在边上时， 此时不可能为等边三角形； ②当点在边上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ，即：，解得：， 当时，为等边三角形． 【变式1-3】如图，是边长是的等边三角形，动点同时从A，B两点出发，分别沿方向 匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： (1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由． (2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (3)当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)当点Q到达点C时，，见解析 (2)能， (3)或 【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键． （1）先求出的长，可得P是中点，由等边三角形的性质即可求解． （2）由等边三角形的性质列方程即可求解． （3）分情况讨论，由直角三角形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）解：当点Q到达点C时，，理由如下： ，当点Q到达点C时，则， ， 点P为的中点， ； （2）能， ∵为等边三角形， ． 时，为等边三角形， ， 解得； （3）根据题意得，， ， 当时， ， ， ， 即， 解得； 当时，同理可得，解得． 综上所述：当或时，是直角三角形． 【变式1-4】如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键． 用含t的代数式表示出． （1）由于，当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． 【详解】（1）解：在中， ，， ． ， . 当时，为等边三角形． 即． ∴． 当时，为等边三角形； （2）若为直角三角形， ①当时，， 即 ． ②当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 【变式1-5】如图1，已知等边三角形的边长为，点分别从点同时出发，沿边向点和点运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点．    (1)求证：； (2)在点分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形? (3)连接，当点运动____________秒时，是直角三角形； (4)如图2，若点在运动到后继续在射线上运动，直线交于点，当是直角三角形时，求点的运动时间． 【答案】(1)见解析 (2)秒 (3)1或2； (4)秒 【分析】由“”可证； 由全等三角形的性质可求，可得，即可求解； 分和两种情况，由含角的直角三角形的性质得出方程，求解即可； 证明，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵点P，Q的速度相同， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形时，， ∴， ∴， ∴，， ∴当运动时间为秒时，是等腰三角形； （3）设运动时间为t秒，则， ①当时， ∵， ∴． ，即 解得；　 ②当时， ∵， ∴， ，即， 解得； ∴当点运动到第秒或第秒时，为直角三角形． 故答案为：或； （4）∵是等边三角形， ∴． 与（1）同理可得， ∴ 又∵， ∴， ∴． 当为直角三角形时，若， ∵， ∴，此时不成立； 若，则． ∵， ∴， ∴B， ∴， 即是直角三角形时，点P的运动时间为6秒． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 【题型02： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【典例2】【基本作图】在正中，分别在、上各取一点O、P，连结，分别以O、P为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点Q，连结、、，如图(1)． 【初步感知】根据作图过程判断是____________三角形； 【尝试探索】当点O重合到顶点C上，如图2，与存在怎样的数量关系？为什么？ 【深入研究】点P在边上运动，且点O不与点B、C重合，如图3，确定线段，，之间的数量关系； 【灵活运用】若点P在直线边上运动，点O恰好为边的中点，的周长为24，，求线段的长． 【答案】初步感知：等边；尝试探索：，理由见解析；深入研究：（4）的长为2或6 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由作图可知，，即可得出结论； （2）通过证明，即可得出结论； （3）根据题意进行分类讨论：①当点P在中点左侧时，在上截取，通过证明，得出，即可得出结论；②当点P在中点右侧时，过点O作交于点H，通过证明，得出，，即可得出结论； （4）根据题意进行分类讨论：①当点P在点A的右侧时，根据中点定义得出，根据等边三角形的性质得出，由（2）得：，即可得出结论；②当点P在点A的左侧时，过点O作，交于点M，根据等边三角形的性质和中点定义得出，，，推出为等边三角形，通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】解∶（1）由作图可知，， ∴是等边三角形(或正三角形)； 故答案为：等边； （2），理由如下： 在上截取，连接，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∵点C与点O重合， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵，， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3），，三条线段的数量关系是：或． 理由如下： ∵点P在边上， ∴有以下两种情况： ①当点P在中点左侧时，在上截取，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即：． ②当点P在中点右侧时，过点O作交于点H，如图所示：    同①可证：为等边三角形，， ∴，， ∵． （4）∵点P在直线上，， ∴有以下两种情况： ①当点P在点A的右侧时，如图：    ∵，点O为的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由(2)得：， ∴． ②当点P在点A的左侧时，过点O作，交于点M，连接，如图：     ∵为等边三角形，点O为的中点，， ，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 的长为：2或6． 【变式2】如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，点E是直线BC上一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF． （1）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CD＝2CE； （2）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+CF＝CD； （3）如图2，若点E在射线CB上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 又∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°，∠EDC＝30°， ∴CD＝2CE； （2）∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60° ∵∠EDC＝30°， ∴∠FDC＝30°＝∠EDC，DC＝DC， ∴△EDC≌△FDC（SAS）， ∴CE＝CF， ∴CD＝2CE＝CE+CF； （3）当点E在线段BC上，如图2，结论：CD＝CE+CF， 理由如下：如图2，在BC上截取CG＝CD，连接GD， ∵∠DCG＝60°， ∴△DCG是等边三角形， ∴DG＝DC，∠GDC＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵∠GDE+∠EDC＝60°＝∠EDC+∠CDF， ∴∠GDE＝∠CDF， ∴△GDE≌△CDF（SAS）， ∴GE＝CF， ∴CD＝CG＝CE+EG＝CE+CF； 当点E在射线BC延长线上，如图3，结论：CE＝CD+CF， 理由如下：如图3，在BC上截取CG＝CD，连接GD， ∵∠DCG＝60°， ∴△DCG是等边三角形， ∴DG＝DC，∠GDC＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵∠GDE+∠GDF＝60°＝∠GDF+∠CDF， ∴∠GDE＝∠CDF， ∴△GDE≌△CDF（SAS）， ∴GE＝CF， ∴CE＝CG+EG＝CD+CF． 【题型03： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【典例3】如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形； （2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）求DE的长． 【答案】（1）2；（2）存在，t＝3；（3）3cm 【分析】（1）当时，，由此构建方程即可解决问题． （2）如图1中，连接交于．证明，由此构建方程即可解决问题． （3）作交于．根据可证明，得出，证明即可解决问题． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°， ∴6+t＝2（6﹣t）， ∴t＝2， ∴t＝2时，△BPQ是直角三角形． （2）存在． 理由：如图1中，连接BF交AC于M． ∵BF平分∠ABC，BA＝BC， ∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm， ∵EFBQ， ∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°， ∴EF＝2EM， ∴t＝2•（3﹣t）， 解得t＝3． （3）如图2中，作PKBC交AC于K． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠A＝60°， ∵PKBC， ∴∠APK＝∠B＝60°， ∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°， ∴△APK是等边三角形， ∴PA＝PK， ∵PE⊥AK， ∴AE＝EK， ∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC， ∴△PKD≌△QCD（AAS）， ∴DK＝DC， ∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【变式3-1】如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． (1)当时，求的长； (2)过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 【答案】(1)的长为3； (2)①见详解② 【分析】（1）设，则，，证，则，即，解方程即可； （2）①因为，且是边长为9的等边三角形，则证是等边三角形， ②因为是等边三角形得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可解决问题． 本题考查了等边三角形的性判定与质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解： 是等边三角形， ，， 设，则，， ， ， ， 即 解得：， 即的长为3； （2）①如图， ∵， ，， 是等边三角形， ②是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式3-2】在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点是中点时，求证：． (2)当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点为上任意一点时，．理由见解析 (3)的长是6或12 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，再由等腰三角形的性质等，然后证，即可得出结论； （2）过点作交于点，则，，再证是等边三角形，得，然后证，得，即可得出结论； （3）分两种情况，①点在上时，证，，则，，得； ②点在的延长线上时，证，，则，，得；即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 点是中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作交于点， 则，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时， ，， ， ， ， ，， ，， ， ； ②如图4，点在的延长线上时， ，， ， ， ， ，， ， ，； 综上所述，的长为6或12． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 【变式3-3】如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，． (1)当_____时，是直角三角形； (2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形 (3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1)3 (2)2或4 (3)线段长度不变， 【分析】（1）根据等边三角形的性质，当，即为的中点时，是直角三角形，据此求解即可； （2）分①当时，②当时，根据含30度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程求解即可； （3）过作，进而证明，可得，问题得解． 【详解】（1）解：依题意，， 当是直角三角形时，， 是等边三角形， 则此时为的中点， ， ， 故答案为：3； （2）解：依题意，，， ①当时，如图， 是等边三角形， ，， ，则， 在中，， ， ， 即， 解得； ②当时，如图， 同理可得， 即， 解得； 综上所述，当t为或时，是直角三角形； （3）线段长度不变，理由如下： 如图，过点作，交于点F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ， ， ， ，， 的速度相等， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式3-4】在等边三角形中，点从点出发沿射线运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，、两点运动的速度相同，与直线相交于点. （1）如图①，过点作交于点，求证：. （2）如图②，过点作直线的垂线，垂足为. ①当点在线段上运动时，求证：. ②当点在线段延长线上运动时，直接写出、与之间的数量关系. 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②. 【分析】（1）根据易得△BPE 为等边三角形，所以BP=PE，再由速度相同可得BP=CQ，所以EP=CQ； （2）①过点作交于点，可证明，可得ED=CD，在等边三角形BPE中，由三线合一可知，F为BE中点，然后可得出; ②作PG∥AC交BC的延长线于G， 同理可证明：△PGD≌△QCD，BF=FG 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴. ∵， ∴，. ∴是等边三角形.∴. ∵、两点运动的速度相同，且同时出发， ∴.∴. （2）①过点作交于点， ∴，. 由（1）得， ∴. ∴. ∵是等边三角形，， ∴. ∵， ∴. ② . 理由如下： 作PG∥AC交BC的延长线于G， 同理可证明：△PGD≌△QCD，BF=FG ∴DC=DG ∴BG-CG=BC， ∴2BF-2CD=BC 即 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作平行线构造全等三角形是关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$